全国版2019版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第4讲幂函数与二次函数增分练201805092

百度文库 - 让每个人平等地提升自我

1 第4讲 幂函数与二次函数

板块四 模拟演练·提能增分

[A级 基础达标]

1．[2018·秦皇岛模拟]若幂函数的图象过点2，14，则它的单调递增区间是( )

A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)

C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)

答案 D

解析 设y＝xa，则14＝2a，∴a＝－2，∴y＝x－2其单调递增区间为(－∞，0)．故选D.

2．[2018·武汉模拟]如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么( )

A．f(0)

C．f(2)

答案 A

解析 由f(1＋x)＝f(－x)知函数f(x)图象的对称轴为x＝12，而抛物线的开口向上，且0－12＝12，2－12＝32，－2－12＝52，根据到对称轴的距离远的函数值较大得f(－2)>f(2)>f(0)．故选A.

3．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是( )

A．(－∞，2] B．[－2,2]

C．(－2,2] D．(－∞，－2)

答案 C

解析 当a－2＝0即a＝2时，不等式为－4<0，恒成立．当a－2≠0时， a－2<0，Δ<0，解得－2

4．已知幂函数f(x)＝xα，当x>1时，恒有f(x)

A．(0,1) B．(－∞，1)

C．(0，＋∞) D．(－∞，0)

答案 B

解析 当x>1时，恒有f(x)1时，函数f(x)＝xα的图象在y＝x的图象的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图象，由图象可知α<1时满足题意．故选B.

5．已知函数f(x)＝－x2＋4x，x∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m的取值范围是( )

A．(－∞，－1) B．(－1,2]

C．[－1,2] D．[2,5)

答案 C

解析 二次函数f(x)＝－x2＋4x的图象是开口向下的抛物线，最大值为4，且在x＝2时取得，而当x＝5或－1时，f(x)＝－5，结合图象可知m的取值范围是[－1,2]． 百度文库 - 让每个人平等地提升自我

2 6．[2018·吉林松原月考]设函数f(x)＝x2＋x＋a(a＞0)，已知f(m)＜0，则( )

A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0

C．f(m＋1)＞0 D．f(m＋1)＜0

答案 C

解析 ∵f(x)的对称轴为x＝－12，f(0)＝a＞0，∴f(x)的大致图象如图所示．

由f(m)＜0，f(－1)＝f(0)＝a>0，得－1＜m＜0，

∴m＋1＞0，又∵x>－12时，f(x)单调递增，∴f(m＋1)＞f(0)＞0.

7．[2017·浙江高考]若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( )

A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关

C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关

答案 B

解析 解法一：设x1，x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m＝x21＋ax1＋b，M＝x22＋ax2＋b.∴M－m＝x22－x21＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关．故选B.

解法二：由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b的变动，相当于图象上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为M＋k，m＋k，而(M＋k)－(m＋k)＝M－m，故与b无关．随着a的变动，相当于图象左右移动，则M－m的值在变化，故与a有关．故选B.

8．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2在[－5,5]上是单调函数，则实数a的取值范围是________．

答案 (－∞，－5]∪[5，＋∞)

解析 f(x)＝(x＋a)2＋2－a2，图象的对称轴为x＝－a，由题意可知－a≥5或－a≤－5，解得a≤－5或a≥5.

9．[2018·合肥模拟]若函数f(x)＝ 2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围为________．

答案 [－1,0]

解析 函数f(x)的定义域为R，所以2 x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2 x2＋2ax－a≥20，x2＋2ax－a≥0恒成立，因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0. 百度文库

- 让每个人平等地提升自我

3 10．[2018·南昌模拟]如果函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，那么实数a＝________.

答案 1

解析 因为函数f(x)＝x2－ax－a的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点取得．因为f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，所以 －a>4－3a，－a＝1或 －a≤4－3a，4－3a＝1，解得a＝1.

[B级 知能提升]

1．[2018·浙江模拟]已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )

A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0

C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0

答案 A

解析 由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝－b2a＝2，所以4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，所以f(x)先减后增，所以a>0.选A.

2.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：

①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a

其中正确的是( )

A．②④ B．①④

C．②③ D．①③

答案 B

解析 因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确．

对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1,2a－b＝0，②错误．

结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误．

由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a

4 3．[2018·北京西城模拟]已知函数f(x)＝ x 12 ，0≤x≤c，x2＋x，－2≤x<0，

其中c>0.那么f(x)的零点是________；若f(x)的值域是－14，2，则c的取值范围是________．

答案 －1和0 (0,4]

解析 当0≤x≤c时，由x 12 ＝0得x＝0.当－2≤x<0时，由x2＋x＝0，得x＝－1，所以函数零点为－1和0.当0≤x≤c时，f(x)＝x 12 ，所以0≤f(x)≤c；当－2≤x<0时，f(x)＝x2＋x＝x＋122－14，所以此时－14≤f(x)≤2.若f(x)的值域是－14，2，则有c≤2，即0

4．[2018·江苏模拟]已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在[0,1]内的最大值为－5，求a的值．

解 f(x)＝－4x－a22－4a，对称轴为x＝a2，

①当a2≥1，即a≥2时，f(x)在[0,1]上递增，

∴f(x)max＝f(1)＝－4－a2，

令－4－a2＝－5，得a＝±1(舍去)．

②当0

令－4a＝－5，得a＝54.

③当a2≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]上递减，

∴f(x)max＝f(0)＝－4a－a2，令－4a－a2＝－5，

得a＝－5或a＝1(舍去)．综上所述，a＝54或－5.

5.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请根据图象： 百度文库

- 让每个人平等地提升自我

5

(1)写出函数f(x)(x∈R)的增区间；

(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式；

(3)若函数g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1,2])，求函数g(x)的最小值．

解 (1)f(x)在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．

(2)设x>0，则－x<0，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，

所以f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x>0)，

所以f(x)＝ x2－2xx>0，x2＋2xx≤0.

(3)g(x)＝x2－2x－2ax＋2，对称轴方程为x＝a＋1，

当a＋1≤1，即a≤0时，g(1)＝1－2a为最小值；

当1

当a＋1>2，即a>1时，g(2)＝2－4a为最小值．

综上可得g(x)min＝ 1－2a，a≤0，－a2－2a＋1，01.