实验二非线性方程求根
实验目的：通过对二分法、简单迭代法与牛顿迭代法编程练习与上机运算，进一步体会各方法的不同特点。
实验内容：
1、用下列方法求方程1020xex的近似根，要求误差不超过-31102，并比较计算量。
（1）取初值00x并用迭代过程12(0,1,2,);10kxkexk
（2）取初值00x用牛顿法；
（3）利用埃特金/斯蒂芬森加速法求解
实验要求：
写成实验报告，报告格式见附件，报告内容包括：
1、实验内容和要求
2、算法说明
3、源程序（要求包含必要的注释）
4、实验结果（截图+必要文字说明）
5、对实验结果进行分析比较
1 / 18 第二章 方程求根
在许多实际问题中，常常会遇到方程f(x)=0求解的问题。当f(x)为一次多项式时，f(x)=0称为线性方程，否则称为非线性方程。对于非线性方程，由于f(x)的多样性，求其根尚无一般的解析方法可以使用，因此研究非线性方程的数值解法是十分必要的。
本章主要介绍求非线性方程根的一些常用方法。它们是增值寻根法、二分法、迭代法、牛顿法及割线法。这些方法均是知道根的初始近似值后，进一步把根精确化，直到达到所要求的 精度为止。也即求非线性方程根的数值方法。
第一节 第一节 增值寻根法与二分法
2.1.1 增值寻根法
设非线性方程f(x)=0的根为*x，增值寻根法的基本思想是，从初始值0x开始，按规定 的一个初始步长h来增值。令 1nx=nx+h(n=0,1,2，…)，同时计算f(1nx)。 在增值的计算过程中可能遇到三种情形：
(1) f(1nx)=0，此时1nx即为方 程的根*x。
(2) f(nx)和f(1nx)同符号。这说明区间［nx, 1nx］内无根。
(3) f(nx)和f(1nx)异号，即有
f(nx)·f(1nx)＜0
此时当f(x)在区间［nx, 1nx］上连续时，方程f(x)=0在［nx, 1nx］ 一定有根。也即我们用增值寻根法找到了方程根的存在区间，nx或1nx均可以视为根的近似值。下一步就是设法在该区间内寻找根 *x更精确的近似值，为此再用增值寻根法 把nx作为新的初始近似值，同时把步长缩小，例如选新步长1100hh，这 样会得到区间长度更小的有根区间，从而也得到使f(x)更接近于零的nx，作为*x更 精确的近似值，若精度不够，可重复使用增值寻根法，直到有根区间的长度｜1nx-nx｜＜(为所要求的精度)为止。此时f(nx)或f(1nx)就可近似认为是零。nx或1nx就是满足精度的方程的近似根（如图2-1）.
Ｅｑｕｉｐｍｅｎｔ Ｍａｎｕｆａｃｔｆｉｎｇ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｎｏ．４，２０１ １
非线性代数方程的值域求根迭代法 魏瑞广’，张小杭 ，廖艳培’ （１．广东中烟工业有限责任公司梅州卷烟厂，广东梅州５１４０２１； ２．龙岩烟草工业有限责任公司，福建龙岩３６４０００） 摘要：提出求了解非线性代数方程的值域根值迭代算法，该方法利用猜测根值代入非线性代数方程，将其转化成代数 方程组，进行迭代计算，由此推导出不带导数形式的迭代算法，并给出该迭代格式的收敛性证明。最后计算实例表明， 该迭代方法形式简单，收敛速度快，且易于计算机编程计算。 关键词：数值分析；非线性代数方程；猜测根值；迭代法 中图分类号：０２４１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１ ６７２—５４５Ｘ（２０１ １】０４—００４０－０４ 迭代法是非线性代数方程求根计算方法中的一 种基本方法。本文提出的值域根值迭代算法，由猜测根 值将非线性代数方程转化成简单形式的代数方程组， 由此推导出一种不带导数形式的迭代算法，迭代形式 简单，易于计算机编程计算，并给出该迭代格式的收敛 性证明，算例表明了该算法的有效性和实用性。 １ 线性方程求解常用方法【１－－３１ 迭代算法，是非线性方程计算方法中的一种基 本方法。其常用的迭代方法主要有牛顿迭代法、简单 迭代法和弦割法。基本格式如下： 将方程ｆ Ｏ）＝０化为一个同解的方程 ｔ＝ｑ（ｔ） 设定一个初始值ｔｏ，代人等式右端可算得一个 ｔ。＝ｇ（￡ｏ），再将ｔ。代入等式右端，又可得ｔ：＝口（￡１）， ……，反复迭代下去，会得到一个序列㈨，其中 ｔ“ｌ＝ｑ（ｔｋ），ｋ＝０，１，２… ㈨称为该方程的迭代序列； ｑ（ｔ）称为迭代函数； 上面的公式称为该方程的迭代格式。 可以证明，如若迭代序列收敛，总能收敛于原方 程的解 。 实际计算时，当迭代到一定程度，就取ｔ“ 作为 原方程根的近似值，这种求根法称简单迭代法。 牛顿迭代法，就是为了保证迭代序列收敛，将 ｆ（￡）在方程厂（力＝０的近似根ｔｋ处作泰勒展开，取前 两项近似代替．厂 ），用近似方程来代替原方程求解迭 代函数即可。 弦割法是用方程ｆ（ｔ）＝０的近似根ｔｋ，ｔ¨对应的 函数值作线性插值多项式代替ｆ（ｔ），从而由近似方程 求得迭代函数。 上述方法都是从时域出发，列出迭代格式。 本文笔者由泛函变分概念的启发 ，考虑从值 域出发，寻求一种新的求根迭代法。 ２ 多项式方程求根迭代法 这里，考虑多项式方程， ＝Ｏ，设给定的多项式： ｎ－１ Ｊ卜ｚ ｚ ｆ（ ）＝ａｏｘ＋ｎｌ ＋ａ２ｘ ＋…＋ ＋ａｎ－ｌ ＋ （１） 其中，系数 ＝（０≤ｉ≤ｒｔ）均为实数。 假定将方程中的各幂次项进行错差分解 ＝ ｌ・ ２… ， 于是可以将多项式方程（１）写成由各个错差值 组成的多项式方程组的形式： ，———— — 、－－－－——、，——————－———， ————－———＿＿、 一 ａｏ。 ｌ。 … ｎ＋ａｌ。 ｌ’ ２。ｘ３… 一１＋……＋ 卜ｌ。 ｌ＋ ＝Ｕ ａｏ‘ ｌ。 ２… ｎ＋口ｌ’ 。 ３‘Ｘ４… ＋……＋ 一ｌ’ ２＋ ＝０ ａｏ‘ ｌ・ ２… ｎ＋口ｌ ｌ。 ２… ２ ｎ＋……十ａｎ＿ｌ。 ｎ＋ ＝０ （２）
1计算方法第三章第三章非线性方程求根
3.1 引言
3.2 二分法
3.3 不动点迭代法
3.4 牛顿迭代法
3.5 迭代法收敛阶与加速收敛
计算方法第三章3.1 引言
求解非线性方程的根，就是求解高次方程或
超越方程(含有指数和对数等)，这类方程没有固定
的求根公式。
用 f(x)表示方程左端的函数，则一般的非线
性方程可表示为
f (x) = 0 （3.1.1）.
本章的任务就是上述方程的根或函数的零
点。
计算方法第三章定义3.1 若数p满足 0()fp=，则p称为方程（3.1.1）
的根或函数()fx的零点，特别地，如果函数()fx可分解为
()()(),mfxxphxmZ
+=−∈
且0lim()
xphx
→≠, 则当1m=时， p称为方程（3.1.1）的单
根或()fx的单零点；当1m>时， p称为方程（3.1.1）的m
重根或()fx的m重零点．
定理3.1 设函数()[,]mfxCab∈, 则点p∈(a ,b)是
()fx的m重零点，当且仅当
10mfpfpfp−′====()()()()，但0()()mfp≠．
计算方法第三章定义3.2 若区间[,]ab含有方程0()fx=的根，则
[,]ab称为0()fx=的含根区间；若区间[,]ab仅含方程
0()fx=的一个根，则[,]ab称为0()fx=的一个隔根区间．
通常，利用图解法或()fx的性质来确定方程0()fx=根
的分布区域．例如，若0()()fafb<，当()fx为连续函数
时，由介值定理可知[,]ab一定是含根区间，若()fx还是严
格单调函数，则[,]ab一定是隔根区间．
计算方法第三章原理：若f(x)∈C[a, b]，且f (a) ·f (b) <
0，则f(x)在(a, b) 上必有一根。
a
bx*3.2 二分法
计算方法第三章二分法是最简单、最直观的方法．其基本思想是：设
[,]ab是方程0()fx=的隔根区间，即满足
0()()fafb<．取[,]ab的中点
