中考数学 圆的切线辅导练习

1 / 5 辅导：圆的切线

（一）学习要求：

【学习目标】

1．了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系．

2．能判定一条直线是否为圆的切线，理解切线的判定定理、性质定理．

3．会过圆上点画圆的切线．

【学习重点】切线判定定理、性质定理的区别与应用．

（二）知识要点：

1．

直线是圆的切线．

2．直线l与⊙O相切于点A，OA是过切点的半径，直线l与半径OA位置关系如何？

圆的切线 经过 的半径. （三）例题展现：

问题1：（•衢州第21题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r．

问题2：(•丽水第20题)如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD．

(1)求证：BD平分∠ABH；

(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离．

（四）自我体会：

1、（山东省荷泽市，11，3）如图，PA、PB是⊙o的切线，A、B为切点，AC是⊙o 的直径，若∠P=46∘，则∠BAC=______.

2、(•扬州)如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B两点，点C在⊙O上，如果ACB＝70°，那么∠P的度数是 ．

3、（海南）如图，∠APB=300，圆心在边PB上的⊙O半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向移动，当⊙O与直线PA相切时，圆心O移动的距离为 cm.

4、（•黄石）如图（4）所示，直线CD与线段AB为直径的圆相切于点D，并交BA的延长线于点C，且2AB，1AD，P点在切线CD上移动.当APB的度数最大时，则ABP的度数为（ ）

A. 15° B. 30° C. 60° D. 90°

5、（山西，9，2分）如图，AB是⊙O的直径，C．D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（ ）

A． 40° B． 50° C．60° D．70°

6、（•嘉兴第4题）如图，AB是⊙0的弦，BC与⊙0相切于点B，连接OA、OB．若∠ABC=70°，则∠A等于（ ）

A．15° B．20° C．30° D．70°

7、(•扬州)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D．(1)求证：AC平分BAD；(2)若AC＝2，CD＝2，求⊙O的直径．

8、(湖北随州，23，10分) 如图，已知直角梯形ABCD，∠B=90°，AD∥BC，并且AD+BC=CD，O为AB的中点.

（1）求证：以AB为直径的⊙O与斜腰CD相切； 第6题 第4题 第5题 第1题 第2题 第3题

2 / 5 （2）若OC=8cm，OD=6cm，求CD的长.

9、（湖南衡阳市，26，8）如图，AB是⊙O的直径，动弦CD垂直AB于点E，过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F，若AB=10cm．

（1）求证：BF是⊙O的切线．

（2）若AD=8cm，求BE的长．

（3）若四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD为何种四边形？并说明理由．

10、(•扬州)如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．

(1)①直接写出点E的坐标： ．

②求证：AG＝CH． (2)如图2，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA与D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式．

(3)在(2)的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．

问题1：

考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质。

分析： （1）连接OD．欲证AC是⊙O的切线，只需证明AC⊥OD即可；

（2）利用平行线截线段成比例推知=；然后将图中线段间的和差关系代入该比例式，通过解方程即可求得r的值，即⊙O的半径r的值．

3 / 5 解答： （1）证明：连接OD．

∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB（等角对等边）；

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ODB=∠DBC（等量代换），

∴OD∥BC（内错角相等，两直线平行）；

又∵∠C=90°（已知），∴∠ADO=90°（两直线平行，同位角相等），

∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切线；

（2）解：由（1）知，OD∥BC，∴=（平行线截线段成比例）， ∴=，解得r=，即⊙O的半径r为．

点评： 本题综合考查了切线的判定、平行线截线段成比例等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

问题2：

考点： 切线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理。

分析： (1)连接OD，根据切线的性质以及BH⊥EF，即可证得OD∥BC，然后根据等边对等角即可证得；

(2)过点O作OG⊥BC于点G，则利用垂径定理即可求得BG的长，然后在直角△OBG中利用勾股定理即可求解．

解答： (1)证明：连接OD，

∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF，

又∵BH⊥EF，∴OD∥BH，∴∠ODB＝∠DBH，

∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD∴∠OBD＝∠DBH，∴BD平分∠ABH．

(2)解：过点O作OG⊥BC于点G，则BG＝CG＝4，

在Rt△OBG中，OG＝＝＝．

点评： 本题考查了切线的性质定理，以及勾股定理，注意到OD∥BC是关键．

（四）自我体会：

1、【解析】因为PA、PB是⊙o的切线，所以PA=PB，OA⊥PA，又因∠P=46∘，所以∠PAB=67∘，所以∠BAC=∠OAP-∠PAB=90∘-67∘=23∘，

【答案】23∘

【点评】当圆外一点向圆引两条切线，可以利用切线长定理及切线的性质定理，利用等腰三角形的性质及及垂直的性质来计算角的度数.

2、 考点： 切线的性质；多边形内角与外角；圆周角定理。

专题： 计算题。

分析： 连接OA，OB，由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠ACB的度数求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．

解答： 解：连接OA，OB，如图所示：

∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，

又∵圆心角∠AOB与圆周角∠ACB都对，且∠ACB＝70°，

∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，则∠P＝360°－(90°＋90°＋140°)＝40°．故答案为：40°

点评： 此题考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，连接OA与OB，熟练运用性质及定理是解本题的关键．

3、【答案】1或5。

【考点】直线与圆相切的性质，含300角直角三角形的性质。

【分析】如图，设⊙O移动到⊙O1，⊙O2位置时与PA相切。

当⊙O移动到⊙O1时，∠O1DP=900。

∵∠APB=300，O1D=1，∴PO1=2。∵OP=3，∴OO1=1。

当⊙O移动到⊙O2时，∠O2EP=900。

∵∠APB=300，O2D=1，∴∠O2PE=300，PO2=2。

∵OP=3，∴OO1=5。

综上所述，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为1cm或5 cm。

4、【考点】切线的性质；三角形的外角性质；圆周角定理．

【分析】连接BD，有题意可知当P和D重合时，∠APB的度数最大，利用圆周角定理和直角三角形的性质即可求出∠ABP的度数．

【解答】解：连接BD，∵直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D，∴∠ADB=90°，

当∠APB的度数最大时，则P和D重合，∴∠APB=90°，

∵AB=2，AD=1，∴sin∠DBP=AD/AB =1/2 ，∴∠ABP=30°，

∴当∠APB的度数最大时，∠ABP的度数为30°．故选B．

4 / 5 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理以及解直角三角形的有关知识，解题的关键是有题意可知当P和D重合时，∠APB的度数最大为90°．(圆内角＞圆周角＞圆外角)

5、【解析】解：连接OC，如图所示：

∵圆心角∠BOC与圆周角∠CBD都对，∴∠BOC=2∠CBD，又∠CDB=20°，

∴∠BOC=40°，又∵CE为圆O的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE=90°，

则∠E=90°﹣40°=50°．故选B

【点评】本题主要考查了圆的切线的性质、同圆中同弧所对的圆周角相等及等边对等角等性质；解决本题的关键是熟悉圆中常见辅助线作法及相关性质.难度中等．

6、

考点： 切线的性质。

分析： 由BC与⊙0相切于点B，根据切线的性质，即可求得∠OBC=90°，又由∠ABC=70°，即可求得∠OBA的度数，然后由OA=OB，利用等边对等角的知识，即可求得∠A的度数．

解答： 解：∵BC与⊙0相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，

∵∠ABC=70°，∴∠OBA=∠OBC﹣∠ABC=90°﹣70°=20°，

∵OA=OB，∴∠A=∠OBA=20°．故选B．

点评： 此题考查了切线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意圆的切线垂直于经过切点的半径定理的应用．

7、

考点： 切线的性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。

专题： 计算题。

分析： (1)连接OC，根据切线的性质判断出AD∥OC，得到∠DAC＝∠OCA，再根据OA＝OC得到∠OAC＝∠OCA，

可得AC平分∠BAD．

(2)连接BC，得到△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质即可求出AB的长．

解答： 解：(1)如图：连接OC，

∵DC切⊙O于C，∴AD⊥CD，∴∠ADC＝∠OCF＝90°，∴AD∥OC，

∴∠DAC＝∠OCA，

∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，即AC平分∠BAD．

(2)连接BC．

∵AB是直径，∴∠ACB＝90°＝∠ADC，

∵∠OAC＝∠OCA，∴△ADC∽△ACB，∴， 在Rt△ADC中，AC＝2，CD＝2，∴AD＝4，∴，∴AB＝5．

8、解析:（1）过AB的中点O作OE⊥CD于E.证明OE的长等于半径即可.（2）证明∠COD=900，运用勾股定理求值..

答案:证明： 过AB的中点O作OE⊥CD于E.

S梯形ABCD=21(AD+BC)

•AB=(AD+BC) •OA=2(21AD•OA+21BC•OB)

=2(S⊿OAD +S⊿OBC)

由S梯形ABCD =S⊿OBC+ S⊿OAD+ S⊿OCD∴S⊿OBC+ S⊿OAD=S⊿OCD