第11章 数的开方
课程内容标准
1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示．
2.了解平方与开平方、立方与开立方互为逆运算，会用平方、立方的运算求某些数的平方根与立方根，会用计算器求一个非负数的算术平方根及任意一个数的立方根．.
3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应．
4.能估计无理数的大小，培养估算能力，会进行简单的实数运算．
单元教学分析
§11.1 平方根与立方根
1.注意与平方、立方运算的联系与转化；
2.注重对基本概念的理解与应用，熟悉必要的数学语言；
3.重视计算器的使用及对估算的教学，防止对学生提出繁难的数字计算要求；
4.注意把握好对已出现无理数的处理.
§11.2 实数与数轴
1.让学生感知无理数的存在，数系扩展的必要.
2.初步理解和接受实数与数轴上的点一一对应的思想.
3.理解和接受有理数范围内相关概念和运算法则的自然延伸.
11.1.1 平方根（1）
教学内容
教科书P.2——P.3的内容
教学目标：
1、理解平方根的概念；
2、认识平方与开平方的关系；
3、会用平方根的概念求某些数的平方根。
教学重点：平方根的概念和开平方运算。
教学难点：平方根的概念；利用平方根和平方的关系解题。
教学过程：
一、复习引入
1、我们将要学习的第12章叫：数的开方，那什么叫“数的开方”呢？我们已学过哪些数的运算?
(加、减、乘、除、乘方5种)
2、你能写出这些运算的符号吗？请举例说明。如一个正方形的边长是5米，它的面积是多少?其运算是什么运算? (面积25平方米，运算是乘方运算)
3、加法与减法这两种运算之间有什么关系?乘法与除法之间呢?(均为互逆运算)
二、创设问题情境，解决问题
1、请同学们欣赏本章导图，如果要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？这里该用哪种运算呢？
通常这类不易直接列算式计算的问题，我们常用方程解决：设边长为xcm，则有x2=25，显然应取x=5。这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25。
知识点1：实数的概念
1、无限不循环的小数叫做无理数．
注意：
1)整数和分数统称为有理数；
2)圆周率π是一个无理数．
2、无理数也有正、负之分．
如2、、0.101001000100001等这样的数叫做正无理数；
2、、0.101001000100001这样的数叫做负无理数；
只有符号不同的两个无理数，如2与2，与，称它们互为相反数．
实数、数的开方
知识结构
模块一 实数的概念和分类
知识精讲 3、有理数和无理数统称为实数．
（1）按定义分类
整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数
（2）按性质符号分类
0正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数
【例1】 写出下列各数中的无理数：
3.1415926，2，16，.0.5，0，23，0.1313313331…（两个1之间依次多一个3），0.2121121112．
【答案】2、0.1313313331…．
【解析】无限不循环小数都是无理数．
【总结】考查无理数的概念．
【例2】 判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示．
（1）无限小数都是无理数． （ ）
（2）无理数都是无限小数． （ ）
（3）带根号的数都是无理数． （ ）
（4）不带根号的数一定不是无理数． （ ）
【答案】（1）×； （2）√； （3）×； （4）×．
【解析】（1）无限不循环小数才是无理数；（2）无理数是无限不循环小数当然是无限小数；
（3）开方开不尽的数是无理数；（4）没带根号但是无理数．
【总结】考查无理数的概念及无理数与小数的关系．
【例3】 a是正无理数与a是非负无理数这两种说法是否一样?为什么．
【答案】一样． 例题解析 【解析】a是非负无理数实质上就是说a是正无理数，因为0不是无理数．
第六章 实 数
教材简析
本章的内容包括：平方根、立方根、实数．
在学习了有理数的基础上,加强与实际的联系,从现实世界中抽象出一种不同于有理数的数,即无理数,开平方运算与开立方运算也是实际中经常用到的两种运算；注意将新旧知识进行联系与类比,数的范围由有理数扩充到实数,与有理数有关的运算法则、运算律、运算顺序在实数范围内都仍然适用．
在中考中,本章的考点有平方根、立方根的定义及运算,实数的运算及大小比较等,考查基本概念及基本计算．
教学指导
【本章重点】
平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数的有关概念和运算．
【本章难点】
对无理数意义的理解、用有理数估计无理数的方法及实数与数轴上点的对应关系．
【本章思想方法】
1．体会分类的数学思想,如：对实数进行分类．
2．掌握分类讨论思想,如：由于一个正数的平方根有两个,且这两个数互为相反数,因此与平方根有关的题目往往需要进行分类讨论．
3．掌握转化思想,如：学习了平方根和立方根后,运用转化思想将某些二次方程、三次方程转化为求平方根、立方根的问题求解．
4．体会数形结合思想,如：数的范围由有理数扩充到实数,实数与数轴上的点建立了一一对应关系,这样可以通过观察“形”的特点,解答一些关于实数的比较抽象的问题．
课时计划
6．1 平方根3课时
6．2 立方根1课时
6．3 实 数1课时
6．1 平方根
第1课时 算术平方根
教学目标
一、基本目标 【知识与技能】
1．了解算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根．
2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根．
3．了解算术平方根的性质．
【过程与方法】
加强概念形成过程的教学,提高学生的思维水平,鼓励学生进行探索和交流,培养他们的创新意识和合作精神．
【情感态度与价值观】
通过对实际生活中问题的解决,让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的,通过探究活动培养动手能力和激发学生学习数学的兴趣．
二、重难点目标
初一数学用计算器进行数的开方试题
1. 用计算器计算：（结果保留4个有效数字）
，＝ ，＝
.
【答案】177.2，0.7861，0.08159
【解析】此题主要考查了利用计算器求算术平方根、平方根、立方根
首先熟悉开方的按键顺序，然后即可利用计算器求算术平方根、平方根、立方根，并保留四个有效数字．
，，
解答本题的关键是注意有效数字的定义：在一个近似数中，从左边第一个不是0的数字起，到精确到末位数止，所有的数字，都叫这个近似数字的有效数字．
2. 的值为 （ ）
A．3.049 B．3.050 C．3.051 D．3.054
【答案】B
【解析】此题主要考查了利用计算器求立方根
首先熟悉开方的按键顺序，然后即可利用计算器求立方根．
解答本题的关键是掌握好开方的按键顺序。
3. 利用计算器计算（结果精确到0.01）
（1）；（2）；（3）；（4）－
【答案】（1）1.41（2）0.73（3）－12.5（4）－10.25
【解析】此题主要考查了利用计算器求算术平方根、立方根
首先熟悉开方的按键顺序，然后即可利用计算器求算术平方根、立方根，并精确到0.01．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）－
解答本题的关键是熟练使用计算器。
4. 利用计算比较与的大小；
【答案】＜
【解析】本题主要考查了利用计算器比较数的大小关系
利用计算器分别计算出各个数的近似值，通过比较近似值即可确定．
利用计算器可以得到：≈1.442，≈2.232，则。
解决本题的关键是正确计算各个数的近似值．
5. 任意找一个正数，利用计算器对它进行不断的开算术平方根运算，你发现了什么？
【答案】结果为1
【解析】此题主要考查了算术平方根的定义及性质
由于正数的算术平方根仍是正数，且两个正数绝对值大的就大，由此即可得到结果．
∵正数的算术平方根仍是正数，且两个正数绝对值大的就大，
∴结果越来越趋向1．
解答本题的关键是掌握好算术平方根的定义及性质。
