数学建模题目t

数学建模数学应用题一、汽车行驶问题：问题：一辆汽车从A地出发，以每小时60公里的速度向B地行驶。

汽车在行进过程中，每隔2小时休息10分钟。

请问，从A地到B地的行程需要多长时间？解决方案：假设汽车从A地出发后行驶$t$小时到达B地，那么汽车行驶的总时间可以表示为：总时间 = 行驶时间 + 休息时间行驶时间：汽车每小时行驶60公里，所以行驶时间为$t$小时。

休息时间：汽车每隔2小时休息10分钟，所以休息时间可以表示为$\frac{{t}}{{2}} \times10$分钟，换算成小时为$\frac{{t}}{{2}} \times \frac{{10}}{{60}}$小时。

将行驶时间和休息时间代入总时间的公式中，得到：总时间 = $t + \frac{{t}}{{2}} \times \frac{{10}}{{60}}$根据题目要求，总时间为从A地到B地的行程时间，将总时间设为目标函数$T$。

则有：$T = t + \frac{{t}}{{2}} \times \frac{{10}}{{60}}$二、物体自由落体问题：问题：一颗子弹从高度为$h$的地方射击，以速度$v$垂直向上射击。

已知重力加速度为$g$，求子弹到达最高点的时间。

解决方案：根据题意，子弹以初速度$v$向上射击，所以子弹在上升过程中受到重力的影响，速度逐渐减小，最终停止上升并开始下降。

设子弹到达最高点的时间为$t$，则子弹在$t$时间内，上升的距离可以表示为：上升距离 = 初速度$\times$时间 - $\frac{1}{2} \times g \times t^2$因为子弹到达最高点时速度为0，所以可以得到方程：初速度 - g$\times$t = 0解上述方程，可以得到$t = \frac{v}{g}$所以，子弹到达最高点的时间为$\frac{v}{g}$。

1. 问题描述：某城市的交通网络由多个路口和道路组成。

每个路口都有一个繁忙程度指标，表示该路口的交通流量。

现在需要选取一个路口作为交通枢纽，使得离该路口最近的其他路口的平均距离最短。

请设计一个数学模型，并找出最佳的交通枢纽路口。

2. 问题描述：某公司有多个产品线，每个产品线的市场需求量不同，并且不断变化。

公司想要确定产量的分配策略，使得总成本最小。

已知每个产品线的生产成本和市场需求，以及各个产品线的最大产能。

请设计一个数学模型，并确定最优的产量分配方案。

3. 问题描述：一家快递公司需要设计一个最优的快递路线，以便在规定时间内完成所有快递的派送任务。

已知快递员的工作时间、快递的数量和派送地点之间的距离。

请建立一个数学模型，确定最佳的快递路线，使得总路程最短。

4. 问题描述：某公司的生产线上有多个工序，每个工序的加工时间和工人数量都不同。

公司想要确定每个工序的工人数量，以保证整个生产线的产量最大。

请设计一个数学模型，并找出最佳的工人分配方案。

5. 问题描述：某城市的垃圾处理中心需要合理安排垃圾运输车辆的路线，以最小化运输成本。

已知垃圾产生的位置、垃圾处理中心的位置、路网的拓扑结构以及各路段的运输成本。

请建立一个数学模型，确定最佳的垃圾运输车辆路线，使得总运输成本最小。

数学建模与应用案例练习题数学建模是将实际问题转化为数学问题，并通过数学方法和计算机技术求解的过程。

它在各个领域都有着广泛的应用，能够帮助我们更好地理解和解决现实中的复杂问题。

下面我们将通过一些具体的案例练习题来深入了解数学建模的方法和应用。

案例一：生产计划优化问题某工厂生产 A、B 两种产品，生产 A 产品每件需要消耗 2 个单位的原材料和 3 个单位的工时，生产 B 产品每件需要消耗 3 个单位的原材料和 2 个单位的工时。

工厂现有 100 个单位的原材料和 80 个单位的工时，A 产品的单位利润为 5 元，B 产品的单位利润为 4 元。

问如何安排生产计划，才能使工厂获得最大利润？首先，我们设生产 A 产品 x 件，生产 B 产品 y 件。

那么，目标函数就是利润最大化，即 Z ＝ 5x ＋ 4y。

然后，我们需要考虑约束条件。

原材料的限制为 2x ＋3y ≤ 100，工时的限制为 3x ＋2y ≤ 80，同时 x、y 都应该是非负整数。

接下来，我们可以使用线性规划的方法来求解这个问题。

通过绘制可行域，找到目标函数在可行域上的最大值点。

经过计算，我们可以得出当 x ＝ 20，y ＝ 20 时，工厂能够获得最大利润 180 元。

这个案例展示了数学建模在生产决策中的应用，通过合理地安排生产计划，能够有效地提高企业的经济效益。

案例二：交通流量预测问题在一个城市的某个十字路口，每天不同时间段的车流量不同。

我们收集了过去一段时间内每天各个时间段的车流量数据，希望建立一个数学模型来预测未来某一天的车流量。

首先，我们对收集到的数据进行分析，发现车流量具有一定的周期性和季节性变化。

然后，我们可以选择使用时间序列分析的方法来建立模型。

比如，可以使用 ARIMA 模型（自回归移动平均模型）。

在建立模型之前，需要对数据进行预处理，包括平稳性检验、差分处理等。

通过建立合适的 ARIMA 模型，并进行参数估计和检验，我们就可以利用这个模型对未来的车流量进行预测。

数学建模练习题1.1.线性规划题目问题1：毛坯切割问题用长度为500厘米的材料，分别截成长度为98厘米和78厘米的两种毛坯，要求截出长度98厘米的毛坯1000根，78厘米的毛坯2000根，问怎样去截，才能是所用的原材料最少，试建立数学模型。

问题2：进货收获问题某商店你制定某种商品7－12月的进货、售货计划，已知商品仓库最大容量为1500件，6月底已经库存300件，年底不少于300件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进和售出的价格如下表所示，若每件每月库存费为0.5元，问各月进货，售货多少件，才能是净收益最多。

试建立数学模型。

问题3：货船装货问题某货船的载重量为12000吨，总容积为45000立方米，冷藏容积为3000立方米，可燃性指数的总和不得超过7500，准备装6中货物，每种货物的单价、重量、体积和可燃性指数如下表：1.2.微分方程题目问题1. 什么时候开始下雪？早晨开始下雪，整天稳降不停。

正午一辆扫雪车开始扫雪，每小时扫雪量按体积计为一常数。

到下午2时它清扫了两公里，到下午4时又清扫了1公里，问雪是什么时候开始下的？问题2. 谁喝的咖啡热一些？总统与首相面前同时送上同温度的热咖啡。

总统在送到咖啡后立即加上一点冷奶油，等了10分钟才喝；首相则等了10分钟后添加等量的冷奶油开始喝，问谁喝的咖啡热一些？问题3. 需冷却多久？一位稀里糊涂的咖啡泡煮师，想让水达到185o F，可他几乎总是忘记这一点而把水煮开。

温度计又坏了，他要你计算一下，从212o F冷却到185o F要等多少时间，你能解决他的问题吗？问题4. 纽约的人口如果不考虑移民与高杀人率，纽约城的人口将满足方程，其中t 以年度量。

(1)事实上，每年有6000人从该城迁出，又有4000人被杀，试修正上面方程。

(2)已知1970年纽约城人口为800万，求未来任何时刻的人口，且求时的极限。

问题5.开火的最优距离A 方反坦克导弹与B 方坦克之间进行战斗。

‘牡丹江师范学院期末考试试题库科目：数学模型与数学实验年级：2006 学期：2008-2009-2 考核方式：开卷命题教师：数学模型与数学实验课程组一、解答题：（每小题30分）x=[0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.2 0.21 0.23]';n=length(x)X=[ones(n,1) x];Y=[42 43.5 45 45.5 45 47.5 49 53 50 55 55 60]';[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X);b,bint,stats% 预测y=b(1)+b(2)*x%E误差平方和E=sum((Y-y).^2)参考结果：回归直线：ˆ28.4928130.8348=+y x误差平方和：17.4096是否重点：重点难易程度：中知识点所在章节：第十六章第一节检查数据中有无异常点、由x的取值对y作出预测。

解：参考程序(t2.m)：x=[0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.2 0.21 0.23]';Y=[42.0 41.5 45.0 45.0 45 47.5 49.0 55.0 50.0 55.0 55.5 60.5]'; scatter(x,Y);n=length(x)X=[ones(n,1) x];b,bint,stats %残差图 rcoplot(r,rint) % 预测y=b(1)+b(2)*x%剔除异常点重新建模 X(8,:)=[]; Y(8)=[];[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); b,bint,stats,rcoplot(r,rint) 结果和图：b =27.0269 140.6194 bint =22.3226 31.7313 111.7842 169.4546 stats =0.9219 118.0670 0.0000结果分析：由20.9226,119.2528,P =0.0000R F ==知，2R 接近1，10.5(1,10)F F ->，0.05P <，故x 对y 的影响显著，回归模型可用。

一、人体重变化某人的食量是10467焦/天，最基本新代要自动消耗其中的5038焦/天。

每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克•天）乘以他的体重（千克）。

假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。

试研究此人体重随时间变化的规律。

一、问题分析人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间体重W的变化值列出微分方程。

二、模型假设1、以脂肪形式贮存的热量100%有效2、当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存3、假设体重的变化是一个连续函数4、初始体重为W0三、模型建立假设在△t时间：体重的变化量为W（t+△t）-W(t)；身体一天的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t））将其乘以△t即为一小段时间剩下的热量；转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt；四、模型求解d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686W(0)=W0解得：5429-69W=（5429-69W0）e(-69t/41686)即：W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e(-69t/41686)当t趋于无穷时，w=81;二、投资策略模型一、问题重述一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。

5年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。

在策划下一个5年计划时，这家公司评估在年i 的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车，将有净成本a ij（购入价减去折旧加上运营和维修成本）。

以千元计数a ij的由下面的表给出：请寻找什么时间买进和卖出汽车的最便宜的策略。

二、问题分析本问题是寻找成本最低的投资策略，可视为寻找最短路径问题。

因此可利用图论法分析，用Dijkstra算法找出最短路径，即为最低成本的投资策略。

2、如果连续复利时，以什么利率才能使本金在8年内变成3倍？1、在每半年复利一次的情况下，以8%的利率，需要经过多长时间才能使现值增到2.5倍？3、连续收益流量每年按80万元持续5年，若以年利率5%贴现，其现值应是多少？T=11.68年r=13.73%55%00S 80353.92t e dt -==⎰8003S S re =4、某汽车使用寿命为10年，若购买此车需35000元，若租用此车每年租金为7200元，若资金的年利率为14%，按连续复利计算，问买车与租车哪一种方式合算。

计算租车资金流量总值的现值，然后与购买费相比。

租车租金流量总值的现值为所以买车比租车合算。

002.5S S +=2T0.08（1）2101014141172003875635000i i i i i S e e -%-%==≈>=∑∑5、一商家销售某种商品的价格满足关系x p 2.07-=(万元/吨)，x 为销售量(单位：吨)；商品的成本函数是C =3x +1(万元)。

(1) 若每销售一吨商品，政府要征税t (万元)，求该商家获最大利润时商品的销售量；(2) t 为何值时，政府税收总额最大。

6、已知某企业生产的商品的需求弹性为1.2，如果该企业准备明年将价格降低15%，问这种商品的销量预期会增长多少？总收益会增长多少？2'5(2) 10 0 22T tx t t T t ==-=⇒=R18%,3%R Q Q∆∆==令2(70.2)31(4)0.21Px C Tx x x tx t x x --=----=---'''5()0,()0102L x L x x t=<⇒=-（1）利润L(x)=7、某消费者打算购买两种商品q 1和q 2，他的预算约束是240元，两种商品的单价分别是10元和2元,其效用函数为U=q 1q 2,消费者的最优商品组合是什么？一元钱的边际效用是多少？8、效用函数U (q 1,q 2) 应满足的条件是以下的A,B 之一：A. U (q 1,q 2) =c 所确定的函数q 2=q 2(q 1)单调减、下凸；0,0,0,0,0.B 21222221221>∂∂∂<∂∂<∂∂>∂∂>∂∂q q Uq U q U q U q U AB ⇒证明：对U (q ,q 2) =c 两端求q 1的一阶导和二阶导12102240q q +=1212MU MU P P =1212,60q q ==解建立方程组得解出一元钱边际效用为610、在确定性存贮模型中，在费用中增加购买货物本身的费用，确定不允许缺货的最优订货周期和订货批量。

数学建模与优化考试试题题目一：某市的公交公司需要对公交车的发车时间进行调整，以满足市民的出行需求，并尽量减少公交车的等待时间和拥挤情况。

为了有效地解决这个问题，我们使用数学建模和优化的方法进行分析。

1. 问题描述某市公交车的运营时间为早上6点至晚上10点，每天间隔一段固定的时间发车。

公交车站点数量为M，每个站点的上下客时间为Ti。

现有数据显示，在早高峰时段（7点至9点）和晚高峰时段（17点至19点）市民出行需求较大，其他时间段市民出行需求较小。

公交公司希望尽量减少市民的等待时间和公交车的拥挤情况，提高出行效率。

因此，需要调整公交车的发车时间以适应市民的出行需求。

2. 模型建立建立一个数学模型来分析最优的公交车发车时间。

首先，我们将问题简化为一个最小化等待时间和最小化拥挤度的目标函数。

然后，通过对每个站点发车时间的调整，最大限度地优化这个目标函数。

3. 数据收集与分析为了准确建立模型，需要收集和分析以下数据：- 各个站点在早高峰时段和晚高峰时段的平均上下客时间；- 各个站点在各个时间段的客流量统计数据；- 公交车到站时间的统计数据。

4. 模型求解利用收集到的数据和已经建立的数学模型，可以通过数学优化算法求解最优的公交车发车时间。

该算法将最小化等待时间和拥挤度作为目标函数，并考虑到市民出行需求的变化。

5. 结果分析与改进根据模型求解的结果，可以进行结果分析，并对公交车发车时间进行进一步的调整和优化。

同时，还可以对模型进行改进，如引入更多的因素，如天气、节假日等。

题目二：某工厂需要优化生产线的排布和生产策略，以提高生产效率和降低成本。

为了完成这个任务，我们使用数学建模和优化的方法进行分析。

1. 问题描述该工厂的生产线包括多个工作站，每个工作站都有不同的生产能力和工作时间。

目前，生产线的排布和生产策略并不完善，导致生产效率低下和成本较高。

工厂希望通过优化生产线的排布和生产策略，提高生产效率，降低成本。

2. 模型建立建立一个数学模型来分析最优的生产线排布和生产策略。

09级数模试题1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。

试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。

〔15分〕解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否认的。

因此对这个问题我们假设：〔1〕地面为连续曲面〔2〕长方形桌的四条腿长度一样〔3〕相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的〔4〕方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。

那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。

现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。

以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如下图，方桌的四条腿分别在A、B、C、D处，A、、D的初始位置在及x轴平行，再假设有一条在x轴上的线,那么也及A、B，C、D平行。

当方桌绕中心0旋转时，对角线及x轴的夹角记为θ。

容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。

为消除这一不确定性，令()gθ为fθ为A、B离地距离之与，() C、D离地距离之与，它们的值由θ唯一确定。

由假设〔1〕，()gθfθ,()均为θ的连续函数。

又由假设〔3〕，三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立〔∀θ〕。

不妨设(0)0f =(0)0g >〔假设(0)g 也为0，那么初始时刻已四条腿着地，不必再旋转〕，于是问题归结为： ()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。

证明：当θ=π时，及互换位置，故()0f π>，()0g π=。

作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。