高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7节双曲线学案理北师大版

第七节双曲线错误!１．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线（１）在平面内；（２）动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；（３）这一定值一定要小于两定点的距离．２．双曲线的标准方程和几何性质标准方程错误!—错误!＝１（a>0，b>0）错误!—错误!＝１（a>0，b>0）图形性质范围x≥a或x≤—a，y∈R x∈R，y≤—a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A１（—a,0），A２（a,0）A１（0，—a），A２（0，a）渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝错误!，e∈（１，＋∞），其中c＝错误!实虚轴线段A１A２叫作双曲线的实轴，它的长|A１A２|＝２a；线段B１B２叫作双曲线的虚轴，它的长|B１B２|＝２b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长．a、b、c的关系c２＝a２＋b２（c>a>0，c>b>0）１．双曲线的定义中易忽视２a＜|F１F２|这一条件．若２a＝|F１F２|，则轨迹是以F１，F２为端点的两条射线，若２a＞|F１F２|则轨迹不存在．２．双曲线的标准方程中对a、b的要求只是a＞0，b＞0易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈（１，错误!）；若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝错误!；若0＜a＜b，则双曲线的离心率e＞错误!.３．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a、b、c关系，在椭圆中a２＝b２＋c２，而在双曲线中c２＝a２＋b２.４．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±错误!，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±错误!.[试一试]１．双曲线y２—x２＝２的渐近线方程是（）Ａ．y＝±xＢ．y＝±错误!xＣ．y＝±错误!xＤ．y＝±２x解析：选A 由题意知错误!—错误!＝１，y＝±x.２．已知双曲线C：错误!—错误!＝１的焦距为１0，点P（２,１）在C的渐近线上，则C的方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１解析：选A 由已知可得双曲线的焦距２c＝１0，a２＋b２＝５２＝２５，排除C，D，又由渐近线方程为y＝错误!x＝错误!x，得错误!＝错误!，解得a２＝２0，b２＝５．１．待定系数法求双曲线方程的常用方法（１）与双曲线错误!—错误!＝１共渐近线的可设为错误!—错误!＝λ（λ≠0）；（２）若渐近线方程为y＝±错误!x，则可设为错误!—错误!＝λ（λ≠0）；（３）若过两个已知点则设为错误!＋错误!＝１（mn<0）．２．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝错误!⇔双曲线的两条渐近线互相垂直（位置关系）．３．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b４．渐近线与离心率错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的一条渐近线的斜率为错误!＝错误!＝错误!＝错误!.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．[练一练]１．（２0１３·福建高考）双曲线错误!—y２＝１的顶点到其渐近线的距离等于（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选C 双曲线错误!—y２＝１的渐近线方程为y＝±错误!，即x±２y＝0，所以双曲线的顶点（±２,0）到其渐近线距离为错误!＝错误!.２．（２0１３·云南模拟）已知F（c,0）是双曲线C：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的右焦点，若双曲线C的渐近线与圆E：（x—c）２＋y２＝错误!c２相切，则双曲线C的离心率为________．解析：依题意得，圆心F（c,0）到渐近线的距离等于错误!c，即有b＝错误!c（注：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于其虚半轴长），c２＝２b２＝２（c２—a２），c２＝２a２，错误!＝错误!，即双曲线C的离心率为错误!.答案：错误!错误!考点一双曲线的定义及标准方程１．设F１，F２是双曲线x２—错误!＝１的两个焦点，P是双曲线上的一点，且３|PF１|＝４|PF２|，则△PF１F２的面积等于（）Ａ．４错误!Ｂ．8错误!Ｃ．２４Ｄ．４8解析：选C 双曲线的实轴长为２，焦距为|F１F２|＝２×５＝１0．据题意和双曲线的定义知，２＝|PF|—|PF２|＝错误!|PF２|—|PF２|＝错误!|PF２|，１∴|PF２|＝6，|PF１|＝8．∴|PF１|２＋|PF２|２＝|F１F２|２，∴PF１⊥PF２，＝错误!|PF１|·|PF２|＝错误!×6×8＝２４．∴S△PF１F２２．已知F１，F２为双曲线错误!—错误!＝１的左、右焦点，P（３,１）为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|＋|AF２|的最小值为（）Ａ．错误!＋４Ｂ．错误!—４Ｃ．错误!—２错误!Ｄ．错误!＋２错误!解析：选C |AP|＋|AF２|＝|AP|＋|AF１|—２a，要求|AP|＋|AF２|的最小值，只需求|AP|＋|AF１|的最小值，当A，P，F１三点共线时，取得最小值，则|AP|＋|AF１|＝|PF１|＝错误!，∴|AP|＋|AF２|＝|AP|＋|AF１|—２a＝错误!—２错误!.３．（２0１３·广东高考）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（３,0），离心率等于错误!，则C 的方程是（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１解析：选B 由题意可知c＝３，a＝２，b＝错误!＝错误!＝错误!，故双曲线的方程为错误!—错误!＝１．[类题通法]１．应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点（动点）具备的几何条件，即“到两定点（焦点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．２．求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a、b、c的关系易错易混．考点二渐近线与离心率问题双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点.归纳起来常见的命题角度有：１已知离心率求渐近线方程；２已知渐近线求离心率；３已知离心率确定渐近线夹角问题；４利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围.角度一已知离心率求渐近线方程１．（２0１３·新课标卷Ⅰ）已知双曲线C：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的离心率为错误!，则C的渐近线方程为（）Ａ．y＝±错误!xＢ．y＝±错误!xＣ．y＝±错误!xＤ．y＝±x解析：选C ∵e２＝错误!＝错误!＝１＋错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，∴y＝±错误! x.角度二已知渐近线求离心率２．设双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线y＝x２＋１只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．５Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选D 设双曲线的一条渐近线方程为y＝kx，由题可知这条直线与抛物线y＝x２＋１相切，联立错误!整理得x２—kx＋１＝0，则Δ＝k２—４＝0，解得k＝±２，即错误!＝２，故双曲线的离心率e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.角度三由离心率研究渐近线夹角问题３．已知双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的离心率e＝错误!，则一条渐近线与实轴所成锐角的值是________．解析：∵e＝错误!，∴e２＝２，即错误!＝２，又c２＝a２＋b２，∴错误!＝１, 即错误!＝１，∴一条渐近线与实轴所成锐角的值是错误!.答案：错误!角度四利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围４．（２0１３·惠州模拟）已知双曲线错误!—错误!＝１与直线y＝２x有交点，则双曲线离心率的取值范围为（）Ａ．（１，错误!）Ｂ．（１，错误!]Ｃ．（错误!，＋∞）Ｄ．[错误!，＋∞）解析：选C ∵双曲线的一条渐近线方程为y＝错误!x，则由题意得错误!＞２，∴e＝错误!＝错误!＞错误!＝错误!.[类题通法]解决渐近线与离心率关系的问题方法（１）已知渐近线方程y＝mx，若焦点位置不明确要分m＝错误!或m＝错误!讨论．（２）注意数形结合思想在处理渐近线夹角，离心率范围求法中的应用．考点三直线与双曲线的位置关系[典例] （２0２错误!，直线y＝kx—１与双曲线E的右支交于A，B两点．（１）求k的取值范围；（２）若|AB|＝6错误!，点C是双曲线上一点，且OC＝m（OA＋OB），求k，m的值．[解] （１）由错误!得错误!故双曲线E的方程为x２—y２＝１．设A（x１，y１），B（x２，y２），由错误!得（１—k２）x２＋２kx—２＝0．１∵直线与双曲线右支交于A，B两点，故错误!即错误!所以１＜k＜错误!.（２）由１得x１＋x２＝错误!，x１x２＝错误!，∴|AB|＝错误!·错误!＝２错误!＝6错误!，整理得２8k４—５５k２＋２５＝0，∴k２＝错误!或k２＝错误!.又１＜k＜错误!，∴k＝错误!，所以x１＋x２＝４错误!，y１＋y２＝k（x１＋x２）—２＝8．设C（x３，y３），由OC＝m（OA＋OB），得（x３，y３）＝m（x１＋x２，y１＋y２）＝（４错误!m,8m）．∵点C是双曲线上一点，∴80m２—6４m２＝１，得m＝±错误!.故k＝错误!，m＝±错误!.[类题通法]１．解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x（或y）的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入．２．与中点有关的问题常用点差法．注意：根据直线的斜率k与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．[针对训练]已知双曲线E的中心为原点，F（３,0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（—１２，—１５），则E的方程．解：设双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１（a>0，b>0），由题意知c＝３，a２＋b２＝9，设A （x １，y １），B （x ２，y ２），则有： 错误! 两式作差得：错误!＝错误!＝错误!＝错误!， 又AB 的斜率是错误!＝１，所以将４b ２＝５a ２代入a ２＋b ２＝9得a ２＝４，b ２＝５．所以双曲线的标准方程是错误!—错误!＝１．错误![课堂练通考点]１．（２0１３·北京高考）若双曲线错误!—错误!＝１ 的离心率为错误!，则其渐近线方程为（ ） Ａ． y ＝±２x Ｂ．y ＝±错误!x Ｃ． y ＝±错误!xＤ． y ＝±错误!x解析：选B 在双曲线中离心率e ＝错误!＝ 错误!＝错误!，可得错误!＝错误!，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±错误!x .２． （２0１４·哈师大附中模拟）与椭圆C ：错误!＋错误!＝１共焦点且过点（１，错误!）的双曲线的标准方程为（ ）Ａ．x ２—错误!＝１ Ｂ．y ２—２x ２＝１ Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—x ２＝１解析：选C 椭圆错误!＋错误!＝１的焦点坐标为（0，—２），（0,２），设双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１（m ＞0，n ＞0），则错误!解得m ＝n ＝２，故选Ｃ．３．设F １，F ２分别是双曲线x ２—错误!＝１的左、右焦点．若点P 在双曲线上，则1PF ·2PF ＝0，则|1PF |＋|2PF |＝（ ）Ａ．错误! Ｂ．２错误! Ｃ．错误!Ｄ．２错误!解析：选D ∵1PF ·2PF ＝0，∴1PF ⊥2PF ， ∴|1PF |２＋|2PF |２＝４0，又||1PF |—|2PF ||＝２a ＝２，∴||1PF |—|2PF ||２＝|1PF |２＋|2PF |２—２|1PF |×|2PF |＝４， ∴|1PF |×|2PF |＝１8，||1PF |＋|2PF ||２＝|1PF |２＋|2PF |２＋２|1PF |×|2PF |＝76， ∴|1PF |＋|2PF |＝２错误!.４． （２0１３·江苏高考）双曲线错误!—错误!＝１的两条渐近线的方程为________． 解析：令错误!—错误!＝0，解得y ＝±错误!x . 答案：y ＝±错误!x５． 已知双曲线的中心在原点，焦点F １、F ２在坐标轴上，离心率为错误!，且过点P （４，—错误!）． （１）求双曲线方程；（２）若点M （３，m ）在双曲线上，求证：1MF ·2MF ＝0； （３）求△F １MF ２的面积．解：（１）∵e ＝错误!，∴可设双曲线方程为x ２—y ２＝λ. ∵过点P （４，—错误!），∴１6—１0＝λ，即λ＝6． ∴双曲线方程为错误!—错误!＝１．（２）证明：法一：由（１）可知，双曲线中a ＝b ＝错误!， ∴c ＝２错误!.∴F １（—２错误!，0），F ２（２错误!，0）． ∴k MF １＝错误!，k MF ２＝错误!.k MF １·k MF ２＝错误!＝—错误!.∵点（３，m ）在双曲线上，∴9—m ２＝6，m ２＝３． 故k MF １·k MF ２＝—１．∴MF １⊥MF ２.∴1MF ·2MF ＝0．法二：∵1MF ＝（—３—２错误!，—m ）， 2MF ＝（２错误!—３，—m ）， ∴1MF ·2MF ＝（３＋２错误!）×（３—２错误!）＋m ２＝—３＋m ２.∵M 点在双曲线上，∴9—m ２＝6，即m ２—３＝0． ∴1MF ·2MF ＝0．（３）△F １MF ２的底|F １F ２|＝４错误!， △F １MF ２的高h ＝|m |＝错误!，∴S △F １MF ２＝6．[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷１．设P 是双曲线错误!—错误!＝１上一点，双曲线的一条渐近线方程为３x —２y ＝0，F １，F ２分别是双曲线的左，右焦点，若|PF １|＝３，则|PF ２|＝（ ）Ａ．１或５ Ｂ．6 Ｃ．7Ｄ．9解析：选C 由渐近线方程３x —２y ＝0，知错误!＝错误!.又b ２＝9，所以a ＝２，从而|PF ２|＝7． ２．（２0１３·四川高考）抛物线y ２＝４x 的焦点到双曲线x ２—错误!＝１的渐近线的距离是（ ） Ａ．错误! Ｂ．错误! Ｃ．１Ｄ．错误!解析：选B 因为抛物线的焦点坐标为（１,0），而双曲线的渐近线方程为y ＝±错误!x ，所以所求距离为错误!，故选Ｂ．３．（２0１３·深圳调研） 双曲线x ２—my ２＝１的实轴长是虚轴长的２倍，则m ＝（ ） Ａ．错误! Ｂ．错误! Ｃ．２Ｄ．４解析：选D 双曲线方程可化为x ２—错误!＝１， ∴实轴长为２，虚轴长为２ 错误!， ∴２＝２错误!，解得m ＝４．４． （２0１３·郑州模拟）如图所示，F １，F ２是双曲线错误!—错误!＝１（a ＞0，b ＞0）的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF １|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ，B ，且△F ２AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）Ａ．错误!＋１ Ｂ．错误!＋１ Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选B 连接AF １，依题意得AF １⊥AF ２，∠AF ２F １＝３0°，|AF １|＝c ，|AF ２|＝错误!c ，因此该双曲线的离心率e ＝错误!＝错误!＝错误!＋１，选Ｂ．５．（２0１３·武汉模拟）已知P 是双曲线错误!—错误!＝１（a ＞0，b ＞0）上的点，F １，F ２是其焦点，双曲线的离心率是错误!，且1PF ·2PF ＝0，若△PF １F ２的面积为9，则a ＋b 的值为（ ）Ａ．５Ｂ．6 Ｃ．7 Ｄ．8解析：选C 设c ＝错误!，则错误!＝错误!，∴a ＝错误!c ，∴b ＝错误!＝错误!c .∵1PF ·2PF ＝0（即PF １⊥PF ２），S △PF １F ２＝9，∴|PF １|·|PF ２|＝１8．∵错误!∴错误!两式相减得，２|PF １|·|PF ２|＝４b ２，∴b ２＝9，∴b ＝３，∴c ＝５，a ＝４，∴a ＋b ＝7．6． （２0１３·惠州模拟）已知双曲线错误!—错误!＝１（a >0，b >0）的一个焦点与抛物线y ２＝４错误!x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于错误!，则该双曲线的方程为________．解析：由已知可得抛物线y ２＝４错误!x 的焦点坐标为（错误!，0），a ２＋b ２＝１0．又双曲线的离心率e ＝错误!＝错误!，∴a ＝３，b ＝１，∴双曲线的方程为错误!—y ２＝１．答案：错误!—y ２＝１7．（２0１３·陕西高考） 双曲线错误!—错误!＝１的离心率为错误!，则m 等于________． 解析：错误!⇒错误!＝错误!⇒m ＝9．答案：98．（２0１３·石家庄模拟）F１，F２分别是双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左、右焦点，过F１的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF２是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．解析：如图，由双曲线定义得，|BF１|—|BF２|＝|AF２|—|AF１|＝２a，因为△ABF２是正三角形，所以|BF２|＝|AF２|＝|AB|，因此|AF１|＝２a，|AF２|＝４a，且∠F１AF２＝１２0°，在△F １AF２中，４c２＝４a２＋１6a２＋２×２a×４a×错误!＝２8a２，所以e＝错误!.答案：错误!9．设A，B分别为双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左，右顶点，双曲线的实轴长为４错误!，焦点到渐近线的距离为错误!.（１）求双曲线的方程；（２）已知直线y＝错误!x—２与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使OM＋ON＝t OD，求t的值及点D的坐标．解：（１）由题意知a＝２错误!，∴一条渐近线为y＝错误!x.即bx—２错误!y＝0．∴错误!＝错误!.∴b２＝３，∴双曲线的方程为错误!—错误!＝１．（２）设M（x１，y１），N（x２，y２），D（x0，y0），则x１＋x２＝tx0，y１＋y２＝ty0.将直线方程代入双曲线方程得x２—１6错误!x＋8４＝0，则x１＋x２＝１6错误!，y１＋y２＝１２．∴错误!∴错误!∴t＝４，点D的坐标为（４错误!，３）．１0．P（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线E：错误!—错误!＝１（a>0，b>0）上一点，M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为错误!.（１）求双曲线的离心率；（２）过双曲线E的右焦点且斜率为１的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足OC＝λOA＋OB，求λ的值．解：（１）由点P（x0，y0）（x≠±a）在双曲线错误!—错误!＝１上，有错误!—错误!＝１．由题意又有错误!·错误!＝错误!，可得a２＝５b２，c２＝a２＋b２＝6b２，则e＝错误!＝错误!.（２）联立错误!，得４x２—１0cx＋３５b２＝0，设A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!１设OC＝（x３，y３），OC＝λOA＋OB，即错误!又C为双曲线上一点，即x错误!—５y错误!＝５b２，有（λx １＋x２）２—５（λy１＋y２）２＝５b２.化简得：λ２（x错误!—５y错误!）＋（x错误!—５y错误!）＋２λ（x１x２—５y１y２）＝５b２，又A（x１，y１），B（x２，y２）在双曲线上，所以x错误!—５y错误!＝５b２，x错误!—５y错误!＝５b２.由１式又有x１x２—５y１y２＝x１x２—５（x１—c）（x２—c）＝—４x１x２＋５c（x１＋x２）—５c２＝１0b２，得：λ２＋４λ＝0，解得λ＝0，或λ＝—４．第Ⅱ卷：提能增分卷１．（２0１３·河北省重点中学联考）设F１，F２分别是双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F１AF２＝90°，且|AF１|＝３|AF２|，则双曲线的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选B 由题可知点A在双曲线的右支上，则|AF１|—|AF２|＝２|AF２|＝２a，则|AF２|＝a，得|AF|＝３a，由∠F１AF２＝90°，得（３a）２＋a２＝（２c）２，则e＝错误!＝错误!.１２．（２0１４·江西临川模拟）双曲线错误!—错误!＝—１（a＞0，b＞0）与抛物线y＝错误!x２有一个公共焦点F，双曲线上过点F且垂直实轴的弦长为错误!，则双曲线的离心率等于________．解析：双曲线与抛物线x２＝8y的公共焦点F的坐标为（0,２），由题意知点错误!在双曲线上，∴错误!，得a２＝３，故e＝错误!＝错误!.答案：错误!。

第7讲 双曲线1．(2016·石家庄一模)已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 解析：选A.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c ＝4，a ＝2，b 2＝12，双曲线方程为x 24－y 212＝1，故选A.2．(2015·高考福建卷)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3 解析：选B.由题意知a ＝3，b ＝4，所以c ＝5.由双曲线的定义有||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6.所以|PF 2|＝9.3．(2016·惠州调研)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线的斜率为( )A ．±2B ．± 2C ．±12D ．±22解析：选B.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，所以e ＝ca＝1＋b 2a 2＝3，解得ba＝2，所以其渐近线的斜率为± 2.故选B.4． (2015·高考湖南卷)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A.73B.54C.43D.53解析：选D.由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，所以b 2a 2＝169.又b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2a 2＝169，即e 2－1＝169，所以e 2＝259，所以e ＝53.5．(2015·高考四川卷)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.433B ．2 3C ．6D ．4 3解析：选D.由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3.6．(2016·太原模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线右支上，且F 1P →·(OF 1→＋OP →)＝0(O 为坐标原点)，若|F 1P |＝2|F 2P |，则该双曲线的离心率为( ) A.6＋ 3 B.6＋32 C.6＋ 2D.6＋22解析：选A.设线段PF 1的中点为D ，则F 1P →·(OF 1→＋OP →)＝F 1P →·(2OD →)＝0，所以F 1P →⊥OD →，又因为点O 为线段F 1F 2的中点，所以OD ∥PF 2，所以F 1P ⊥PF 2，所以|F 1P |2＋|PF 2|2＝4c 2，① 又因为点P 在双曲线的右支上，所以|F 1P |－|PF 2|＝2a ，②又因为|F 1P |＝2|PF 2|，③联立①②③得e 2＝c 2a 2＝33－22，所以e ＝6＋3，故选A.7．已知双曲线x 29－y 2a＝1的右焦点的坐标为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：依题意知(13)2＝9＋a ，所以a ＝4， 故双曲线方程为x 29－y 24＝1，则渐近线方程为x 3±y2＝0.即2x ±3y ＝0.答案：2x ＋3y ＝0或2x －3y ＝08．已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆y 2n －x 2m ＝1的焦距等于4，则n ＝________．解析：因为双曲线的焦点(0，2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2－m ＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1.所以椭圆方程为y 2n＋x 2＝1，且n >0，又椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)．答案：59．(2015·高考湖南卷)设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点．若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．解析：不妨设F (－c ，0)，PF 的中点为(0，b )．由中点坐标公式可知P (c ，2b )．又点P 在双曲线上，则c 2a 2－4b 2b 2＝1，故c 2a 2＝5，即e ＝ca＝ 5. 答案： 510．(2016·南昌模拟)过原点的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右两支分别相交于A ，B 两点，F (－3，0)是双曲线C 的左焦点，若|FA |＋|FB |＝4，FA →·FB →＝0，则双曲线C 的方程是________．解析：如图所示，设双曲线的右焦点为F 2(3，0)，连接F 2A ，F 2B ，由双曲线的对称性和FA →·FB →＝0知四边形AFBF 2为矩形，由|FA |＋|FB |＝4得|FA |＋|AF 2|＝4，又因为|FA |－|AF 2|＝2a ，所以|FA |＝2＋a ，|F 2A |＝2－a ，由|F 2A |2＋|FA |2＝(2－a )2＋(2＋a )2＝(23)2，得a 2＝2，b 2＝1，所以双曲线的方程为x 22－y 2＝1.答案：x 22－y 2＝111．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程． 解：椭圆D 的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，所以渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0，5)到两条渐近线的距离为r ＝3.所以|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，所以双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.12．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标． 解：(1)由题意知a ＝23， 所以一条渐近线方程为y ＝b23x .即bx －23y ＝0.所以|bc |b 2＋12＝ 3.所以b 2＝3，所以双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0. 将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 2012－y 203＝1，所以⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.所以t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．1．(2016·南昌调研)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0解析：选A.由题意，不妨设|PF 1|＞|PF 2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c ＞a ， 所以有|PF 2|＜|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2·2c ·4a cos 30°，得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x ， 即2x ±y ＝0.2．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是________．解析：c ＝a 2＋b 2，由题意得A (a ，0)，F (c ，0)，不妨设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .由于k AC ＝b 2a （a －c ），k AB ＝b 2a （c －a ），从而过B 且与AC 垂直的直线为y －b 2a ＝a （c －a ）b 2(x－c )①.过C 且与AB 垂直的直线为y ＋b 2a ＝a （a －c ）b 2·(x －c )②.①②联立，解得x ＝b 4a 2（a －c ）＋c .由题意，得c －⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 4a 2（a －c ）＋c <a ＋c ，即b 2<a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2<1. 设该双曲线渐近线的斜率为k ，则k 2<1， 又k ≠0，所以0<k <1或－1<k <0. 答案：(－1，0)∪(0，1)3．(2016·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c ，0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程； (2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，所以a ＝b ， 所以c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，所以a 2＝b 2＝2， 所以双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，所以直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1， 所以x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2， 即y 0＝12c ，所以x 0＝32c ， 所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32c ，12c ， 代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又因为a 2＋b 2＝c 2，所以将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， 所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0， 所以(3e 2－2)(e 2－2)＝0， 因为e ＞1，所以e ＝2， 所以双曲线的离心率为 2.4．直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，且|AB |＝3，又l 关于直线l 1：y ＝b ax 对称的直线l 2与x 轴平行． (1)求双曲线C 的离心率e ； (2)求双曲线C 的方程．解：(1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过一、三象限的渐近线l 1：x a －yb＝0的倾斜角为α.因为l 和l 2关于l 1对称，记它们的交点为P ，l 与x 轴的交点为M .而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴的交点为Q . 依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α.又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，所以tan 30°＝b a ＝33. 于是e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，所以e ＝233.(2)由于b a ＝33，于是设双曲线方程为x 23k 2－y 2k 2＝1(k ≠0)，即x 2－3y 2＝3k 2.将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2中，得x 2－3×3(x －2)2＝3k 2.化简得到8x 2－36x ＋36＋3k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2×362－4×8×（36＋3k 2）8＝9－6k 2＝3，解得k 2＝1.故所求双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.。

第七节双曲线1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.(1)当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a＞|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝±bax y＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)a，b，c c2＝a2＋b21．双曲线x 23－y 22＝1的焦距为________．解析：由双曲线x 23－y 22＝1，易知c 2＝3＋2＝5，所以c ＝5，所以双曲线x 23－y 22＝1的焦距为2 5.答案：252．(教材习题改编)以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________．解析：设要求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由椭圆x 24＋y 23＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)． 所以a ＝1，c ＝2， 所以b 2＝c 2－a 2＝3，所以双曲线标准方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝13．(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a ＞0)的离心率为52，则a ＝________. 解析：由e ＝ca＝a 2＋b 2a 2，得a 2＋4a 2＝54，∴a 2＝16. ∵a ＞0，∴a ＝4. 答案：41．双曲线的定义中易忽视2a ＜|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ＞|F 1F 2|，则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a ＞0，b ＞0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2；若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ∈(2，＋∞)．3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为±b a ，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±ab.[小题纠偏]1．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于________．解析：由题意知|PF 1|＝9＜a ＋c ＝10， 所以P 点在双曲线的左支， 则有|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8， 故|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17. 答案：172．以直线y ＝±2x 为渐近线，且过点(－3，2)的双曲线的标准方程为________．解析：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ， 不妨可设该双曲线的方程为2x 2－y 2＝λ. 因为双曲线过点(－3，2),所以6－4＝λ＝2，所以双曲线的方程为2x 2－y 2＝2， 即其标准方程为x 2－y 22＝1.答案：x 2－y 22＝1考点一 双曲线的标准方程基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2019·金华调研)已知双曲线的一个焦点与圆x 2＋y 2－4y ＝0的圆心重合，且其渐近线的方程为3x ±y ＝0，则该双曲线的标准方程为( )A.x 23－y 2＝1 B.y 23－x 2＝1C.x 29－y 216＝1 D.y 216－x 29＝1解析：选B 由圆的方程知其圆心为(0,2)，故双曲线的焦点在y 轴上，设其方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，且a 2＋b 2＝4， ①又知渐近线方程为3x ±y ＝0，∴ab＝3，②由①②得a 2＝3，b 2＝1，∴双曲线方程为y 23－x 2＝1.2．(2018·海口二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是( )A.x 212－y 2＝1 B.x 29－y 23＝1C ．x 2－y 23＝1D.x 223－y 232＝1解析：选C ∵实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，∴b a ＝tan 60°＝3，即b ＝3a ，∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(2，3)，∴2a 2－3b 2＝1，即2a 2－33a2＝1，解得a 2＝1，∴b 2＝3，故双曲线C 的标准方程是x 2－y 23＝1.3．(2018·温岭模拟)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，且离心率等于32，则该双曲线的标准方程为____________；渐近线方程为____________．解析：因为c ＝3，所以e ＝c a ＝32，解得a ＝2，所以b 2＝5.所以双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1，其渐近线方程为y ＝±52x .答案：x 24－y 25＝1 y ＝±52x4．焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．解析：设所求双曲线的标准方程为y 24－x 2＝－λ(λ＞0)，即x 2λ－y 24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.答案：x 25－y 220＝1[谨记通法]求双曲线标准方程的2种方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值．考点二 双曲线的定义重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )A ．48B ．24C ．12D ．6解析：选B 由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形， 因此S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.[由题悟法]应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．[即时应用]1．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45解析：选C 双曲线方程可化为x 22－y 22＝1，∴a ＝b ＝2，∴c ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝22，|PF 1|＝2|PF 2|得|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.2．(2018·余姚期初)已知△ABC 的顶点A ，B 分别为双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点C 在双曲线上，则|sin A －sin B |sin C 的值为____________．解析：由正弦定理知，BCsin A＝ACsin B＝ABsin C，由双曲线的定义可知，|sin A －sin B |sin C ＝||BC |－|AC |||AB |＝810＝45.答案：45考点三 双曲线的几何性质题点多变型考点——多角探明[锁定考向]双曲线的几何性质是每年高考命题的热点． 常见的命题角度有：(1)求双曲线的离心率(或范围)； (2)求双曲线的渐近线方程； (3)求双曲线方程．[题点全练]角度一：求双曲线的离心率(或范围)1．(2016·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．解析：如图，由题意知|AB |＝2b2a，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．答案：2角度二：求双曲线的渐近线方程2．(2018·乐清调研)以椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是________．解析：由题意可知所求双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b＞0)，则a ＝4－1＝3，c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝4－3＝1，故所求渐近线方程为y ＝±33x .答案：y ＝±33x角度三：求双曲线方程3．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 27－y 29＝1C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1解析：选A 由题意知右顶点为(a,0)，不妨设其中一条渐近线方程为y ＝bax ，因此可得点A 的坐标为(a ，b )．设右焦点为F (c,0)，由已知可得c ＝4，且|AF |＝4，即(c －a )2＋b 2＝16，所以有(c －a )2＋b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2，则c ＝2a ，即a ＝c2＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12，故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.[通法在握]与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．(3)求双曲线的方程．依据题设条件，求出a ，b 的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程．(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及a ，b ，c 之间的关系求解．[演练冲关]1．(2018·萧山六校联考)已知l 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线，l 与圆F ：(x －c )2＋y 2＝a 2(其中c 2＝a 2＋b 2)相交于A ，B 两点，若△ABF 为等腰直角三角形，则C 的离心率为( )A ．2 B.52C.53D.62解析：选D 由题意可设l 的方程为bx ＋ay ＝0. 已知圆F ：(x －c )2＋y 2＝a 2的圆心为(c,0)，半径为a ，∵l 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线，l 与圆F ：(x －c )2＋y 2＝a 2(其中c 2＝a 2＋b 2)相交于A ，B 两点，△ABF 为等腰直角三角形，∴|AB |＝2a .又(c,0)到l 的距离d ＝|bc ＋0|b 2＋a2＝bc c ＝b ，∴b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＝a 2，将|AB |＝2a 代入上式，得a 2＝2b 2.又c 2＝a 2＋b 2，∴e ＝c a ＝62.2．(2018·台州调研)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．解析：因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x .答案：y ＝±22x3．(2018·杭州二中适应)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P ，与坐标原点O 、右焦点F 2构成正三角形，则双曲线的离心率为____________．解析：由题可得，要使三角形OPF 2为正三角形，则P ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12c ，32c在双曲线上，所以c 24a 2－3c 24b 2＝1，结合b 2＝c 2－a 2及e ＝c a ，化简得e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4＋23或e 2＝4－2 3.因为e ＞1，所以e 2＝4＋23，所以e ＝4＋23＝3＋1.答案：3＋14．(2018·安阳二模)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点F 到渐近线的距离的取值范围是________．解析：一般地，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，它的右焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .而双曲线x 28－m＋y 24－m＝1，即x 28－m－y 2m －4＝1的焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m ＞0，m －4＞0，解得4＜m ＜8，它的焦点F 到渐近线的距离为m －4∈(0,2)．答案：(0,2)考点四 直线与双曲线的位置关系重点保分型考点——师生共研[典例引领]设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ―→＋ON ―→＝t OD―→，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，∵一条渐近线为y ＝bax ，即bx －ay ＝0.∴由焦点到渐近线的距离为3， 得|bc |b 2＋a2＝ 3.又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝3， ∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y23＝1得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．[由题悟法]直线与双曲线的位置关系判断方法和技巧(1)判断方法：直线与双曲线的位置关系的判断与应用和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，注意二次项系数是否为0的判断．(2)技巧：对于中点弦问题常用“点差法”，但需要检验．[即时应用]已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 经过A (－7,5)，B (－1，－1)两点．(1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l ：y ＝x ＋m 交双曲线C 于M ，N 两点，且线段MN 被圆E ：x 2＋y 2－12x ＋n ＝0(n ∈R)三等分，求实数m ，n 的值．解：(1)设双曲线C 的方程是λx 2＋μy 2＝1，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧49λ＋25μ＝1，λ＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，所以所求双曲线的方程是2y 2－x 2＝1.(2)将l ：y ＝x ＋m 代入2y 2－x 2＝1， 得x 2＋4mx ＋(2m 2－1)＝0，①Δ＝(4m )2－4(2m 2－1)＝8m 2＋4＞0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－4m ，x 1x 2＝2m 2－1， 所以x 0＝x 1＋x 22＝－2m ，y 0＝x 0＋m ＝－m ，所以P (－2m ，－m )．又圆心E (6,0)，依题意k PE ＝－1， 故m6＋2m＝－1，即m ＝－2. 将m ＝－2代入①得x 2－8x ＋7＝0， 解得x 1＝1，x 2＝7，所以|MN |＝1＋12|x 1－x 2|＝6 2.故直线l 截圆E 所得弦长为13|MN |＝2 2.又E (6,0)到直线l 的距离d ＝22， 所以圆E 的半径R ＝222＋22＝10，所以圆E 的方程是x 2＋y 2－12x ＋26＝0. 所以m ＝－2，n ＝26.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·浙江高考)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2,0)，(2,0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0,2) 解析：选B ∵双曲线方程为x 23－y 2＝1，∴a 2＝3，b 2＝1，且双曲线的焦点在x 轴上， ∴c ＝a 2＋b 2＝3＋1＝2，∴该双曲线的焦点坐标是(－2,0)，(2,0)．2．(2018·唐山期中联考)已知双曲线C ：x 2m 2－y 2n2＝1(m ＞0，n＞0)的离心率与椭圆x 225＋y 216＝1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±3y ＝0或3x ±4y ＝0D ．4x ±5y ＝0或5x ±4y ＝0 解析：选A 由题意知，椭圆中a ＝5，b ＝4，∴椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝35，∴双曲线的离心率为1＋n 2m 2＝53，∴n m ＝43，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.故选A.3．(2018·湖南师大附中12月联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，正三角形AF 1F 2的一边AF 1与双曲线左支交于点B ，且AF 1＝4BF 1，则双曲线C 的离心率为( )A.32＋1B.3＋12C.133＋1D.13＋13解析：选D 不妨设点A 在x 轴的上方，由题意得，F 1(－c,0)，A (0，3c )，设B (x ，y )，∵AF 1＝4BF 1，∴(－c ，－3c )＝4(－c－x ，－y )，∴x ＝－3c 4，y ＝3c4，代入双曲线方程可得9c 216a 2－3c216c 2－a 2＝1，∴9e 4－28e 2＋16＝0，∴e ＝13＋13.4．(2018·义乌质检)设F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，P 在双曲线的右支上，且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝____________；S △F 1PF 2＝____________.解析：由题可得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6，|F 1F 2|＝10.因为|PF 1|·|PF 2|＝32，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝100＝|F 1F 2|2，所以PF 1⊥PF 2，所以∠F 1PF 2＝π2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝32×12＝16.答案：π2165.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若|AB |＝4，|BC |＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝1二保高考，全练题型做到高考达标 1．“k ＜9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，∴(25－k )(k－9)＜0，∴k ＜9或k ＞25，∴“k ＜9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2．(2018·杭州调研)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．23C ．6D ．43解析：选D 由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2,23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3.3．(2018·杭州五中月考)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若|AF 1|＝2a ，∠F 1AF 2＝2π3，则S △AF 1F 2S △ABF 2＝( )A ．1 B.12C.13D.23解析：选 B 如图所示，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a .因为|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a ， 又∠F 1AF 2＝2π3，所以S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×32＝23a 2.由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ，所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又|BF 1|＝2a ＋|BA |，所以|BA |＝|BF 2|.因为∠BAF 2＝π3，所以△ABF 2为等边三角形，边长为4a ，所以S △ABF 2＝34|AF 2|2＝34×(4a )2＝43a 2， 故S △AF 1F 2S △ABF 2＝23a 243a 2＝12. 4．(2018·浙大附中测试)如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，经过右焦点F 2的直线与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，且|PF 2|＝2|F 2Q|，P Q ⊥F 1Q ，则双曲线C 的离心率是( )A. 2B.3C.102D.173解析：选D 设|F 2Q|＝m ，则|F 1Q|＝2a ＋m ，|F 2P |＝2m ，|F 1P |＝2a ＋2m .因为 P Q ⊥F 1Q ，所以(2a ＋m )2＋(3m )2＝(2a ＋2m )2，解得6m 2＝4am ，解得m ＝23a ，所以|F 1Q|＝83a .所以在△F 1F 2Q 中，|F 1F 2|＝2c ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 32＝(2c )2，解得17a 2＝9c 2，所以e 2＝c 2a 2＝179，即e ＝173.5．(2018·宁波六校联考)已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a＞0，b ＞0)的右焦点，直线y ＝kx (k ＞0)与E 交于M ，N 两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．[2，2＋6]B ．[2，3＋1]C ．[2，2＋6]D ．[2，3＋1]解析：选D 设左焦点为F ′，令|MF |＝r 1，|MF ′|＝r 2，则|NF |＝|MF ′|＝r 2，由双曲线定义可知r 2－r 1＝2a ①，∵点M 与点N 关于原点对称，且MF ⊥NF ，∴|OM |＝|ON |＝|OF |＝c ，∴r 21＋r 22＝4c 2②，由①②得r 1r 2＝2(c2－a 2)＝2b 2，又知S △MNF ＝2S △MOF ，∴12r 1r 2＝2·12c 2·sin 2β，∴b2＝c 2·sin 2β＝c 2－a 2，∴e 2＝11－sin 2β，又∵β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，∴sin 2β∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，32，∴e 2＝11－sin 2β∈[2，(3＋1)2]，又∵e ＞1，∴e ∈[2，3＋1]，故选D.6．已知双曲线的一个焦点F (0，5)，它的渐近线方程为y ＝±2x ，则该双曲线的标准方程为________________；其离心率为____________．解析：设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，ab ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，a ＝2b⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，所以双曲线的标准方程为y 24－x 2＝1.所以a ＝2，离心率e ＝c a ＝52.答案：y 24－x 2＝1 527．若点P 是以A (－3,0)，B (3,0)为焦点，实轴长为25的双曲线与圆x 2＋y 2＝9的一个交点，则|PA |＋|PB |＝________.解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PA |＞|PB |.因为点P 是双曲线与圆的交点，所以由双曲线的定义知，|PA |－|PB |＝25， ① 又|PA |2＋|PB |2＝36， ② 联立①②化简得2|PA |·|PB |＝16，所以(|PA |＋|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2＋2|PA |·|PB |＝52，所以|PA |＋|PB |＝213.答案：2138．(2018·绍兴四校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b＞0)的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF ＝FN ，则双曲线C 的离心率e ＝________.解析：法一：由2MF ＝FN 知，|MF ||FN |＝12.由渐近线的对称性知∠NOF ＝∠MOF ，即OF 为∠NOM 的角平分线，则cos ∠NOM ＝|OM ||ON |＝|MF ||FN |＝12，所以∠NOM ＝π3，∠NOF ＝∠MOF ＝π6.因为双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ，所以b a ＝tan π6＝33，所以e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝233. 法二：如图所示，双曲线C 的一条渐近线的方程为bx ＋ay ＝0，右焦点为F (c,0)，因此|FM |＝bca 2＋b2＝b ，过点F 向ON 作垂线，垂足为P ，则|FP |＝|FM |＝b ，又因为2MF ＝FN ，所以|FN |＝2b .在Rt △FNP 中，sin ∠FNP ＝12，所以∠FNP＝π6，故在△OMN 中，∠MON ＝π3，所以∠FON ＝π6，所以b a ＝33，所以双曲线C 的离心率e ＝1＋b 2a 2＝233.答案：2339．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M (3，m )在双曲线上．(2)求证：MF 1·MF 2―→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵e ＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等． ∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵双曲线过点(4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：设MF 1―→＝(－23－3，－m )， MF 2―→＝(23－3，－m )． ∴MF 1―→·MF 2―→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1―→·MF 2―→＝0. (3)∵△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝4 3. 由(2)知m ＝± 3.∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.解：(1)∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b＝6，∴双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3,0)，∴经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 26＝1，y ＝33x －3，得5x 2＋6x －27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275.所以|AB |＝1＋13× ⎝ ⎛⎭⎪⎫－652－4×⎝⎛⎭⎪⎫－275＝1635.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·暨阳联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，点P 在双曲线上，且满足FP ―→FP ―→＝3FH ―→，则双曲线的离心率为( )A. 3 B ．23 C.132D.13解析：选C 不妨取渐近线方程为y ＝－b a x ，则|FH |＝|bc |a 2＋b2＝b .因为FP ―→＝3FH ―→，所以|FP |＝3b ，设双曲线的右焦点为F 2，则|F 2P |＝3b －2a .因为cos ∠PFF 2＝bc ，|FF 2|＝2c .所以由余弦定理得：(3b －2a )2＝4c 2＋9b 2－2×2c ×3b ×bc，化简得2b ＝3a .若取a ＝2，则b ＝3，c ＝13.所以离心率为e ＝c a ＝132.2．(2018·浙大附中模拟)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由已知得，a ＝3，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝361－k 2＞0，x A ＋x B ＝62k1－3k2＜0，x A x B ＝－91－3k 2＞0，解得33＜k ＜1.∴k的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎪⎫33，1. (3)由(2)得：x A ＋x B ＝62k1－3k 2，∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k 2.∴AB 的中点P的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32k 1－3k2，21－3k 2.设直线l 0的方程为：y ＝－1kx ＋m ，将点P的坐标代入直线l0的方程，得m＝421－3k2.∵33＜k＜1，∴－2＜1－3k2＜0.∴m＜－2 2.∴m的取值范围为(－∞，－22)．。

[考纲传真] １．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.２．了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.３．能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程．１．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．２．求动点的轨迹方程的基本步骤３．圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e.（１）当0＜e＜１时，圆锥曲线是椭圆．（２）当e＞１时，圆锥曲线是双曲线．（３）当e＝１时，圆锥曲线是抛物线．４．两曲线的交点设曲线C１的方程为f１（x，y）＝0，曲线C２的方程为g（x，y）＝0，则（１）曲线C１，C２的任意一个交点坐标都满足方程组错误!（２）反之，上述方程组的任何一组实数解都对应着两条曲线某一个交点的坐标．[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）f（x0，y0）＝0是点P（x0，y0）在曲线f（x，y）＝0上的充要条件．（２）方程x２＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．（）（３）动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．（）（４）方程y＝错误!与x＝y２表示同一曲线．（）[答案] （１）√（２）×（３）×（４）×２．已知M（—１,0），N（１,0），|PM|—|PN|＝２，则动点P的轨迹是（）Ａ．双曲线Ｂ．双曲线左支Ｃ．一条射线Ｄ．双曲线右支C[∵|PM|—|PN|＝|MN|＝２，∴动点P的轨迹是一条射线，故选Ｃ．]３．（教材改编）P是椭圆错误!＋错误!＝１上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM 中点的轨迹方程为（）Ａ．错误!x２＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!y２＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１B[设中点坐标为（x，y），则点P的坐标为（x,２y），代入椭圆方程得错误!＋错误!y２＝１．故选Ｂ．]４．已知点A（—２,0），B（３,0），动点P（x，y）满足错误!·错误!＝x２，则点P的轨迹是（）Ａ．圆Ｂ．椭圆Ｃ．抛物线Ｄ．双曲线C[由题意，知错误!＝（—２—x，—y），错误!＝（３—x，—y），由错误!·错误!＝x２，得y２＝x＋6，因此选Ｃ．]５．已知线段AB的长为6，直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积是错误!，则点M的轨迹方程是________．错误!—错误!＝１（x≠±３）[以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A（—３,0），B（３,0）．设点M的坐标为（x，y），则直线AM的斜率k AM＝错误!（x≠—３），直线BM的斜率k BM＝错误!（x≠３）．由已知有错误!·错误!＝错误!（x≠±３），化简整理得点M的轨迹方程为错误!—错误!＝１（x≠±３）．]定义法求轨迹方程【例１】已知圆M：（x＋１）２＋y２＝１，圆N：（x—１）２＋y２＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线Ｃ．求C的方程．[解] 由已知得圆M的圆心为M（—１,0），半径r１＝１；圆N的圆心为N（１,0），半径r２＝３．设圆P的圆心为P（x，y），半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝（R＋r１）＋（r２—R）＝r１＋r２＝４＞|MN|＝２．由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为２，短半轴长为错误!的椭圆（左顶点除外），其方程为错误!＋错误!＝１（x≠—２）．[母题探究] （１）把本例中圆M的方程换为：（x＋３）２＋y２＝１，圆N的方程换为：（x—３）２＋y２＝１，求圆心P的轨迹方程．（２）在本例中，若动圆P过圆N的圆心，并且与直线x＝—１相切，求圆心P的轨迹方程．[解] （１）由已知条件可知圆M和N外离，所以|PM|＝１＋R，|PN|＝R—１，故|PM|—|PN|＝（１＋R）—（R—１）＝２＜|MN|＝6，由双曲线的定义知点P的轨迹是双曲线的右支，其方程为x２—错误!＝１（x＞１）．（２）由于点P到定点N（１,0）和定直线x＝—１的距离相等，所以根据抛物线的定义可知，点P 的轨迹是以N（１,0）为焦点，以x轴为对称轴、开口向右的抛物线，故其方程为y２＝４x.[规律方法] 定义法求轨迹方程的方法、关键及注意点（１）求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．（２）关键：理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键．（３）利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．M的轨迹方程是（）Ａ．x＝—４Ｂ．x＝４Ｃ．y２＝8xＤ．y２＝１6x（２）在△ABC中，|错误!|＝４，△ABC的内切圆切BC于D点，且|错误!|—|错误!|＝２错误!，则顶点A的轨迹方程为________．（１）D（２）错误!—错误!＝１（x＞错误!）[（１）依题意可知点M到点F的距离等于点M 到直线x＝—４的距离，因此点M的轨迹是抛物线，且顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，p＝8，∴点M 的轨迹的方程为y２＝１6x，故选Ｄ．（２）以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点．则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|.所以|AB|—|AC|＝２错误!，所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支（y≠0），且a＝错误!，c＝２，所以b＝错误!，所以轨迹方程为错误!—错误!＝１（x＞错误!）．]直接法求轨迹方程【例２】已知动点P（x，y）与两定点M（—１,0），N（１,0）连线的斜率之积等于常数λ（λ≠0）．（１）求动点P的轨迹C的方程；（２）试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状．[解] （１）由题意可知，直线PM与PN的斜率均存在且均不为零，所以k PM·k PN＝错误!·错误!＝λ，整理得x２—错误!＝１（λ≠0，x≠±１）．即动点P的轨迹C的方程为x２—错误!＝１（λ≠0，x≠±１）．（２）当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去顶点）；当—１＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴的两个端点）；当λ＝—１时，轨迹C为以原点为圆心，１为半径的圆除去点（—１,0），（１,0）．当λ＜—１时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）．[规律方法] 直接法求曲线方程的关注点（１）关键点：直接法求曲线方程的关键就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这几个步骤，但最后的证明可以省略．（２）注意点：求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．提醒：对方程化简时，只要前后方程解集相同，证明可以省略，必要时可说明x，y的取值范围．公差小于0的等差数列，则点P的轨迹是什么曲线？[解] 设P（x，y），由M（—１,0），N（１,0）得错误!＝—错误!＝（—１—x，—y），错误!＝—错误!＝（１—x，—y），错误!＝—错误!＝（２,0），所以错误!·错误!＝２（１＋x），错误!·错误!＝x２＋y２—１，错误!·错误!＝２（１—x）．于是错误!·错误!，错误!·错误!，错误!·错误!是公差小于0的等差数列等价于错误!即错误!所以点P的轨迹是以原点为圆心，错误!为半径的右半圆（不含端点）．相关点（代入）法求轨迹方程【例３】（２0１7·全国卷Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：错误!＋y２＝１上，过M作x 轴的垂线，垂足为N，点P满足错误!＝错误!错误!.（１）求点P的轨迹方程；（２）设点Q在直线x＝—３上，且错误!·错误!＝１．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.[解] （１）设P（x，y），M（x0，y0），则N（x0,0），错误!＝（x—x0，y），错误!＝（0，y0）．由错误!＝错误!错误!得x0＝x，y0＝错误!y.因为M（x0，y0）在C上，所以错误!＋错误!＝１．因此点P的轨迹方程为x２＋y２＝２．（２）证明：由题意知F（—１,0）．设Q（—３，t），P（m，n），则错误!＝（—３，t），错误!＝（—１—m，—n），错误!·错误!＝３＋３m—tn，错误!＝（m，n），错误!＝（—３—m，t—n）．由错误!·错误!＝１得—３m—m２＋tn—n２＝１，又由（１）知m２＋n２＝２，故３＋３m—tn＝0．所以错误!·错误!＝0，即错误!⊥错误!.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.[规律方法] “相关点法”求轨迹方程的基本步骤（１）设点：设被动点坐标为（x，y），主动点坐标为（x１，y１）．（２）求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式错误!（３）代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．错误!＝错误!错误!.记点P的轨迹为曲线E.（１）求曲线E的方程；（２）经过点（0,１）作直线与曲线E相交于A，B两点，错误!＝错误!＋错误!，当点M在曲线E 上时，求四边形AOBM的面积．[解] （１）设C（m,0），D（0，n），P（x，y）．由错误!＝错误!错误!，得（x—m，y）＝错误!（—x，n—y），所以错误!解得错误!由|错误!|＝错误!＋１，得m２＋n２＝（错误!＋１）２，所以（错误!＋１）２x２＋错误!y２＝（错误!＋１）２，整理，得曲线E的方程为x２＋错误!＝１．（２）设A（x１，y１），B（x２，y２），由错误!＝错误!＋错误!，知点M坐标为（x１＋x２，y１＋y２）．由题意知，直线AB的斜率存在．设直线AB的方程为y＝kx＋１，代入曲线E的方程，得（k２＋２）x２＋２kx—１＝0，则x１＋x２＝—错误!，x１x２＝—错误!.y１＋y２＝k（x１＋x２）＋２＝错误!.由点M在曲线E上，知（x１＋x２）２＋错误!＝１，即错误!＋错误!＝１，解得k２＝２．这时|AB|＝错误!|x１—x２|＝错误!＝错误!，原点到直线AB的距离d＝错误!＝错误!，所以平行四边形OAMB的面积S＝|AB|·d＝错误!.（２0１6·全国卷Ⅲ）已知抛物线C：y２＝２x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l１，l２分别交C 于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（１）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（２）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．[解] 由题意知F错误!，设直线l１的方程为y＝a，直线l２的方程为y＝b，则ab≠0，且A错误!，B错误!，P错误!，Q错误!，R错误!.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为２x—（a＋b）y＋ab＝0．（１）证明：由于F在线段AB上，故１＋ab＝0．记AR的斜率为k１，FQ的斜率为k２，则k１＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝—b＝错误!＝k２.所以AR∥FQ.（２）设l与x轴的交点为D（x１,0），则S△ABF＝错误!|b—a||FD|＝错误!|b—a|错误!，S△PQF＝错误!.由题意可得|b—a|错误!＝错误!，所以x１＝0（舍去），x１＝１．设满足条件的AB的中点为E（x，y）．当AB与x轴不垂直时，由k AB＝k DE可得错误!＝错误!（x≠１）．而错误!＝y，所以y２＝x—１（x≠１）．当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为（１,0），满足方程y２＝x—１．所以所求的轨迹方程为y２＝x—１．。

第6讲 双曲线1．双曲线的定义 条件 结论1 结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F 1,F 2M 点的 轨迹为 双曲线 F 1、F 2为双曲线的焦点 |｜MF 1｜－|MF 2|｜＝2a｜F 1F 2｜为双曲线的焦距 2a <|F 1F 2|2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 错误!－错误!＝1 （a ＞0，b ＞0) 错误!－错误!＝1 （a ＞0，b ＞0)图形性质 范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R y ≤－a 或y ≥a ,x ∈R 对称性 对称轴:坐标轴，对称中心:原点顶点 A 1(－a ，0），A 2（a ，0) A 1(0，－a ），A 2(0，a )渐近线y＝±ba xy＝±错误!x离心率e＝错误!,e∈（1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长｜A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长｜B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0）1．辨明三个易误点（1）双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线，若2a＞｜F1F2|,则轨迹不存在．（2）区分双曲线中a，b,c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2。

(3）双曲线的离心率e∈（1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0，1)．2．求双曲线标准方程的两种方法（1）定义法根据题目的条件,判断是否满足双曲线的定义，若满足,求出相应的a，b，c，即可求得方程．（2）待定系数法①与双曲线错误!－错误!＝1共渐近线的可设为错误!－错误!＝λ（λ≠0);②若渐近线方程为y ＝±b ax ,则可设为错误!－错误!＝λ（λ≠0)； ③若过两个已知点，则可设为错误!＋错误!＝1(mn ＜0）．3．双曲线几何性质的三个关注点（1)“六点”:两焦点、两顶点、两虚轴端点;(2)“四线”：两对称轴（实、虚轴）、两渐近线；（3）“两形”:中心、顶点、虚轴端点构成的三角形;双曲线上的一点（不包括顶点）与两焦点构成的三角形．1。