2017年秋九年级数学上册22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质习题课件 (2)

5/13/2020
1.物体从某一高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的时间 t(s)的关系式是:h=4.9t2，h是t的 二次 函数，它的图象的 顶点坐标是（0，0）. 2.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）. （1）求此抛物线的函数解析式. y=-2x2 （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上. 不在抛物线上 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
(2)先想一想，然后作出它的图象．
(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
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你能根据表格中的数据作出猜 想吗？
描点,连线
y
1
-4 -3 -2 -1 -1
0
1 23
4x
-2
-3
自信人生
和合成长
22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质
民主 愉悦 有效
自信
1.知道二次函数的图象是抛物线； 2.会画y=ax2的图象，并能结合图象理解y=ax2的性质.
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一、激趣导入，生发自信
思考
一次函数的图象是一条直线，二次函数的 图象是什么形状呢？通常怎样画一个函数的 图象？
x2
2
5
5/13/2020
4．已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax＋b，二次函数是y＝ ax2，则下面图中，可以成立的是( C )
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5．填空：已知二次函数
(1)其中开口向上的有_②__③__⑥__(填题号)； (2)其中开口向下且开口最大的是__⑤__(填题号)； (3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后逐 渐变小的有___①__④__⑤___(填题号)．

y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
2. 描点： 3. 连线：
y 9
可以看出，该函数图象
6
是一条曲线，我们把它叫
做抛物线y=x2。
3
二次函数的图象都是抛物线。
-3 O
3x
抛物线的 开口向上. y
y=x2 10
8
这个顶点，
6
是抛物线的
4
最低点.
2
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
练习：抛物线y=－3x2的图象开口向下,对 称轴是y轴,顶点是 (0,0) ，当x<0时，y随x 的增大而增大，当x>0时，y随x的增大 而减小，顶点是抛物线的最高点，当x= 0时， 有最 大值，值为 0 .
例2 已知点P（x1,y1）,Q（x2,y2）在抛物线 y=（m2+2）x2上，且x1<x2<0,则y1与y2的大小关系.
第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2的图象和性质
学习目标
1．知道二次函数的图象是一条抛物线。 2．理解二次函数y=ax2的图象特征。(难点) 3．掌握二次函数y=ax2的性质，并会灵活
应用。(重点)
复习引入
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
思考：抛物线y=ax2与y=-ax2（a>0)的关系
y
y=ax2
开口方向相反， 大小相同， 关于x轴对称。
O
x
y=-ax2
函数y=4x2的图象是一条抛物线 ，开 口方向向上,对称轴是 y轴 ,顶点坐标 是 (0,0) ；当x<0时，y随x的增大而 减小 ， 当x>0时，y随x的增大而 增大，当x=0时， 有最 小 值，值为 0 .

1.y＝-x2的图象是一条 抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最高点．
探究新知
二次函数y=ax2的图象性质
1. 顶点都在原点（0,0）; 2. 图像关于y轴对称; 3. 当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下．
探究新知
观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关
4.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： O x
开口方向 对称轴 顶点
y 3x 2 向上
y轴 （0,0）
y 3x 2 y 1 x2
3
y 1 x2 3
向下 向上 向下
y轴 （0,0） y轴 （0,0） y轴 （0,0）
课堂检测
能力提升题 已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m 的取值范围．
探究新知
素养考点 利用函数y=ax2的图像性质确定字母的值
例 已知 y =(m+1)x m2+m是二次函数,且其图象开口向上, 求m的值和函数解析式
解: 依题意有: m+1>0 , ①
m2+m=2 , ②
解②,得m1=－2, m2=1. 由①,得m>－1. 因此 m=1. 此时,二次函数为 y=2x2.
点叫做抛物线的顶点.
y轴就是它的对称轴.
-3 o
3
x
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过 的路线,我们把它叫做抛物线.
探究新知
画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x

叫做抛物线 y = x2 .
观察y = x2的图象
9
(1)你能描述图象的形状吗? 抛物线y = xy2= x2 6
(2)图象是轴对称图形吗？ 关于y轴对称
如果是,它的对称轴是什么? 3
（3）y的值有最值(最小或最 原点取得最小 大)吗? 在哪点取得最值？ －3值，该点叫3 做
（4）函数y的值随x的变化 而如何变化？
观察y = x2的图象
9
(1)你能描述图象的形状吗?
6
y = x2
(2)图二象次是函轴数对y称=图x形2的吗？
3
如图果象是,是它一的条对曲称线轴是，什它么?
（3的）形y的状值类有似最于值投(最篮小球或 －3
3
最大时)球吗在?在空哪中点所取经得过最的值
（路4）线函，数只y的是值这随条x的曲变线化 而开如口何变向化上？，这条曲线
我们先研究它的图象。
③通常怎样画一个函数的图象? 列表、描点、连线
活动1 画函数 y =x2 的图象
解:(1) 列表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
(2) 描点 y … 9 4 1 0 1 4 9 …
(3) 连线
y
10
8
y = x2
6
4
2 从哪些角度观察、 1 概括图象特征
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· －8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 ···
x
··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· －8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 ···

为了描点准确与方便，尽量取坐标为整数的点，其图象是向两方无限延伸的，当选取的点越多时，所画出的图象越精确。
在对称轴 抛物线
沿侧x轴，对y随折着后x的的抛增物大线而为增练大习，在。已对称知轴 抛侧物，y y随线ax着2 x的增大而减小经；过点（-2，8），
③顶点坐标：顶点是原点，即（0， 0）。
（探a究＞二0：）二越次大函，数抛物线的的开将图口象越抛及小性。物质 线沿y x轴3x 对2 折后与直线
二次函数y x2 的图象特点：
重点、难点知识★▲
（1）图象是一条抛物线，开口向上；
（2）原点（0，0）是图象的顶点，也
是最低点，当x=0时，函数y有最小
值0；
（3）图象是轴对称图形，对称轴是y
轴（直线x=0）；在对称轴的左侧，
抛物线从左到右下降，y随x的增大
而减小；在对称轴右侧，抛物线从
知识 问题 课堂
知识 问题 课堂
回顾 探究 小结
探 究 一 ： 画 出y二 ax次2 函 数
的动活图1 象合作探究
重点、难点知识★▲
1.实践操作：用描点y 法x2画
的
图象。 解：（1）列表列：表时应注意什么
①数据的问代题表？性（正、负、0都要包
含）；
②数据的简单性（尽量选择整数和较
小的…数-据3 ）-2；-1 0 1 2 3 …
y 10
吗如果增值？有大果最，是小坐y，？的标它最值是的小如什对值何么称是变？轴什化是么？什？当
么x你>？是0呢如？何知道的在的？对左称侧轴时
对称轴与抛这物，条线y随抛的着物交x点线叫 做抛物线的关顶的于点y增=x。y大2 的轴抛而图物对象线形 y=x2 在 x 轴称的减上，如小方y物。轴体（抛除就射顶时 点外），顶是点它是所的经它过对的的最称路低线 点抛物。线y=x2在轴x。轴，做的抛我上物们方线把（。它除叫顶

22.1.2 二次函数y=a2x 的图象和性质
► 二、教材【探究】分层分析
1.请在例 1 的直角坐标系中画出函数 y＝－x2，y＝－12x2， y＝－2x2 的图象.
画出二次函数 y＝—2x2 的图象：
［分析］ 列表：
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
y＝－ 2x2
…
…
22.1.2 二次函数y=a2x 的图象和性质
新知梳理
► 知识点一 二次函数y=ax2 的图象 二次函数 y＝ax2 的图象是一条抛物线，它关于 y 轴对称.
22.1.2 二次函数y=a2x 的图象和性质
► 知识点二 二次函数y=a2x 图象的性质
函数 a 的取值
y＝ax2
a>0
a<0
图象形状
开口方向
向上
向下
顶点坐标
（0，0）
（0，0）
对称轴
列表：根据二次函数的解析式用表格的形式列出点的坐标； 描点：把表格中的对应点描到直角坐标系内； 连线：用光滑的曲线顺次连接各点.
22.1.2 二次函数y=a2x 的图象和性质
理解四点：（1）抛物线是轴对称图形，列表时先找到顶点， 然后在对称轴两侧对称地取自变量的值；（2）列好表后，观 察表中对应点的大致位置，根据需要画出平面直角坐标系； （3）二次函数的自变量的取值范围是一切实数，所以函数的 图象是向两端无限延伸的；（4）连线时两点之间不是用线段 连接，而是用光滑的曲线连接.
（4）当x＞0时，曲线自左向右 （填“下降”或“上升” 下降
），即y值随x值的增大减而小 （填“增大”或“减小”）； （5）图象在x轴的 （填“上方”或“下方”）； 下方 （6）顶点是抛物线的最 （填“高”或“低”）点，y有 高

22.1.2二次函数y=ax² 的图象 和性质
二次函数: 一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)
的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别是 函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 在下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x+5;
(2)y=x2;
(3)y=(2x-1)2-4x2.
作出下列函数的图像 y= - x2 ， y= - 1 x2 ， y= -2x2
2
并考虑这些抛物线有什么共同点 和不同点．
函数y=－ 21x2,y=－2x2的图象与函数y=－x2 (图中蓝线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?
相同点：开口：向下，
-3 -2
顶点：原点（0,0）——最高点
对称轴： y 轴 增减性：y 轴左侧，y随x增大而增大
5、已知二次函数 y ax 2的图象经过点(-2，-3)。
(1)求a的值，并写出函数解析式； (2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、开口方向和图
象的位置；
目标检测 1．函数y＝x2的图象开口向____，顶点是______， 对称轴是_____， 当x＝______时，有最_____值是_____．
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|相同,
抛物线的开口就相同. |a|越大, 抛物线的开口就越小.
1、函数y=4x2的图象的开口 向上,对称轴是 y轴 , 顶点是 (0,0) ;
2、函数y=－3x2的图象的开口 向下,对称轴是 y轴,顶 点是 (0,0) 顶点是抛物线的最 高点
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中 所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，

5．二次函数的图象如图所示，则它的解析式为 y＝13x2 ，如果另一个 函数图象与该图象关于 x 轴对称，那么它的解析式是 y＝－13x2 ．
6．已知二次函数 y＝ax2 的图象经过点 A(－2，116)． (1)求这个二次函数的解析式并画出其函数图象； (2)请写出这个二次函数的顶点坐标、对称轴．
3．下列关于抛物线 y＝13x2 和 y＝－13x2 的说法中，正确的是( B ) A．它们的形状相同，开口也相同 B．它们都关于 y 轴对称 C．它们的顶点不相同 D．点(－3，3)既在抛物线 y＝13x2 上也在抛物线 y＝－31x2 上
4．抛物线 y＝－12x2 的开口向____下，顶点坐标是 (0，0，)顶点是抛物 线的最__高__点，当 x＝___0_时，函数有__大__值，为___0_．
解：(1)将点 A(－2，－8)代入抛物线 y＝ax2，可得 a＝－2； (2)由(1)知 y＝－2x2，当 x＝－1 时，y＝－2≠－4，所以点 B(－1，－4) 不在此抛物线上；
(3)将 P(m，－6)代入 y＝－2x2，得－6＝－2m2，解得 m＝± 3，则点 P 的坐标为( 3，－6)或(－ 3，－6)；
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解：(1)由题意可知：116＝4a，即 a＝614， 故二次函数的解析式为 y＝614x2，图象略； (2)顶点坐标为(0，0)，对称轴为 y 轴．
7．对于函数 y＝－41x2，下列说法正确的是( A) A．当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小 B．当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小 C．y 随 x 的增大而减小 D．y 随 x 的增大而增大
解：(1)依题意得：m2＋m＝2，且m＋1≠0，解得：m＝1或－2. ∵当x＞0时，y随x的增大而增大，∴m＋1＞0，m>－1，∴m＝1； (2)画图象略．

有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己，只有战胜自己，才能战胜困难！
9．(例题1变式)某同学在画二次函数y＝ax2的图象时，列出了
如下表格：
x
－3
－ 2
－1
0
1
23
y
－92
－ 2
－12
0
－12
－ 2
－92
(1)这个二次函数的关系式是___y_＝__－__12_x_2 ___；
(2)将表格中的空格补全；
(3)请你在如图的坐标系中画出该二次函数的图象；
(4)指出它的开口方向、对称轴和顶点．
10．两条抛物线y＝ax2与y＝－ax2在同一坐标系内，下列说法 不正确的是( D) A．顶点坐标相同 B．对称轴相同 C．开口方向相反 D．都有最小值 11．函数y＝x2与y＝－x＋1的图象可能是( B )
12．已知 a>1，点 A(a－1，y1)，B(a，y2)，C(a＋1，y3)都在二次 函数 y＝－2x2 的图象上，则( C ) A．y1<y2<y3 B．y1<y3<y2 C．y3<y2<y1 D．y2<y1<y3 13．(2015·铜仁)河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形， 建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为 y＝－215x2， 当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 m 时，这时水面宽度 AB 为( C )
1．对y＝ax2(a≠0)的图象和性质理解不透彻而致错． 2．在作函数图象时，注意自变ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的取值范围．
在我的印象里，他一直努力而自知，每天从食堂吃饭后，他总是习惯性地回到办公室看厚厚的专业书不断提升和充实自己，他的身上有九零后少见的沉稳。同事们恭喜他，大多看 到了他的前程似锦，却很少有人懂得他曾经付出过什么。就像说的：“如果这世上真有奇迹，那只是努力的另一个名字，生命中最难的阶段，不是没有人懂你，而是你不懂自已。” 而他的奇迹，是努力给了挑选的机会。伊索寓言中，饥饿的狐狸想找一些可口的食物，但只找到了一个酸柠檬，它说，这只柠檬是甜的，正是我想吃的。这种只能得到柠檬，就说 柠檬是甜的自我安慰现象被称为：“甜柠檬效应”。一如很多人不甘平庸，却又大多安于现状，大多原因是不知该如何改变。看时，每个人都能从角色中看到自已。高冷孤独的安 迪，独立纠结的樊胜美，乐观自强的邱莹莹，文静内敛的关睢尔，古怪精灵的曲筱绡。她们努力地在城市里打拼，拥有幸或不幸。但她依然保持学习的习惯，这样无论什么事她都 有最准确的判断和认知；樊胜美虽然虚荣自私，但她努力做一个好HR，换了新工作后也是拼命争取业绩；小蚯蚓虽没有高学历，却为了多卖几包咖啡绞尽脑汁；关睢尔每一次出镜 几乎都是在房间里戴着耳机听课，处理文件；就连那个嬉皮的曲筱潇也会在新年之际为了一单生意飞到境外……其实她们有很多路可以走：嫁人，啃老，安于现状。但每个人都像 个负重的蜗牛一样缓缓前行，为了心中那丁点儿理想拼命努力。今天的努力或许不能决定明天的未来，但至少可以为明天积累，否则哪来那么多的厚积薄发和大器晚成？身边经常 有人抱怨生活不幸福，上司太刁，同事太蛮，公司格局又不大，但却不想改变。还说：“改变干嘛？这个年龄了谁还能再看书考试，混一天是一天吧。”一个“混”字就解释了他 的生活态度。前几天我联系一位朋友，质问为什么好久不联系我？她说自已每天累的像一条狗，我问她为什么那么拼？她笑：“如果不努力我就活得像一条狗了。”恩，新换的上 司，海归，虽然她有了磨合几任领导的经验，但这个给她带来了压力。她的英语不好，有时批阅文件全是大段大段的英文，她心里很怄火，埋怨好好的中国人，出了几天国门弄得 自己像个洋鬼子似的。上司也不舒服，流露出了嫌弃她的意思，甚至在一次交待完工作后建议她是否要调一个合适的部门？她的脸红到了脖子，想着自己怎么也算是老员工，由她 羞辱？两个人很不愉快。但她有一股子倔劲，不服输，将近40岁的人了，开始拿出发狠的学习态度，报了个英语培训班。回家后捧着英文书死啃，每天要求上中学的女儿和自己英 语对话，连看电影也是英文版的。功夫不负有心人，当听力渐渐能跟得上上司的语速，并流利回复，又拿出漂亮的英文版方案，新上司看她的眼光也从挑剔变柔和，某天悄悄放了 几本英文书在她桌上，心里突然发现上司并没那么讨厌。心态好了，她才发现新上司的优秀，自从她来了后，部门业绩翻了又翻，奖金也拿到手软，自己也感觉痛快。她说：这个 社会很功利，但也很公平。别人的傲慢一定有理由，如果想和平共处，需要同等的段位，而这个段位，自己可能需要更多精力，但唯有不断付出，才有可能和优秀的人比肩而立。 人为什么要努力？一位长者告诉我：“适者生存。”这个社会讲究适者生存，优胜劣汰。虽然也有潜规则，有套路和看不见的沟沟坎坎，但一直努力的人总会守得云开见月明。有 些人明明很成功了，但还是很拼。比如剧中的安迪，她光环笼罩，商场大鳄是她的男闺蜜，不离左右，富二代待她小心呵护，视若明珠，加上她走路带风，职场攻势凌历，优秀得 让身边人仰视。这样优秀的人，不管多忙，每天都要抽出两个小时来学习。她的学习不是目的，而是能量，能让未来的自己比过去更好一些。现实生活中，努力真的重要，它能改 变一个人的成长轨迹，甚至决定人生成败。有一句鸡汤：不着急，你想要的，岁月都会给你。其实，岁月只能给你风尘满面，而希望，唯有努力才能得到！9、懂得如何避开问题的 人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在家里看到的永远是家，走出去看到的才 是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观念是上策。财富买不来好观念，好观念能换来 亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵支配心灵。人与人之间的差别，主要差在两耳之间的 那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路，人失意的时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定 的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选择什么态度；有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生 什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行

(0 ,0) y轴
增 减
当x<0时， y随着x的增大而减小。
当x>0时，
当x<0时, y随着x的增大而增大。
当x>0时，
性
y随着x的增大而增大。
y随着x的增大而减小。
极值
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,
抛物线的开口就越小. |a|越小, 抛物线的开口就越大.
,当x=0时,函数y的值最大,最大值是
,
当x
0时,y<0.
画最简单的二次函数 y = x2 的图象
解:(1) 列表 x y
你还(2记) 得描描点点
法的一般步骤?
(3) 连线
连线时应注意 什么问题？
… -3 -2 -1 列0表时1 应2注意3 …
… 9 4 1 什0么问1 题4？ 9 …
描点法
y
10
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外), 它的开口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的 开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在 对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在 对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
在对称轴的右侧， y随着x的增大而减小。
y 1 x2 2
y 1
-1 0 1 -1 -2 -3 -4
2 3x
不同点: 开口大小不同;
y x2