与方程有关的新型中考阅读题-最新教学文档

一元二次方程中的阅读理解题阅读是现如今社会中人们获取相关信息的最重要的途径之一，所以阅读能力是中考各学科都重点考查的内容.特别是近几年来的全国和各地的中考数学试卷中出现了大量的阅读理解问题，下面就以有关一元二次方程的解题方法的阅读理解题，举例说明.例1（2011年湖北省恩施自治州）解方程(x －1)2－5(x －1)+4＝0时，我们可以将x －1看成一个整体，设x －1＝y ，则原方程可化为y 2－5y +4＝0，解得y 1＝1，y 2＝4.当y ＝1时，即x －1＝1，解得x ＝2；当y ＝4时，即x －1＝4，解得x ＝5，所以原方程的解为：x 1＝2，x 2＝5.则利用这种方法求得方程(2x +5)2－4(2x +5)+3＝0的解为（ ）A.x 1＝1，x 2＝3B.x 1＝－2，x 2＝3C.x 1＝－3，x 2＝－1D.x 1＝－1，x 2＝－2分析 通过阅读，可模仿解题过程，设2x +5＝y ，则原方程可化为y 2－4y +3＝0，利用因式分解求得y ，进而再代入2x +5＝y 求解.解 设2x +5＝y ，则原方程可化为y 2－4y +3＝0，左边分解因式，得(y －1)(y －3)＝0， 解得y 1＝1，y 2＝3.当y ＝1时，即2x +5＝1，解得x ＝－2；当y ＝3时，即2x +5＝3，解得x ＝－1，所以原方程的解为：x 1＝－2，x 2＝－1.故应选D .说明 本题考查了用整体代入法解一元二次方程.求解时一定注意模仿阅读的材料中所提供的解题过程.例2（2011年湖南省张家界市）阅读材料：如果x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根，那么x 1+x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a，这就是著名的韦达定理.现在我们利用韦达定理解决问题：已知m 与n 是方程2x 2－6x +3＝0的两根.（1）填空：m +n ＝＿＿＿，m ·n ＝＿＿＿.（2）计算1m +1n的值. 分析（1）通过阅读，直接模仿结论求解.（2）由（1），并将1m +1n 转化为m n mn +，进而通过整体代入求解.解（1）依题意，得m +n ＝－62-＝3，m ·n ＝32. （2）由（1），得1m +1n ＝m n mn +＝332＝2. 说明 利用一元二次方程根与系数关系x 1+x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a，可以很简洁地解决与方程系数有关的问题，应注意理解和运用.例3（2011年湖北省十堰市）请阅读下列材料：问题：已知方程x 2+x －1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.解：设所求方程的根为y ，则y ＝2x ，所以x ＝2y . 把x ＝2y 代入已知方程，得22y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+2y －1＝0，化简，得y 2+2y －4＝0. 故所求的方程为y 2+2y －4＝0.这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）.（1）已知方程x2+x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：＿＿＿；（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.分析通过阅读，可以得到求作新方程的方法，即对于（1）可设所求方程的根为y，则y＝－x，即x＝－y，将此代入方程x2+x－2＝0，化简即得.对于（2）可设所求方程的根为y，则y＝1x，即x＝1y，同样将此代入方程ax2+bx+c＝0，化简即得.解（1）设所求方程的根为y，则y＝－x，即x＝－y，将x＝－y代入方程x2+x－2＝0，得(－y)2+(－y)－2＝0，所以所求方程为y2－y－2＝0.（2）设所求方程的根为y，则y＝1x(x≠0)，即x＝1y(y≠0)，把x＝1y代入方程ax2+bx+c＝0，得a×21y⎛⎫⎪⎝⎭+b×1y+c＝0，去分母，得a+by+cy2＝0.若c＝0，有ax2+bx＝0，于是方程ax2+bx+c＝0有一个根为0，不符合题意，所以c≠0.故所求方程为：cy2+by+a＝0(c≠0).说明通过阅读，读懂题目提供的材料的意思是解答本题的关键.“换根法”的本质是“整体代入”.注意不能忽视对c≠0条件的分析，否则会导致解题不完整.例4（2011年四川省自贡市）阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程.例：解方程：x2－|x－1|－1＝0.解：（1）当x－1≥0，即x≥1时，|x－1|＝x－1，原方程化为x2－(x－1)－1＝0，即x2－x＝0，解得x1＝0，x2＝1.∵x≥1，故x＝0舍去，x＝1是原方程的解.（2）当x－1＜0，即x＜1时，|x－1|＝－(x－1)，原方程化为x2+(x－1)－1＝0，即x2+x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2.∵x＜1，故x＝1舍去，x＝－2是原方程的解.综上所述，原方程的解为x1＝1，x2＝－2.解方程：x2+2 |x+2|－4＝0.分析通过阅读可根据示例知解含有绝对值的一元二次方程，首要任务是根据绝对值分析x的范围，根据分析，化为一元二次方程求解，然后检验解得正确性，最后确定出方程的解.解（1）x+2≥0，即x≥－2时，|x+2|＝x+2，原方程化为x2+2(x+2)－4＝0，即x2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝－2.因为x≥－2，故x＝0舍去，x＝－2是原方程的解.（2）当x+2＜0，即x＜－2时，|x+2|＝－(x+2)，原方程化为x2－2(x+2)－4＝0，即x2－2x－8＝0，解得x1＝4，x2＝－2.因为x＜－2，故x1＝4，x2＝－2均舍去.综上所述，原方程的解为x＝－2.说明阅读理解题解题思路：“阅读――分析――理解――创新应用”是求解阅读理解类型试题的基本步骤．首先做到认真阅读题目中介绍的新知识，包括定义、公式、表示方法及如何计算等，并且正确理解引进的新知识，读懂范例的应用；其次，根据介绍的新知识、新方法进行运用，并与范例的运用进行比较，防止出错.。

专题05一次方程（组）及其应用（11题）一、单选题1．（2024·辽宁·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有x 只，兔有y 只，根据题意可列方程组为（）A ．944235x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．942435x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．354294x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．352494x y x y +=⎧⎨+=⎩2．（2024·甘肃兰州·中考真题）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x 个，苦果y 个，则可列方程组为（）A ．100011499997x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩B ．100011499997x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩C ．100041199979x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩D ．999411100079x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩3．（2024·山东泰安·中考真题）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，…，…，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x 个，买苦果y 个，列出符合题意的二元一次方程组：100011499997x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（）A ．甜果九个十一文，苦果七个四文钱B ．甜果七个四文钱，苦果九个十一文C ．甜果十一个九文，苦果四个七文钱D ．甜果四个七文钱，苦果十一个九文二、填空题4．（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB AB '=，AB B C '⊥于点C ，0.5BC =尺，2B C '=尺．设AC 的长度为x 尺，可列方程为．三、解答题5．（2024·江苏常州·中考真题）解方程组和不等式组：(1)034x y x y -=⎧⎨+=⎩(2)36012xx x-<⎧⎪⎨-<⎪⎩6．（2024·辽宁·中考真题）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为336m、工作期间需同时排水，乙池的排水速度是38m/h．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍．(1)求甲池的排水速度．(2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于324m，那么最多可以排水几小时？7．（2024·四川资阳·中考真题）2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B 款共用200元．(1)分别求出A，B两款纪念品的进货单价；(2)该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？8．（2024·湖南长沙·中考真题）刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元．(1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？(2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A 种湘绣作品多少件？9．（2024·四川泸州·中考真题）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．(1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？(2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？10．（2024·吉林长春·中考真题）《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．11．（2024·浙江·中考真题）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C 档比B 档快40米/分、B 档比A 档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s （米）与小明跑步时间t （分）的函数关系如图所示．时间里程分段速度档跑步里程小明16:00~16:50不分段A 档4000米小丽16:10~16:50第一段B 档1800米第一次休息第二段B 档1200米第二次休息第三段C 档1600米(1)求A ，B ，C 各档速度（单位：米/分）；(2)求小丽两次休息时间的总和（单位：分）；(3)小丽第二次休息后，在a 分钟时两人跑步累计里程相等，求a 的值．专题05一次方程（组）及其应用（11题）一、单选题1．（2024·辽宁·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有x 只，兔有y 只，根据题意可列方程组为（）A ．944235x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．942435x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．354294x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．352494x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】D【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解题关键．设鸡有x 只，兔有y 只，根据“鸡兔同笼，共有35个头，94条腿”列二元一次方程组即可．【详解】解：设鸡有x 只，兔有y 只，由题意得：352494x y x y +=⎧⎨+=⎩，故选：D ．2．（2024·甘肃兰州·中考真题）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x 个，苦果y 个，则可列方程组为（）A ．100011499997x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪B ．100011499997x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪C ．100041199979x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪D ．999411100079x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪【答案】A【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，列出方程组即可．【详解】解：设买了甜果x 个，苦果y 个，由题意，得：100011499997x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩；故选A ．3．（2024·山东泰安·中考真题）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，…，…，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x 个，买苦果y 个，列出符合题意的二元一次方程组：100011499997x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（）A ．甜果九个十一文，苦果七个四文钱B ．甜果七个四文钱，苦果九个十一文C ．甜果十一个九文，苦果四个七文钱D ．甜果四个七文钱，苦果十一个九文二、填空题4．（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB AB '=，AB B C '⊥于点C ，0.5BC =尺，2B C '=尺．设AC 的长度为x 尺，可列方程为．【答案】()22220.5x x +=+【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键．设AC 的长度为x 尺，则0.5AB AB x '==+，在Rt AB C '△中，由勾股定理即可建立方程．【详解】解：设AC 的长度为x 尺，则0.5AB AB x '==+，∵AB B C '⊥，由勾股定理得：222AC B C AB ''+=，∴()22220.5x x +=+，故答案为：()22220.5x x +=+．三、解答题5．（2024·江苏常州·中考真题）解方程组和不等式组：(1)034x y x y -=⎧⎨+=⎩(2)36012x x x -<⎧⎪⎨-<⎪⎩6．（2024·辽宁·中考真题）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为336m 、工作期间需同时排水，乙池的排水速度是38m /h ．若排水3h ，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍．(1)求甲池的排水速度．(2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于324m ，那么最多可以排水几小时？【答案】(1)34m /h(2)4小时【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，一元一次不等式的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．（1）设甲池的排水速度为3m /h x ，由题意得，()36323683x -=-⨯，解方程即可；（2）设排水a 小时，则()3624824a ⨯-+≥，再解不等式即可．【详解】（1）解：设甲池的排水速度为3m /h x ，由题意得，()36323683x -=-⨯，解得：4x =，答：甲池的排水速度为34m /h ；（2）解：设排水a 小时，则()3624824a ⨯-+≥，解得：4a ≤，答：最多可以排4小时．7．（2024·四川资阳·中考真题）2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A ，B 两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A 款比购进2个B 款多用120元；购进1个A 款和2个B 款共用200元．(1)分别求出A ，B 两款纪念品的进货单价；(2)该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B 款纪念品多少个？【答案】(1)A 款纪念品的进货单价为80元，则B 款纪念品的进货单价为60元(2)至少应购买B 款纪念品30个【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，（1）设A 款纪念品的进货单价为x 元，则B 款纪念品的进货单价为y 元，根据题意列二元一次方程组求解即可；（2）设购买B 款纪念品a 个，则购买A 款纪念品()70a -个，根据题意列一元一次不等式求得a 的取值范围，即可求解．【详解】（1）解：设A 款纪念品的进货单价为x 元，则B 款纪念品的进货单价为y 元，由题意得，321202200x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得8060x y =⎧⎨=⎩，答：A 款纪念品的进货单价为80元，则B 款纪念品的进货单价为60元．（2）解：设购买B 款纪念品a 个，则购买A 款纪念品()70a -个，由题意得，()8070605000a a -+≤，解得，30a ≥，答：至少应购买B 款纪念品30个．8．（2024·湖南长沙·中考真题）刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A 、B 两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A 种湘绣作品与2件B 种湘绣作品共需要700元，购买2件A 种湘绣作品与3件B 种湘绣作品共需要1200元．(1)求A 种湘绣作品和B 种湘绣作品的单价分别为多少元？(2)该国际旅游公司计划购买A 种湘绣作品和B 种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A 种湘绣作品多少件？【答案】(1)A 种湘绣作品的单价为300元，B 种湘绣作品的单价为200元(2)最多能购买100件A 种湘绣作品【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．（1）设A 种湘绣作品的单价为x 元，B 种湘绣作品的单价为y 元，根据“购买1件A 种湘绣作品与2件B 种湘绣作品共需要700元，购买2件A 种湘绣作品与3件B 种湘绣作品共需要1200元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可解题；（2）设购买A 种湘绣作品a 件，则购买B 种湘绣作品()200a -件，总费用=单价⨯数量，结合总费用不超过50000元，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出a 的值，再取其中的最大整数值即可得出该校最大可以购买湘绣的数量．【详解】（1）设A 种湘绣作品的单价为x 元，B 种湘绣作品的单价为y 元．根据题意，得2700231200x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得300,200x y =⎧⎨=⎩．答：A 种湘绣作品的单价为300元，B 种湘绣作品的单价为200元．（2）设购买A 种湘绣作品a 件，则购买B 种湘绣作品()200a -件．根据题意，得()30020020050000a a +-≤，解得100a ≤．答：最多能购买100件A 种湘绣作品．9．（2024·四川泸州·中考真题）某商场购进A ，B 两种商品，已知购进3件A 商品比购进4件B 商品费用多60元；购进5件A 商品和2件B 商品总费用为620元．(1)求A ，B 两种商品每件进价各为多少元？(2)该商场计划购进A ，B 两种商品共60件，且购进B 商品的件数不少于A 商品件数的2倍．若A 商品按每件150元销售，B 商品按每件80元销售，为满足销售完A ，B 两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A 商品的件数最多为多少？【答案】(1)A ，B 两种商品每件进价各为100元，60元；(2)购进A 商品的件数最多为20件【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用：（1）设A ，B 两种商品每件进价各为x 元，y 元，根据购进3件A 商品比购进4件B 商品费用多60元；购进5件A 商品和2件B 商品总费用为620元列出方程组求解即可；（2）设购进A 商品的件数为m 件，则购进B 商品的件数为()60m -件，根据利润不低于1770元且购进B 商品的件数不少于A 商品件数的2倍列出不等式组求解即可．【详解】（1）解：设A ，B 两种商品每件进价各为x 元，y 元，由题意得，346052620x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得10060x y =⎧⎨=⎩，答：A ，B 两种商品每件进价各为100元，60元；（2）解：设购进A 商品的件数为m 件，则购进B 商品的件数为()60m -件，由题意得，()()()1501008060601770602m m m m ⎧-+--≥⎨-≥⎩，解得1920m ≤≤，∵m 为整数，∴m 的最大值为20，答：购进A 商品的件数最多为20件．10．（2024·吉林长春·中考真题）《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．【答案】共33人合伙买金，金价为9800钱【分析】设共x 人合伙买金，金价为y 钱，根据“每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设共x 人合伙买金，金价为y 钱，依题意得：4003400300100x y x y -=⎧⎨-=⎩，解得：339800x y =⎧⎨=⎩．答：共33人合伙买金，金价为9800钱．【点睛】本题考查了二元-次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．11．（2024·浙江·中考真题）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C 档比B 档快40米/分、B 档比A 档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s （米）与小明跑步时间t （分）的函数关系如图所示．时间里程分段速度档跑步里程小明16:00~16:50不分段A 档4000米小丽16:10~16:50第一段B 档1800米第一次休息第二段B 档1200米第二次休息第三段C 档1600米(1)求A ，B ，C 各档速度（单位：米/分）；(2)求小丽两次休息时间的总和（单位：分）；(3)小丽第二次休息后，在a 分钟时两人跑步累计里程相等，求a 的值．【答案】(1)80米/分，120米/分，160米/分(2)5分(3)42.5【分析】此题考查函数图象获取信息，一元一次方程的应用，读懂图象中的数据是解本题的关键．（1）由小明的跑步里程及时间可得A 档速度，再根据C 档比B 档快40米/分、B 档比A 档快40米/分可得B ，C 档速度；（2）结合图象求出小丽每段跑步所用时间，再根据总时间即可求解；（3）由题意可得，此时小丽在跑第三段，所跑时间为101510540a a ----=-（分），可得方程()80300016040a a =+-，求解即可．【详解】（1）解：由题意可知，A 档速度为40005080÷=米/分，则B 档速度为8040120+=米/分，C 档速度为12040160+=米/分；（2）小丽第一段跑步时间为180012015÷=分，小丽第二段跑步时间为()3000180012010-÷=分，小丽第三段跑步时间为()4600300016010-÷=分，则小丽两次休息时间的总和50101510105=----=分；（3）由题意可得：小丽第二次休息后，在a 分钟时两人跑步累计里程相等，此时小丽在跑第三段，所跑时间为：101510540a a ----=-（分）可得：()80300016040a a =+-，解得：42.5a =．。

第三讲 方程（组）专项一 一元一次方程的概念和解法知识清单1．等式的概念与性质等式的概念 表示 关系的式子，叫做等式 等式的基本性质性质1 若a =b ，则a ±c =b ±c 性质2若a =b ，则ac =bc ，a c =bc（c ≠0） 2．一元一次方程的有关概念（1）含有未知数的 叫做方程；（2）使方程左、右两边 的未知数的值叫做方程的解；（3）只含有一个未知数，并且未知数的次数是 ，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程． 3．解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 ． 考点例析例1 若关于x 的方程42x-+a =4的解是x =2，则a 的值为 . 分析：根据方程解的定义，将x =2代入方程42x-+a =4，再解关于a 的方程.例2 解方程：32x -+13x -=4.分析：方程两边每一项都乘以各分母的最小公倍数6，去掉分母，然后按照去括号、移项、系数化为1的步骤求解.解：归纳：解一元一次方程应注意：①去分母时，不含分母的项也要乘各分母的最小公倍数，分子是多项式的，去分母后要加上括号；②去括号时，括号前面是负号，去括号后括号里的各项都要变号；③移项要变号；④系数化为1时，方程两边都除以未知数的系数．跟踪训练1. 方程2x-1=2的解是（ ） A. x =2 B. x =3 C. x =5D. x =6 2. 解方程-2（2x +1）=x 时，下列去括号正确的是（ ） A. -4x +1=-x B. -4x +2=-x C. -4x -1=x D. -4x -2=x3. 若a ，b ，c 为互不相等的实数，且b =45a +15c ，则下列结论正确的是（ ） A. a ＞b ＞c B. c ＞b ＞a C. a -b =4（b -c ） D. a -c =5（a -b ）4. 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”.把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方.将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a 的值为 .第4题图专项二 二元一次方程（组）的概念和解法知识清单1．二元一次方程（组）的有关概念（1）含有两个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是，这样的方程叫做二元一次方程，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组；（2）使二元一次方程组的两个方程左右两边都的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．也可以说二元一次方程组的解就是两个二元一次方程的公共解．2．解二元一次方程组的基本思路是“”，即把“二元”化为“一元”．常用的方法有和．当某个未知数的系数绝对值为1或一个方程的常数项为0时，用较简便；当两个方程中，同一个未知数的系数绝对值相等或成整数倍时，用较简便．考点例析例1 已知关于x，y的二元一次方程组235423，x y ax y a+=⎧⎨+=+⎩满足x-y>0，则a的取值范围是_____________．分析：根据题目中方程组的特点，将两个方程作差，用含a的代数式表示出x-y，再根据x-y>0，求得a的取值范围．例2 解方程组：342 3.x yx y-=-⎧⎨-=-⎩①②，分析：注意到①可变形为y=3x+4，然后代入②消去y，再解一元一次方程即可.解：归纳：解二元一次方程组时，要仔细观察方程的系数特点，灵活选用适当的方法，力求解题过程简捷.本题两种方法均可，同学们可以自己尝试加减消元法.跟踪训练1.解方程组2323 4 ②，①x yx y+=⎧⎨-=⎩时，将①-②得（）A. -2y=-1B. -2y=1C. 4y=1D. 4y=-12. 方程组23 4，x yx y+=⎧⎨+=⎩的解是（）A.2，xy=⎧⎨=⎩B.11，xy=⎧⎨=⎩C.22，xy=⎧⎨=-⎩D.33，xy=⎧⎨=-⎩3.若21，ab=⎧⎨=⎩是二元一次方程组3522，ax byax by⎧+=⎪⎨⎪-=⎩的解，则x+2y的算术平方根为（）A. 3B. ±3C.D.4. 已知二元一次方程x+3y=14，请写出该方程的一组整数解.（写一组即可）5. 已知2，xy m=⎧⎨=⎩是方程3x+2y=10的一组解，则m的值是.6. 已知x，y满足方程组22237，，x yx y+=⎧⎨+=⎩则x+y的值为.7. 解方程组：32200 21530.①，②x yx y-+=⎧⎨+-=⎩8. 已知方程组271，x yx y+=⎧⎨=-⎩的解是关于x，y的方程ax+y=4的一个解，求a的值.专项三分式方程的概念和解法知识清单1. 分母中含有的方程叫做分式方程．2. 分式方程的解法：（1）去分母：在方程的两边都乘 ，约去分母，化成 ；（2）解这个整式方程；（3）检验：把整式方程的解代入 ，看结果是否为0，若最简公分母不为0，这个解就是原分式方程的解；若最简公分母为0，这个解就不是原分式方程的解，原分式方程无解．考点例析例1 解方程：21311x x x --+-=1. 分析：方程两边都乘以（x +1）（x -1）得到（x -1）2-3=（x +1）（x -1），求出方程的解，再检验即可. 解：归纳：由于去分母所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为零，因此求得解后一定要检验. 例2 若关于x 的分式方程311x mx x=--+2的解为正数，则m 的取值范围是 . 分析：根据解分式方程的一般步骤求出分式方程的解，由方程的解为正数列出不等式.当x =1时方程中分式的分母为0，所以分式方程的解不等于1.根据上述条件得到不等式组，解不等式组得到m 的取值范围.归纳：根据分式方程的解的情况确定方程中待定字母的取值范围，主要有两种类型：一是分式方程的解为正数、负数或非负数等，解题方法是先把分式方程的解用含字母的代数式表示出来，再建立不等式（组），求出字母的取值范围．要特别注意排除分式分母为零的情况；二是分式方程无解，包括两种情况：①由分式方程化为整式方程ax =b ，出现a ＝0，b ≠0的情况；②由分式方程化为整式方程，整式方程的解使得分式方程的分母为零．跟踪训练1. 方程123x x=-的解为（ ） A. x =-6B. x =-2C. x =2D. x =62. 若关于x 的分式方程233x ax x++--=2无解，则a 的值为（ ） A. -1B. 0C. 3D. 0或33. 关于x 的分式方程302m xx+-=-有解，则实数m 应满足的条件是（ ） A. m =-2 B. m ≠-2C. m =2D. m ≠24. 若分式22y -+1的值为零，则y = . 5. 若关于x 的分式方程21x x --1=1mx -无解，则m = . 6.若x ＜2，且12x -+|x -2|+x -1=0，则x = . 7.若分式方程21x a x ---4=21x ax -++的解为整数，则整数a 的值为 .8. 解方程：2111x x x +=+-.专项四 一元二次方程的概念和解法知识清单1．只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程，叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c ＝0（其中a ，b ，c 为常数，a ≠0）．2．一元二次方程的解法： （1）直接开平方法适用方程类型：（x +m ）2＝n （n ≥0）步骤：①两边开方，得x +m ＝；②解为x ＝-m ． （2）配方法适用方程类型：x2+px+q＝0（p为偶数）步骤：①化二次项系数为1；②常数项移右边，即x2+px＝-q；③配成完全平方式，即22px⎛⎫+⎪⎝⎭=-q+22p⎛⎫⎪⎝⎭；④直接开平方．（3）因式分解法适用方程类型：方程一边为0，另一边能分解成两个因式的乘积步骤：①把方程化成（ax+b）（cx+d）＝0的形式；②令ax+b＝0，cx+d＝0进行求解．（4）公式法适用于所有一元二次方程步骤：①将方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②确定a，b，c的值；③若b2-4ac≥0，则代入求根公式x＝a acb b24-2-±，求得x1，x2；若b2-4ac＜0，则方程无实数根．考点例析例1 关于x的一元二次方程（m-3）x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（）A. 0B. ±3C. 3D. -3分析：把原方程化为一般形式（m-3）x2+（m2-9）x-5=0，由一元二次方程的定义，知m-3≠0，不含一次项，即m2-9=0，列式计算即可.例2 解方程：x2-4x-5=0.分析：本题可以用配方法，先移项将常数项移到等式的右边，得x2-4x=5，然后等式的两边同时加4，配成完全平方式，再利用直接开平方法解.也可以用公式法，公式法是所有一元二次方程的通用解法.解：归纳：当题目对解方程的方法没有具体要求时，要先观察方程的特点，看看能否运用因式分解法，不要急于把方程化为一般形式；若不能运用因式分解法求解，再化方程为一般形式，选择配方法或公式法求解．跟踪训练1. 关于x的方程x2+4kx+2k2=4的一个根是x=-2，则k的值为（）A. 2或4B. 0或4C. -2或0D. -2或22. 用配方法解方程x2+4x+1=0时，配方结果正确的是（）A.（x-2）2=5B.（x-2）2=3C.（x+2）2=5D.（x+2）2=33. 方程x2-x=56的根是（）已知a是不等式5（a-2）+8＜6（a-1）+7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2+2ax+a+1=0.专项五一元二次方程根的判别式、根与系数的关系知识清单1. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），根的判别式Δ=_________________；当Δ>0时，方程有两个不等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根.2. 若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2=____________，x1x2=_______________.考点例析例1若关于x的一元二次方程ax2+4x-2=0有实数根，则a的取值范围为.分析：利用一元二次方程的定义和根的判别式得到a≠0且Δ=42-4a×（-2）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可.归纳：根据一元二次方程根的情况求字母系数的值或取值范围，特别要注意考虑二次项系数不为0这个隐含条件.本题中，一元二次方程有实数根包含有两种情况：①Δ>0，方程有两个不等的实数根；②Δ=0，方程有两个相等的实数根.例2若m，n是一元二次方程x2+3x-9=0的两个根，则m2+4m+n的值是（）A. 4B. 5C. 6D. 12分析：由根与系数的关系，得m+n=-3，mn=-9.又m是方程的一个根，所以m2+3m-9=0，即m2+3m=9.将m2+4m+n 拆成m2+3m+m+n，然后整体代入计算即可.跟踪训练1. 若方程x2-2x+m=0没有实数根，则m的值可以是（）A. -1B. 0C. 1D.2. 已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不等的实数根x1，x2，则（）A. x1+x2＜0B. x1x2＜0C. x1x2＞-1D. x1x2＜13. 关于x的一元二次方程x2+mx-m-2=0的根的情况是（）A. 有两个不等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 实数根的个数由m的值确定4. 对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b=ab2-ab，例如3☆2=3×22-3×2=6，则方程1☆x=2的根的情况为（）A. 没有实数根B. 只有一个实数根C. 有两个相等的实数根D. 有两个不等的实数根5. 关于x的方程x2-x-1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2-x1x2的值为.6. 关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个实数根，则k的取值范围是.7. 已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有实数根.（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22=12，求m的值.专项六方程（组）的应用知识清单列方程（组）解应用题的实质是把实际问题利用已知量与未知量之间的等量关系抽象成数学问题（方程问题），然后通过数学问题的解决，获得实际问题的答案．列方程（组）解应用题的一般步骤为：（1）审：弄清题目中涉及的已知量与未知量，找出反映已知量与未知量关系的句子；（2）设：用x（或x，y）表示未知数，把其他量也用含有未知数的式子表示出来；（3）列：利用已知量与未知量之间的等量关系列出方程（组）；（4）解：解方程，注意检验所求得的解是否满足题意；（5）答：写出答语．考点例析例1 某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶.购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元.（1）求大、小两种垃圾桶的单价；（2）该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？分析：（1）设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元，根据等量关系“购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元”，列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可；（2）利用总价=单价×数量，求得购买垃圾桶所需的费用.解：例2直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件.（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元.为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？分析：（1）根据日利润=每件利润×日销售量，可求出售价为60元时的日利润.设售价应定为x元，则每件的利润为（x-40）元，日销售量为20+()10605x-=（140-2x）件，根据日利润=每件利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值得出结论；（2）设该商品需要打a折销售，根据销售价格不超过（1）中所求售价，列出不等式求解即可.解：例3 太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线，游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太榆路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的53倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟.求走路线一到达太原机场需要多长时间？分析：根据题意得到等量关系：路线一的平均速度×53=路线二的平均速度，再根据等量关系列出方程，求解并检验.解： 跟踪训练1.某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元.若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ）A. 20%B. 25%C. 30%D. 36%2. 为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车.已知小王家距上班地点18 km ，他乘公交车平均每小时行驶的路程比自驾车平均每小时行驶的路程多10 km.他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的34.小王乘公交车上班平均每小时行驶（ ） A. 30 km B. 36 km C. 40 km D. 46 km3.某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙型号无人机架数比总架数的13少2架.设甲型号无人机有x 架，乙型号无人机有y 架，根据题意可列方程组为（ ） A ．()()1113122，x x y y x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ B ．()()1113122，x x y y x y ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩C ．()()1112123，x x y y x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩D ．()()1112123，x x y y x y ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩4. 扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一.书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马 天追上慢马.5. 2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）.若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数.（请用方程知识解答）第5题图6. 某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图①表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．【观察思考】当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图②）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图③）……以此类推【规律总结】（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加块；（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为（用含n的代数式表示）．【问题解决】（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？①②③第6题图专项七二元一次方程组中的整体思想知识清单整体思想是从问题的整体结构进行分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的地整体处理.当方程（组）具有某种特殊的结构特征时，通过变形运用整体思想，把某些代数式看成整体进行计算，从而达到化繁为简的效果．例若x，y满足2223，，x yx y-=-⎧⎨+=⎩则代数式x2-4y2的值为____________．分析：观察代数式x2-4y2可以分解为（x+2y）（x-2y），然后直接代入求解.归纳：上述解法运用了整体代入法，将x+2y，x-2y看作整体.此题也可以解方程组求得x，y的值，再代入计算.跟踪训练1.已知二元一次方程组2521①，②，x yx y-=⎧⎨-=⎩则x-y的值为（）A. 2B. 6C. -2D. -62. 已知关于x，y的方程组221255①，②x y ax y a+=+⎧⎨+=-⎩的解满足x+y=-3，则a的值为.参考答案专项一一元一次方程的概念和解法例1 3 例2 x=7.1. D2. D3. D4. 2专项二二元一次方程（组）的概念和解法例1 a>1例2 由①，得y=3x+4.将y=3x+4代入②，得x-2（3x+4）=-3，解得x=-1.将x=-1代入y=3x+4，得y=1.所以原方程组的解为11.xy=-⎧⎨=⎩，1. D2. B3. C4.111xy=⎧⎨=⎩，（答案不唯一） 5. 2 6. 57.解：将方程组整理，得353221.20①②xyyx+=-=-⎧⎨⎩，①×2-②×3，得-49y=-49，解得y=1.将y=1代入②，得x=-6.所以原方程组的解为61.x y =-⎧⎨=⎩，8. 解：方程组 1.27①②x y x y +=⎩=-⎧⎨，将②代入①，得2(y -1)+y =7，解得y =3.将y =3代入②，得x =2.所以方程组的解是23.x y =⎧⎨=⎩，将23x y =⎧⎨=⎩，代入方程ax +y =4，得2a +3=4，解得a =12.专项三 分式方程的概念和解法例1 方程两边都乘以（x +1）（x -1），得（x -1）2-3=（x +1）（x -1），解得x =-12. 检验：当x =-12时，（x +1）（x -1）≠0，所以x =-12是原分式方程的解. 例2 m ＜-2且m ≠-31. D2. A3. B4. 05. 26. 17. ±18. 解：方程两边同乘（x +1）（x -1），得2（x -1）+x 2-1=x （x +1），解得x =3. 经检验，x =3是原分式方程的解.专项四 一元二次方程的概念和解法例1 D 例2 x 1=5，x 2=-1. 1. B 2. D 3. C 4. D 5. -36. 解：移项，得x （x-7）+8（x-7）=0.提公因式，得（x-7）（x+8）=0，解得x 1=7，x 2=-8.7. 解：a=2，b=-5，c=3.因为Δ=b 2-4ac=（-5）2-4×2×3=1>0，所以方程有两个不等的实数根. 所以x=514±，即x 1=32，x 2=1. 8. 解：解不等式5（a -2）+8＜6（a -1）+7，得a ＞-3，所以最小整数解为-2.将a =-2代入方程x 2+2ax +a +1=0，得x 2-4x -1=0.配方，得（x -2）2=5.直接开平方，得xx 1x 2专项五 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系例1 a ≥-2且a ≠0 例2 C 1. D 2. D 3. A 4. D 5. 2 6. k≥-17. 解：（1）根据题意，得Δ=（2m ）2-4（m 2+m ）≥0，解得m ≤0.所以m 的取值范围是m ≤0. （2）根据题意，得x 1+x 2=-2m ，x 1x 2=m 2+m .因为x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2=12，所以（-2m ）2-2（m 2+m ）=12，即m 2-m -6=0，解得m 1=-2，m 2=3（舍去）.所以m 的值为-2.专项六 方程（组）的应用例1 （1）设大垃圾桶的单价为x 元，小垃圾桶的单价为y 元.根据题意，得24606815060y x x y +=+=⎧⎨⎩，，解得60180x y ==⎧⎨⎩，.答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元. （2）180×8+60×24=2880（元）.答：该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需2880元.例2 （1）设售价应定为x 元，则每件的利润为（x -40）元，日销售量为20+()10605x -=（140-2x ）件. 根据题意，得（x -40）（140-2x ）=（60-40）×20.整理，得x 2-110x +3000=0，解得x 1=50，x 2=60（舍去）. 答：售价应定为50元.（2）该商品需要打a 折销售.根据题意，得62.5×10a≤50，解得a ≤8. 答：该商品至少需打8折销售.例3 设走路线一到达太原机场需要x 分钟. 根据题意，得5253037x x ⨯=-，解得x =25. 经检验，x =25是所列分式方程的解，且符合实际. 答：走路线一到达太原机场需要25分钟. 1. A 2. C 3. D 4. 205. 解：设这个最小数为x ，则最大数为（x +8）.根据题意，得x （x +8）=65.整理，得x 2+8x -65=0，解得x 1=5，x 2=-13（不合题意，舍去）. 答：这个最小数为5.6. 解：（1）2 （2）（2n+4） （3）令2n+4=2021，得n=1008.5.当n=1008时，2n+4=2020，此时剩下1块等腰直角三角形地砖，所以需要正方形地砖1008块.专项七 二元一次方程组中的整体思想例 -6 1. A 2. 5。

一元二次方程中考新题冯振刚一、信息给予题例1（2007年广东梅州）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则x= 。

分析题中给出了2阶行列式的定义，由定义可知故，解得：。

评注“新定义”型题目往往给出一个学生从未接触过的概念，要求学生迅速理解新定义并能灵活运用．二、探索性问题例2（2007年甘肃）探究下表中的奥秘，并完成填空．，，将你发现的结论一般化，并写出来．解析：按表中的规律，求出4x2+13x+3=0的根为。

因此表中应填。

仔细观察表中数据可发现一般结论为：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1，x2则。

评注探索规律的问题应对题目中给出的信息进行综合考虑，然后归纳、猜想，得出一般结论．三、阅读理解题例3（2007年兰州）阅读材料：为解方程，我们可将看作一个整体，然后设，①那么原方程可化为，解得当y=1时，，∴；当时，∴，故原方程的解是。

解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想．（2）请用以上知识解方程x4－x2－6=0．解析本题考查了学生对基本数学方法的掌握和阅读理解能力、知识迁移的能力．解答如下：（1）换元法．（2）设，那么原方程可化为，解得：。

当y=3时，。

当y=－2时，，不符合题意，舍去。

∴原方程的解为。

评注解答阅读理解题应对题目中体现的数学思想和方法理解透彻，方可实现知识迁移，解决新的问题．四、开放性问题例4（2007年甘肃）解方程：。

有学生给出如下解法：∵，∵解上面第一、四个方程组，无解；解第二、三个方程组，得x=2或x=－1。

∴x=2或x=－1。

请问：这个解法对吗？试说明你的理由。

解析这是一道开放性问题，答案可因学生对知识的理解方式而不同，因此可有两种不同回答：答案一：对于这个特定的已知方程，解法是对的．理由是：一元二次方程若有根的话，最多有两个根，此学生已将两个根都求出来了，所以对．答案二：解法不严密，方法不具有一般性．理由是：为何不可以2=3×等，得到其它方程组？此学生的方法只是巧合了．评注开放性问题具有开放性，不确定性的特点，只要符合题意．言之有理即可．。

热点02 方程（组）与不等式（组）中考数学中《方程（组）与不等式（组）》部分主要考向分为四类：一、一元一次方程与二元一次方程（组）（每年2~4道，8~14分）二、一元二次方程（每年1~2道，3~8分）三、分式方程（每年1~3题，3~12分）四、不等式（组）（每年2~4题，8~18分）方程（组）与不等式（组）在数学中考中的难度中等，题型比较多，选择题、填空题、解答题都可以考察。

其中，一元一次方程与二元一次方程（组）是比较接近的两个考点，出题一般都只有1题，一元一次方程多考察其在实际问题中的应用，多为选择题；二元一次方程组则以计算和应用题为主占分较多。

一元二次方程单独出题时多考察其根的判别式、根与系数的关系以及在实际问题中提炼出一元二次方程；一元二次方程的计算则主要出现在几何大题中，辅助解压轴题。

分式方程的考察内容不多，但基本属于必考考点，可以是一道小题考察其解法，也可以是应用题。

不等式组是这四个考点中占分最多的一个，考察难度也是可大可小，其解法、含参数的不等式组问题、和方程结合的应用题都经常考到。

虽然该热点难度中等，一般不会失分，但是组合出题时，难度也可以变大，复习时需要特别注意。

考向一：一元一次方程与二元一次方程组【题型1 实际问题抽象出一元一次方程】行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得()A．12240150x x+=B．12240150x x=-C．240(12)150x x-=D．240150(12)x x=+2．（2023•丽水）古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代中国1斤等于16两）．今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为斤．3．（2023•陕西）小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价．【题型2 二元一次方程组的解法相关】满分技巧解二元一次方程组有2种方法——带入消元法和加减消元法不管是带入法还是加减法，目的都在于利用等式的基本性质将二元一次方程组转化为一元一次方程，所以做题中也必须注意一元一次方程解法的易错点。

- 1 -中考“一元二次方程阅读理解题”赏析同学们对阅读理解型题目已经不陌生了，然而，近年来有关一元二次方程的阅读理解题却层出不穷，这就要求同学们注意这方面的训练了，为了帮助同学们搞好复习，现以近年中考试题为例说明如下，供参考.例1（孝感市）在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a ☆b ＝a 2－b 2，则方程(4☆3)☆x ＝13的解为x ＝＿＿＿.分析 利用新的定义，将(4☆3)☆x 转换成我们平时学习的实数运算.解 因为a ☆b ＝a 2－b 2，所以(4☆3)☆x ＝13转化为(42－32)☆x ＝13，再进一步转化为72－x 2＝13，解得x ＝±6.说明 求解本题的关键是要能正确理解新定义下的运算规则，利用此规则将问题转换. 例2（湘潭市）阅读材料：如果x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的两根，那么有x 1+x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a .这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例x 1，x 2是方程x 2+6x －3＝0的两根，求x 12+x 22的值.解法可以这样：因为x 1+x 2＝－6，x 1·x 2＝－3，则x 12+x 22＝(x 1+x 2)2－2x 1x 2＝(－6)2－2×(－3)＝42.请你根据以上解法解答下题：已知x 1，x 2是方程x 2－4x +2＝0的两根，求：（1）11x +21x 的值；（2）(x 1－x 2)2的值. 分析 只要能将要求的两个问题通过变形，凑到x 1+x 2、x 1x 2，即可利用x 1+x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a求解. 解 因为x 1，x 2是方程x 2－4x +2＝0的两根，所以x 1+x 2＝4，x 1·x 2＝2，（1）11x +21x ＝1212x x x x ＝42＝2. （2）(x 1－x 2)2＝(x 1+x 2)2－4x 1x 2＝42－4×2＝8.说明 通过求解，同学们一定感觉到求解此类问题，只要读懂材料，理解题意，并加以模仿即可求解.例3（常德市）阅读理解：若p 、q 、m 为整数，且三次方程x 3+px 2+qx +m ＝0有整数解c ，则将c 代入方程得：c 3+pc 2+qc +m ＝0，移项得：m ＝－c 3－pc 2－qc ，即有：m ＝c (－c 2－- 2 - pc －q )，由于－c 2－pc －q 与c 及m 都是整数，所以c 是m 的因数.上述过程说明：整数系数方程x 3+px 2+qx +m ＝0的整数解只可能是m 的因数.例如：方程x 3+4x 2+3x －2＝0中－2的因数为±1和±2，将它们分别代入方程x 3+4x 2+3x －2＝0进行验证得：x ＝－2是该方程的整数解，－1、1、2不是方程的整数解.解决问题：（1）根据上面的学习，请你确定方程x 3+x 2+5x +7＝0的整数解只可能是哪几个整数？（2）方程x 3－2x 2－4x +3＝0是否有整数解？若有，请求出其整数解；若没有，请说明理由.分析 由于方程x 3+x 2+5x +7＝0的常数是7，所以若有整数解，则一定是7的因数，即是±7和±7，分别代入验证即可.对于方程x 3－2x 2－4x +3＝0是否有整数解，同样可以用这种方法求解.解（1）由阅读理解可知：该方程如果有整数解，它只可能是7的因数，而7的因数只有：1、－1、7、－7这四个数.（2）该方程有整数解.方程的整数解只可能是3的因数，即1、－1、3、－3，将它们分别代入方程x 3－2x 2－4x +3＝0进行验证得：x ＝3是该方程的整数解.说明 本题是一道阅读理解题，切入点并不高，只要同学们通过阅读，知道整数系数方程有整数解的特点即可求解.例4（贵阳市）利用图象解一元二次方程x 2+x －3＝0时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线y ＝x 2和直线y ＝－x +3，两图象交点的横坐标就是该方程的解.（1）填空：利用图象解一元二次方程x 2+x －3＝0，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y ＝＿＿＿和直线y ＝－x ，其交点的横坐标就是该方程的解.（2）已知函数y ＝－6x 的图象（如图所示），利用图象求方程6x －x +3＝0的近似解（结果保留两个有效数字）.分析（1）仿照条件中提供的方法即求.（2）由于方程6x －x +3＝0可变形为－x +3＝－6x ，于是只要再画出y ＝－x +3的图象，两图象交点的横坐标就是该方程的解.y x 3 3 6 -3 －3-6 -6 y ＝－6x6 Oy ＝－x +3解（1）因为方程x2+x－3＝0可变形为x2－3＝－x，所以应填上x2－3.（2）因为方程6x－x+3＝0可变形为－x+3＝－6x，所以要求其，只要再画出y＝－x+3的图象，如图.由图象得出方程的近似解为x1≈－1.4，x2≈4.4.说明本题看似很复杂，其实只要能正确理解题意，规范作图过程，发挥数形结合的作用即可求解.- 3 -。

1．微专题：解方程组中的过程探究型或阅读理解类问题【河北热点】◆类型一 过程探究型问题1．下面是老师在嘉嘉的数学作业本上截取的局部内容：解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝3①，x ＋y ＝－12②. 解：将方程①变形，得y ＝2x －3③，把方程③代入方程①，得2x －(2x －3)＝3，整理得3＝3.所以x 可以取任意实数，所以原方程组有无数个解． 第一步第二步第三步第四步(1)这种解方程组的方法叫______________；嘉嘉的解法正确吗？如果不正确，错在哪一步？请你求出正确的解；(2)请用不同于(1)中的方法解这个方程组．◆类型二 阅读理解类问题2．(1)阅读以下材料并填空：对于二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝54，x ＋3y ＝36.我们可以将x ，y 的系数和相应的常数项排成一个数表，求得的二元一次方程组的解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b 用数表可表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0 a 0 1 b )．用数表可以简化表达解二元一次方程组的过程如下，请补全其中的空白：上行,下行)⎝ ⎛⎭⎪⎫4 3 541 3 36)――→上行－下行⎝ ⎛⎭⎪⎫3 0 181 3 36)――→上行÷3⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0 6 1 3 36)――→Ｋ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0 60 3 30)――→下行÷3⎝ ⎛⎭⎪⎫ )从而得到该方程组的解为____________；(2)仿照(1)中数表的书写格式写出解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝6，x ＋y ＝2的过程．◆类型三 新定义型问题【方法点拨】解“新定义型问题〞关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及解决问题的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．3．请你根据王老师所给的内容，完成以下各小题．我们定义一个关于非零常数a ，b 的新运算，规定：a ◎b ＝ax ＋by .例如：3◎2＝3x ＋2y .(1)假设x ＝－5，2◎4＝－18，求y 的值；(2)假设1◎1＝8，4◎2＝20，求x 、y 的值.参考答案与解析1．解：(1)代入消元法 嘉嘉的解法不正确，错在第二步．正确解法：将方程①变形，得y ＝2x －3③，把方程③代入②，得x ＋2x －3＝－12，解得x ＝－3，把x ＝－3代入③，得y ＝－9，那么方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－9. (2)①＋②，得3x ＝－9，解得x ＝－3，把x ＝－3代入①，得y ＝－9，那么方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－9. 2.解：(1)下行－上行 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0 60 1 10 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝10 (2)上行下行⎝ ⎛⎭⎪⎫2 3 61 1 2――→下行×2⎝ ⎛⎭⎪⎫2 3 62 2 4――→上行－下行⎝ ⎛⎭⎪⎫0 1 22 2 4――→下行÷2⎝ ⎛⎭⎪⎫0 1 21 1 2――→下行－上行⎝ ⎛⎭⎪⎫0 1 21 0 0――→交换上、下行⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0 00 1 2，所以方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 3．解：(1)根据题意，得2◎4＝2x ＋4yx ＝－5代入，得－10＋4y ＝－18，解得y ＝－2.(2)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝8，4x ＋2y ＝20，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝8①，2x ＋y ＝10②.②－①，得xx ＝2代入①，得y ＝6.。

与一元二次方程有关的阅读理解题近几年来，阅读理解题频频出现在全国各地的中考试题中，成为试卷中一个耀眼的亮点，关于解阅读理解题，我总结了三句精要：“阅读是重点，理解是难点，应用是关键”．本文结合同学们学习的一元二次方程，精选近几年的中考题，谈谈阅读理解题的求解要领，旨在对同学们的学习和中考都能有所帮助．例1 （福建省三明市05年中考模拟题）阅读并解答下列问题：（1）如下表，方程1、方程2、方程3、……是按一定规律排列的一列方程，解方程1，并把它的解填在表中的空白处：序号 方程方程的解1 6112x x -=- 1x = 2x =2 8113x x -=- 14x = 26x =3 10114x x -=-15x =28x =……………………（2）若方程11()a ab x x b -=>-的解是x 1＝6，x 2＝10，求a 、b 的值，该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？（3）请写出这列方程中的第n 个方程和它的解，并验证所写出的解适合第n 个方程． 简析：本例是可化为一元二次方程的分式方程，好在八（下）第10章我们有“分式方程”（可化为一元一次方程的分式方程）垫底，其难度就降低多了．作为阅读理解题，重点是阅读，阅读可分两轮：（1）疏通性阅读，即读懂题意；（2）要领性阅读，即有的放矢地抓住要领．难点是理解，理解可分两层：（1）给定一列方程的排列规律；（2）分式方程的两个正根与参变数a 、b 之间的内在联系．关键是应用，应用体现两步：（1）第（2）小题求解中的求a 、b （视a 、b 为未知数）值和对方程位序的判断；（2）把这列方程按规律从特殊拓广到一般． 略解：（1）x 1＝3，x 2＝4；（2）a ＝12，b ＝5，是第四个方程；（3）2(2)111n x x n +-=--，1222(1)x n x n =+=+，．验证略．例2 （厦门市03年中考题）阅读下面的例题：解方程2||20x x --=．解：（1）当x ≥0时，原方程化为220x x --=，解得1221x x ==-，（不合题意，舍去）． （2）当x ＜0时，原方程化为220x x +-=，解得11x =（不合题意，舍去），22x =-．所以原方程的根是1222x x ==-，．参照例题解方程2|1|10x x ---=，得到此方程的根是_________．简析：本例是含有绝对值符号的一元二次方程，且为填空题，这类题目在竞赛中亦频频出现，求解时请效仿例题，注意分类讨论． 略解：应填写1221x x =-=，（具体求解过程留给读者仿阅读材料自行完成）．评注：该例属于方法模拟型阅读理解题，解题过程中请注意以下几点：（1）理解阅读材料中的因果关系；（2）注意阅读材料中隐含的数学思想方法；（3）重视阅读材料中与新知识伴随的方法；（4）除模仿阅读材料中的方法外，还要注意迁移发展，探索有创造性的解题方法．作为练习与巩固，请同学们完成以下两道练习题．练习1 方程1：214111x x x --=+-；方程2：2216124x x x --=+-； 方程3：2336139x x x --=+-；……方程k ．（1）解方程1；（2）先根据方程1、2、3中所反映的某种规律写出方程k ，再根据方程1的结果，提出对方程k 的解的情况的猜想，并说明你猜想的理由．练习2：先阅读下面的例题及解答过程，然后解答后面的问题．例题：若方程2610x x k ---=与270x kx --=有相同的根，求k 的值及相同的根． 解：设相同的根为α，则有2261070a a k a ka ⎧---=⎪⎨--=⎪⎩．所以22617a a k a ka ---=--，即(6)6k a k -=-．（1）当k ≠6时，α＝1，代入原方程可求得6k =-；（2）当k ＝6时，代入原方程中，两方程均为2670x x --=，解得1217x x =-=，．故当k ≠6时，有一个相同的根是α＝1；当k ＝6时，它们两根都相同，是－1和7． 请你依照上面的解答，完成下题：已知m 为非负实数，当m 取什么值时，关于x 的方程210x mx +-=与220x x m ++-=仅有一个相同的实根？（为了便于读者阅读，这里附上参考答案．练习1（1）方程1：解得1x =-，经检验1x =-是原方程的增根，舍去，故方程1无解；（2）方程k 为22241x k k x k x k --=+-，根据方程1的结果，可猜想方程k 无解，这是因为解方程k 得x k =-，而当x k =-时，公分母220x k -=，故方程k 无解．练习2，设相同的根为α，则由题意我们有221020a ma a a m ⎧+-=⎪⎨++-=⎪⎩．所以2212a ma a a m +-=++-．即(1)1m a m -=-．（1）当m ≠1时，α＝1，代入原方程求得m ＝0；（2）当m ＝1时，代入原方程，两方程均为210x x +-=，解得15x -±=，即它们的两根都相同，不合题意，舍去，故只有当m ＝0时，两方程仅有一个相同的实根．）。