注册工程师公共基础高等数学讲义

第一节空间解析几何一、向量代数（一）向量及其线性运算既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等这类量，称为向量，向量 a 的大小称为向量 a 的模，记作| a |。

向量的加减法、向量与数的乘法统称为向量的线性运算。

向量a与向量 b 的和 a + b 是一个向量 c ，利用平行四边形法则或三角形法则可得向量c，如图 1-1-1 ，图 1-1-2 所示。

向量的加法符合下列运算规律：①交换律 a + b = b + a②结合律(a + b)+c＝ a +(b+c）向量 b 与向量 a 的差 b - a 定义为向量b 与 a 的负向量-a 的和，即b - a = b + (-a)由向量加法的三角形法则可知：向量 a 与实数λ的积记作λa，它是一个向量，它的模它的方向当λ＞ 0 时，与向量 a 相同；当λ＜ 0 时，与向量 a 相反。

向量与数的乘积符合下列运算规律：由向量与数的乘积的定义，可得以下定理：定理设向量 a≠0 ，那么，向量 b 与向量 a 平行的充分必要条件是：存在惟一的实数λ，使b =λa。

（二）向量的坐标设有空间直角坐标系 O - xyz ， i 、 j 、 k 分别表示沿 x 、 y 、 z 轴正向的单位向量， 12a M M =是以1111(,,)M x y z 为起点，2222(,,)M x y z 为终点的向量，则向量a 可表示为其中212121x x y y z z ---、、称为向量 a 的坐标。

利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法运算如下：非零向量 a 与三条坐标轴正向的夹角αβγ、、称为它的方向角。

向量的模、方向角与坐标之间关系：其中cos cos cos αβγ、、称为向量 a 的方向余弦。

利用向量的坐标可得向量的模与方向余弦如下：（三）数量积 向量积设向量a 和向量 b 的夹角为θθπ≤≤（0）,向量 a 和向量 b 的数量积为一个数量，记作a b ⋅ ，其大小为||||cos a b θ，即向量 a 在轴u 上的投影（记作 Prj u a ）等于向量 a 的模乘以轴与向量a 的夹角ϕ的余弦，即利用向量在轴上的投影，可将数量积表为向量a和向量 b 的向量积为一个向量c，记作a ×b，即c＝ a ×b，c的模c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手法则确定。

二、平面（一）平面的方程设平面过点M0（x0 , y0 , z0 ) ，它的一个法向量n =（A , B , C ) ，则平面Ⅱ的方程为此方程称为平面的点法式方程。

平面的一般方程为其中n = ( A , B , C ）为该平面的法向量。

设一平面与x 、y 、z轴分别交于P（a , 0 , 0 ）、Q ( 0 , b , 0 ）和R ( O , 0 ，c）三点（其中a≠0 , b≠0 ，c≠0 ) ，则该平面的方程为此方程称为平面的截距式方程，a 、b、c依次称为平面在x、y、z轴上的截距。

对于一些特殊的三元一次方程，应该熟悉它们的图形的特点。

如，在方程Ax＋By＋Cz + D = 0 中，当D = 0 时，方程表示一个通过原点的平面；当A = 0 时，方程表示一个平行于x 轴的平面；当A = B = 0 时，方程表示一个平行于x Oy的平面。

类似地，可得其他情形的结论。

（二）两平面的夹角两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角（通常指锐角）。

设有平面Ⅱ1, : A l x+ B1y＋C l z + D1 =0 和平面Ⅱ2 : A2x+ B2y＋C2z + D2 = 0，则Ⅱ1和Ⅱ2的夹角θ由下式确定：由此可得Ⅱ1与Ⅱ2互相垂直相当于A1A2+B1B2+C1C2=0Ⅱ1与Ⅱ2平行相当于空间一点P 0（x 0，y0，z 0）到平面的距离，有以下公式：四、二次曲面旋转曲面柱面（一）二次曲面三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。

例如球面：椭球面：椭圆抛物面：双曲抛物面：单叶双曲面：双叶双曲面：注意：以上方程是二次曲面的标准方程，还应该知道它们的各种变形。

（二）旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴。

例如，顶点在坐标原点O，旋转轴为z 轴，半顶角为α的圆锥面以x 轴为旋转轴的旋转双曲面已知旋转曲面的母线C 的方程为旋转轴为z轴，只要将母线的方程f ( y ，z）＝0中的y 换成，便得曲线c 绕z 轴旋转所成的旋转曲面的方程，即同理，可得其他情形的旋转曲面的方程。

（三）柱面平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线L形成的轨迹叫做柱面，定曲线C 叫做柱面的准线，动直线L 叫做柱面的母线。

例如，以xOy平面上的圆x2+y2＝R2为准线，平行于z 轴的直线为母线的圆柱面以xOy平面上的抛物线y2＝2x为准线，平行于z 轴的直线为母线的抛物柱面在空间直角坐标系中，如果曲面方程F ( x , y ，z)＝0 中，缺少某个变量，那么该方程一般表示一个柱面。

例如，方程 F ( x ，y)＝0一般表示一个母线平行于z 轴的柱面，方程G ( x , z ）=0 , H ( y , z ) =0一般表示一个母线平行于y 轴，x轴的柱面。

第二节微分学一、极限（一）函数的几种特性（二）函数的极限1 . 函数极限的概念无穷小与无穷大函数的极限按自变量的变化趋向0x x →、x →∞。

可分成以下两种。

当0x x →时， f ( x ）无限趋近于常数 A , 称作 f ( x ）当0x x →时的极限为 A; 记成li m ()x f x A →=或0()()f x A x x →→；当x →∞时， f ( x ）无限趋近于常数 A , 称作 f ( x ）当x →∞时的极限为 A; 记成lim ()x f x A →∞=或()()f x A x →→∞；它们的严格数学定义需用“εδ-”或“X ε-”来描述，可参阅教材。

特别地，若当0x x →（或x →∞）时的极限 A = 0 ，则称 f ( x ）为当0x x →（或x →∞）时的无穷小。

若当 0x x →（或x →∞）时， f ( x ）的绝对值| f ( x ）|无限增大，则称 f ( x ）为当0x x →（或x →∞）时的无穷大，记成0lim ()x x f x →=∞（或lim ()x f x →∞=∞）。

注意：按函数极限的定义， f ( x ）为无穷大是极限不存在的一种特殊情形，但习惯上也称“函数的极限为无穷大”。

2 ．左、右极限在函数极限的概念中，自变量0x x → 的变化趋向， x 可以从 x 0的左、右两侧趋向于 x 0但有时只需考虑 x 仅从x 0的左侧趋向于x 0（记成0x x -→），或x 仅从x 0的右侧趋向于x 0（记成0x x +→）若当0x x -→时， f （ x ）无限趋近于常数 A ，则称 f （ x ）当0x x →时的左极限为 A ，记成0lim ()x xf x A -→= 或 0()f x A -= 。

类似地，有 f （ x ）当0x x →时的右极限，记成0lim ()x xf x +→或0()f x +，以及 lim ()x f x →+∞与lim ()x f x →-∞。

函数 f （ x ）当0x x →（或x →∞）时的极限存在的充分必要条件，是函数的左、右极限均存在且相等，即3 ．极限运算法则（ l ） （极限的四则运算法则）注意：上述记号“ lim ”下的自变量变化过程可以是0x x →、x →∞、x x +→、0x x -→、x →+∞、x →-∞，但等号两端出现的必需是同一种。

（ 3 ） （复合函数的极限运算法则）设函数 y = f[g （ x ）]是由函数 y = f （ u ）与函数u = g （ x ）复合而成， f [ g （ x ）] 在点 x 0 的某去心领域内有定义，若00lim ()x x g x u →=，0lim ()u u f u A →=，且存在00δ>当00(,)ox U x δ∈时，有0()g x u ≠ ，则（二）极限存在准则和两个重要极限 1 ．夹逼准则和极限准则I （数列情形）若数列且x n 、y n 、及z n 满足条件：n n n y x z ≤≤ （n= 1 , 2 , 3 ，…）且lim lim n n n n y z a →∞→∞==则数列x n 的极限存在且 lim n n x a →∞=准则I ’（函数情形）若函数 f （ x ）、 g （ x ）及 h （ x ）满足条件：利用准则I ’，可得一个重要极限2 ．单调有界准则和极限准则II 单调有界的数列（或函数）必有极限。

利用准则II ，可得另一个重要极限其中 e 是一个无理数， e =2 . 71828 … … （三）无穷小的比较设 a 及β都是在同一个自变量变化过程中的无穷小,且α≠0， limβα也是在这个变化过程中的极限。

若 lim βα=0，就称β是比a 高阶的无穷小，记作β=ο（a ）；并称a 是比β低阶的无穷小；若 lim βα=C ≠0，就称β是与 a 同阶的无穷小； 若 limβα=1, 就称β是与 a 等阶的无穷小，记作a :β。

关于等价无穷小，有以下性质： 若ααββ::’’,且 limβα’’存在，则当 x → 0时，有以下常用的等价无穷小：二 连续（一）函数的连续性与间断点 1 ．函数的连续性设 f （ x ）在 x 0的某邻域内有定义。

若0lim x x f → （ x ）= f （x 0） ，则称 f （x ）在 x 0 连续;若 00lim ()()x xf x f x -→=,则称 f （ x ）在 x 0左连续；若00lim ()()x x f x f x +→=，则称 f （ x ）在 x 0 右连续。

若函数f （ x ） 在区间I 上每一点都连续，则称 f （ x ）在该区间上连续。

特别，当I = [ a , b ］时, f （ x ）在 [ a ，b]上连续，是指 f （ x ）在（a ， b ）内每一点处连续，且在 a 处右连续,在 b 处左连续。

2 ．函数的间断点由函数在一点连续的定义可知,函数 f （ x ）在一点 x 0处连续的条件是: （ 1 ） f （ x o ）有定义； （ 2 ） 0lim x x f → （ x ）存在；（ 3 ）0lim x x f → （ x ）= f （x 0）。

若上述条件中任何一条不满足, 则f （ x ）在 x 0处就不连续，不连续的点就称函数的间断点。

间断点分成以下两类：第一类间断点： x 0是f （ x ）的间断点，但f （x 0-）及f （x 0+）均存在； 第二类间断点：不是第一类的间断点。