（ 2-3-14 ）
这里， 是仅包含位置变量的函数； 是仅包含时间变量 的函数。将
（ 2-3-15 ）
上式等号的左边仅与 有关，右边仅与 有关，而 和 都是独立变量，因而如果 (2-1-15) 式对任何的 x 与 t 都成立，则其等号两边应恒等于一个与 ， 都无关
的常数。如果令这一常数为 ，并且 ，那么 (2-1-15) 式可写成
（ 2-3-16 ）
于是可以分别得到两个独立的方程
（ 2-3-17 ）
（ 2-3-18 ）
经过上面分离变量后，就把一个偏微分方程分解成两个具有单一独立变量的常微分方程。而这种形式的微分方程我们在第 1 章中己遇到过，因此我们可以仿照方程 (1-2-4) 的求解结果，直接写出 (2-1-17) 与 (2-l-18) 方程的解为
（ 2-3-19 ）
（ 2-3-20 ）
式中 都是待定常数。将上面二式代人 （ 2-3-14 ）
可得
（ 2-3-21 ）
其中 仍是待定常数。
如果弦的两端固定，可以利用对任意时间都满足的边界条件 （ 2-3-8 ） 式。将
代人 (2-1-21) 式可以定得常数 ，再将 代人 (2 － 1-21) 式可得如下关系
（ 2-3-22 ）
这时 不能为零，否则 和 都为零，则整个弦不振动，这显然是没有意义的。因此要得到非零解就必须令
（ 2-3-23 ）
要正弦函数等于零。显然应该使其宗量满足如下关系
（ 2-3-24 ）
用一新的符号 来代替 ，于是 （ 2-3-24 ） 式可写成
（ 2-3-25 ）
或
（ 2-3-26 ）
从 (2-1-21) 式可知弦的位移对时间是一简谐函数，因而 应该代表振动的圆频率，而 代表弦的振动频率。从 (2-1-26) 式知，对于两端固定的弦，振动频率具
有一系列持定的数值，即 ，并且仅同弦本身的固有力学参量有关，因而称为弦的固有频率。但是它与第 1 章讨论的质点振动之间有一明显区别，一个单振子系统仅有一个固有频率，旧弦的固有频率不止一个，而有 个，亦即无限多个。并且固有频率的数值不是任意的，其变化也不是连续的，而是以 等次序离散变化的。因而也称弦的这种固有频宰为简正频率。 ，
，它是弦振动的最低一个固有频率称为弦的基频， 的各次频率称为泛
频，例如 ， 称为弦的第一次泛频。由于弦振动的各次泛频都为基频的整数倍，因而也称具有这样简单关系的固有频率为谐领，例如通常称弦的基频为第一谐频，第一泛频称第二谐频，依次类推。因为弦振动时激发的固有频率都是谐频，所以弦乐器 - 般听起来的音色是感到和谐的。
因为弦具有一系列固有频率或简正频率，也就是说当弦作自由振动时，一般可
以同时有许多振动频率，而与这一系列简正频率 对应的振动位移，按 (2-1-21) 式可写成
（ 2-3-27 ）
(2-1-27) 式称为弦的第 次振动方式，或称简正振动方式。其 是与第 次
振动相应的待定常数。如果根据初始条件，求得一系列常数 ，则对应于每一简正频率的振动情况便完全确定。
图 2-3-3
图 2-3-3 是按照 （ 2-3-27 ） 式计算出来的较低次数振动方式的振幅分布图。从图中可以看到当弦以基频振动时，除在两个固定端其位移振幅恒为零外，弦的其
他位置都不为零。并且振幅有一定分布，在位置 处振幅极大。我们称振幅等于零的位置为波节，振幅极大的位置为波腹。例如对于基频振动存在两个波节 ( 与两个固定端对应 ) 一个波腹。从 （ 2-3-27 ） 式可以求以此求得第 次振动方式的波节和波腹。
令 （ 2-3-28 ）
则得
以此求得波节为
（ 2-3-29 ）
从此式看出，对于 次振动有 个波节。例如 就有 4 个波节，它们分别在 位置。
令
（ 2-3-30 ）
则得 。由此求得波腹位置为
（ 2-3-31 ）
从此式看出，对于 次振动有 个波腹。例如 就有 3 个波腹，它们分别在
位置。
从以上讨论可以看出，对于一定的振动方式，波节和波腹在弦上的位置是固定的。这种振动方式也称为驻波方式。
上面已指出，对应于每一简正频率 可以对应有一种振动方式 。弦作自由振动时，一般 个振动方式都可能存在，所以该时弦振动的总效果应该是各种振动
（ 2-3-32 ）
式中 称为 次振动方式的波数， 为相应的波长。
一般形式的位移和速度，即当 时，有
（ 2-3-33 ）
这里 和 为 x 的任意函数。为了处理方便我们将 (2 － 1 － 32) 式改写
（ 2-3-34 ）
其中 仍然为待定常数。将 （ 2-3-33 ） 条件代人可得
（ 2-3-35 ）
如果对上面两式等号两边分别乘上 ，并对它从 0 到 l 积分，再利用正弦
（ 2-3-36 ）
因此只要 和 具体函数形式知道，就可以通过 （ 2-3-36 ） 式求出
和 以至求出 和 ，于是弦的振动位移就可以完全确定。
