轴对称及中心对称变换平移及旋转变换

旋转平移和轴对称的知识点
嘿，朋友！今天咱来好好唠唠旋转、平移和轴对称这些超有意思的知识点！
先说旋转吧，你就想象一下，一个东西像个小陀螺一样围着一个中心点转圈，这就是旋转啦！比如说，家里的电风扇在呼呼转，那就是在做旋转运动呀！旋转可是有角度的哦，转多少度可是很关键的呢！
平移呢，就好像一个小玩具车在直直地往前跑，没有拐弯，也没有转圈，就是平平地移动。

就像你在操场上笔直地向前走，这就是平移呀！教室里的桌子从这边挪到那边，也是平移呢！
接下来就是轴对称啦！哎呀呀，这就像是有个神奇的镜子，能把一个东西分成两边，两边完全对称，可神奇啦！你看，蝴蝶的翅膀不就是轴对称的嘛！
旋转、平移和轴对称在生活中可到处都是呢！它们可不只是书本上的知识哟！你想想看，那些漂亮的图案、建筑，不都有它们的功劳嘛！它们就像隐藏在生活中的小魔法，让一切变得更有趣、更有秩序！难道不是吗？所以呀，好好了解它们，会发现好多好玩的东西呢！。

专题28 轴对称、平移、旋转的核心知识点精讲1.理解轴对称图形与中心对称图形概念；2.掌握图形的平移的性质及有关计算；3.掌握图形的旋转性质并运用其性质进行有关的计算；4.掌握位似的性质。

考点1：轴对称图形与轴对称轴对称图形轴对称图 形定 义如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴性 质对应线段相等 AB =ACAB =A ′B ′，BC =B ′C ′，AC =A ′C ′对应角相等∠B =∠C∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，∠C =∠C ′对应点所连的线段被对称轴垂直平分区 别 (1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言； (2)对称轴不一定只有一条 (1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形； (2)只有一条对称轴关 系(1)沿对称轴对折，两部分重合； (2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称(1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形1．常见的轴对称图形: 等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．2．折叠的性质:折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点．4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点；2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形．考点2：图形的平移1．定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．2．三大要素：一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．3．性质：1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；3）平移前后的图形全等．4．作图步骤：1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；2）找出原图形的关键点；3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．考点3：图形的旋转1．定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．2．三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．3．性质：1）对应点到旋转中心的距离相等；2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3）旋转前后的图形全等．4．作图步骤：1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；2）找出原图形的关键点；3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用．考点4：中心对称图形与中心对称中心对称图形中心对称图形定义如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称性质对应点点A与点C，点B与点D点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′对应线段AB=CD，AD=BCAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′对应角∠A=∠C∠B=∠D∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′区别中心对称图形是指具有某种特性的一个图形中心对称是指两个图形的关系联系把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则这“两个图形”成中心对称把成中心对称的两个图形看成一个“整体”，则“整体”成为中心对称图形常见的中心对称图形平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等．注意：图形的“对称”“平移”“旋转”这些变化,是图形运动及延伸的重要途径,研究这些变换中的图形的“不变性”或“变化规律”.考点5：坐标变换的规律（1）P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为(a,－b)；（2）P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为(－a,b)；（3）P(a，b)关于原点对称的点的坐标为(－a,－b)．【题型1：平移、旋转与轴对称的识别】【典例1】（2023•苏州）古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【变式1-1】（2023•泰州）书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感．下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是（）A．B．C．D．【变式1-2】（2023•广西）下列数学经典图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【变式1-3】（2023•宜昌）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（）A．B．C．D．【题型2：平移、旋转与轴对称性质的应用】【典例2】（2023•无锡）如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（）A．80°B．85°C．90°D．95°【变式2-1】（2023•南充）如图，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF，若BC＝5，BE＝2，则CF的长是（）A．2B．2.5C．3D．5【变式2-2】（2023•牡丹江）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF，然后把纸片展平；第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN，如图②．根据以上的操作，若AB＝8，AD＝12，则线段BM的长是（）A．3B．C．2D．1【变式2-3】（2023•宁夏）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2．点D在BC上，且BD：CD＝1：3．连接AD，线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE，连接BE，DE．则△BDE的面积是（）A．B．C．D．【题型3：图形变化与点坐标变化】【典例3】（2023•海南）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为（6，0），将△ABO绕着点B顺时针旋转60°，得到△DBC，则点C的坐标是（）A．（3，3）B．（3，3）C．（6，3）D．（3，6）【变式3-1】（2023•金华）如图，两盏灯笼的位置A，B的坐标分别是（﹣3，3），（1，2），将点B向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点B′，则关于点A，B′的位置描述正确的是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点O对称D．关于直线y＝x对称【变式3-2】（2023•青岛）如图，将线段AB先向左平移，使点B与原点O重合，再将所得线段绕原点旋转180°得到线段A′B′，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（3，﹣2）D．（﹣3，2）【变式3-3】（2023•聊城）如图，在直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，3），C （﹣4，4）．先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2．若B2（2，1），则点A2坐标为（）A．（1，5）B．（1，3）C．（5，3）D．（5，5）【变式3-4】（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（1，1）B．（4，4）或（8，2）C．（4，4）D．（4，4）或（﹣4，﹣4）【题型4：与平移、旋转与轴对称相关的网格作图】【典例4】（2023•达州）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上．（1）将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；（3）在（2）的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积．【变式4-1】（2023•宜昌）如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．（1）画出线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，连接AB；（2）画出与△AOB关于直线OB对称的图形，点A的对称点是C；（3）填空：∠OCB的度数为．【变式4-2】（2023•宁波）在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．【变式4-3】（2023•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．（1）将△ABC向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；（3）将△A2B2C2绕着原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，求线段A2C2在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．一．选择题（共8小题）1．在学习图案与设计这一节课时，老师要求同学们利用图形变化设计图案，下列设计的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．在《生活中的平移现象》的数学讨论课上，小明和小红先将一块三角板描边得到△ABC，后沿着直尺BC 方向平移3cm，再描边得到到△DEF，连接AD．如图，经测量发现△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD 的周长为（）A．16cm B．22cm C．20cm D．24cm3．如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，连接AA'，BB'，CC'，其中BB′分别交AC，A′C于点D，D'，下列结论：①AA'∥BB'；②∠ADB＝∠A′D′B′；③直线l垂直平分AA'；④直线AB与A'B'的交点不一定在直线l上．其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④4．如图，在长方形ABCD中，AB＝5，BC＝3，将长方形沿BE折叠，使得点A落在CD边上F处，则AE 的长是（）A．B．C．D．25．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，若∠C′＝45°，且AB′⊥BC于点E，则∠BAC的度数为（）A．60°B．75°C．45°D．50°6．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为36，DE＝2，则AF的长为（）A．6B．C．8D．7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'，若点C'在AB上，则AA'的长为（）A．B．4C．D．58．如图，在等腰△AOB中，OA＝AB，∠OAB＝120°，OA边在x轴上，将△AOB绕原点O逆时针旋转120°，得到△A'OB'，若，则点A的对应点A'的坐标为（）A．（﹣1，﹣1）B．（﹣1，）C．（﹣1，2）D．（﹣1，）二．填空题（共7小题）9．若点A（2，﹣3）关于坐标原点的对称点是B，则点B的坐标为．10．如图，已知四边形ABCD是长方形，点E、F分别在线段AB、CD上，将四边形AEFD沿EF翻折得到四边形A'EFD'，若∠CFD'＝36°，则∠DFE＝．11．如图，将长为6，宽为4的长方形ABCD先向右平移2，再向下平移1，得到长方形A'B'CD'，则阴影部分的面积为．12．线段AB两端点的坐标分别为A（2，4），B（5，2），若将线段AB平移，使得点B的对应点为点C（3，﹣1）．则平移后点A的对应点的坐标为．13．如图，有一块长方形区域，AD＝2AB，现在其中修建两条长方形小路，每条小路的宽度均为1米，设AB边的长为x米，则图中空白区域的面积为．14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝3，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，则BB′＝．15．如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O旋转90°得到点P′，则点P′的坐标为．三．解答题（共3小题）16．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1，并写出A1的坐标；（2）求（1）中C点旋转到C1点所经过的路径长（结果保留π）．17．如图所示，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC，∠AOB＝150°，∠BOC＝120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC．（1）求∠DAO的度数；（2）用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明．18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当∠BDE＝25°时，求∠BEF的度数．一．选择题（共7小题）1．如图，将长方形ABCO放置于平面直角坐标系中，点O与原点重合，点A，C分别在y轴和x轴上，点B（8，4），连接BO，并将△ABO沿BO翻折至长方形ABCO所在平面，点A的对称点为点E，则点E 的坐标为（）A．B．C．D．2．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移2个单位长度得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（）A．10B．12C．14D．163．如图，正方形ABCD，边长AB＝2，对角线AC、BD相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与BC、CD交于E、F两点，当三角板绕点O旋转时，线段EF的最小值为（）A．1B．2C．D．24．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（）A．B．C．D．5．如图，菱形ABCD，点A，B，C，D均在坐标轴上，∠ADC＝120°，点A的坐标为（﹣4，0），点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（）A．4B．C．D．6．如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF 为交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE∽△QFG；②S△CEG＝S+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ•GD，正确的是（）△CBEA．①②③B．①③④C．①②④D．②③④7．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，点E、F分别是边AB、BC上一动点，将△BEF沿EF折叠，若点B恰好落在AD边上的点G处，设EF＝x，则x的取值范围为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝65°，将△ABC绕点B逆时针旋转至△EBD，使点C落在边AC上的D处，则∠EBA＝．9．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝5，则BE的长度为．10．如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使CD∥AB，则∠BAE的度数为．11．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是．12．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点P为射线AD上一个动点．连接BP，把△ABP沿BP折叠，当点A 的对应点A'刚好落在线段BC的垂直平分线上时，AP的长为．13．如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，点E是BC边的中点，连接DE，将△DCE沿DE翻折得到△DC'E，连接AC′，则AC′的长为．三．解答题（共2小题）14．如图，在△ABC中，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，连接AE．求证：AB＝AE．15．[教材呈现]下面是华师版九年级上册数学教材第76页的部分内容．如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1，证明△AFD∽△DCE，并计算点A到直线DE的距离（结果保留根号）．结合图①，完成解答过程．[拓展]（1）在图①的基础上，延长线段AF交边CD于点G，如图②，则FG的长为；（2）如图③，E、F是矩形ABCD的边AB、CD上的点，连结EF，将矩形ABCD沿EF翻折，使点D 的对称点D'与点B重合，点A的对称点为点A'．若AB＝4，AD＝3，则EF的长为．1．（2023•常州）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（2，1），则点P关于y轴对称的点的坐标为（）A．（﹣2，﹣1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，1）2．（2023•自贡）下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2023•天津）如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（）A．∠CAE＝∠BED B．AB＝AE C．∠ACE＝∠ADE D．CE＝BD4．（2023•通辽）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝24°，则旋转角α的度数为（）A．24°B．28°C．48°D．66°5．（2023•黄石）如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将线段AB平移至CD，其中点C（﹣2，1），D（a，n），则m﹣n的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．36．（2023•绍兴）在平面直角坐标系中，将点（m，n）先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（）A．（m﹣2，n﹣1）B．（m﹣2，n+1）C．（m+2，n﹣1）D．（m+2，n+1）7．（2022•福建）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A′B′C′，点A′对应直尺的刻度为0，则四边形ACC′A′的面积是（）A．96B．96C．192D．1608．（2022•张家界）如图所示的方格纸（1格长为一个单位长度）中，△AOB的顶点坐标分别为A（3，0），O（0，0），B（3，4）．（1）将△AOB沿x轴向左平移5个单位，画出平移后的△A1O1B1（不写作法，但要标出顶点字母）；（2）将△AOB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2O2B2（不写作法，但要标出顶点字母）；（3）在（2）的条件下，求点B绕点O旋转到点B2所经过的路径长（结果保留π）．。

初中阶段的五种图形变换初中阶段，我们学习了五种图形变换：平移变换、轴对称变换、中心对称变换、旋转变换、位似变换。

这些变换都不改变图形的形状，只是改变了其位置。

其中前四种变换还不改变图形的大小。

下面，让我们逐一回顾与归纳。

一、平移1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某一方向移动一定的距离，这样的图形变换称为平移。

（提示：决定平移的两个要素：平移方向和平移距离。

）2.平移的性质：（1）平移前后，对应线段平行（或共线）且相等；（2）平移前后，对应点所连线段平行（或共线）且相等；（3）平移前后的图形是全等形。

（提示：平移的性质也是平移作图的依据。

）3.用坐标表示平移：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右或向左平移a （a>0）个单位，可以得到对应点（x＋a，y）或（x－a，y）；向上或向下平移b （b>0）个单位，可以得到对应点（x，y＋b）或（x，y－b）。

二、轴对称变换1.轴对称图形：（1）定义：把一个图形沿一条直线对折，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

（提示：对称轴是一条直线，而不是射线或线段，对称轴不一定只有一条。

）（2）性质：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②轴对称图形对称轴两旁的图形是全等形。

2.轴对称：（1）定义：把一个图形沿一条直线翻折，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线就是它们的对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。

（2）性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，则交点必在对称轴上。

（3）判定：①根据定义（提示：成轴对称的两个图形必全等，但全等的两个图形不一定对称）；②如果两个图形对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

初中数学知识归纳旋转平移与对称的性质初中数学知识归纳—旋转、平移与对称的性质学习数学是培养学生逻辑思维和解决问题的能力的重要途径之一。

在初中数学中，旋转、平移和对称是三个基本的几何变换，它们具有广泛的应用价值。

本文将对旋转、平移和对称的性质进行归纳总结，以帮助初中生更好地理解和运用这些知识。

一、旋转的性质旋转是指物体绕着某个轴心或点旋转一定角度后，其位置和形状发生改变。

旋转变换可以分为顺时针和逆时针两种方式。

下面我们来总结旋转的一些性质：1. 旋转不改变物体的大小和形状，只改变其位置和方向。

2. 旋转有叠加效应，即多次旋转等价于一次旋转，旋转次数的奇偶性决定了旋转后物体是否“回到原位”。

3. 绕一个中心点旋转180°，相当于进行一次对称变换。

4. 绕一个中心点旋转360°，相当于保持不变。

5. 旋转操作可以用角度、弧度制或单位圆来描述。

二、平移的性质平移是指物体在平面上沿着某个方向保持形状和大小不变地移动一定的距离。

平移变换的重要性在于可以帮助我们描述物体在坐标平面上的位置变化。

以下是平移的一些性质：1. 平移保持物体的大小、形状和方向不变，只改变其位置。

2. 不同的平移方式可以组合，得到新的平移操作。

3. 平移操作可以使用向量来表示，向量的模表示平移的距离，方向表示平移的方向。

4. 在平面上，任何平行线上的两个点经过平移后，仍然保持平行。

5. 平移的逆操作是将物体向相反的方向移动相同的距离。

三、对称的性质对称是指物体按照某条直线或某个点的位置关系呈现镜像对称。

对称变换在初中数学中被广泛应用于图形的构造和性质的证明。

以下是对称的一些性质：1. 镜面对称：物体按照一条直线呈现镜像对称，此直线称为对称轴。

对称轴把物体分成两个部分，其中一个部分关于对称轴对称复制得到另一个部分。

2. 点对称：物体按照一个点呈现镜像对称，此点称为对称中心。

对称中心把物体分成两个部分，其中一个部分关于对称中心对称复制得到另一个部分。

第五章图形与变换本章思维导图考点精要解析考点一:平移变换1.平移是指图形按照一定的方向从一个位置平移到另一个位置,平移后所得图形与原图形的形状、大小都没有发生变化.2.平移变换的性质(1)平移后，对应线段平行(或在同一直线上)且相等，对应角相等.(2)平移后，对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等.考点二:旋转变换1.旋转是指图形绕着某一个点按一定的旋转方向旋转一定的角度，旋转后所得图形与原来的图形的形状、大小都没有发生变化.中心对称变换是旋转180°的特殊旋转变换.2.旋转变换的基本性质①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等.②旋转前后两图形的对应线段和对应角分别相等.③对应边所夹的角等于旋转角.考点三:轴对称变换1.轴对称是指将一个图形沿着某条直线翻折180°与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线是对称轴.2.轴对称、轴对称图形的性质(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形；(2)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；(3)对应边所在直线交于对称轴.注：成轴对称的两个图形一定全等，全等的图形不一定成轴对称.高频考点过关考点一:平移变换例题1.如下左图所示，将△ABC沿着XY方向平移一定的距离就得到△MNL，则下列结论中正确的有（）个.①AM∥BN；②AM=BN；③BC=ML；④∠ACB=∠MNLA.1B.2C.3D.4答案：B例题2.如下右图所示，线段AB=CD，AB与CD相交于点O，且∠AOC=60°，CE是由AB平移得到的，则AC+BD与AB的大小关系是 .答案：AC+BD AB提示：连接DE，可证四边形ACEB是平行四边形，△CED是等边三角形.在△EBD中，根据三边关系得证，当AC∥BD时，取“=”号.考点二:平移变换例题3.如右图所示，O是锐角三角形ABC内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P是△ABC 内不同于O的另一点；△A1BO1，△A1BP1分别由△AOB，△APB旋转而得，旋转角都为60°，则下列结论：①△O1BO为等边三角形，且A1，O1，O，C在一条直线上．②A1O1+O1O=AO+BO．③A1P1+PP1=PA+PB．④PA+PB+PC＞OA+OB+OC．其中正确的有（填序号）.答案：①②③④提示：连接O1O,P1P,此题通过旋转60°得到△OBO1,△P1PB是等边三角形，然后利用等边三角形的性质转化线段.考点三:轴对称变换例题4.如右图所示，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，BC=4，把△ADC沿直线AD折叠后，点C/落在的位置上，连接BC/，则BC/的长为（）A.1B.3C.2D.23答案：C例题5.如右图所示，在平面直角坐标系中，A,B两点的坐标分别为A(2,-3),B(4,-1).(1)若P(p,0)是x轴上的一个动点，则当p= 时，△PAB的周长最短；(2)若C(a,0),D(a+3,0)是x轴上的两个动点，则当a= 时，四边形ABCD的周长最短；(3)设M,N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M(m,0),N(0,n),使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m= ，n= (不必写解答过程)；若不存在，请说明理由.答案：（1）72；［提示］作点B关于x轴的对称点B/,连接AB/交x轴于点P，则点P即为所求，易求直线AB/的解析式为y=2x－7，所以点P的坐标为(72,0).(2)54；［提示］将点A向右平移3个单位得到点A1，其坐标为(5,-3).作点A1关于x轴的对称点A2，其坐标为(5,3)，连接A2B交x轴于点D，将点D 向左平移3个单位得到点C .易求直线A 2B 的解析式为y =4x －17，所以点D 的坐标为(174,0)，则点C 的坐标为(54,0). (3)存在使四边形ABMN 周长最短的点M 、N ,m =52，n =53-. 中考真题链接真题1.(鄂州中考) 如下左图所示，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB =230.试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM +MN +NB 的长度和最短，则此时AM +NB 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12真题2.(济宁中考) 如下右图所示，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(1,4)和(3,0)，点C 是y 轴上一个动点，且A ，B ，C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时，点C 的坐标是（ ）A .(0，0)B .(0，1)C .(0，2)D .(0，3)真题3.(苏州中考) 如下左图所示，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（3，3），点C 的坐标为（12，0），点P 为斜边OB 上的一动点，则PA ＋PC 的最小值为（ ） A ．132 B ．312 C ．3192+ D ．27 真题4.(南京中考) 如下右图所示，在菱形ABCD 中，∠A =60°，将纸片折叠，点A ，D 分别落在点A ′、D ′处，且A ′D ′经过点B ，EF 为折叠，当D ′F ⊥CD 时，CF DF 的值为（ ） A ． B ． C ．D ．真题5.(葫芦岛中考)两个形状和大小完全一样的梯形纸片如图(a )摆放，将梯形纸片ABCD沿上底AD 方向向右平移得到图(b )．已知AD ＝4，BC ＝8，若阴影部分的面积是四边形A ′B ′CD 的面积的13，则图(b )中平移距离A ′A ＝________.xyOABC真题6.(南京中考)如下左图所示，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A’B’C’D’的位置，旋转角为α (0︒<α<90︒).若∠1=110︒，则α= .真题7.(烟台中考) 如下右图所示，在△ABC中，AB=AC,BAC=54°，∠BAC的平分线与AB 的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为度．真题8.(安徽中考) 如下图所示，已知A(-3，-3)，B(-2，-1)，C(-1，-2)是平面直角坐标系上三点.（1）请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1.（2）请写出点B关于y轴对称点B2的坐标，若将点B2向上平移h个单位，使其落在△A1B1C1的内部，指出h的取值范围.真题9.(义乌中考)如图(a)所示，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片（如图（b）所示），量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图（c）的形状，但点B，C，F，D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图（c）至图（f）中统一用F表示）（a）（b）（c）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.（1）将图（c）中的△ABF沿BD向右平移到图（d）的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离；AB CDB’1C’D’（2）将图（c）中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图（e）的位置，A1F交DE 于点G，请你求出线段FG的长度；（3）将图（c）中的△ABF沿直线AF翻折到图（f）的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH﹦DH.（d）（e）（f）真题10.(娄底中考)某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按图按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．（1）求证：AM=AN；（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．真题11. （潍坊中考）如图（a）所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2，宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF，现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE＇F＇D＇，旋转角为α.⑴当点D＇恰好落在EF边上时，求旋转角α的值；⑵如图（b）所示，G为BC的中点，且0°<α<90°，求证：G D＇= E＇D；⑶小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DC D＇与△CB D＇能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由.真题12. （北京中考）如右图所示，已知△ABC，⑴请你在BC边上分别取两点D、E（BC的中点除外），连接AD，AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明AB+AC>AD+AE.真题13. （日照中考改编）如图（a ）所示，点A 、B 在直线l 的同侧，要在直线l 上找一点C ，使AC 与BC 的距离之和最小.我们可以作出点B 关于l 的对称点B ＇，连接AB ＇与直线l 交于点C ，则点C 即为所求.⑴实践运用如图（b ）所示，已知，⊙O 的直径CD 为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，点B为弧AD 的中点，P 为直径CD 上一动点，则BP+AP 的最小值为_________.⑵知识拓展如图（c ）所示，在Rt △ABC 中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 与点D ，E 、F 分别是线段AD 和AB 上的动点，求BE+EF 的最小值，并写出解答过程. ⑶如图（d ）所示，点P 是四边形ABCD 内一点，分别在边AB 、BC 上作出点M 、N ，使PM+PN+MN 的值最小，保留作图痕迹，不写作法.创训练新思维创新 1. 将两块含30°角且大小相同的直角三角形如图（a ）所示.⑴将图（a ）中的△A 1B 1C 绕点C 顺时针旋转45°得到图（b ），点P 1是A 1 C 与AB的交点.求证：112CP AP . ⑵将图（b ）中的△A 1B 1C 绕点C 顺时针旋转15°得到△A 2B 2C ，如图（c ），点P 2是A 2C 与AB 的交点，直接写出直线A 1B 1与直线A 2B 2所夹的角的度数.⑶在⑵的条件下，写出线段CP 1与P 1P 2之间的数量关系，并证明你的结论.创新2. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P在△ABC的内部.⑴如图（a）所示，若∠BAC=30°，AP=4，点D、E分别在AB、AC边上，则△PDE 周长的最小值为______________；此时∠DPE=______________.⑵如图（b）所示，若∠BAC=45°，AP=4，点D、E分别在AB、AC边上，则△PDE 周长的最小值为______________；此时∠DPE=______________.⑶如图（c）所示，若∠BAC=α，AP=4，点D、E分别在AB、AC边上，求△PDE 周长的最小值及此时∠DPE的度数.⑷如图（d）所示，若PA=a，PB=b，PC=c，∠BAC=α，且c=bcosα=asinα，直接写出∠APB的度数.。

专题16图形变换之平移与对称考纲要求:1．理解轴对称、轴对称图形、中心对称、中心对称图形、平移的概念. 2．运用图形的轴对称、平移进行图案设计.3．利用平移、对称的图形变换性质解决有关问题.基础知识回顾:知识点一：图形变换1.图形的轴对称（1）定义：①轴对称：把一个图形沿某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线对称．②轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴. （2）性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.2.图形的平移（1）定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．（2）性质：①平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段相等且平行；②平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行、方向相同；③平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两个图形全等．3.图形的中心对称（1）把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称，该点叫做对称中心．（2）①关于中心对称的两个图形全等；②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等.知识点二：网格作图坐标与图形的位置及运动图形的平移变换在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．图形关于坐标轴成对称变换在平面直角坐标系内，如果两个图形关于x轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；在平面直角坐标系内，如果两个图形关于y轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．图形关于原点成中心对称在平面直角坐标系内，如果两个图形关于原点成中心对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．应用举例:招数一、变换图形的形状问题【例1】下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是A． B． C． D．【答案】C【解析】将一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；这样的图形叫轴对称图形.故选C.招数二、平面坐标系中的图形变换问题【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，-1），B（1，-2），C（3，-3）（1）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；（3）请写出A1.A2的坐标．【答案】（1）△A1B1C1即为所求；（2）△A2B2C2即为所求；（3）A1（2，3），A2（-2，-1）．【解析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）利用所画图象得出对应点坐标．招数三、函数中的图形变换问题【例3】已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．＜﹣3．【答案】（1）﹣m﹣3;（2）y＝﹣x﹣2（x＞1）;（3）﹣4＜yP【解析】（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点，∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3.（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3，顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3），∴抛物线G1∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3，∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2.即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2，∵m＞0，m＝x﹣1，∴x﹣1＞0，∴x＞1，∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）.（3）如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4，∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4），∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3，∴抛物线G恒过点A（2，﹣3），由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yB ＜yP＜yA，∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜yP＜﹣3，招数四、三角形、四边形中图形变换问题【例4】将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕．若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是（）A．B．﹣1 C．D．【答案】A【解析】连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，如图：由折叠可知点P、H、F、M四点共线，且PH＝MF，设正方形ABCD的边长为2a，则正方形ABCD的面积为4a2，∵若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等∴由折叠可知正方形EFGH的面积＝×正方形ABCD的面积＝，∴正方形EFGH的边长GF＝＝[∴HF＝GF＝∴MF＝PH＝＝a∴＝a÷＝故选：A．【例5】如图，在中，，，，点M为边AC的中点，点N为边BC 上任意一点，若点C关于直线MN的对称点恰好落在的中位线上，则CN的长为______．【答案】或【解析】取BC、AB的中点H、G，连接MH、HG、MG．如图1中，当点落在MH上时，设，由题意可知：，，，，在中，，，解得；如图2中，当点落在GH上时，设，在中，，，，∽，∴，，；综上所述，满足条件的线段CN的长为或．故答案为为或．招数五、图案设计方案问题【例6】在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）【答案】见解析．【解析】如图所示方法、规律归纳:1．识别某图形是轴对称图形还是中心对称图形的关键在于对定义的准确把握，抓住轴对称图形、中心对称图形的特征，看能否找出其对称轴或对称中心，再作出判断.2．在平面直角坐标系中，将点P(x，y)向右(或左)平移a个单位长度后，其对应点的坐标变为(x＋a，y)〔或(x－a，y)〕；将点P(x，y)向上(或下)平移b个单位长度后，其对应点的坐标变为(x，y＋b)〔或(x，y－b)〕．3．要画出一个图形的平移、对称后的图形，关键是先确定一些关键点，根据相应顶点的平移方向、平移距离、对称不变的性质作出关键点的对应点，这种以“局部代整体”的作图方法是平移、对称中最常用的方法．4．利用平移、对称的性质解题时，要抓住平移规律及对称中不变的特点来解决问题.实战演练:1.如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（）A．10 B．6 C．3 D．2【答案】C【解答】如图所示，n的最小值为3，2. 如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，则图中阴影部分的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．无法计算【答案】A【解析】如下图所示，∵抛物线y1=-x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，∴两个顶点的连线平行x轴，∴图中阴影部分和图中红色部分是等底等高的，∴图中阴影部分等于红色部分的面积，而红色部分的是一个矩形，长、宽分别为2，1，∴图中阴影部分的面积S=2．故选A．3. 将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－1)2－3 C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－4)2－2 【答案】D【解析】y＝x2－6x＋5＝ (x－3) 2－4，把向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得y＝ (x－3－1) 2－4＋2，即y＝(x－4)2－2．4.将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：由折叠可得，AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG，∴E，G分别为AD，CD的中点，设CD＝2a，AD＝2b，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝2b，∵∠C＝90°，∴Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，即a2+（2b）2＝（3a）2，∴b2＝2a2，即b＝a，∴，∴的值为，故选：B．5. 如图，在等边△ABC中，AB=4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是 .【答案】.【解析】试题解析：如图１，当点P为BC的中点时，MN最短．此时E、F分别为AB、AC的中点，∴PE=AC，PF=AB，EF=BC，∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=6；如图2，当点P和点B（或点C）重合时，此时BN（或CM）最长．此时G（H）为AB（AC）的中点，∴CG=2（BH=2），CM=4（BN=4）．故线段MN长的取值范围是6≤MN≤4．6. 如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE、FG相交于点H．判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由．【解析】DE⊥FG．理由：由题知：Rt△ABC≌Rt△BDE≌Rt△FEG∴∠A=∠BDE=∠GFE∵∠BDE＋∠BED=90°∴∠GFE＋∠BED=90°，即DE⊥FG．7.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A在点B 的左侧）（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n ＞0，求m ，n 的值．【答案】（1）26x -；（2）72，1．【解析】（1）令0y =，则212602x x -++=，解得，12x =-，26x =，(2,0)A ∴-，(6,0)B ， 由函数图象得，当0y 时，26x -；（2）由题意得，1(6,)B n m -，2(,)B n m -， 函数图象的对称轴为直线2622x -+==， 点1B ，2B 在二次函数图象上且纵坐标相同， ∴6()22n n -+-=，1n ∴=， ∴217(1)2(1)622m =-⨯-+⨯-+=， m ∴，n 的值分别为72，1． 8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a ，将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位（m ＞0，n ＞0）．得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A 、B 的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD 内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F′与点F 重合，求点F 的坐标．由B 到B ′，可得方程组：⎩⎨⎧=+⨯=+2023n a m a ，解得：a =12，m =12，n =2． 设F 点的坐标为（x ，y ），点F ′点F 重合得到方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+y y x x 2212121 ，解得：⎩⎨⎧==41y x ，即F（1，4）．9. 如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上．点B 的坐标为（8，4），将该长方形沿OB 翻折，点A 的对应点为点D ，OD 与BC 交于点E ． （I ）证明：EO=EB ；（Ⅱ）点P 是直线OB 上的任意一点，且△OPC 是等腰三角形，求满足条件的点P 的坐标； （Ⅲ）点M 是OB 上任意一点，点N 是OA 上任意一点，若存在这样的点M 、N ，使得AM+MN 最小，请直接写出这个最小值．【答案】（I ）证明见解析；（Ⅱ）P 的坐标为（4，2）或（，）或P （﹣，﹣）或（，）；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）∵将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E，∴∠DOB=∠AOB，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB，∴∠OBC=∠DOB，∴EO=EB；（Ⅱ）∵点B的坐标为（8，4），∴直线OB解析式为y=x，∵点P是直线OB上的任意一点，∴设P（a，a）．∵O（0，0），C（0，4），∴OC=4，PO2=a2+（a）2=a2，PC2=a2+（4-a）2．当△OPC是等腰三角形时，可分三种情况进行讨论：①如果PO=PC，那么PO2=PC2，则a2=a2+（4-a）2，解得a=4，即P（4，2）；②如果PO=OC，那么PO2=OC2，则a2=16，解得a=±，即P（，）或P（-，-）；③如果PC=OC时，那么PC2=OC2，则a2+（4-a）2=16，解得a=0（舍），或a=，即P（，）；故满足条件的点P的坐标为（4，2）或（，）或P（-，-）或（，）；（Ⅲ）如图，过点D作OA的垂线交OB于M，交OA于N，此时的M，N是AM+MN的最小值的位置，求出DN就是AM+MN的最小值．由（1）有，EO=EB，∵长方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（8，4），设OE=x，则DE=8-x，在Rt△BDE中，BD=4，根据勾股定理得，DB2+DE2=BE2，∴16+（8-x）2=x2，∴x=5，∴BE=5，∴CE=3，∴DE=3，BE=5，BD=4，∵S△BDE=DE×BD=BE×DG，∴DG=，由题意有，GN=OC=4，∴DN=DG+GN=+4=．即：AM+MN的最小值为．10. 如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标为（0，10）．点E的坐标为（20，0），直线l1经过点F和点E，直线l1与直线l2、y=x相交于点P．（1）求直线l1的表达式和点P的坐标；（2）矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上，点A与点F重合，点B在线段OF上，边AD平行于x 轴，且AB=6，AD=9，将矩形ABCD沿射线FE的方向平移，边AD始终与x 轴平行．已知矩形ABCD以每秒个单位的速度匀速移动（点A移动到点E时止移动），设移动时间为t秒（t ＞0）．①矩形ABCD在移动过程中，B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线l1或l2上，请直接写出此时t的值；②若矩形ABCD在移动的过程中，直线CD交直线l1于点N，交直线l2于点M．当△PMN的面积等于18时，请直接写出此时t的值．【答案】（1）直线l1的表达式为y=﹣x+10，点P坐标为（8，6）；（2）①t值为或；②当t=时，△PMN的面积等于18.【解析】（1）设直线l1的表达式为y=kx+b，∵直线l1过点F（0，10），E（20，0），∴，解得：，直线l1的表达式为y=﹣x+10，解方程组得，∴点P坐标为（8，6）；（2）①如图，当点D在直线上l2时，∵AD=9∴点D与点A的横坐标之差为9，∴将直线l1与直线l2的解析式变形为x=20﹣2y，x=y，∴y﹣（20﹣2y）=9，解得：y=，∴x=20﹣2y=，则点A的坐标为：（，），则AF=，∵点A速度为每秒个单位，∴t=；如图，当点B在l2直线上时，∵AB=6，∴点A的纵坐标比点B的纵坐标高6个单位，∴直线l1的解析式减去直线l2的解析式得，﹣x+10﹣x=6，解得x=，y=﹣x+10=，则点A坐标为（，）则AF=，∵点A速度为每秒个单位，∴t=，故t值为或；②如图，设直线AB交l2于点H，设点A横坐标为a，则点D横坐标为a+9，由①中方法可知：MN=，此时点P到MN距离为：a+9﹣8=a+1，∵△PMN的面积等于18，∴=18，解得a1=-1，a2=﹣-1（舍去），∴AF=6﹣，则此时t为，当t=时，△PMN的面积等于18.。

二次函数专题训练（平移、旋转、轴对称变换）一、二次函数图象的平移、旋转（只研究中心对称）、轴对称变换 1、抛物线的平移变换：一般都是在顶点式的情况下进行的。

y=a(x-h)²+k y=a(x-h)²+k ±my=a(x-h)² y=a(x-h ±m)²+k 练习：（1）函数图象沿y 轴向下平移2个单位，再沿x 轴向右平移3个单位，得到函数__________________的图象。

（2）抛物线225y x x =-+向左平移3个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式是 。

2、抛物线的旋转变换（只研究中心对称）：一般都是在顶点式的情况下进行的。

（1）将抛物线绕其顶点旋转180︒（即两条抛物线关于其顶点成中心对称） ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+。

（2）将抛物线绕原点旋转180︒（即两条抛物线关于原点成中心对称）()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-。

练习：（1）抛物线2246y x x =-+绕其顶点旋转180︒后，所得抛物线的解析式是 （2）将抛物线y ＝x 2＋1绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为( ) A ．y ＝－x 2 B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝x 2－1 D ．y ＝－x 2－1 3、抛物线的轴对称变换： 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；练习：已知抛物线C 1：2(2)3y x =-+（1）抛物线C 2与抛物线C 1关于y 轴对称，则抛物线C 2的解析式为 （2）抛物线C 3与抛物线C 1关于x 轴对称，则抛物线C 3的解析式为 总结：根据平移、旋转、轴对称的性质，显然无论作何种变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变。