椭圆典型题型归纳
题型一. 定义及其应用
例1.已知一个动圆与圆2
2
:(4)100C x y ++=相切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程；
例2. 方程2x =+所表示的曲线是
练习：
1.6=对应的图形是（ ）
A.直线
B. 线段
C. 椭圆
D. 圆
2.10=对应的图形是（ ）
A.直线
B. 线段
C. 椭圆
D. 圆
3.10=成立的充要条件是（ ）
A.
2212516x y += B.221259x y += C. 2211625x y += D. 22
1925
x y +=
4.1m =+表示椭圆，则m 的取值围是
5.过椭圆2
2
941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ∆的周长等于 ；
6.设圆2
2
(1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ；
题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线
例1.方程
22
11625
x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹；
（二）分情况求椭圆的方程
例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程；
（三）用待定系数法求方程
例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程；
例4.求经过点(2,3)-且与椭圆2
2
9436x y +=有共同焦点的椭圆方程；
注：一般地，与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆可设其方程为22
2221()x y k b a k b k
+=>-++；
（四）定义法求轨迹方程；
例5.在ABC ∆中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c >>且,,b a c 成等差数列时顶点A 的轨迹；
（五）相关点法求轨迹方程；
例6.已知x 轴上一定点(1,0)A ，Q 为椭圆2
214
x y +=上任一点，求AQ 的中点M 的轨迹方程；
（六）直接法求轨迹方程；
例7.设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2
2
24x y +=交于,A B 两点，点P 是直线l 上满足
1PA PB =g 的点，求点P 的轨迹方程；
（七）列方程组求方程
例8.中心在原点，一焦点为F 的椭圆被直线32y x =-截得的弦的中点的横坐标为
1
2
，求此椭圆的方程；
题型三.焦点三角形问题
例1.已知椭圆
2211625x y +=上一点P 的纵坐标为53
，椭圆的上下两个焦点分别为2F 、1F ，求1PF 、2PF
及12cos F PF ∠；
题型四.椭圆的几何性质
例1.已知P 是椭圆22221x y a b +=上的点，的纵坐标为5
3
，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，
椭圆的半焦距为c ，则12PF PF g 的最大值与最小值之差为
例2.椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>的四个顶点为,,,A B C D ，若四边形ABCD 的切圆恰好
过焦点，则椭圆的离心率为 ；
例3.若椭圆
22114x y k +=+的离心率为1
2
，则k = ； 例4.若P 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且0
1215PF F ∠=，
02175PF F ∠=，则椭圆的离心率为
题型五.求围
例1.方程22
22
1(1)
x y m m +=-表示准线平行于x 轴的椭圆，数m 的取值围；
题型六.椭圆的第二定义的应用
例1. 方程2x y =++所表示的曲线是 例2.求经过点(1,2)M ，以y 轴为准线，离心率为
1
2
的椭圆的左顶点的轨迹方程； 例3.椭圆
221259x y +=上有一点P ，它到左准线的距离等于52
，那么P 到右焦点的距离为
例4．已知椭圆13
42
2=+y x ，能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ，使它到左准线的距离为它到两焦点12,F F 距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。
例5．已知椭圆15
92
2=+y x 有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．求22
3
PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标．
题型七.求离心率
例1. 椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>的左焦点为1(,0)F c -，(,0)A a -，(0,)B b 是两个顶点，
如果
1F 到直线AB e = 例2.若P 为椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且12PF F α∠=，
212PF F α∠=，则椭圆的离心率为
例 3. 1F 、2F 为椭圆的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，1PF PQ ⊥，且
1PF PQ =，则椭圆的离心率为 ；
题型八.椭圆参数方程的应用
例1. 椭圆22
143
x y +=上的点P 到直线270x y -+=的距离最大时，点P 的坐标
例2.方程2
2
sin cos 1x y αα-=(0απ<<)表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值围；
题型九.直线与椭圆的关系 （1）直线与椭圆的位置关系
例1. 当m 为何值时，直线:l y x m =+与椭圆2
2
916144x y +=相切、相交、相离？
