椭圆题型归纳
一、知识总结
1.椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) .
2.椭圆的标准方程：
12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 122
22=+b
x a y （a ＞b ＞0）
焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，
可设方程为221(0,0)mx ny m n +=>>不必考虑焦点位置，求出方程。 3.范围. 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．|x|≤a ，|y|≤b ． 4.椭圆的对称性
椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 5.顶点
椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .
|B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ．
在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即c 2＝a 2－b 2．
6.离心率)10(<<=
e a
c
e 7.椭圆22
221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点
12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan
2
F PF S b γ
∆=.
8.椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式
10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).
9.AB 是椭圆22
221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则
2
2
OM AB
b k k a
⋅=-，即0
2
02y a x b K AB
-=。
定义及其应用
例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程；
例 2.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是
例3.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ∆的周长等于 ；
例4.设圆22(1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ；
椭圆的方程
例1.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程；
例 2.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、
2(P ，求椭圆的方程；
例3.求经过点(2,3)-且与椭圆229436x y +=有共同焦点的椭圆方程；
注：与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆可设其方程为22
22
21()x y k b a k b k
+=>-++； 例 1.在ABC ∆中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足
b a
c >>且,,b a c 成等差数列时顶点A 的轨迹；
例2.已知x 轴上一定点(1,0)A ，Q 为椭圆2
214
x y +=上任一点，求AQ 的中点M 的
轨迹方程；
例3.设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于,A B 两点，点P 是直线l 上满足1PA PB =的点，求点P 的轨迹方程；
例4.中心在原点，一焦点为F 的椭圆被直线32y x =-截得的弦的中点的横
坐标为1
2
，求此椭圆的方程；
焦点三角形问题
例1. 已知椭圆2211625x y +
=上一点P 的纵坐标为5
3
，椭圆的上下两个焦点分别为2F 、1F ，求1PF 、2PF 及12cos F PF ∠；
椭圆的几何性质
例1.已知P 是椭圆22221x y a b +=上的点，的纵坐标为5
3
，1F 、2F 分别为椭圆的两个
焦点，椭圆的半焦距为c ，则12PF PF 的最大值与最小值之差为
例2.椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>的四个顶点为,,,A B C D ，若四边形ABCD 的内切圆
恰好过焦点，则椭圆的离心率为 ；
例3.若椭圆
22114x y k +=+的离心率为1
2
，则k = ； 例 4.若P 为椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且
01215PF F ∠=，02175PF F ∠=，则椭圆的离心率为
例1.方程22
22
1(1)x y m m +
=-表示准线平行于x 轴的椭圆，求实数m 的取值范围；
椭圆的第二定义的应用
例1. 方程2x y =++所表示的曲线是 例2.求经过点(1,2)M ，以y 轴为准线，离心率为
1
2
的椭圆的左顶点的轨迹方程； 例 3.椭圆221259x y +
=上有一点P ，它到左准线的距离等于5
2
，那么P 到右焦点的距离为
例4．已知椭圆13
42
2=+y x ，能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ，使它到左准线的距离为它到两焦点12,F F 距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。
例5．已知椭圆15
92
2=+
y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．求22
3
PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标．
