第22章一元二次方程
一元二次方程
【知识与技能】
1.知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）.
2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.
【过程与方法】
通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.
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【情感态度】
通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.
【教学重点】
判定一个数是否是方程的根.
【教学难点】
由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.
一、情境导入，初步认识
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问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平
方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x（x+10）=900，整
理可得x2+10x-900=0.（1）
问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到万册.
求这两年的年平均增长率.
解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，同样，明年年底的图书数又是今年
年底的（1+x）倍，即5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5（1+x）2=，整理可得5x2+=0（2）
【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题.
二、思考探究，获取新知
思考、讨论
问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里它们有什么共同特点呢
:
共同特点：
（1）都是整式方程
（2）只含有一个未知数
（3）未知数的最高次数是2
【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0）.其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项系数，c叫做常数项.
例1判断下列方程是否为一元二次方程：
解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是.
（
【教学说明】（1）一元二次方程为整式方程；（2）类似⑤这样的方程要化简后才能判断.
例2 将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数.一次项系数及常数项.
解:2x2-13x+11=0；2，-13，11.
【教学说明】将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整.
三、运用新知，深化理解
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
（1）5x2-1=4x
（2）4x2=81
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（3）4x（x+2）=25
（4）（3x-2）（x+1）=8x-3
解：（1）5x 2-4x-1=0；5，-4，-1；
（2）4x 2-81=0；4，0，-81
（3）4x 2+8x-25=0；4，8，-25
（4）3x 2-7x+1=0；3，-7，1.
2.根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x ；
：
（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x ；
（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.
解：（1）4x 2=25；4x 2-25=0；
（2）x （x-2）=100；x 2-2x-100=0；
（3）x=（1-x ）2；x2-3x+1=0.
3.若x=2是方程ax 2+4x-5=0的一个根，求a 的值.
解:∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根.
∴4a+8-5=0解得：a=-
43. —
四、师生互动，课堂小结
1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.
3.在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性.
1.布置作业：从教材相应练习和“习题2
2.1”中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.
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一元二次方程的解法
1.直接开平方法和因式分解法
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【知识与技能】
1.会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b（a≠0,ab≥0）的方程.
2.灵活应用因式分解法解一元二次方程.
3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用.
【过程与方法】
创设学生熟悉的问题情境，综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进行教学.
【情感态度】
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鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程，激发求知的欲望，体验求知的成功，增强学习的兴趣和自信心.
【教学重点】
利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.
【教学难点】
合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.
一、情境导入，初步认识
问：怎样解方程(x+1)2=256
【
解：方法1：直接开平方，得x+1=±16
所以原方程的解是x
1=15,x
2
=-17
方法2：原方程可变形为：
（x+1）2-256=0，方程左边分解因式，得（x+1+16）（x+1-16）=0 即（x+17）（x-15）=0
所以x+17=0或x-15=0
