弹簧振子的位移

北京师范大学物理实验教学中心 ● 基础物理实验

1

姓名 学号 院系 时间 地点

【实验题目】 弹簧振子周期经验公式的总结

【实验记录】

1．仪器与用具

名称

型号 焦利秤 电脑通用计数器 电子天平

准确度 0.02mm 0.1ms 0.01g

2. 实验内容和数据记录

a. 测量弹簧振子的弹性系数与质量

方法：测量每根弹簧在40g的外力下的变形量x，利用公式：k=xkgNkg/8.904.0计算弹性系数。

利用电子天平测量5组弹簧的质量。

数据记录:

弹簧组

测量 1 2 3 4 5

初始位置(cm) 7.000 6.638 5.876 10.342 6.550 10.582 3.970 8.568 5.020 5.444

加重后的位置( cm) 12.544 11.846 12.340 16.648 14.438 18.614 13.034 18.470 15.302 16.030

总质量(g) 6.1 7.98 9.5 11.18 13.01

3.535 3.763 3.032 3.108 2.485 2.440 2.162 1.979 1.906 1.852

3.649 3.070 2.463 2.071 1.879

北京师范大学物理实验教学中心 ● 基础物理实验

2 b. 固定弹性系数，改变质量，测量周期。

弹簧组： 3

改变质量次数 有效质量（g） 10T (ms)

左侧起始点 10T (ms)

右侧起始点

1 0 255.47 13934.4 13946.3

2 30g 285.47 14756.6 14749.5

3 60g 315.47 15570.7 15520.4

4 90g 345.47 16287.7 16244.4

5 120g 375.47 16977.1 16974.4

c. 固定质量M，改变弹性系数，测量振动周期T

弹簧振子实验报告

一、 引言

 实验目的

1. 测定弹簧的刚度系数(stiffness coefficient).

2. 研究弹簧振子的振动特性，验证周期公式.

3. 学习处理实验数据.

 实验原理

一根上端固定的圆柱螺旋弹簧下端悬一重物后，就构成了弹簧振子.当振子处于静止状况时,重物所受的重力与弹簧作用于它的弹性恢复力相平衡,这是振子的静止位置就叫平衡位置.如用外力使振子离开平衡位置然后释放,则振子将以平衡位置为中心作上下振动.实验研究表明,如以振子的平衡位置为原点(x=0),则当振子沿铅垂方向离开平衡位置时,它受到的弹簧恢复力F在一定的限度内与振子的位移x成正比,即

𝐹=−𝑘𝑥

(1)

式中的比例常数k称为刚度系数（stiffness coefficient），它是使弹簧产生单位形变所须的载荷.这就是胡克定律.式（1）中的负号表示弹性恢复力始终指向平衡位置.当位移x为负值，即振子向下平移时，力F向上.这里的力F表示弹性力与重力mg的综合作用结果.

根据牛顿第二定律，如振子的质量为m，在弹性力作用下振子的运动方程为：

𝑚𝑑2𝑥𝑑𝑡2+𝑘𝑥=0 (2)

令𝜔2=𝑘𝑚，上式可化为一个典型的二阶常系数微分方程𝑑2𝑥𝑑𝑡2+𝜔02=0，其解为

𝑥=𝐴𝑠𝑖𝑛（𝜔0𝑡+𝜙） （3）

（3）式表明.弹簧振子在外力扰动后，将做振幅为A，角频率为𝜔0的简谐振动，式中的（𝜔0t+ϕ）称为相位，ϕ称为初相位.角频率为𝜔0的振子其振动周期为𝑇0=2π𝜔0，可得

𝑥=2𝜋√𝑚𝑘 （4）

(4)式表示振子的周期与其质量、弹簧刚度系数之间的关系，这是弹簧振子的最基本的特性.弹簧振子是振动系统中最简单的一种，它的运动特性（振幅，相位，频率，周期）是所有振动系统共有的基本特性，研究弹簧振子的振动是认识更复杂震动的基础.

建构物理模型，巧手探析题目

1 “弹簧振子”模型

太原市第十二中学 姚维明

模型建构：

【模型】常见弹簧振子及其类型问题

在简谐运动中，我们对弹簧振子（如图1，简称模型甲）比较熟悉。在学习过程中，我们经常会遇到与此相类似的一个模型（如图2，简称模型乙）。认真比较两种模型的区别和联系，对于培养我们的思维品质，提高我们的解题能力有一定的意义。

【特点】①弹簧振子做简谐运动时，回复力F=-kx，“回复力”为振子运动方向上的合力。加速度为mkxa

②简谐运动具有对称性，即以平衡位置（a=0）为圆心，两侧对称点回复力、加速度、位移都是对称的。这是解题的关键。

模型典案：

【典案1】把一个小球挂在一个竖直的弹簧上，如图2。当它平衡后再用力向下拉伸一小段距离后轻轻放手，使小球上下振动。试证明小球的振动是简谐振动。

〖证明〗设弹簧劲度系数为k，不受拉力时的长度为l0，小球质量为m，当挂上小球平衡时，弹簧的伸长量为x0。由题意得mg=kx0

容易判断，由重力和弹力的合力作为振动的回复力

假设在振动过程中的某一瞬间，小球在平衡位置下方，离开平衡位置O的距离为x,取向下的方向为正方向

则回复力F=mg+[-k(x0+x)]=mg-kx0-kx= -kx

根据简谐运动定义，得证

比较：

（1）两种模型中，弹簧振子都是作简谐运动。这是它们的相同之处。

(2）模型甲中，由弹簧的弹力提供回复力。因此，位移(x)，回复力(F)，速度(v)，加速度(a)，各量大小是关于平衡位置O点对称的。

(3)模型乙中，由弹簧的弹力和重力两者的合力提供回复力。弹簧的弹力大小关于平衡位置是不对称．．．的，这点要特别注意。但是，回复力（加速度）大小关于平衡位置是对称．．的。在解题时我们经常用到这点。

【典案2】如图3所示，质量为m的物块放在弹簧上，弹簧在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A时，物体对弹簧的最大压力是物重的1.8倍，则物体对弹簧的最小压力是物重的多少倍？欲使物体在弹簧振动中不离开弹簧，其振幅最大为多少？

教案示例

——简谐运动

一、教学目标

1．在物理知识方面要求：

(1)了解什么是机械振动；

(2)掌握简谐运动回复力的特征；

(3)掌握在一次全振动过程中回复力、加速度、速度随偏离平衡位置的位移变化的规律(定性)．

2．通过观察演示实验，概括出机械振动的特征，培养学生的观察、概括能力；通过相关物理量变化规律的学习，培养分析、推理能力．

3．渗透物理学方法的教育，运用理想化方法，突出主要因素，忽略次要因素，抽象出物理模型——弹簧振子，研究弹簧振子在理想条件下的振动．

二、重点、难点分析

1．重点是使学生掌握简谐运动的回复力特征及相关物理量的变化规律．回复力的特征是形成加速度、速度、位移等物理量周期性变化的原因．

2．偏离平衡位置的位移与运动学中的位移概念容易混淆，这是难点．在一次全振动中速度的变化(大小、方向)较复杂，比较困难．

三、教具

1．演示机械振动

钢板尺、铁架台、单摆、竖直弹簧振子、皮筋球．

气垫弹簧振子、微型气源．

2．分析相关物理量的变化

计算机、软盘、彩电(29吋，代彩显)，投影幻灯、投影片、彩笔．

四、主要教学过程

(一)引入新课

我们学习机械运动的规律是从简单到复杂：匀速运动、匀变速直线运动、平抛运动、匀速圆周运动，今天学习一种更复杂的运动——简谐运动．

(二)教学过程设计

1．机械振动

振动是自然界中普遍存在的一种运动形式，请同学举例说明什么样的运动是振动？

说明微风中树枝的颤动、心脏的跳动、钟摆的摆动、声带的振动……这些物体的运动都是振动．

演示几个振动的实验，要求同学边看边想：物体振动时有什么特征？

(1)一端固定的钢板尺

(2)单摆

(3)弹簧振子

(4)穿在橡皮绳上的塑料球

提出问题：这些物体的运动各不相同：运动轨迹是直线的、曲线的；运动方向水平的、竖直的；物体各部分运动情况相同的、不同的……它们的运动有什么共同特征？