开方与乘方的运算

’开方．特别是开平方和开立方

在日常生活、经济和科学技术中有

着广泛的应用．例如利用开方求房

价每年上涨的百分比．求财政收入

．的平均增长率。求圆形场地、圆柱

形容器的半径．求正方形的边长

等．’

钢，已知某市的房价逐年

上涨．到第4年房价已经变成了原

来的1．5倍．假设每年上涨的百分

比一样．试求该市的房价每年上涨

的百分比．(

已知帽一1

．144

7，

精确到0．1％)冈砩房价看成1

，每次上涨

的百分比为省．则第1次上涨后房

价为(1+z)，。第2次上涨后房价为

(1+x)2，第3次上涨后房价为(1+算)3，

……，第n次上涨后房价为(1+茗)巳

到第4年该市房价连续上涨了

3次。敝(1+茗)3=1．5．

解：设该市的房价每年上涨的

4百分比为茗．由题意得

(1+算)3=1．5，

即1-4-茁=1．1447．

．。所以髫=0．1447—14．5％．

答：该市房价每年约上涨14．5％．

钶2小明家最近购买了一套新房，其客厅有20m：，经过全家人商

议，打算用地板砖铺设地面．小明计算了一下。可以用80块正方形的地

板砖铺设面积是20m2的客厅．你知道小明家应购买的正方形地板砖的

边长是多少吗?

厨稚题是一道与实际生活密切相关的问题，根据题意可知，80

块

地板砖的面积和为20m2．只要计算出一块地板砖的面积，然后再开方

即可求得正方形地板砖的边长．

’，’+

解：设一块正方形地板砖的边长为茗m．则

80名2=20．解得菇=±0．5．

因为地板砖的边长不能为负数．所以戈=0．5．

’所以小明家应购买边长为O．5nl的地板砖．

24钌3要造一个底面直径和高相等的圆柱形储油罐，储油罐的容积

为6m3，则这个储油罐的底面半径应是多少米?(at取3．14，结果保留两个

有效数字)

防砰题可设半径为髫m

，则直径和高均为2x

m，根据圆柱体积列

出关系式．通过开立方运算解决．

：

解：设这个储油罐的半径为茗m，则高为知m，由题意得一．

‘做2．2x=6．

茗，：三．t

”“竹

∞=

～寺．j

所以并一0．98．

’答：这个储油罐的底面半径应是0．98m．

1 1 15.2.1分式的乘方及乘方与乘除的混合运算

教学目标

1．进一步熟练分式的乘除法则，会进行乘、除法的混合运算．

2．理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方运算．

3．渗透类比转化的数学思想，让学生在学知识的同时学到方法，训练思维．

教学重点 分式的乘方运算，分式的乘除法、乘方的混合运算．

教学难点 分式的乘除法、乘方的混合运算，以及分式乘除法、乘方运算中符号的确定．

教学过程

一、复习引入

1．如何进行分式的乘除法运算？

分式乘法法则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．

用符号语言表达：acbdcdab•

分式的除法法则：

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．

用符号语言表达：adbcdcabcdab•

例1 计算（1）)(bxbaxyyxab439823232•

（2）xxxxxxx•323344622))(()(

师生活动：两名学生板演，其余学生独立完成，教师巡视，投影典型错例，让学生纠错．

最后总结分式乘除法混合运算的步骤及注意点：

（1） 先把分式乘除法的混合运算统一成乘法运算

（2） 把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式

（3） 确定分式的符号，然后约分

（4） 结果要是最简的

设计意图：在学生已经掌握了分式的乘法、除法运算的基础上让学生会进行分式的乘除法混合运算．

二、探究新知

问题1：思考：

（1）na的意义是什么？

（2）2ab （3）3ab

（4）10ab （5）nab

师生活动：让学生根据乘方的意义及分式的乘法法则尝试计算，教师适当点拨．

问题2：尝试用自己的语言归纳分式乘方的法则 ，并用符号语言表示，在小组内交流．

教 案 用 纸

学

科

数

学

第 一 章 方程与不等式

1.1.2 数的乘方和开方的运算

审 批 签 字

授 课 时 数

2

授 课 方 法

讲授

教 具

三角板

授 课 时 间

2011年9月28日

授 课 班 级 化工工艺1141、

数车1141、数车1142

教 学 目 的 1.掌握数的乘方和开方运算2.理解根式的概念和性质

教 学 重 点

和 难 点 重点：数的乘方和开方运算与相关公式

难点：根式的概念和性质

复 习 提 问 1.什么叫做a的n次幂？2.什么是乘方和开方运算？

教 学 内 容 、 方 法 和 过 程

附 记

（一）导入新知

问题1：什么叫做a的n次幂？

a的n次幂，记作na，其中a叫做幂底数，n叫做幂指数。

问题2：乘方运算：求n个a连乘的积的运算，即naaaaa

问题3：开方运算：

9 , 38 , 3125

以上三个式子分别读作什么？各表示什么意思？

解释：9 表示9 的算术平方根；38 表示8的立方根或三次方根；

3125 表示125的立方根。

问题1-3复习乘方和开方运算的概念，为本节内容做铺垫。

个n

教 学 内 容 、 方 法 和 过 程

附 记

（二）讲授新知

1.乘方运算：求n个相同的数乘积的运算。

① 正整数指数幂：当n为正整数时，a的n次幂即正整数指数幂。

举例说明：4个2连乘：422222

5个m连乘：5mmmmmm

:问题4：由nmnmaaa，nmnmaaaanmnm均为正整数，且，，0

猜想，当时呢？nm

举例说明：25353aaaa （1）

2531aaaaaaaaaaa （2）

由（1）和（2）可得：221aa

蛳繇　解题技巧与方法　浅谈复数的开方运算　◎陆　星　（１．天津大学３０００７１　【摘要】数域的扩充，给很多原本很难解决的问题带来　了新的思路，但初学复数时，又常常会碰到与实数中不太一　致的地方．本文从开方运算这一方面来讨论一下复数与实　数的区别与联系．　【关键词】复数；开方运算　数域从实数域扩展到复数域，使负数不能开根号这个　问题得到了解决．复数的引入也给很多领域带来了方便，促　进了科学和工程的极大发展．但我们初学复数时却会碰到　些小小的问题，先来看一看下面两道题：　１×￣／一１＝？　（Ｉ）　￣／（一１）Ｘ（一１）＝？　（ＩＩ）　其中一种解法是：　×￣／＿　＝　×　＝（±ｉ）×（±ｉ）＝±１．　￣／（一１）×（一１）＝￣／１＝１．　这是我们最容易想到的一种解法，因为复数引入时用　的就是ｉ　＝一１．但若想到另一种表示方法——ｅ　＝一１，则　有下面的一种解法：　×　＝ｖ／　×、／，　＝ｅ　÷　×ｅ　÷　＝ｅ　＝一１　两种方法的结果截然不同，特别是在第二种解法中，　（Ⅱ）的结果竟然为一１，这与我们的常识有悖：在实数域中，　（Ⅱ）式结果显然为１．数域推广到复数域，结果却变成了　１，是不是这种推广有问题呢？如果不是，结果为什么会　不一样呢？　在继续讨论之前，我们先来仔细看看复数的几种表示　方法：　代数式：复数　＝　＋ｉｙ，其中　，Ｙ为实数；　三角式：复数ｚ＝ｐ（ｃ０　＋ｉｓｉｎｑ￣），其中Ｐ为复数　的模，　为复数ｚ的辐角；　指数式：复数ｚ＝ｐｅ　，其中ｐ为复数　的模，妒为复数　的辐角．　需要注意的是，一个复数的辐角值不能唯一确定，可以　取无穷多个值，并且彼此相差２竹的整数倍．通常记ｐ＝　Ａｒｇｚ，并规定，以ａｒｇｚ表示其中满足条件一百＜Ａｒｇｚ≤叮ｒ的一　个特定值，并称ａｒｇｚ为Ａｒｇｚ的主值，或　的主辐角．于是有：　Ａｒｇｚ＝ａｒｇｚ＋２　竹，ｋ＝０，４－１，±２，±３，…．　数学学习与研究２０１２　１　王　颖　２．南开大学３０００７１）　。　●　●　●　这个时候，我们或许会发现，前面的问题出在辐角上，　我们不妨这样来做：　√Ｉ　ｘ　：　ｘ　而　：ｅ　寺（　ｌ　×ｅ　÷（　２　＝ｅ　［　（ｋｌ　２）　］＝ｅ’　ｅ　（　ｌ　＾２）　当（ｋ　＋　）为偶数时，上式＝一１；当（　。＋　）为奇数　时，上式＝１．　、　丁　：　＝　而　而砸　币　＝ｅ　［　（　ｌ　２）　］：ｅ’　ｅ　（　ｌ　２）　当（ｋ　＋ｋ　）为偶数时，上式＝一ｌ；当（ｋ　＋ｋ　）为奇数　时，上式＝１．　这样，在复数域的结果就包含了实数域的结果．另外，　有一种错误做法需要注意：　ｘ　：　曙而丽ｘ　丽　＝ｅ专（　×ｅ专（　’　：ｅ　［　２ｋｗ］＝ｅＴＭ＝１．　『二　：　而　而　而：ｅ　【　］　＝ｅ　＝一１．　这里出现的问题反映了：两个一１的辐角需要区别对　待，ｋ的取值并不完全一样．　经过上面的讨论，我们可以肯定地说，从这个题目来　看，数域从实数域推广到复数域没有问题．另外，这两道题　目也告诉我们，在进行开方运算，选用指数式形式时，辐角　应该用Ａｒｇｚ形式，而不能只用其主值ａｒｇｚ，否则将会产生错　误．如果我们再仔细想想，便会发现实数中的根号√和复数　中的根号￣／是有一定区别的，在实数中单用一个根号￣／，表　示的是取某个非负实数的算数平方根，其结果只能是一个　值；而在复数中单用一个根号厂，则表示的是对某一个复数　进行开方运算（复数没有正负之分，谈不上算数平方根，因　此其算数平方根是没有意义的），其结果应该是两个值．那　么从这个角度来看，（Ⅱ）的结果一定是两个，而不是一个．　这也进一步印证了复数的　次方根有ｒｔ个不同的值（原因　很简单，复数的辐角不唯一确定，ｋ可取一系列的值，开ｎ次　方后，ｋ／ｎ就可以加减２　／　的整倍数，从而对于给定的复　数，开ｎ次方后，就会有ｎ个不同的值）．　一