高中数学——“三点共线定理”的妙用

几何中的三点共线定理几何学是研究形状、大小、相对位置以及性质的数学学科，广泛应用于建筑、工程、艺术等领域。

在几何学中，存在许多重要的定理和规律，其中之一就是三点共线定理（Collinearity of Three Points）。

三点共线定理是几何学中最基本、最简单的定理之一。

它表达的是当三个点位于同一直线上时，这三个点就被称为共线的。

三点共线定理通常用于证明几何性质、解决几何问题以及构造新的几何定理。

下面将对三点共线定理进行详细阐述。

一、三点共线定理的表述三点共线定理可以简单地表述为：任意给定三个点，如果它们位于同一条直线上，那么它们就是共线的。

二、三点共线定理的解释三点共线定理的解释非常直观。

想象一个平面上的直线，可以在上面任意选取三个点。

当这三个点恰好位于同一条直线上时，它们就称为共线的，否则它们将形成一个三角形。

三、三点共线定理的证明三点共线定理可以通过反证法来证明。

反证法是一种常用的证明方法，它基于假设某个结论不成立，然后推导出矛盾的结论。

不妨假设三个点A、B、C不共线，即它们不位于同一条直线上。

在平面上，我们可以通过A和B之间画一条直线AB，再通过A和C之间画一条直线AC。

由于A、B、C不共线，直线AB与直线AC一定有一个交点D。

现在我们观察点D与线段BC的位置关系。

根据平面几何学的基本性质，当两条直线相交时，它们只能在一个点处相交。

然而，我们前面假设了A、B、C不共线，所以点D不可能在线段BC上。

这就导致了一个矛盾的结论：点D既在直线AC上，又不在线段BC上。

因此，我们的假设是错误的，A、B、C必须共线。

综上所述，根据反证法的证明过程，我们可以得出结论：任意给定三个点，如果它们位于同一条直线上，那么它们就是共线的。

四、三点共线定理的应用三点共线定理在几何学中具有广泛的应用，尤其是在证明和解决几何问题方面。

例如，当我们需要确定一个点是否与已知线段的两个端点共线时，可以利用三点共线定理进行判断。

平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +=。

特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段AB 之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。

例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100B ．101C ．200D ．201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选A 。

点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。

例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则yx 41+ 的最小值是解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+=　且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++　x>0,y>040,0y xx y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y xx y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功.例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC 中，13AN NC =，点P 是BC 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4（07年江西高考题理科）如图3，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝ m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为 ．解：因为O 是BC 的中点，故连接AO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点G 是△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线． 设OA x OP =，OB y OQ =，证明：yx 11+是定值； 图3图4图2证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线，11133x y ∴+= 113x y ∴+= 11x y∴+为定值3例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD 中，13AE AB =,14AF AD =,CE 与BF 相交于G 点，记AB a =，AD b =，则AG =_______A ．2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 4277a b +分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F 、G 、B 以及E,G,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。

三点共线向量式的巧妙应用
《三点共线向量式的巧妙应用》
三点共线向量式是数学中一种有趣的思想，它的应用非常广泛。

它可以用来解决几何问题，也可以用来解决物理问题。

在几何中，三点共线向量式可以用来判断三点是否共线，以及三点的位置关系。

它可以帮助我们快速确定三点是否在一条直线上，以及三点的位置关系，这在解决几何问题中非常有用。

在物理中，三点共线向量式可以用来计算力的大小和方向，以及物体的运动轨迹。

三点共线向量式可以帮助我们快速计算力的大小和方向，并且可以用来判断物体的运动轨迹。

三点共线向量式是一种非常有用的思想，它在几何和物理中都有巧妙的应用。

它可以帮助我们快速解决几何和物理问题，是一种非常有用的思想。

三点共线定理及应用三点共线定理是一种几何定理，它指的是，若三点不共线，则它们必然位于某一条直线上。

这个定理有着深远的历史价值和今天广泛的应用。

据说它最早出现在公元前500年的古希腊数学家几何时期，也就是著名的欧几里得的时代，当时的数学家们就把它作为一种理论去验证实际情况。

《三点共线定理》主要指出，若三点不共线，则它们必然位于某一条直线上。

这个定理的可见性很强，只需要画出三点，并且看看三点是否共线，就可以立即得出结论。

更进一步，由三点共线定理可以得到一些重要的实际应用，其中包括空间直线、平面图形、三角形等。

以三空间为例，三点共线定理用于确定空间直线的具体情况。

如果在空间中有三个不同的点，它们之间的距离不是0，并且它们不在同一直线上，则它们之间唯一的连线必定是一条直线。

在平面图形方面，三点共线定理可以用来判断三角形是否位于同一平面内。

例如，若有三个不共线的点，通过它们可以构造出三角形，则这三角形一定位于同一平面上；如果三点共线，则不能构成三角形，也就不能位于同一平面。

另外，三点共线定理也可以用来确定平行线和平面的关系。

在三角形的应用中，三点共线定理也可以用来解决实际问题。

例如，在工程计算中，三点共线定理可以用来衡量三角形的面积。

换言之，只要知道三角形的三点坐标，就可以运用三点共线定理来计算该三角形的面积。

此外，三点共线定理还可以应用于几何图象处理中，例如图像拉伸和旋转等功能的实现。

首先，通过对图像的直线拉伸和旋转，可以用三点共线定理来确定每条线段的另外两点。

其次，三点共线定理还可以用来检测图像中的某一条线段是否与其他线段共线。

最后，在医学影像诊断方面，三点共线定理可以用来确定肿瘤图像在不同层次和角度下的特征，从而帮助医生准确诊断出病原体所在的位置。

综上所述，三点共线定理是一种有着悠久历史的几何定理，它具有大量的实际应用，例如在几何图像处理、医学影像诊断和工程计算等领域都有着广泛的实际应用。

同时，三点共线定理也是数学领域中一个重要的定理，它对于研究更复杂的几何问题也有着重要的意义。

三点共线判定定理一、三点共线的“神奇”判定大家都知道，三点共线是个什么鬼吧？就是那三点要躺在同一条直线上，像是三个好朋友肩并肩站在一起，谁也不跑偏。

听起来是不是很简单？要证明这三点果真是共线，得有个小小的“黑科技”——三点共线判定定理。

乍一听，可能觉得很学术，像是高大上的数学公式。

不过别着急，我来给你讲个轻松又好理解的版本。

就好像你每天走的路上，偶尔看到一个人一直跟你走，走着走着你就能发现：咦，这家伙是不是一直都走在我前面？这不就是找三点共线的味道嘛。

这个定理告诉我们，其实我们可以用简单的坐标来判断这三点是不是共线。

你想象一下，在平面坐标系上，我们有三点A（x₁,y₁），B（x₂,y₂），C（x₃,y₃）。

如果这三点是共线的，那它们之间的“斜率”就得是一样的。

是不是听起来有点抽象？别急，接下来我慢慢给你讲。

二、斜率是关键咱们的故事要往下讲啦。

数学里最核心的东西之一就是斜率。

斜率，顾名思义，就是线条的倾斜度。

如果说这三点是共线的，那就说明从A到B的那条线和从B到C的那条线，倾斜度必须完全一致——它们的“斜率”得一模一样。

这里的斜率，其实就是两点之间纵坐标差和横坐标差的比值，也就是（y₂y₁）/（x₂x₁）。

懂了吧？如果从A到B的斜率跟从B到C的斜率相同，那三点就是共线的了。

反过来说，如果它们不相等，那就说明这三点肯定不是共线的，毫无疑问，肯定是跑偏了。

听起来是不是很简单？其实就是把这两条线的倾斜度进行比较。

比方说，你和朋友一起走路，大家如果都保持同一个方向，走的路线一定很相似；如果其中一个人突然走斜了，其他人就跟不上了。

所以，三点共线的核心其实就是“同向行走”。

经过这番比喻，希望大家对“斜率”有了点理解。

三、举个例子，大家一起玩玩为了让大家更加明白，我来给你们举个例子。

假设你有三个点A（1,2），B（3,4），C（5,6）。

我知道，有些朋友可能一看这个数据就头大了，别怕，我慢慢来。

你首先可以计算A到B的斜率。

平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量b a b b a//),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ=由该定理可以得到平面内三点共线定理：三点共线定理:在平面中A 、Ｂ、Ｐ三点共线的充要条件是:对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x ，ｙ使得:OP xOA yOB =+且1x y +=。

特别地有：当点Ｐ在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段A Ｂ之外时，0xy <笔者在经过多年高三复习教学中发现,运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题,模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。

例1（0６年江西高考题理科第7题)已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为Ｓｎ，若1200OB a OA a OC =+,且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O),则S 20０=( ) A ．100ﻩﻩﻩﻩＢ.１01 ﻩＣ．2００ ﻩﻩﻩD.201解：由平面三点共线的向量式定理可知：ａ1+a 200=1,∴1200200200()1002a a S +==,故选Ａ。

点评:本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起,是一道经典的高考题。

例2 已知P 是ABC ∆的边BC 上的任一点,且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,,则yx 41+ 的最小值是解:点P 落在ABC 的边ＢC 上 ∴B ，Ｐ,C 三点共线AP xAB yAC =+ 1x y ∴+=　且x>0,y>014141444()1()()145y x y xx y x y x y x y x y x y∴+=+⨯=+⨯+=+++=++　x>0,y>040,0y x x y ∴>> 由基本不等式可知：4424y x y x x y x y+≥⨯=，取等号时4y xx y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >>2y x∴=1x y +=12,33x y ∴==，符合所以yx 41+的最小值为9 点评:本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起, 较综合考查了学生基本功.例3(湖北省２０11届高三八校第一次联考理科）如图２,在△ABC 中，13AN NC =,点P 是BC 上的一点,若211AP mAB AC =+,则实数ｍ的值为( ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211解：,,B P N 三点共线，又2284111111AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+⨯=+ 8111m ∴+= 311m ∴=，故选C 例4(０7年江西高考题理科)如图3,在△ABC 中,点O 是B Ｃ的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、ＡＣ于不同的两点M 、N,若AB = m AM ，AC ＝ｎAN ，则m ＋n 的值为 .解:因为O 是B Ｃ的中点,故连接ＡO ，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知:1()2AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =1()2AO mAM nAN ∴=+22m nAO AM AN ∴=+又,,M O N 三点共线，∴由平面内三点共线定理可得：122m n+= 2m n ∴+=例5（广东省２01０届高三六校第三次联)如图５所示：点G 是图3图4图2△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．设OA x OP =，OB y OQ =,证明:yx 11+是定值; 证明：因为G 是OAB 的重心，211()()323OG OA OB OA OB ∴=⨯+=+1OP xOAOA OP x=∴= 1OQ yOBOB OQ y=∴=111111()()3333OG OA OB OP OQ OG OP OQ x y x y∴=+=+∴=+ 又,,P G Q 三点共线,11133x y∴+= 113x y ∴+= 11x y ∴+为定值3例6（汕头市东山中学20１3届高三第二次模拟考试)如图６所示,在平行四边形ＡＢＣD 中,13AE AB =,14AF AD =,CE 与B Ｆ相交于G 点，记AB a =，AD b =,则AG =＿＿＿____A.2177a b +B. 2377a b +C. 3177a b + Ｄ. 4277a b + 分析:本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题,所以我们很容易联想到点F 、G 、Ｂ以及Ｅ,Ｇ,C 三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解。

高中数学三点共线解题技巧在高中数学中，三点共线是一个重要的概念和考点。

理解和掌握三点共线的概念以及解题技巧对于解决几何问题非常关键。

本文将介绍几种常见的三点共线的情况，并通过具体的题目进行说明和分析，帮助读者更好地掌握解题技巧。

1. 三点共线的基本定义三点共线是指三个点在同一条直线上。

这是几何中最基本的概念之一，也是解决几何问题的基础。

当我们遇到题目中涉及到三个点的位置关系时，首先要判断这三个点是否共线。

例如，给定三个点A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 6)，我们可以通过计算斜率来判断它们是否共线。

如果斜率相等，那么这三个点就共线。

在这个例子中，我们可以计算出AB的斜率为1，BC的斜率也为1，因此可以得出结论，点A、B、C共线。

2. 三点共线的判定方法除了计算斜率的方法外，还有其他一些判定三点共线的方法。

下面将介绍几种常见的方法。

（1）向量法：如果三个点A、B、C的向量AB和向量AC共线，那么这三个点就共线。

向量法是一种简单且常用的判定方法，特别适用于解决平面几何中的问题。

例如，给定三个点A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 6)，我们可以计算向量AB和向量AC，如果它们共线，那么点A、B、C就共线。

计算得到向量AB为(2, 2)，向量AC为(4, 4)，它们的比值为1:2，因此可以得出结论，点A、B、C共线。

（2）面积法：如果三个点A、B、C的三角形ABC的面积为0，那么这三个点就共线。

面积法是一种几何解题常用的方法，尤其适用于解决面积相关的问题。

例如，给定三个点A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 6)，我们可以计算三角形ABC的面积。

根据行列式的定义，可以得到面积为0，因此可以得出结论，点A、B、C共线。

3. 举一反三掌握了三点共线的解题技巧后，我们可以通过举一反三的方法，将这些技巧应用到更复杂的问题中。

例如，给定四个点A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 6)，D(7, 8)，我们可以通过判断点A、B、C是否共线，进而判断点A、B、C、D是否共面。

3点共线定理
左右
三点共线定理（Collinearity theorem）是数学中最重要的定理之一。

它指出任何三
点都必须处于同一直线上，或者存在“共线”之说。

根据此定理，任何三个点都可以都处
于一条直线上，而这条直线即称作“三点共线直线”。

三点共线定理的历史可以追溯到古希腊的几何学家，他们就已经认识到了直线的这一
定理。

其实，三点共线定理在各种几何形状中都是有用的，可以在空间和低维空间中用来
描述各种点之间的关系。

根据三点共线定理，任何三个点都可以处于一条共线直线上，判断这三个点是否实际
上处于一条直线上，最常见的办法就是判断它们的连线是否平行，或者求出它们之间的夹角，如果这个夹角为0度，则表明它们共线，其他情况则不是。

虽然三点共线定理的证明似乎比较简单，但它的影响之大不言而喻。

它成为几何学和
平面几何学中不可或缺的一部分，甚至后来在更高级的几何和微积分中都是实际可行的。

此外，这种理论也能够证明多边形的一些性质，并且在描述可能存在的平行线段时也有用。

此外，它还广泛应用于建筑和土木工程，可以用来证明一些曲线的实际可行性等。

总而言之，三点共线定理在几何和平面几何领域的影响巨大，但它也有一些较高级的
应用，并且也广泛用于一些建筑工程、土木工程等等。

因此，这一定理在当今社会的科学
研究中仍然具有重要的意义。

在平面向量中，三点共线的应用赣州中学 龚海院高中数学北师大版必修4课本第二章平面向量，第82页有例题3.题目为：A,B,C 是平面内三个点，且A 与B 不重合，P 是平面内任意一点，若点C 在直线AB 上，则存在实数λ，使得(1)PC PA PB λλ=+-证明：如图所示，因为向量BA BC 与共线，根据向量共线定理可知：证完.注意到: PA PB 与的系数之和为1-+=1λλ（）。

此命题的逆命题也是成立的。

特别说明，。

此命题在解决一些几何问题（诸如“三点共线”或类似的题）时有着广泛的应用。

以下通过例题来加以说明。

下面仅举几例，以飨读者。

例1 如图，在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上。

BN=13BD ，求证：M 、N 、C 三点共线。

证：设1AB e =，2AD e =，（1e 与2e 不共线），则21BD e e =-.∵N 为BD 的三等分点，∴2111()33BN BD e e ==-,而11122BM BA e ==-, ∴21212111211212()333323333BN e e e e e BM BC BM =-=+⨯-=+=+,∵12,33m n ==，且m+n=1，且B 、M 、C 三点不共线，则点M 、N 、C 三点共线。

例2 （06年江西高考题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若120O B aO A a O C =+，且A 、B 、C 三点共线，（设直线不过点O ），则S 200=A ．100B ．101C ．200D ．201()()(1)BC BAPC PB PA PB PC PB PA PB PC PB PAλλλλλ=-=-=+-=-+,,,,1,,,A B C P PC xPB yPA x y A B C =++=命题：已知平面上四点：，若有且则三点共线。

,1,1-y)(),,PC xPB yPA x y PC PB yPA PB y PA PB PC PB yBA PC PB yBA BC yBA BC BA =++==+=+-=+-==证明：因为且则（即是,所以，故与共线，从而A,B,C三点共线，证完。