广东省2020学年九年级数学上学期期末试卷

广东省惠州市2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．B．C．D．A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断 8．关于x 的方程2210x x --=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定9．把抛物线y=-2x 2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A ．()2y 211x =-++B ．()2y 211x =--+ C ．()2y 211x =--- D ．()2y 211x =-+- 10．如图，Rt ABC ∆中，90o CAB ∠=，在斜边CB 上取点M ，N （不包含C 、B 两点），且45o B C MAN ∠=∠=∠=，设MN x =，BM n =，CN m =则以下结论能成立的是( )A ．m n =B ．x m n =+C ．x m n >+D ．222x m n =+17．如图，将直径为12的半圆，绕点A逆时针旋转60º，使点B落到点B'处，则图中阴影部分的面积是________．选一项）进行了问卷调查，将数据进行统计并绘制成了如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整）（1）在这次问卷调查中，一共抽查名常驻市民，篮球项目所占圆心角的度数是；估计该区1200万常驻市民中有人喜爱足球运动、有人喜欢跑步；（2）补全频数分布直方图；（3）若这次问卷调查中喜欢跑步的人员中有1名男士，喜欢舞蹈的人员中有2名女士，现从喜欢跑步和喜欢舞蹈的人员中随机选取两名作区代表参加重庆市的竞技比赛，用列表法或树状图求所选的两名恰好是一位喜欢跑步的男士和一位喜欢舞蹈的女士的概率．23．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过∥交CB的延长线于点G．A点作AG DB(1)求证：DE BF∥．(2)若90∠=︒，求证：四边形DEBF是菱形．GV中，∠C=90º，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过O作OE∥AB，24．如图在Rt ABC交BC于E．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)如果⊙O的半径为3，DE=4，求AB的长；(3)在（2）的条件下，求△ADO的面积．25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点；①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，过点Q作QD∥y轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．。

广东省广州市番禺区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列方程中，没有实数根的是（ ）A ．220x x -=B ．2210x x --=C ．2210x x -+= D ．2230x x -+= 2．如图，在ABC ∆中，点,D E 分别是,AB AC 的中点，则下列结论不正确的是（ ）A ．2BC DE =B ．ADE ABC ∆∆ C ．AD AB AE BC = D ．4ABC ADE S S ∆∆=3．抛物线222y x x -=+与y 轴的交点坐标为（ ）A ．()0,2B ．()1,1C ．()2,0D ．()0,2- 4．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）A ．至少有1个球是黑球B ．至少有1个球是白球C ．至少有2个球是黑球D ．至少有2个球是白球6．如图，A ，B ，P 是半径为2的⊙O 上的三点，∠APB ＝45°，则弦AB 的长为（ ）A ．2B ．4C ．D7．一元二次方程260x +-=的两实数根为12,x x ，则12x x +的值为（ ）A B ．- C ．D ．68．如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ︒∠=，将ABC 绕点A 顺时针旋转90︒后得到的'''A B C （点B 的对应点是点'B ，点C 的对应点是点'C ），连接'CC ．若22CC B ︒∠''=，则B 的大小是（ ）A ．63︒B ．67︒C ．68︒D ．77︒9．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①4ac ＜b 2；②a+c ＞b ；③2a+b ＞0．其中正确的有（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 10．如图，已知弦AB 与弦CD 交于点P ，且P 为AB 的中点，延长,AC DB 交于点E ，若2,3AC BD ==，则CE BE +=（ ）A ．9B ．3+C ．10D ．二、填空题 11．一元二次方程2250x -=的解为__________．12．点P （3，﹣5）关于原点对称的点的坐标为_____．13．把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，两次正面朝上的概率是____．14．如图，圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高AO 为_____．15．如果关于x 的方程220x x k -+=（k 为常数）有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是__________．16．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ︒∠=，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ∆是BC 的中点，P 是''A B 的中点，连接PM ，若4,30BC BAC ︒=∠=，则线段PM 的最大值是__________．三、解答题17．已知x=﹣1是方程x 2+mx ﹣5=0的一个根，求m 的值及方程的另一个根．18．配方法解方程：2346x x -=19．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 为BC 边上的中线，DE AB ⊥于点E.（1）求证：BDE CAD ∆∆∽；（2）若13AB =，10BC =，求线段DE 的长.20．如图，已知△ABC 和点O ．（1）把△ABC 绕点O 顺时针旋转90︒得到△A 1B 1C 1，在网格中画出△A 1B 1C 1；（2）用直尺和圆规作△ABC 的边AB ，AC 的垂直平分线，并标出两条垂直平分线的交点P （要求保留作图痕迹，不写作法）；指出点P 是△ABC 的内心，外心，还是重心？ 21．如图，转盘A 的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B 的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，4．转动A 、B 转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；（2）求两个数字的积为奇数的概率．22．已知二次函数2y x 2x 3=-++．（1）在坐标系中作出函数图象，并求其图象的顶点坐标和图象与x 轴的交点坐标； （2）自变量x 在什么范围内，y 随x 的增大而减小？23．如图，Rt ABC ∆中，90ABC ︒∠=，以AB 为直径作O ，点D 为O 上一点，且CD CB =，连接DO 并延长交CB 的延长线于点E（1）判断直线CD 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若2,2BE DE BE ==，求AC DC的值．24．抛物线239344y x x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．线段OA 上有一动点P (不与O A 、重合)，过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，交抛物线于点M （1）求直线AB 的解析式；（2）点N 为线段AB 下方抛物线上一动点，点D 是线段AB 上一动点；①若四边形CMND 是平行四边形，证明：点M N 、横坐标之和为定值；②在点P N D 、、运动过程中，平行四边形CMND 的周长是否存在最大值？若存在，求出此时点D 的坐标，若不存在，说明理由25．如图，O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6,cm ACB ∠的平分线交O 于点D ． （1）求AD 的长；（2）试探究CA CB CD 、、之间的等量关系，并证明你的结论；（3）连接,OD P 为半圆ADB 上任意一点，过P 点作PE OD ⊥于点E ，设OPE ∆的内心为M ，当点P 在半圆上从点B 运动到点A 时，求内心M 所经过的路径长参考答案1．D【分析】一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 根 的判别式：2=4∆-b ac ，当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程无解，据此逐项法分析解题【详解】A. 220x x -=1,2,0a b c ==-=，22=4=(2)41040b ac ∆---⨯⨯=>∴方程有两个不相等的实数根，故A 错误；B. 2210x x --=1,2,1a b c ==-=-22=4=(2)41(1)80b ac ∆---⨯⨯-=>∴方程有两个不相等的实数根，故B 错误；C. 2210x x -+=1,2,1a b c ==-=22=4=(2)4110b ac ∆---⨯⨯=∴方程有两个相等的实数根，故C 错误；D.2230x x -+=1,2,3a b c ==-=22=4=(2)4138<0b ac ∆---⨯⨯=-∴方程无解故选：D【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．2．C【分析】根据三角形中位线的性质求解．【详解】解：由题意BC是△ABC的中位线，∴由中位线的性质可得：BC=2DE，BC∥DE，∴A正确，且∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴ΔADE∼ΔABC，且相似比=DE:BC=1:2，∴B正确，SΔABC=4SΔADE，且AD:AE=AB:AC，∴D正确，C错误，故选C ．【点睛】本题考查三角形中位线和三角形相似的综合应用，熟练掌握三角形中位线的性质及三角形相似的判定与性质是解题关键．3．A【分析】x=．与y轴的交点坐标即令0【详解】x=得，令0222=0022=+-+=-，y x x0,2，∴抛物线222=+与y轴的交点坐标为()y x x-故选：A．【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．4．A根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项正确；B、是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项错误；故选A．【点睛】此题主要考查了中心对称图形的定义，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．A【详解】试题分析：一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球是必然事件；至少有1个球是白球、至少有2个球是黑球和至少有2个球是白球都是随机事件．故选A．考点：随机事件．6．C【分析】由A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，可得△OAB是等腰直角三角形，继而求得答案．【详解】解：连接OA，OB．∵∠APB=45°，∴∠AOB=2∠APB=90°．∵OA=OB=2，∴AB故选C．7．B【分析】直接根据根与系数的关系求解．【详解】解：∵一元二次方程x 2的两实数根为x 1，x 2，∴x 1+x 2故选：B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 8．B【分析】利用旋转的性质得到'',90,AC A C BAC CAC BCA B C A '''=∠=∠=︒∠=∠，继而得到CAC '△为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质解得45ACC AC C ''∠=∠=︒，再由角的和差求得23B C A ''∠=︒，再由旋转的性质可得23BCA ∠=︒，最后根据三角形内角和解题即可．【详解】 ABC 绕点A 顺时针旋转90︒后得到的'''A B C'',90,AC A C BAC CAC BCA B C A '''∴=∠=∠=︒∠=∠CAC '∴为等腰直角三角形45ACC AC C ''∴∠=∠=︒22CC B ︒∠''=452223B C A CC A CC B ︒'''∴∠=∠-∠''=︒-=︒23BCA B C A ''∴∠=∠=︒902367B ∴∠=︒-︒=︒故选：B ．【点睛】本题考查旋转的性质，涉及等腰直角三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．9．B【详解】观察图象可知抛物线与x 轴有两个交点，△=b 2﹣4ac ＞0，即可得4ac ＜b 2，①正确； 当x=﹣1时，y ＜0，即a ﹣b+c ＜0，所以a+c ＜b ，②错误； 因对称轴12b x a =->，a ＜0，所以﹣b ＜2a ，即2a+b ＞0，③正确． 故答案选B ．考点：二次函数图象与系数的关系．10．C【分析】根据题意，由两角相等证明△ABE ∽△DCE ，△PBD ∽△PAC ，再由相似三角形性质，得到对应边成比例，设EC=x ，EB=y ，列出方程组，解出x ，y ，然后求得．【详解】∵∠A=∠D （同弧所对的圆周角相等）∠E=∠E∴△ABE ∽△DCE同理△PBD ∽△PAC ∴23AC PC AP BD BP PD=== ∵P 为AB 中点∴PA=PB, ∴393,,242PB PC PD PC AP PC ===CD=PC+PD=PC+91344PC PC = AB=AP+BP=33322PC PC PC += ∴13134312PC CD AB PC == 设EC=x ，EB=y,则32x EC y CD y EB x AB+===+，则可得： 22231312x x y y x y ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩解得：265245x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴CE+BE=26241055+= 故选：C ．【点睛】此题考查相似三角形的综合运用，掌握相似三角形的判定方法和性质，根据对应边成比例设未知数，运用方程思想，求出相关线段的长度是解题的关键．11．125,5x x =-=【分析】先将常数项25移项到方程的右边，再利用直接开平方法解题即可．【详解】 2250x -=2=25x ∴5x ∴=±故答案为：125,5x x =-=．【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．12．（﹣3，5）．【分析】根据关于原点的对称的点的横纵坐标均互为相反数可得所求点的坐标．【详解】解：点(3，−5)关于原点的对称点的坐标为(−3，5)，故答案为(−3，5).【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标的知识；掌握关于原点对称的点的坐标的特点是解决本题的关键．13．1 4【分析】举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可．【详解】解：共4种情况，正面都朝上的情况数有1种，所以概率是14．故答案为：14．考点：列表法与树状图法．14．4【分析】要求圆锥的高，关键是求出圆锥的母线长，即圆锥侧面展开图中的扇形的半径．已知圆锥的底面半径就可求得底面圆的周长，即扇形的弧长，已知扇形的面积和弧长就可求出扇形的半径，即圆锥的高．【详解】解：由题意知：展开图扇形的弧长是2×3π＝6π，设母线长为L，则有12×6πL＝15π，解得：L＝5，∵由于母线，高，底面半径正好组成直角三角形，∴在直角△AOC中高AO4．故填：4.【点睛】此题考查了圆锥体的侧面展开图的计算，揭示了平面图形与立体图形之间的关系，难度一般．15．1k<【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式的意义得到△＞0，即（-2）2-4×1×k＞0，然后解不等式即可．【详解】解：∵关于x的方程x2-2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，∴△＞0，即（-2）2-4×1×k＞0，解得k＜1，∴k的取值范围为k＜1．故答案为：k＜1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．16．6【分析】如图，连接PC，由直角三角形性质和旋转性质可得A′B′=AB=8，PC=4，根据PM≤PC+CM，可得PM≤6，由此即可解决问题．【详解】解：如图，连接PC，在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=4，∴AB=8，根据旋转不变性可知，A′B′=AB=8，∵P 是A'B' 的中点，∴A′P=PB′=PC，∴PC=12A′B′=4，∵CM=BM=2，∵PM≤PC+CM，即PM≤6，∴PM的最大值为6（此时P、C、M共线），故答案是：6．【点睛】本题考查旋转变换、含30度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考常考题型．17．m=﹣4，另一根是5．【详解】试题分析：先根据方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入方程即可得到关于m的方程，求得m的值，然后代入原方程，最后再解方程即可.试题解析：由题意得，解得则原方程可化为，解得，所以另一个根为-5．考点：1.方程的根的定义；2.解一元二次方程18．113x =+，213x =-． 【分析】 先移项，再将二次项系数化为1，然后利用配方法解一元二次方程即可得．【详解】解：2364x x -=，2423x x -=， 2242113x x -+=+， ()2713x -=，13x -=±，113x =+213x =-． 【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．19．（1）见解析；（2）6013DE =. 【分析】对于（1），由已知条件可以得到∠B=∠C ，△ABC 是等腰三角形，利用等腰三角形的性质易得AD ⊥BC ，∠ADC=90°；接下来不难得到∠ADC=∠BED ，至此问题不难证明； 对于（2），利用勾股定理求出AD ，利用相似比，即可求出DE.【详解】解：（1)证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠.又∵AD 为BC 边上的中线，∴AD BC ⊥.∵DE AB ⊥，∴90BED CDA ︒∠=∠=，∴BDE CAD ∆∆∽.(2)∵10BC =，∴5BD =.在Rt ABD ∆中，根据勾股定理，得12AD ==. 由（1）得BDE CAD ∆∆∽，∴BD DE CA AD=， 即51312DE =， ∴6013DE =. 【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.20．（1）见解析；（2）见解析【详解】解：（1）△A 1B 1C 1如图所示．（2）如图所示，点P 是△ABC 的外心．（1）分别得出△ABC 绕点O 顺时针旋转90︒后的对应点坐标，进而得到△A 1B 1C 1． （2）根据垂直平分线的作法求出P 点即可，进而利用外心的性质得出即可．21．（1）结果见解析；（2）13． 【详解】解：（1）画树状图得：则共有12种等可能的结果；（2）∵两个数字的积为奇数的4种情况，∴两个数字的积为奇数的概率为：41123= ． 试题分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； （2）由两个数字的积为奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．22．（1）作图见解析；顶点坐标为()1,4；图象与x 轴的交点为()()1,0,3,0-；（2）1x >．【分析】（1）顶点坐标为（1，4），与x 轴的交点的坐标为（-1，0），（3，0）；函数图象见解析． （2）当x ＞1时，y 随x 的增大而减小．【详解】解：（1）二次函数解析式可化为()222314y x x x =-++=--+ 其图象为抛物线如图所示抛物线的顶点坐标为()1,4当0y =时，有2230x x -++=解得：121,3x x =-=所以，图象与x 轴的交点为()()1,0,3,0-（2）∵函数图象开口向下，又其对称轴1x =∴当1x >时，y 随x 的增大而减小【点睛】本题考查了二次函数的图象，找到顶点及对称轴，根据对称轴取点是解题的关键一步，同时，描点时要用平滑曲线．23．（1）DC 是O 的切线；理由见解析；（2）AC DC = 【分析】（1）连接OC ，如图，证明OCB OCD ∆∆≌得到90ODC OBC ︒∠=∠=，然后根据切线的判定定理可判断CD 为⊙O 的切线；（2）根据已知条件得到DE=2BE=4，设CD CB x ==，在Rt CDE ∆中，根据勾股定理求出x ，设O 的半径为r ，在Rt OBE ∆中，根据勾股定理求出r ，再在在Rt ABC ∆中，根据勾股定理求出AC ，于是得到结论．【详解】解：（1）DC 是O 的切线，证明：连接OC ，在OCB 和OCD 中CB CD CO CO OB OD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，OCB OCD ∴≌，90ODC OBC ︒∴∠=∠=，OD DC ∴⊥，∵OD 是圆的半径，DC ∴是O 的切线；（2）2,2BE DE BE ==，4DE ∴=．设CD CB x ==，在Rt CDE 中，222CE ED CD =+， ()22224x x ∴+=+，3,3x CD CB ∴===．设O 的半径为r ，则4EO ED OD r =-=-，在Rt OBE 中，222OE EB OB =+， ()22242r r ∴-=+，1.5r ∴=，23AB r ∴==．在Rt ABC中，AC ==3AC DC ∴== 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：在判定两个三角形全等时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；也考查了切线的判定以及勾股定理的应用．24．（1）334y x =-；（2）①证明见解析；②存在；点D 的坐标为111111,,3434⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；． 【分析】 （1）分别在抛物线解析式中令x=0，y=0，可以得到B 和A 的坐标，然后应用待定系数法可以得到直线AB 的解析式；（2）①分别设点M 、N 的横坐标为m 、n ，则由平行四边形的性质可以证得m+n=4,即m 、n 的和为定值；②作DE ⊥PM ，结合①可以求得平行四边形CMND 的周长是关于m 的二次函数，由二次函数的知识可以求得平行四边形CMND 的周长取最大值时m 的值，从而得到对应的D 点坐标．【详解】解：（1）令2393044x x --=，可 得()121,4,4,0x x A =-=， 令抛物线解析式中x=0可得()0,3B -，设直线AB 的解析式为：y kx b =+代入,A B 两点坐标，求得334y x =-； ()2①设点P 的横坐标为m ，则点M 坐标为239,344m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 点C 的坐标为3,34m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 23394,33444AP m MC m m m ⎛⎫∴=-=---- ⎪⎝⎭ 2334m m =-+ 设点N 的横坐标为n ，同理得2334DN n n =-+ 22333344m m n n ∴-+=-+ 整理得：()()()334n m n m n m -+=- m n ≠4m n ∴+=为定值②作DE PM ⊥，则442DE n m m m m =-=--=-易证DEC AOB ∆∆∽()455,42344ED CD DE m EC ∴===- 平行四边形CMND 的周长()()2235322324210442MC CD m m m m m ⎛⎫=+=-++⨯-=-++ ⎪⎝⎭ 302-< 13m =∴时，周长有最大值 此时点D 的坐标为111,34⎛⎫- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为111,34⎛⎫- ⎪⎝⎭当点M N 、位置对调，点C D 、位置相应对调时，依然满足条件 ∴点D 的坐标为111111,,3434⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或．【点睛】本题考查一次函数、二次函数与平行四边形的综合应用，熟练掌握一次函数解析式的求法、平行四边形的性质及二次函数的图象和性质是解题关键．25．（1）（2）CA CB +=，证明见解析；（3． 【分析】(1)根据直径所对的角是90°，判断△ABC 和△ABD 是直角三角形，根据圆周角∠ACB 的平分线交O 于D ，判断△ADB 为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出值；(2)延长CA 到F ，使AF=CB ，可证△CDF 为等腰直角三角形,从而得到CA 、CB 、CD 之间的等量关系；(3)作辅助线，连接OM ，PM,正确构造图形，确定M 的运动轨迹是圆弧形，先求OD 的长度，再得到点M 经过路径的长．【详解】解：()1AB 是直径90ADB ︒∴∠= CD 是ACB ∠的平分线ACD BCD ∴∠=∠AD BD ∴=在Rt ABD ∆中，222AD BD AB +=1022AD BD AB ∴====()2CA CB +=，证明如下延长CA 到F ，使AF CB =，连接DF180,180CBD CAD FAD CAD ︒︒∠+∠=∠+∠=CBD FAD ∴∠=∠又,AD BD AF BC ==ADF BDC ∴∆∆≌，,90,CD FD CDF CDF ︒∴=∠=∆为等腰直角三角形CA CB CF ∴+=()3连接OM PM 、PE OD ⊥90PEO ︒∴∠=点M 为OPE ∆的内心135OMP ︒∴∠=OD OP DOM POM OM OM =∠=∠=，，OMD OMP ∴∆∆≌135OMD OMP ︒∴∠=∠=∴所以点M 在以OD 为弦，并且所对的圆周角为135︒的两段劣弧上（分OD 左右两种情况）； 设OMD 所在圆的圆心'O135OMD ︒∠='90OO D ︒∴∠='22O O ∴==弧OD的长为902180π∴点M经过路径长为2【点睛】本题综合考查了圆周角定理，全等三角形，等腰直角三角形，圆弧的长，勾股定理等知识，解答此题要抓住三个关键，(1)判断出ABC和△ABD是直角三角形，以便利用勾股定理；(2)判断出线段△CDF和△ABD是等腰直角三角形，然后将各种线段转化到等腰直角三角形中利用勾股定理解答，(3)通过作辅助线，正确构造图形，确定M的运动轨迹是圆弧形，再利用弧长公式解答．。

广东省珠海市2020年九年级上学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）(2019·鱼峰模拟) 在一个不透明的口袋中装有5张完全相同的卡片，卡片上面分别写有数字-2、-1、0、1、3，从中随机抽出一张卡片，卡片上面的数字是负数的概率为（）A . 0.8B . 0.6C . 0.4D . 0.22. （2分） (2017九上·潜江期中) 在⊙O中，弦AB的长为6，圆心O到AB的距离为4，则⊙O的半径为（）A . 10B . 6C . 5D . 43. （2分） (2017九上·湖州月考) 下列函数是y关于x的二次函数的是（）A .B .C .D .4. （2分） (2017九上·深圳月考) 二次函数y= 的图象（）A . 向左移动1个单位，向上移动3个单位B . 向右移动1个单位，向上移动3个单位C . 向左移动1个单位，向下移动3个单位D . 向右移动1个单位，向下移动3个单位5. （2分）若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（）A . ﹣5B . ﹣C .D . 56. （2分）如图，已知⊙O中，圆心角∠AOB=100°,则圆周角∠ACB等于（）.A . 130°B . 120°C . 110°D . 100°7. （2分） (2017九上·大庆期中) 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列说法：①b2－4ac＝0；②2a＋b＝0；③若(x1 ， y1)，(x2 ， y2)在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；④a－b＋c＜0.其中正确的是（）A . ②④B . ③④C . ②③④D . ①②④8. （2分）根据生物学研究结果，青春期男女生身高增长速度呈现如下图规律，由图可以判断，下列说法错误的是（）．A . 男生在13岁时身高增长速度最快B . 女生在10岁以后身高增长速度放慢C . 11岁时男女生身高增长速度基本相同D . 女生身高增长的速度总比男生慢9. （2分）直线l1∥l2∥l3 ，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（）A .B .C .D .10. （2分）如图，在Rt△A BC中，∠ACB=90º，∠A=30º，BC=2，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△EDC，此时，点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）A . 30，2B . 60，2C . 60，D . 60，二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）(2018·洪泽模拟) 两个相似三角形的相似比为1 ：2 ，它们的面积比为________．12. （1分）如图，在⊙O中，△ABC是等边三角形，AD是直径，则∠ADB=________°,∠ABD=________°13. （1分） (2019八下·泗洪开学考) 如图，△ABO中，AB⊥OB，OB＝，AB＝1，把△ABO绕点O逆时针旋转120°后得到△A1B1O，则点B1的坐标为________.14. （1分） (2019九下·温州竞赛) 如图，在等腰△ABC中，AC=BC，AB=24．D，E是AB的三等分点，以AD 为直径的⊙E正好过点C．P点为⊙E上一点，弦PC与半径AE交于点F，过点F作FG⊥CA，垂足为G，连接PA．若，则EF的长是________15. （1分） (2018·衢州模拟) 两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾，此时A,E,F在同一直线上.跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m高的D处喷出，水流正好经过E,F. 若点B和点E、点C和F的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移0.4m，再向左后退了________m，恰好把水喷到F处进行灭火．三、解答题 (共7题；共70分)16. （10分） (2020七上·余杭期末) 解方程：（1）；（2） .17. （10分） (2016九上·济源期中) 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A （﹣1，0），点C（0，5），点D（1，8）都在抛物线上，M为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求△MCB的面积；（3）根据图形直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．18. （5分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，求证：AB2=AD•AC，BD2=AD•DC．19. （10分）集市上有一个人在设摊“摸彩”，只见他手拿一个黑色的袋子，内装大小、形状、质量完全相同的白球20只，且每一个球上都写有号码（1﹣20号）和1只红球，规定：每次只摸一只球．摸前交1元钱且在1﹣﹣20内写一个号码，摸到红球奖5元，摸到号码数与你写的号码相同奖10元．（1）你认为该游戏对“摸彩”者有利吗？说明你的理由．（2）若一个“摸彩”者多次摸奖后，他平均每次将获利或损失多少元？20. （10分）(2017·市北区模拟) 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，已知：△ABC中，∠C=90°求作：矩形CDEF，使点D，E，F分别在边CB，BA，AC上．21. （10分）(2017·宜兴模拟) 做服装生意的王老板经营甲、乙两个店铺，每个店铺在同一段时间内都能售出A、B两种款式的服装合计30件，并且每售出一件A款式和B款式服装，甲店铺获利润分别为30元和35元，乙店铺获利润分别为26元和36元．某日，王老板进A款式服装36件，B款式服装24件，并将这批服装分配给两个店铺各30件．（1）怎样将这60件服装分配给两个店铺，能使两个店铺在销售完这批服装后所获利润相同？（2）怎样分配这60件服装能保证在甲店铺获利润不小于950元的前提下，王老板获利的总利润最大？最大的总利润是多少？22. （15分）(2018·防城港模拟) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣7mx+3与y轴交于点A，与x 轴分别交于点B（1，0）．点C（x2 ， 0），过点A作直线AD∥x轴，与抛物线交于点D，在x轴上有一动点E（t，0），过点E作直线l∥y轴，与抛物线交于点P，与直线AD交于点Q．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）当0＜t≤7时，求△APC面积的最大值；（3）当t＞1时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共7题；共70分)16-1、16-2、17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。

广东省深圳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A．B．C．
D．
100
5
BF
二、填空题
三、解答题
那么平均每天就能多售出10本．设这种画册每本降价x 元．
(1)平均每天的销售量为 本（用含x 的代数式表示）；
(2)商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2240元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？
20．如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点O 作EF AC ⊥，交BC 于点E ，交AD 于点F ．
(1)在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件： ，使得OE OF =，并说明理由；
(2)若,6,8OE OF AB BC ===，求EF 的长．
21．【项目式学习】
项目主题：守护生命，“数”说安全．
项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究．
任务一：考察测量
（1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为4m ，则AB =m ； 任务二：模拟探究
如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过．
（2）创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现：
①当2CD AB <时（如图1），线段CD 能通过直角弯道；。

广东省揭阳市揭西县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题一、单选题1. 如图是某几何体的三视图，这个几何体是（）A．三棱柱B．三棱锥C．长方体D．正方体2. 下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（）A．B．C．D．3. 已知点A、点B在反比例函数图象的同一支曲线上，则点A、点B的坐标有可能是（）A．A（2，3）、B（－2，－3）B．A（1，4）、B（4，1）C．A（4，3）、B（4，－3）D．A（3，3）、B（2，2）4. 判断一元二次方程的根的情况是（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根5. 下列判定正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是菱形C．四条边相等的四边形是正方形D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形6. 布袋里有几百个乒乓球，想要估计球的数量，可以先从口袋中拿出一百个球，做上标记后放回布袋中混合均匀，若再从中任意摸出30个球，统计发现有标记的球有10个，则布袋中乒乓球数可能有（）A．200个B．300个C．400个D．500个7. 若，则下列比例式中正确的是（）A．B．C．D．8. 某初三毕业班同学之间互赠一寸相片留念，送出的相片总共2256张，如果设这个班有x个学生，则可列方程（）B．A．C．D．9. 如图，边长为4的正方形OABC的两边在坐标轴上，反比例函数的图象与正方形两边相交于点D、E，点D是 BC的中点，过点D作DF⊥OA于点F，交OE于点G，则（）A．3 B．2 C．4 D．810. 如图，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE、AF于M、N，下列结论：①AF⊥BG；②；③；④，其中正确的有（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④二、填空题11. 在比例尺为1：2000的地图上，测得A、B两地间的图上距离为4.5厘米，则其实际距离为 _________米12. 一个暗箱里装有10个黑球，8个白球，6个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是_________.13. 方程的解为 ______________14. 若反比例函数的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是________15. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6，则矩形ABCD 的周长为______．16. 在矩形ABCD中，△ABC沿AC折叠，点B的对应点是点E，连接DE，若，则______．17. 如图，四边形ABCD是正方形，AB＝1，以AB为对角线作第二个正方形AEBF，以EB为对角线作第三个正方形EGBH，以此类推，则第n个正方形的面积是_______ ．三、解答题18. 已知菱形的两条对角线长分别为y与x，且菱形的面积为10，请求出y与x的函数关系式并计算当x＝5时，y的值．19. 若，且，求的值．20. 小明想购买70元的玩具汽车，他妈妈口袋里有四张面值分别为10元、20元、50元、100元的纸币，若从妈妈口袋里随机拿出两张纸币去购买玩具汽车，请你用列表或树状图的方法求出能买到玩具汽车的概率是多少．21. 某果农在网上销售苹果，每天可销售40件，每件盈利20元，一段时间的销售发现，若每件降价1元，则每天可多售出10件，如果要想顾客得到实惠，且每天盈利1400元，每件应降价多少钱？这时他每天售出苹果多少件．22. 如图，身高1.5米的小明（AB）在太阳光下的影子AG长1.8米，此时，立柱CD的影子一部分落在地面CE上，一部分落在墙EF上．（1）请你在墙上画出表示CD的部分影子EH；（2）若量得CE＝1.2米，EH＝1.5米，求立柱CD的高．23. 如图，在Rt?ABC中，∠ACB＝90°，AC的垂直平分线交AB于点E，连接CE，BF//CE交DE的延长线于点F．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；（2）当∠A满足什么条件时，四边形BCEF是菱形？回答并证明你的结论．24. 如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数的图象相交于A（2，3），B （－3，n）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式的解集；（3）在x轴上是否存在一点P，使得?ABP的面积为10，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．25. 如图，在?ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，动点D从点B开始在线段BA上以每秒1个单位长度的速度向点A移动，同时动点E从点A开始在线段AE上以每秒2个单位长度的速度向点C移动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设点D、E移动的时间为t．（1）用含t的代数式表示：AD＝，AE＝；（2）当DE//BC时，求t的值；（3）当t为何值时，?ADE为直角三角形．。

广东省深圳市南山区2020-2021学年九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上）。

1．如图，这是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，该几何体的左视图（）A．B．C．D．2．下列命题是假命题的是（）A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线垂直的四边形是菱形D．对角线垂直的平行四边形是菱形3．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和3个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中红球的个数大约是（）A．20个B．16个C．15个D．12个4．一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根5．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′位似比是1：2，已知△ABC的面积是10，则△A′B′C′的面积是（）A．10B．20C．40D．806．关于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（）A．函数图象分别位于第二、四象限B．函数图象关于原点成中心对称C．函数图象经过点（﹣6，﹣2）D．当x＜0时，y随x的增大而增大7．如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（）A．B．C．D．8．如图，已知点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，AB∥x轴交另一个反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，C为x轴上一点，若S△ABC＝2，则k的值为（）A．4B．2C．3D．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（）A．B．C．D．10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①CF＝2AF；②AD＝CD；③DF＝DC；④△AEF∽△CAB；⑤S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分.把答案填在答题卡上）.11．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为．12．小王同学想利用树影测量校园内的树高．他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树的影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上．经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高约为米．13．设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为．14．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y ＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0）、D（0，4），则反比例函数的解析式为．三、解答题：（16题6分，17题6分，18题7分，19题8分，20题9分，21题9分，22题10分，共计55分）16．解下列方程：（1）2（x﹣2）2＝x2﹣4．（2）2x2﹣4x﹣1＝0．17．甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛，因为丁的速度最快，所以由他负责跑最后一棒，其他三位同学的跑步顺序随机安排．（1）请用画树状图或列表的方法表示甲、乙、丙三位同学所有的跑步顺序；（2）请求出正好由丙将接力棒交给丁的概率．18．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．（1）求证：CE＝DE．（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．19．某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．（1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？（2）在（1）的条件下，当该这种书包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？（3）这种书包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且BC＝2AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D，连接AD．（1）求b、k的值；（2）求△ABD的面积；（3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点F，且EF＝BD，求m的值．21．问题背景如图（1），在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF＝α，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系．（1）特殊情景在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为．（2）类比猜想类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．（3）解决问题如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝，请直接写出DE的长．22．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E、Q分别在边BC、AB上，DQ⊥AE于点O，点G、F分别在边CD、AB上，GF⊥AE．①填空：DQ AE（填“＞”“＜”或“＝”）；②推断的值为；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC 边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若＝，GF＝2，求CP的长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，这是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，该几何体的左视图（）A．B．C．D．【分析】找到从几何体的左边看所得到的图形即可．【解答】解：左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1．故选：A．2．下列命题是假命题的是（）A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线垂直的四边形是菱形D．对角线垂直的平行四边形是菱形【分析】根据矩形的判定对A、B进行判断；根据菱形的判定方法对C、D进行判断．【解答】解：A、四个角相等的四边形是矩形，为真命题，故A选项不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故B选项不符合题意；C、对角线垂直的平行四边形是菱形，为假命题，故C选项符合题意；D、对角线垂直的平行四边形是菱形，为真命题，故D选项不符合题意．故选：C．3．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和3个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中红球的个数大约是（）A．20个B．16个C．15个D．12个【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【解答】解：设红球有x个，根据题意得，3：（3+x）＝1：5，解得x＝12，经检验：x＝12是原分式方程的解，所以估计盒子中红球的个数大约有12个，故选：D．4．一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况．【解答】解：∵在方程x2+2x﹣1＝0中，△＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，∴方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．故选：A．5．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′位似比是1：2，已知△ABC的面积是10，则△A′B′C′的面积是（）A．10B．20C．40D．80【分析】根据位似变换的性质得到△ABC∽△A′B′C′，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′位似比是1：2，∴△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，∴＝（）2＝，∵△ABC的面积是10，∴△A′B′C′的面积是40，故选：C．6．关于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（）A．函数图象分别位于第二、四象限B．函数图象关于原点成中心对称C．函数图象经过点（﹣6，﹣2）D．当x＜0时，y随x的增大而增大【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对C进行判断；根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断．【解答】解：反比例函数y＝﹣，k＝12＜0，A、函数图象分别位于第二、四象限，故本选项说法正确；B、函数图象关于原点成中心对称，故本选项说法正确；C、函数图象经过点（﹣6，2），故本选项说法不正确；D、当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，故本选项说法正确；故选：C．7．如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理进行判断即可．【解答】解：A、由AB∥CD∥EF，则，所以A选项的结论正确；B、由AB∥CD∥EF，则，所以B选项的结论正确；C、由AB∥CD∥EF，则，所以C选项的结论正确；D、由AB∥CD∥EF，则，所以D选项的结论错误；故选：D．8．如图，已知点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，AB∥x轴交另一个反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，C为x轴上一点，若S△ABC＝2，则k的值为（）A．4B．2C．3D．1【分析】由点A是反比例函数y＝的图象上，可得S△AOD＝3，根据等底同高的三角形面积相等可得S△AOB＝S＝2，进而求出S△BOD＝1，再根据点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，求出S△BOD＝1，进而求出k △ACB的值．【解答】解：延长AB交y轴于点D，连接OA、OB，∵点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB∥x轴，∴S△AOD＝|k|＝×6＝3，S△AOB＝S△ACB＝2，∴S△BOD＝S△AOD﹣S△AOB＝3﹣2＝1，又∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴S△BOD＝|k|＝1，∴k＝2，k＝﹣2（舍去），故选：B．9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（）A．B．C．D．【分析】利用菱形的性质即可计算得出BC的长，再根据面积法即可得到AE的长，最后根据勾股定理进行计算，即可得到BE的长，进而得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO＝AC＝3，BO＝BD＝4，AO⊥BO，∴BC＝＝＝5，∵S菱形ABCD＝AC•BD＝BC×AE，∴AE＝＝．在Rt△ABE中，BE＝＝＝，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣＝，∴的值为，故选：C．10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①CF＝2AF；②AD＝CD；③DF＝DC；④△AEF∽△CAB；⑤S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】依据△AEF∽△CBF，即可得出CF＝2AF；依据△BAE∽△ADC，即可得到AD＝CD；过D作DM ∥BE交AC于N，依据DM垂直平分CF，即可得出DF＝DC；依据∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，即可得到△AEF∽△CAB；设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s，△CDE的面积为3s，四边形CDEF的面积为5s，进而得出S四边形CDEF＝S△ABF．【解答】解：∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴，∵AE＝AD＝BC，∴＝，∴CF＝2AF，故①正确；设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，∵BE⊥AC，∠BAD＝90°，∴∠ABE＝∠ADC，而∠BAE＝∠ADC＝90°，∴△BAE∽△ADC，∴，即b＝a，∴AD＝CD，故②正确；如图，过D作DM∥BE交AC于N，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DM垂直平分CF，∴DF＝DC，故③正确；∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故④正确；如图，连接CE，由△AEF∽△CBF，可得，设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s，∴△ACE的面积为3s，∵E是AD的中点，∴△CDE的面积为3s，∴四边形CDEF的面积为5s，∴S四边形CDEF＝S△ABF，故⑤正确．故选：D．二．填空题（共5小题）11．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为12．【分析】直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b﹣2c＝6，得出答案．【解答】解：∵＝＝，∴设a＝6x，b＝5x，c＝4x，∵a+b﹣2c＝6，∴6x+5x﹣8x＝6，解得：x＝2，故a＝12．故答案为：12．12．小王同学想利用树影测量校园内的树高．他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树的影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上．经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高约为9.4米．【分析】根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例计算．【解答】解：设这棵大树高为x，根据平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．可得树高比影长为＝1.25，则有＝＝0.8，解可得：x＝9.4米．13．设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为1000．【分析】由于m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n＝﹣1，并且m2+m ﹣1001＝0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果【解答】解：∵m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣1，并且m2+m﹣1001＝0，∴m2+m＝1001，∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝1001﹣1＝1000．故答案为：1000．14．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为．【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠F AE＝∠FCD，结合∠AFE＝∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出＝＝2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF ＝•AC，即可求出CF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠F AE＝∠FCD，又∵∠AFE＝∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴＝＝2．∵AC＝＝5，∴CF＝•AC＝×5＝．故答案为：．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y ＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0）、D（0，4），则反比例函数的解析式为y ＝．【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4）．利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB＝90°．根据线段中点坐标公式得出E（x，4）．由勾股定理得出AD2+AB2＝BD2，列出方程22+42+（x ﹣2）2+42＝x2，求出x，得到E点坐标，即可求得反比例函数的解析式．【解答】解：∵BD∥x轴，D（0，4），∴B、D两点纵坐标相同，都为4，∴可设B（x，4）．∵矩形ABCD的对角线的交点为E，∴E为BD中点，∠DAB＝90°．∴E（x，4）．∵∠DAB＝90°，∴AD2+AB2＝BD2，∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），∴22+42+（x﹣2）2+42＝x2，解得x＝10，∴E（5，4）．∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点E，∴k＝5×4＝20，∴反比例函数的解析式为y＝故答案为y＝．三．解答题16．解下列方程：（1）2（x﹣2）2＝x2﹣4．（2）2x2﹣4x﹣1＝0．【分析】（1）先移项得到2（x﹣2）2﹣（x﹣2）（x+2）＝0，然后利用因式分解法解方程；（4）利用配方法解方程即可．【解答】解：（1）2（x﹣2）2﹣（x﹣2）（x+2）＝0，（x﹣2）（2x﹣4﹣x﹣2）＝0，所以x1＝2，x2＝6；（2）x2﹣2x＝，x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．17．甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛，因为丁的速度最快，所以由他负责跑最后一棒，其他三位同学的跑步顺序随机安排．（1）请用画树状图或列表的方法表示甲、乙、丙三位同学所有的跑步顺序；（2）请求出正好由丙将接力棒交给丁的概率．【分析】（1）画树状图即可得出答案；（2）共有6个等可能的结果，正好由丙将接力棒交给丁的结果有2个，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）画树状图如图：（2）由（1）得：共有6个等可能的结果，正好由丙将接力棒交给丁的结果有2个，∴正好由丙将接力棒交给丁的概率为＝．18．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．（1）求证：CE＝DE．（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．【分析】（1）证△ABE≌△CBE（SAS），即可得出结论；（2）连接AC交BD于H，先由菱形的性质可得AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，求出BH、EH的长，由勾股定理求出AH的长，再由勾股定理求出AB的长，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，∵AE＝DE，∴CE＝DE；（2）解：如图，连接AC交BD于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，∵CE＝DE＝AE＝1，∴BD＝BE+DE＝2+1＝3，∴BH＝BD＝，EH＝BE﹣BH＝2﹣＝，在Rt△AHE中，由勾股定理得：AH＝＝＝，在Rt△AHB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，∴菱形的边长为．19．某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．（1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？（2）在（1）的条件下，当该这种书包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？（3）这种书包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．【分析】（1）设每个背包的售价为x元，则月均销量为（280﹣×20）个，根据月均销量不低于130个，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论；（2）根据总利润＝每个的利润×月均销量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（3）根据总利润＝每个的利润×月均销量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△＝﹣36＜0，即可得出这种书包的销售利润不能达到3700元．【解答】解：（1）设每个背包的售价为x元，则月均销量为（280﹣×20）个，依题意，得：280﹣×20≥130，解得：x≤55．答：每个背包售价应不高于55元．（2）依题意，得：（x﹣30）（280﹣×20）＝3120，整理，得：x2﹣98x+2352＝0，解得：x1＝42，x2＝56（不合题意，舍去）．答：当该这种书包销售单价为42元时，销售利润是3120元．（3）依题意，得：（x﹣30）（280﹣×20）＝3700，整理，得：x2﹣98x+2410＝0．∵△＝（﹣98）2﹣4×1×2410＝﹣36＜0，∴该方程无解，∴这种书包的销售利润不能达到3700元．20．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且BC＝2AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D，连接AD．（1）求b、k的值；（2）求△ABD的面积；（3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点F，且EF＝BD，求m的值．【分析】（1）作CH⊥y轴于点H，把点A坐标代入直线解析式中求出b，求出点B坐标，再用相似三角形的性质求出CH、BH，求出点C坐标，即可求出k；（2）先求出点D坐标，求出BD，根据三角形的面积公式计算，得到答案；（3）先求出EF＝2，设出点E坐标，分0＜m＜2、m＞2两种情况，表示出点F坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征建立方程求解，即可得出结论．【解答】解：（1）作CH⊥y轴于点H，∵直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），∴﹣1×3+b＝0，解得，b＝3，对于直线y＝3x+3，当x＝0时，x＝3，∴点B的坐标为（0，3），即OB＝3，∵CH∥OA，∴△AOB∽△CHB，∴＝＝，即＝＝，解得，CH＝2，BH＝6，∴OH＝OB+BH＝9，∴点C的坐标为（2，9），∴k＝2×9＝18；（2）∵BD∥x轴，∴点D的纵坐标为3，∴点D的横坐标为＝6，即BD＝6，∴△ABD的面积＝×6×3＝9；（3）EF＝BD＝×6＝2，设E（m，3m+3），当0＜m＜2时，点F的坐标为（m+2，3m+3），∵点F在反比例函数y＝上，∴（m+2）（3m+3）＝18，解得，m1＝﹣4（舍去），m2＝1，当m＞2时，点F的坐标为（m﹣2，3m+3），∵点F在反比例函数y＝上，∴（m﹣2）（3m+3）＝18，解得，m3＝（舍去），m4＝，综上所述，m的值为1或．21．问题背景如图（1），在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF＝α，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系．（1）特殊情景在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为BE+DF＝EF．（2）类比猜想类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．（3）解决问题如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝，请直接写出DE的长．【分析】（1）将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，据此知AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG．证△AFE≌△AFG得EF＝FG，从而得出答案；（2）将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，知∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH，证△AEF≌△AHF得EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE；（3）将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′．据此知BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，由AB＝AC＝4知∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，从而得E′B2+BD2＝E′D2．易证△AE′D≌△AED得DE＝DE′，根据DE2＝BD2+EC2可得答案．【解答】解：（1）BE+DF＝EF，如图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，∵∠ADC＝∠B＝∠ADG＝90°，∴∠FDG＝180°，即点F，D，G共线．由旋转可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG．∵∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠F AG，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG．又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴BE+DF＝EF，故答案为：BE+DF＝EF．（2）成立．证明：如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH．∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADH+∠ADC＝180°，∴点C，D，H在同一直线上．∵∠BAD＝α，∠EAF＝α，∴∠BAE+∠F AD＝α，∴∠DAH+∠F AD＝α，∴∠F AH＝∠EAF，又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE；（3）DE＝，如图3，将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′．可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，在Rt△ABC中，∵AB＝AC＝4，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝4，∴∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，∴E′B2+BD2＝E′D2．易证△AE′D≌△AED，∴DE＝DE′，∴DE2＝BD2+EC2，即DE2＝，解得．22．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E、Q分别在边BC、AB上，DQ⊥AE于点O，点G、F分别在边CD、AB上，GF⊥AE．①填空：DQ＝AE（填“＞”“＜”或“＝”）；②推断的值为1；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC 边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若＝，GF＝2，求CP的长．【分析】（1）①由正方形的性质得AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．所以∠HAO+∠OAD＝90°，又知∠ADO+∠OAD＝90°，所以∠HAO＝∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE＝DQ．②证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题．（2）结论：＝k．如图2中，作GM⊥AB于M．证明：△ABE∽△GMF即可解决问题．（3）如图2中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．利用相似三角形的性质求出PM，CM即可解决问题．【解答】（1）①解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．∴∠QAO+∠OAD＝90°．∵AE⊥DQ，∴∠ADO+∠OAD＝90°．∴∠QAO＝∠ADO．∴△ABE≌△DAQ（ASA），∴AE＝DQ．故答案是：＝；②解：∵DQ⊥AE，FG⊥AE，∴DQ∥FG，∵FQ∥DG，∴四边形DQFG是平行四边形，∴FG＝DQ，∵AE＝DQ，∴FG＝AE，∴＝1．故答案为：1．（2）解：结论：＝k．理由：如图2中，作GM⊥AB于M．∵AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，∴∠BAE＝∠FGM，∴△ABE∽△GMF，∴＝，∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，∴四边形AMGD是矩形，∴GM＝AD，∴＝＝＝k．（3）解：如图2中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．由＝，可以假设BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k，∵＝，FG＝2，∴AE＝3，∴（3k）2+（9k）2＝（3）2，∴k＝1或﹣1（舍弃），∴BE＝3，AB＝9，∵BC：AB＝2：3，∴BC＝6，∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，∴∠FEB＝∠EPM，∴△FBE∽△EMP，∴＝＝，∴＝＝，∴EM＝，PM＝，∴CM＝EM﹣EC＝﹣3＝，∴PC＝＝．。

广东省江门市2020版九年级上学期数学期末考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）(2017·碑林模拟) 如图所示的几何体的俯视图是（）A .B .C .D .2. （2分）(2019·容县模拟) 下列命题是真命题的是（）A . 对角线相等的四边形是矩形B . 对角线互相垂直的四边形是菱形C . 对角线互相垂直平分的四边形是正方形D . 对角线互相平分的四边形是平行四边形3. （2分）为了建设绿色校园，学校去年年底的绿化面积为2000平方米，预计到明年年底增加到4200平方米，求这两年绿化面积的年平均增长率．下面所列方程正确的是（）A . 2000（1﹣a%）2=4200B . 2000（1+a%）2=4200C . 2000（1﹣2a%）=4200D . 2000（1﹣a2%）2=42004. （2分） (2017九上·上城期中) 已知线段a＝2，b＝4，则线段a，b的比例中项为（）A . 3B .C .D .5. （2分） (2019九上·太原期中) 若一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（）A . 2B .C .D .6. （2分） (2017九上·深圳期中) 在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A .B .C .D .7. （2分） (2020九上·邓州期末) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD＝BD，CE＝2BE.过B作BF∥CD交AE的延长线为F.当BF＝1时，AB的长为（）A . 4B . 5C . 6D . 78. （2分）(2018·钦州模拟) 下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（）A .B .C .D .9. （2分）若点C数线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列说法正确的有（）①AB= AC；②AC=3﹣ AB；③AB：AC=AC：AB；④AC≈0.618AB．A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个10. （2分）(2017·大理模拟) 将抛物线y=（x﹣1）2+4先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为（）A . （5，4）B . （1，4）C . （1，1）D . （5，1）二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）(2018·东莞模拟) 写出一个二次项系数为1，且一个根是3的一元二次方程________．12. （1分）(2018·上海) 某校学生自主建立了一个学习用品义卖平台，已知九年级200名学生义卖所得金额的频数分布直方图如图所示，那么20﹣30元这个小组的组频率是________．13. （1分）(2017·内江) 如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF= ，则CE=________．14. （1分） (2016九上·鞍山期末) 反比例函数的图象经过点P（-1，3），则此反比例函数的解析式为________．15. （1分）(2013·崇左) 崇左市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是________米．16. （1分） (2019九上·杭州开学考) 如图，在正方形ABCD中，AB=6，E为CD上一动点，AE交BD于点F，过F作FH⊥AE，交BC于点H，连结AH、HE，AH与BD交于点G，下列结论：①AF=HE，②∠HAE=45°，③BG2+DF2=GF2 ，④△CEH的周长为12，其中正确的结论有________。

2020-2021学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷,一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的. 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．把抛物线y＝x2向右平移2个单位后得到的抛物线是（）A．y＝（x+2）2B．y＝（x﹣2）2C．y＝x2+2D．y＝x2﹣23．已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断4．用配方法解方程x2+4x+1＝0，经过配方，得到（）A．（x+2）2＝5B．（x﹣2）2＝5C．（x﹣2）2＝3D．（x+2）2＝35．下列说法正确的是（）A．“平分弦的直径垂直于弦”是必然事件B．“垂直于弦的直径平分弦”是必然事件C．可能性是0.1%的事件在一次试验中一定不会发生D．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件6．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝40°，则∠BAD的大小是（）A．30°B．45°C．50°D．60°7．关于抛物线y＝3（x﹣1）2+2，下列说法错误的是（）A．开口方向向上B．对称轴是直线x＝1C．顶点坐标为（1，2）D．当x＞1时，y随x的增大而减小8．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞1B．k≥1且k≠2C．k≤1D．k≥1且k≠29．如图，P是平行四边形ABCD的边AD上一点，E、F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△P AB的面积分别是S，S1，S2，若S＝2，则S1+S2＝（）A．4B．6C．8D．不能确定10．根据下列条件，不能判定△ABC和△DEF相似的是（）A．∠A＝40°，∠B＝∠E＝58°，∠D＝82°B．∠A＝∠D＝40°，C．∠A＝∠D＝120°，D．∠A＝∠D＝40°，二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，满分18分.11．若x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0的一个解，则m的值是．12．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2）．以原点O为位似中心，相似比为0.5，把△EFO缩小，得到△E'F'O．则点E的对应点E'的坐标是．13．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB'C'，点C′恰好落在边AB上，连接BB'，则∠C′B'B的度数是．14．一个圆锥的底面半径是2cm，母线长是6cm，若将该圆锥侧面沿着母线剪开得到一个扇形，则该扇形的圆心角的度数是．15．假设飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）满足函数关系式y＝50t﹣t2，则经过后，飞机停止滑行．16．如图，⊙O的直径AB＝10，点C为上半圆上一点，CD平分∠ACB，交⊙O于点D，点E为△ABC的内心，下列说法正确的是．①；②AB＝DE；③当点C在上半圆上运动时，点E的运动路径长是；④当点C在上半圆上运动时，线段CE相过的图形面积是25．三、解答题：本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020-2021学年广东省汕头市澄海区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定2．如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是（）A．B．C．D．3．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，∠BAC＝32°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB'C'，则∠C'AB的度数为（）A．18°B．82°C．64°D．100°5．如图，AB是⊙O的直径，∠BOC＝100°，则∠D的度数为（）A．25°B．50°C．40°D．80°6．若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2020﹣a﹣b的值是（）A．2025B．2015C．2021D．20197．“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问锯几何？”用现代的数学语言表述是：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长”，依题意，CD长为（）A．12寸B．13寸C．24寸D．26寸8．如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（）A．（54﹣x）（38﹣x）＝1800B．（54﹣x）（38﹣x）+x2＝1800C．54×38﹣54x﹣38x＝1800D．54x+38x＝18009．如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，连接AC、EG，取AC、EG的中点M、N，连接MN，若AB＝8，BC＝6，则MN＝（）A．8B．6C．5D．510．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．结合图象分析下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝3，x2＝﹣1；④2a+c＜0．其中正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．4二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．点P（3，﹣2）关于原点对称的点在第象限．12．抛物线y＝2x2﹣1的顶点坐标是．13．已知矩形的长和宽是方程x2﹣9x+20＝0的两个实数根，则矩形的面积为．14．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是⊙O的切线，直线AB和ED交于点C，∠ADE＝60°，则∠C的度数为．15．设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，则这个直角三角形的斜边长为．16．汽车刹车后行驶的距离s（米）与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝18t﹣6t2，汽车从刹车到停下来所用时间是秒．17．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，CD＝4，BC＝9．以A为旋转中心将腰AB顺时针旋转90°至AE，连接DE，若DE＝DB．则△ADE的面积等于．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）18．解方程：x2﹣4＝3（x+2）19．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣3，0），C（0，﹣3）两点．（1）求b，c的值；（2）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，并结合图象，写出当y＜0时，x的取值范围．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）作⊙O，使它过点A、B、C（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的圆中，若AC＝2，AB＝4，求劣弧BC的长．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．为相应国家“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对A、B、C、D 四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为95%，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图．（1）抽查D厂家的零件为件，扇形统计图中D厂家对应的圆心角为．（2）抽查C厂家的合格零件为件，并将图1补充完整．（3）若要从A、B、C、D四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出A、B两个厂家同时被选中的概率．22．如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△ADE，点B的对应点为点D，点C的对应点E落在BC边上，连接BD．（1）求证：DE⊥BC；（2）若AC＝3，BC＝7，求线段BD的长．23．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手．（1）若参加聚会的人数为6，则共握手次，若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手次；（2）若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数；（3）小明由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A、B），线段总数为多少呢？请直接写出结论．五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O为△ABC的外接圆．（1）如图1，求证：AD是⊙O的切线；（2）如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G．①求证：AG＝BG；②若AD＝4，CD＝5，求GF的长．25．如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC下方的抛物线上有一动点P，使得△PBC的面积最大，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共10小题）.1．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定解：由题意可知：△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，故选：B．2．如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．解：∵共6个数，大于3的有3个，∴P（大于3）＝＝；故选：D．3．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．4．如图，在△ABC中，∠BAC＝32°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB'C'，则∠C'AB的度数为（）A．18°B．82°C．64°D．100°解：∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，∴∠CAC′＝50°，∵∠BAC＝32°，∴∠C′AB＝50°+32°＝82°，故选：B．5．如图，AB是⊙O的直径，∠BOC＝100°，则∠D的度数为（）A．25°B．50°C．40°D．80°解：∵∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣100°＝80°，∴∠D＝∠AOC＝40°，故选：C．6．若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2020﹣a﹣b的值是（）A．2025B．2015C．2021D．2019【分析】根据关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，可以得到a+b的值，然后将所求式子变形，再将a+b的值代入，即可解答本题．解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，∴a+b+1＝0，∴a+b＝﹣1，∴2020﹣a﹣b＝2020﹣（a+b）＝2020﹣（﹣1）＝2020+1＝2021，故选：C．7．“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问锯几何？”用现代的数学语言表述是：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长”，依题意，CD长为（）A．12寸B．13寸C．24寸D．26寸【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．解：连接OA，如图所示，设直径CD的长为2x，则半径OC＝x，∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸，∴AE＝BE＝AB＝×10＝5寸，连接OA，则OA＝x寸，根据勾股定理得x2＝52+（x﹣1）2，解得x＝13，CD＝2x＝2×13＝26（寸）．故选：D．8．如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（）A．（54﹣x）（38﹣x）＝1800B．（54﹣x）（38﹣x）+x2＝1800C．54×38﹣54x﹣38x＝1800D．54x+38x＝1800解：设道路的宽为x米，则种植草坪的部分可合成长（54﹣x）米，宽为（38﹣x）米的矩形，依题意得：（54﹣x）（38﹣x）＝1800．故选：A．9．如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，连接AC、EG，取AC、EG的中点M、N，连接MN，若AB＝8，BC＝6，则MN＝（）A．8B．6C．5D．5解：如图，连接BD，BF，DF，∵四边形ABCD，四边形BEFG都是矩形，M、N是AC、EG的中点，∴点M是BD的中点，点N是BF的中点，∴MN＝DF，∵AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10，∴AC＝BD＝10，∵将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，∴DB＝BF＝10，∠DBF＝90°，∴DF＝BD＝10，∴MN＝5，故选：D．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．结合图象分析下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝3，x2＝﹣1；④2a+c＜0．其中正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．4解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴为x＝1＞0，因此a、b异号，所以b＞0，抛物线与y轴交点在正半轴，因此c＞0，所以abc＜0，故①不正确；当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故②正确；抛物线与x轴交点（3，0），对称轴为x＝1．因此另一个交点坐标为（﹣1，0），即方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝3，x2＝﹣1，故③正确；抛物线与x轴交点（﹣1，0），所以a﹣b+c＝0，又x＝﹣＝1，有2a+b＝0，所以3a+c ＝0，而a＜0，因此2a+c＞0，故④不正确；故选：B．二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．点P（3，﹣2）关于原点对称的点在第二象限．解：点P（3，﹣2）关于原点对称的点为（﹣3，2），在第二象限，故答案为：二．12．抛物线y＝2x2﹣1的顶点坐标是（0，﹣1）．【分析】利用顶点坐标公式直接求解．解：根据顶点坐标公式，得顶点横坐标为x＝＝0，纵坐标为y＝＝﹣1，即（0，﹣1）．13．已知矩形的长和宽是方程x2﹣9x+20＝0的两个实数根，则矩形的面积为20．解：设矩形的长和宽分别为x1、x2，根据题意得x1•x2＝20，所以矩形的面积＝x1•x2＝20．故答案为20．14．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是⊙O的切线，直线AB和ED交于点C，∠ADE＝60°，则∠C的度数为30°．【分析】连接OD，根据切线的性质和已知条件求得∠ADO＝30°；由等腰三角形的性质知∠A＝∠ADO＝30°；然后根据圆周角定理得到∠COD＝2∠A＝60°；最后根据直角三角形的性质来求∠C的度数．解：如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，OD是半径，∴OD⊥EC，∴∠EDO＝90°．∵∠ADE＝60°，∴∠ADO＝30°．∵OD＝OA，∴∠A＝∠ADO＝30°．∴∠COD＝2∠A＝60°，∴∠C＝90°﹣60°＝30°．故答案是：30°．15．设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，则这个直角三角形的斜边长为．【分析】将a2+b2看做整体解方程得a2+b2＝3或a2+b2＝﹣2（舍），从而得出c2＝a2+b2＝3，即可得答案．解：∵（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，∴（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6＝0，∴（a2+b2﹣3）（a2+b2+2）＝0，解得：a2+b2＝3或a2+b2＝﹣2（舍），则c2＝a2+b2＝3，∴这个直角三角形的斜边长为，故答案为：．16．汽车刹车后行驶的距离s（米）与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝18t﹣6t2，汽车从刹车到停下来所用时间是 1.5秒．解：∵s＝18t﹣6t2，＝﹣6（t﹣1.5）2+13.5，∴当t＝1.5秒时，s取得最大值，即汽车停下来．故答案为：1.517．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，CD＝4，BC＝9．以A为旋转中心将腰AB顺时针旋转90°至AE，连接DE，若DE＝DB．则△ADE的面积等于10．解：如图，连接BE，延长DA，∵以A为旋转中心将腰AB顺时针旋转90°至AE，∴AE＝AB，∠BAE＝90°，∴∠ABE＝∠AEB＝45°，∵DE＝DB，AE＝AB，∴AD垂直平分BE，∴AM⊥BE，BM＝ME＝AM，∵AD∥BC，∠C＝90°，∴∠ADC＝90°，BC⊥BE，∴四边形DCBM是矩形，∴BC＝MD＝9，BM＝CD＝4，∴AM＝BM＝4＝EM，∴AD＝MD﹣AM＝5，∴△ADE的面积＝×AD×EM＝×5×4＝10，故答案为10；三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）18．解方程：x2﹣4＝3（x+2）【分析】首先去括号，再合并同类项，最后十字相乘法分解因式，解两个一元一次方程即可．解：∵x2﹣4＝3（x+2），∴x2﹣4＝3x+6，∴x2﹣3x﹣10＝0，∴（x﹣5）（x+2）＝0，∴x+2＝0或x﹣5＝0，∴x1＝﹣2，x2＝5．19．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣3，0），C（0，﹣3）两点．（1）求b，c的值；（2）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，并结合图象，写出当y＜0时，x的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法解答；（2）由（1）中所求得的b、c的值可以确定函数解析式，将一般式转化为交点式，易得点B的坐标；结合函数图象解答．解：（1）把A（﹣3，0），C（0，﹣3）分别代入y＝x2+bx+c，得．解得；（2）由（1）可得：抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），则A（﹣3，0），B（1，0）．观察函数图象知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）作⊙O，使它过点A、B、C（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的圆中，若AC＝2，AB＝4，求劣弧BC的长．【分析】（1）利用尺规作AB的垂直平分线，即可作⊙O，使它过点A、B、C；（2）根据AC＝2，AB＝4，利用弧长公式即可求劣弧BC的长．解：（1）如图，⊙O即为所求；（2）由（1）可知：OA＝OC＝AC＝2，∴△OAC是等边三角形，∴∠COA＝60°，∴∠COB＝120°，∴＝＝．答：劣弧BC的长为．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．为相应国家“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对A、B、C、D 四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为95%，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图．（1）抽查D厂家的零件为500件，扇形统计图中D厂家对应的圆心角为90°．（2）抽查C厂家的合格零件为380件，并将图1补充完整．（3）若要从A、B、C、D四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出A、B两个厂家同时被选中的概率．【分析】（1）用2000乘以D所占的百分比得到抽查D厂家的零件数，然后用360°乘以D所占的百分比得到得到扇形统计图中D厂家对应的圆心角；（2）用2000乘以C厂家的合格率得到抽查C厂家的合格零件数，然后补全条形统计图；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出A、B两个厂家同时被选中的结果数，然后根据概率公式求解．解：（1）抽查D厂家的零件为2000（1﹣35%﹣20%﹣20%）＝500（件），扇形统计图中D厂家对应的圆心角＝×360°＝90°（2）抽查C厂家的合格零件＝2000×95%×20%＝380（件），条形统计图补充为：故答案为500，90°，380；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中A、B两个厂家同时被选中的结果数为2，所以A、B两个厂家同时被选中的概率＝＝．22．如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△ADE，点B的对应点为点D，点C的对应点E落在BC边上，连接BD．（1）求证：DE⊥BC；（2）若AC＝3，BC＝7，求线段BD的长．【分析】（1）由旋转的性质可得AC＝AE，∠CAE＝90°，∠AED＝∠ACE，可得∠ACE ＝∠AEC＝45°＝∠AED，可得结论；（2）由直角三角形的性质可求EC＝6，可求BE＝1，由勾股定理可求BD的长．解：（1）∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，∴AC＝AE，∠CAE＝90°，∠AED＝∠ACE，∴∠ACE＝∠AEC＝45°＝∠AED，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥BC；（2）∵AE＝AC＝3，∠EAC＝90°，∴EC＝6，∴BE＝BC﹣EC＝1，∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，∴DE＝BC＝7，∴DB＝＝＝5．23．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手．（1）若参加聚会的人数为6，则共握手15次，若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手n（n﹣1）次；（2）若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数；（3）小明由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A、B），线段总数为多少呢？请直接写出结论．【分析】（1）利用握手的次数＝×参加聚会的人数×（参加聚会的人数﹣1），即可求出结论；（2）利用（1）的结论及参加聚会的人共握手36次，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（3）利用线段的总数＝×点的个数×（点的个数﹣1），即可得出结论．解：（1）若参加聚会的人数为6，共握手×6×5＝15（次），若参加聚会的人数为n（n为正整数），共握手n（n﹣1）（次）．故答案为：15；n（n﹣1）．（2）依题意得：n（n﹣1）＝36，整理得：n2﹣n﹣72＝0，解得：n1＝9，n2＝﹣8（不合题意，舍去）．答：参加聚会的人数为9人．（3）∵线段AB上共有（m+2）（包含端点A、B）个点，∴线段总数为（m+2）（m+1）（条）．五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O为△ABC的外接圆．（1）如图1，求证：AD是⊙O的切线；（2）如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G．①求证：AG＝BG；②若AD＝4，CD＝5，求GF的长．【解答】（1）证明：如图1，连接OA，OB，OC，在△OAC和△OAB中，，∴△OAC≌△OAB（SSS），∴∠OAC＝∠OAB，∴AO平分∠BAC，∴AO⊥BC．又∵AD∥BC，∴AD⊥AO，∴AD是⊙O的切线；（2）①证明：如图2，连接AE．∵∠BCE＝90°，∴∠BAE＝90°，又∵AF⊥BE，∴∠AFB＝90°，∵∠BAG+∠EAF＝∠AEB+∠EAF＝90°，∴∠BAG＝∠AEB，∵∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，∴∠BAG＝∠ABC，∴AG＝BG；②解：在△ADC和△AFB中，，∴△ADC≌△AFB（AAS），∴AF＝AD＝4，BF＝CD＝5，设FG＝x，在Rt△BFG中，FG＝x，BF＝5，BG＝AG＝x+4，∴FG2+BF2＝BG2，即x2+52＝（x+4）2，∴x＝，∴FG＝．25．如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC下方的抛物线上有一动点P，使得△PBC的面积最大，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）由△PBC的面积＝S△PHB+S△PHC，即可求解；（3）分AC是边、AC是对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式即可求解．解：（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣3；（2）设直线BC的表达式为y＝mx+n，则，解得，故直线BC的表达式为y＝x﹣3，过点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣3），则点H（x，x﹣3），则△PBC的面积＝S△PHB+S△PHC＝PH•OB＝×4×（x﹣3﹣x2+x+3）＝﹣x2+3x，∵﹣＜0，故该抛物线开口向下，△PBC的面积存在最大值，此时x＝2，则点P的坐标为（2，﹣3）；（3）存在，理由：设点N的坐标为（m，n），则n＝m2﹣m﹣3①，①当AC是边时，点A向下平移3个单位得到点C，则点M（N）向下平移3个单位得到点N（M），则0﹣3＝n或0+3＝n②，联立①②并解得或或（不合题意的值已舍去）；②当AC是对角线时，则由中点公式得：（0﹣3）＝（0+n）③，联立①③并解得（不合题意的值已舍去）；综上，点N的坐标为（2，﹣3）或（，﹣3）或（，﹣3）．。