山东师范大学《数学分析》期末考试复习题及参考答案

数学分析考试真题及答案一、单项选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上是（）A. 增函数B. 减函数C. 常函数D. 非单调函数答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 函数f(x)=x^3-3x在区间(-∞,+∞)上是（）A. 增函数B. 减函数C. 常函数D. 非单调函数答案：D4. 函数f(x)=x^2+2x+1的最小值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B5. 函数f(x)=x^3+3x^2+3x+1的零点个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的导数是________。

答案：2x+22. 函数f(x)=e^x的反函数是________。

答案：ln x3. 函数f(x)=x^3+3x^2+3x+1的二阶导数是________。

答案：6x+64. 函数f(x)=x^2+2x+1在区间[0,1]上的定积分是________。

答案：25. 函数f(x)=x^3+3x^2+3x+1在x=0处的泰勒展开式是________。

答案：1+3x+3x^2+x^3三、解答题（每题15分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x的单调区间和极值点。

解：首先求导数f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。

当x<-1或x>1时，f'(x)>0，函数单调递增；当-1<x<1时，f'(x)<0，函数单调递减。

因此，函数在x=-1处取得极大值f(-1)=2，在x=1处取得极小值f(1)=-2。

2. 求极限lim(x→0) (1+x)^(1/x)。

解：利用极限的性质，我们可以将极限转化为指数形式：lim(x→0) (1+x)^(1/x) = e^(lim(x→0) (1/x)ln(1+x))。

数学分析期末考试题及答案ppt1. 极限的概念和性质- 题目1：求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。

- 答案：极限值为1。

2. 连续函数的性质- 题目2：判断函数 \(f(x) = \frac{1}{x}\) 在 \(x = 0\) 处是否连续。

- 答案：不连续。

3. 导数的定义和计算- 题目3：求函数 \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\) 的导数。

- 答案： \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\)。

4. 微分中值定理- 题目4：证明函数 \(f(x) = x^2\) 在区间 \([0,1]\) 上至少存在一点 \(c\)，使得 \(f'(c) = \frac{f(1) - f(0)}{1 - 0}\)。

- 答案：根据罗尔定理，由于 \(f(0) = 0\) 且 \(f(1) = 1\)，且 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续可导，故存在 \(c \in (0,1)\) 使得 \(f'(c) = 1\)。

5. 定积分的计算- 题目5：计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。

- 答案： \(\frac{1}{3}x^3 \Big|_0^1 = \frac{1}{3}\)。

6. 级数的收敛性- 题目6：判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 是否收敛。

- 答案：收敛。

7. 多元函数的偏导数- 题目7：求函数 \(f(x, y) = x^2y + y^3\) 的偏导数 \(f_x\) 和 \(f_y\)。

- 答案： \(f_x = 2xy\)，\(f_y = x^2 + 3y^2\)。

8. 多元函数的极值- 题目8：求函数 \(f(x, y) = x^2 + y^2\) 在点 \((1, 1)\) 处的极值。

- 答案：点 \((1, 1)\) 是局部最小值点。

A.1+B. 1C.D. 03.()Ly x dy -=⎰ .，其中L 为直线,AB (1,1),(2,2)A B（ D ）A. 1B.2C.12D.0 4 Syzdxdy =⎰⎰,其中是球面2221x y z ++=的上半部分并取外侧为正向。

( D )A. 2B.C. 1D. 05.Lydx xdy +=⎰. , 其中22:1L x y +=　（ A ）A. 0B. 1 C. 2D.3 二、 填空题：（本题共5小题, 每小题4分，共20分）1.22()Dx y dxdy +=⎰⎰,其中22:4D x y +≤　2.Vxyzdxdydz =⎰⎰⎰.其中:02,02,02V x y z ≤≤≤≤≤≤3. 将(,)DI f x y d σ=⎰⎰化成先对x 后对y 的累次积分为24422(,)y y dy f x y dx +-⎰⎰其中D 由24,2y x y x =-=围成。

4. 设是半圆周,0,sin ,cos :π≤≤⎩⎨⎧==t t a y t a x L则第一型曲线积分()22Lxy ds +=⎰5. 格林公式建立了区域上二重积分与的边界曲线的第二型曲线积分之间的联系。

设函数(,),(,)P x y Q x y 在闭区域上连续，且有一阶连续的偏导数，则格林公式可表示为L Pdx Qdy +=⎰()DQ Pdxdy x y ∂∂-∂∂⎰⎰。

三、(本题共2小题，每题10分, 共20分）1．计算DI dxdy =⎰⎰，其中D 由0,1x y y x ===及围成。

解：此三条直线的交点分别为(1,1)，(0,1)，(0,0)，所围区域如下图。

。

3分先对x 后对y 积分：11112yxI dy dx dx dy ===⎰⎰⎰⎰ 。

6分2. 计算xdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中是三个坐标面与平面x + y +z =1所围成的区域解画出区域D ：0101y xx ≤≤-≤≤ 。

3分xdxdydz Ω⎰⎰⎰1110x yxdx dyxdz ---=⎰⎰⎰。

山东师范大学2006-2007学年第二学期期末考试试题答案及评分标准课程编号：4081102 课程名称：数学分析 适用年级：2006 学制:_4_ 适用专业：应用数学\信息计算 试题类别：(A)一、单项选择题：（本题共5小题，每小题2分，共10分）1.若1()(0),d f t dt x dx => 则()f x '等于 ( A )A. 4x -B. 4xC.D. 2. 使得瑕积分11pdx x ⎰收敛的p 的值为 （ B ） A. 0p > B. 1p < C. 1p = D. 1p >3. 已知级数12111(1)2,5,n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑ 则级数1n n a ∞=∑等于 （ C ）A. 3B. 7C. 8D. 9 4. 若级数1(2)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛, 则此级数在4x =处 ( B )A. 条件收敛B. 绝对收敛C. 发散D. 敛散性不确定5. 设011,0,2()()cos ,1222,1,2n n x x a f x S x a n x x x x π∞=⎧≤≤⎪⎪==+-∞<<+∞⎨⎪-<<⎪⎩∑, 其中 102()cos (0,1,),n a f x n xdx n π==⎰ 则5()2S -等于 ( D )A.12 B. 12- C. 34- D. 34二、填空题：（本题共8小题10个空格，每空2分，共20分）1. 实数完备性的六个基本定理为: 单调有界定理, _确界原理, 聚点定理, 区间套定理, 有限覆盖定理, 柯西收敛准则;2. 数列{}1(1)n+-的上﹑下极限分别为_2____, ____0____;3. 计算不定积分2sin xdx =⎰sin 224x x C -+;4. 设21,1A dx x +∞-∞=+⎰ 则A =1π; 5. 级数11(2)(12)n n n ∞=+++∑的和为13; 6. 级数ln(1)(1)1nn n x n ∞=+-+∑的收敛域为[0, 2)____; 7. 函数2()x f x e-=展成x 的幂级数为46212!3!x x x -+-+ 8. 使得级数21(1)(1)nxn n n ∞=-++∑条件收敛的x 的值为102x <≤; 三、判断下列反常积分的敛散性, 若收敛是条件收敛还是绝对收敛(本题共4小题，共20分） 1．1sin xdx x+∞⎰解: 对1,u ∀≥ 有1sin cos1cos 2uxdx u =-≤⎰;而1x单调趋于0 ()x →+∞ , 故由狄利克雷判别法推知 无穷积分1sin xdx x+∞⎰是收敛的. 3’ 由于 2sin sin 1cos 2,[0,),22x x xx x x x x≥=-∈+∞其中 12cos 21cos 22x tdx dt x t+∞+∞=⎰⎰满足狄利克雷判别法的条件, 是收敛的, 而112dx x +∞⎰是发散的. 5’因此无穷积分1sin xdx x+∞⎰是条件收敛的. 6’ 2.20+∞⎰解: 由于122l i m 1,x x →+∞= 由于1,12p λ==, 3’因此由比较判别法知20+∞⎰是发散的. 4’3.10⎰解: 此瑕积分的瑕点为0x =. 当取314p =<时, 有314410004ln lim lim lim(4)0x x x x x x x λ+++→→→-==-==,所以瑕积分10⎰收敛. 4’因为xx ln 在(0,1]上恒为负, 从而此瑕积分收敛与绝对收敛是等价的, 因此瑕积分10⎰是绝对收敛的. 6’4.1⎰解: 此瑕积分的瑕点为0,1x x ==. 且1110=+⎰⎰. 2’由于1lim(1)1,x x -→-=知积1,从而积分是1 于是积分1⎰是发散的. 4’ 四、（本题共2小题，每小题10分，共20分） 1. 级数11(1)n p n nn∞+=-∑当p 为何值时是绝对收敛, 条件收敛或发散的?解: (1) 当1p >时, 由于11l i m 11p nn pnn +→∞= 因此级数11(1)n p n nn∞+=-∑是绝对收敛的. 3’(2) 当01p <≤时, 考虑函数1()(0)p xf x xx +=>. 由于111ln (),p x x f x e p x x +-⎡⎤'=+⎢⎥⎣⎦ 因此当x 充分大时, ()0f x '>. 从而当x 充分大时, 1()p xf x x+=单调递增, 由此推出, 当n 充分大时,11p nn+ 单调递减. 又因为 11lim0n p nn→∞+=,所以级数11(1)n p n nn∞+=-∑是收敛的.另一方面, 11lim ,n p nn n→∞+⋅=+∞ 因此级数非绝对收敛. 从而当01p <≤时, 级数是条件收敛的. 7’(3) 又显然当0p ≤时, 11lim 0n p nn→∞+≠, 从而级数是发散的. 9’综上所述, 得: 当1p >时, 级数绝对收敛; 当01p <≤时, 级数条件收敛; 当0p ≤时,级数发散. 10’2. 设 2231()ln(1),1,2,.n u x n x n n =+= 证明函数项级数1()n n u x ∞=∑在[0,1]上一致收敛, 并讨论其和函数在[0,1]上的连续性、可积性与可微性. 证明： 对每一个n ， 易见)(x u n 为]1,0[上增函数， 故有 ),1ln(1)1()(23n nu x u n n +=≤ .,2,1 =n又当1≥t 时， 有不等式,)1ln(2t t <+ 所以 ,1)1ln(1)(223nn n x u n <+≤.,2,1 =n 以收敛级数∑21n 为∑∞=1)(n n x u 的优级数， 推得∑∞=1)(n n x u 在]1,0[上一致收敛. 4’由于每一个)(x u n 在]1,0[上连续, 根据和函数的连续性定理与逐项可积定理知,∑∞=1)(n nx u的和函数)(x S 在]1,0[上连续且可积. 6’又由 ,122)1(2)(222nnx n x x n n x x u n=⋅≤+=' .,2,1 =n 即收敛级数∑21n 也是∑∞='1)(n nx u 的优级数， 推得∑∞='1)(n n x u 也在]1,0[上一致收敛. 9’由逐项可微定理知 )(x S 在]1,0[上可微. 10’ 五、(本题共两小题，每小题7分，共14分)1. 求函数0sin ()xtf x dt t=⎰在0x =处的幂级数展开式, 并确定它收敛于该函数的区间. 解: 因为()x x f sin =在()+∞∞-,内能展开为麦克劳林级数()()21sin 121!n nn x x n +∞==-+∑。

第三学期《数学分析》期末试题一、 选择题：（15分，每小题3分） 1、累次极限存在是重极限存在的（ ）A 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 无关条件 2、=∂∂),(00|),(y x xy x f （ ）Ax y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim 00000 ； B xy x x f x ∆∆+→∆),(lim 000； Cx y x x f y y x x f x ∆∆+-∆+∆+→∆),(),(lim 00000 ； D xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000。

3、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）可偏导，则（ D ）A f (x,y )在（x 0,,y 0）可微 ；B f (x,y )在（x 0,,y 0）连续；C f (x,y )在（x 0,,y 0）在任何方向的方向导数均存在 ；D 以上全不对。

4、22222)(),(y x y x y x y x f -+=的二重极限和二次极限各为（ B ）A 、0，0，0；B 、不存在，0，0，；C 、0，不存在，0；D 、0，0，不存在。

5、设yx ez =，则=∂∂+∂∂yz y x z x （A ）A 、0；B 、1；C 、-1；D 、2。

二、计算题（50分，每小题10分）1、 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微；2、 设⎰⎰'=-x xtx f x f dt d ex f 0)(),(,)(2求ττ；3、 设有隐函数,0x y F z z ⎛⎫=⎪⎝⎭,其中F 的偏导数连续,求z x ∂∂、z y ∂∂；4、 计算(cos sin )x Ce ydx ydy -⎰，其中C 是任一条以为(0,0)A 起点、(,)B a b 为终点的光滑曲线；5、 计算zdS ∑⎰⎰，其中∑为22z x y =+在14z ≤的部分；三、验证或解答（满分24分，每小题8分）1、验证曲线积分⎰+++++Ldzy x dy x z dx z y )()()(与路线无关，并求被积表达式的原函数；2、说明对任意),0(sin ,00)(2+∞∈>⎰+∞+-t tdx e x 关于αα均一致收敛；3、验证函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x yx xyy x f 在原点（0，0）分别对每个自变数y x 或(另一个看作常数)都连续，但是二元函数在原点（0，0）却不连续.四、（11分）求由方程组⎩⎨⎧=-+=++10333z y x z y x 确定的隐函数)2,1,1()(),(-==P x z z x y y 在点处的一阶导数。

红河学院XXXX —XXXX 学年秋季学期《数学分析III 》期末考试卷3参考答案及评分标准一、填空题（每小题3分，共30分）1、ln 22、2dz dx dy =+3、1221x f f y z''-+ 4、1、113123x y z -+-==- 6、1、(1)s s + 8、11(,)xdx f x y dy ⎰⎰ 9、r 10、34R π二、判断题（在正确的命题后的括号内打“○”，错误的命题后的括号内打“×”每小题2分，共10分）题号 12345答案× × ○ ○ ×三、计算题（每小题10分，共60分）1、讨论函数222222(0(,)00x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩在原点(0,0)处的连续性，计算(0,0)x f 和(0,0)y f .解 首先考虑(,)(0,0)lim(,)x y f x y →，引入变换cos x r θ=，cos y r θ=， ………………（2分）则(,)(0,0)x y →等价于对任意θ，0r →. 因此，222(,)(0,0)(,)(0,0)1lim (,)lim ()sinlim sin x y x y r f x y x y r r →→→=+=201lim sin0r r r→==. ………………（5分） 由此可见，(,)(0,0)lim(,)(0,0)x y f x y f →=，所以该函数在(0,0)连续. …（6分）由偏导数的定义，200(,0)(0,0)(0,0)lim limx x x f x f f x∆→∆→∆-==∆()01lim sin0x x x∆→=∆=∆ ………………（8分）20(0,)(0,0)(0,0)limlim y y y f y f f y∆→∆→∆-==∆()01lim sin0y y y∆→=∆=∆ ………………（10分） 2、设,y z f x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求z x ∂∂和2z x y ∂∂∂.解 记u x y =+，y v x =，1f f u ∂'=∂，2ff v∂'=∂， 则由复合函数链式法则，122z z u z v yf f x u x v x x∂∂∂∂∂''=+=-∂∂∂∂∂. …………………（3分） 再记2112f f u∂''=∂，212f f u v ∂''=∂∂，2222f f v ∂''=∂，…… 2122z z y f f x y y x y x ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫''==- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭…………………（5分） 11222221f f f f u v y u v f u y v y x u y v y x ⎛⎫''''∂∂∂∂∂∂∂∂'=+-+- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭……………（7分）11122122222111y f f f f f x x x x⎛⎫'''''=+-+- ⎪⎝⎭ …………………（9分）11122222321x y y f f f f x x x -''''=+-- …………………（10分）3、制作一个无盖的长方形水箱，已知底部的造价为每平方米30元，侧面造价为每平方米10元，现用360元制作水箱，问如何设计水箱才能使其体积最大.解 设水箱的长、宽、高分别为x ，y ，z 米，则该问题为求水箱体积V xyz=在限制条件3020()360xy x y z ++=（即32()360xy x y z ++-=）的最大值. …………………（3分）构造Lagrange 函数(,,,)(32()36)f x y z xyz xy x y z λλ=+++-. …（5分）下面求(,,,)f x y z λ的稳定点，由方程组(32)0(32)0(22)032()360x yz f yz y z f xz x z f xy x y f xy x y z λλλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪=++-=⎩得2x y ==，3z =………（8分）由实际问题可知，存在使体积V 达到最大的制作方式，又由稳定点是唯一的，故该稳定点必是所求的最大值点，即用360元制作的最大体积水箱的长、宽、高分别为2、2、3米，最大体积为12立方米. ………（10分）4、计算第二型曲线积分2()LI xydx x y dy x dz =+-+⎰其中，L 是螺旋线：cos x a t =，sin y a t =，z bt =从0t =到π的一段.解 由第二型曲线积分的计算公式，32222220(cos sin cos sin cos cos )I a t t a t a t t a b t dt π=-+-+⎰……（5分）3322201111sin sin (1)sin 23222a t a t a b t t π⎡⎤⎛⎫=--+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦……（8分）21(1)2a b π=+ …………………（10分）5、利用极坐标变换计算二重积分D⎰⎰，其中D 为圆周221x y +=与224x y +=所包围的区域在第一象限的部分.解 引入极坐标变换cos x r θ=， sin y r θ=， ………………（2分）则在极坐标系下，区域D 可表示为{(,)0,12}2r r πθθ∆=≤≤≤≤. ……（4分）于是，2sin Dr rdrd θθ∆=⋅⎰⎰⎰⎰ ……………（6分） /22301sin d r dr πθθ=⎰⎰ ……………（8分）154=…………（10分） 6、求由球面2224x y z ++=与抛物面223x y z +=所围成的区域Ω的体积. 解 设所求区域的体积为V ，则V dxdydzΩ=⎰⎰⎰. …………………（2分）引入柱面坐标变换cos x r θ=， sin y r θ=， z z =，则球面方程变为 224r z +=，抛物面方程变为23r z =. …………………（4分）由方程组22243r z r z⎧+=⎨=⎩，消去z 得Ω在xy 平面上的投影区域D 的边界曲线方程r =0z =. …………（5分）于是，Ω在柱面坐标下可表示为2{(,,)02,3r r z r z θθπ≤≤≤≤≤≤， ………………（7分）所以，22220/3)3r r V dxdydz d d rdr ππθθΩ===⎰⎰⎰⎰⎰2192)36r rdr ππ==………………（10分）。

(1 + \[xj = 1 + 5x^ +10% + 10Q + 5x 2+ ,因此有f(l + Vxpx = x + —+5x 2+4/ +-X 3+-x ?+C v 73 3 7解法二利用换元积分法，令\ + 4x =t ,则x = （，-l ）2, dx = 2（t - l ）dt,于是有f(l + 0 dx = 2 (f _ 1)出=2 W6 -t> A= ；（f 伺+C说明 第（2）题解法二的优点在于当被积函数这个二项式的指数较大时（如求 J （l + V7）'°°dx）,处理起来不会增加任何困难；但若仍用解法一去计算，那将是十分繁琐的; 更何况当不定积分变为J （1+五）"dx, a 为任意实数时，只能用解法二来计算。

注意 第（2）题的两种解法所得结果在形式上虽不相同，但它们之间至多相差一个常 数，可被容纳在积分常数C 之内。

例2用第一换元积分法求下列不定积分： （1） \—e xdx ；第八章不定积分1基本积分公式与换元积分法例1求下列不定积分: X 4 + X 2 +1 Jax ； ⑴ 1 x 4+x 2解(1)由于x 4+ x 2+1 x 4+x 2+/ 1 =l +±-^-X 2+ 1) X 2 X 2 +1因此得到 4X + X x 4 +x 22+1 j c - r dx c dx dx = J dx + J —-— J ----------------- --X X +1 =x ------arctan x + Cx(2) 解法一山于(2) J sin nx cos mxdx ；(令-2)解(1) x = asint,\t\^ — ,dx = a cos tdt, ez >- 0 ,于是 1 123 . ?7, f a sin cos t , Q s 小 \,dx = J --------- dt = — J(1 - cos 2t )dt= J―SeC—dt = \ esc tdt xy/x 2+1 tanfsecfa 2 t — — sin 2/)+ C*(3) arctan Vx . —— - !—— dx ； (4) J(2)Jsin nxcos mxdx = ? j[sin(n + m)x + sin(n 一 m)x\dx-----cos(n + m)x n + m ---- cos(n 一 m)x + C n — m(4)-3 /故=J —7 丁-2 3.x 3-2A -3 - 2 +2A'3-2?.Y 3-2用。

2000年试题一、填空。

1 1- r,2 2?(〃T)\ 91. Iim[—- H—- H --- 1 ---- —] = ?2.i im£^L±^ = ?•E X■ 23 .设x = 3cosr, y = 2sin r(0<r < 2勿),则= ?dx~4. / 心+iy?5 .设r = Jr + ),2,则JJ [ r \dxdy = ? x1 2+y2<162 26•设「表小椭圆—+ — = 1 正向，贝U f (x-y)dx + (x+ y)dy = ?4 9 廿7.级数也(1 +打的收敛范围为?〃=i n8.设/(x) = (l + x)ln(l + x),则严(0) = ?1 .设f(x)在［Q,0］上可积，令F(x)= ［/(rMr,证明：F(x)在［Q,。

］上连续。

2.求［e~x cos(2ax)dx(a为实数)。

3.试求级数£〃与〃的和函数。

〃=1三、任选两题。

f fMdx f ——dx > (h-a)2.* * i 3)1 .设f(x)在［a,b］上连续旦/(x)>0,证明:(3.-4) or xdx + ydy = ?2 .求 fcos"xsin/udx (n > 1 为正整数) 3.设 f(Q,g(x) 在 [0, +00) 上可微 H 满足■ ,(1) lim /(x) = A(0 < A < +oo), (2 Q^g(x) g(x).求证： 存 在数列XTSXTSJV —> 00{qj (c 、〃 T +00，" T 8)使得 f(c n )gf(c n ) < -g(C 〃)j'(Cn).2001年试题1 cos 2x -1 o 一、1. hm —=?jr+sirrx 2" n I 2.1im^ = ?3.设y),则紧=? 4 § x 2Vl - cos 2xdx = ? .5. 交换积分顺序f 公「'，(2知=?6.7.£〃(〃 + 1)尤"的和函数为?«=18.设 /(x) = arctan x,则 f ⑵中)(0) = ?二、1 .叙述函数fM)在［。