高三数学(理)配套黄金练习：2.5

第二章 ２．２ 第２课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先减后增D ．先增后减答案 C解析 对称轴为x ＝3，函数在(2,3]上为减函数，在[3,4)上为增函数．2．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案 A解析 满足f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0其实就是f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选A. 3．若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．a <－3B ．a ≤－3C ．a >－3D ．a ≥－3答案 B解析 对称轴x ＝1－a ≥4.∴a ≤－3.4．下列函数中既是偶函数，又是区间[－1,0]上的减函数的是( )A ．y ＝cos xB ．y ＝－|x －1|C ．y ＝ln 2－x 2＋xD ．y ＝e x ＋e －x 答案 D5．函数y ＝log a (x 2＋2x －3)，当x ＝2时，y >0，则此函数的单调递减区间是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1，＋∞)答案 A解析 当x ＝2时，y ＝log a (22＋2·2－3)∴y ＝log a 5>0，∴a >1由复合函数单调性知单减区间须满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －3>0x <－1，解之得x <－3.6．已知奇函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且不等式f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0对任意两个不相等的正实数x 1、x 2都成立．在下列不等式中，正确的是( )A ．f (－5)>f (3)B ．f (－5)<f (3)C ．f (－3)>f (－5)D ．f (－3)<f (－5)答案 C解析 由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0对任意两个不相等的正实数x 1、x 2都成立，可知，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (x )为奇函数，故f (x )在(－∞，0)上也为增函数，故选C.7．函数f (x )在区间(－2,3)上是增函数，则y ＝f (x ＋5)的一个递增区间是( )A ．(3,8)B ．(－7，－2)C ．(－2，－3)D ．(0,5)答案 B解析 令－2<x ＋5<3，得：－7<x <－2. 8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案 C解析 y ＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4在[0，＋∞)上单调递增；y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4在(－∞，0)上单调递增．又x 2＋4x －(4x －x 2)＝2x 2≥0，∴f (2－a 2)＞f (a )⇒2－a 2＞a ⇒a 2＋a －2＜0⇒－2＜a ＜1，故选C.9．给定函数①y ＝x 12；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案 B解析 ①是幂函数，其在(0，＋∞)上为增函数，故此项不符合题意；②中的函数是由函数y ＝log 12x 向左平移1个单位而得到的，因原函数在(0，＋∞)上为减函数，故此项符合题意；③中的函数图象是函数y ＝x －1的图象保留x 轴上方的部分，下方的图象翻折到x 轴上方而得到的，由其图象可知函数符合题意；④中的函数为指数函数，其底数大于1，故其在R 上单调递增，不符合题意，综上可知选择B.二、填空题10．给出下列命题①y ＝1x 在定义域内为减函数；②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上是增函数；③y ＝－1x 在(－∞，0)上为增函数；④y ＝kx 不是增函数就是减函数．其中错误命题的个数有________．答案 3解析 ①②④错误，其中④中若k ＝0，则命题不成立．11．函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的单调递增区间是________．答案 [1，＋∞)解析 函数图象如图12．函数f (x )＝－x 2＋|x |的递减区间是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0与⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 数形结合13．在给出的下列4个条件中， ①⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1x ∈(－∞，0) ②⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1x ∈(0，＋∞) ③⎩⎪⎨⎪⎧ a >1a ∈(－∞，0) ④⎩⎪⎨⎪⎧a >1x ∈(0，＋∞) 能使函数y ＝log a 1x 2为单调递减函数的是________．(把你认为正确的条件编号都填上)．答案 ①④解析 利用复合函数的性质，①④正确．14．若奇函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，则不等式f (lg x )＋f (1)>0的解集是________．答案 (0，110)解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，又因为f (x )在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )在[0，＋∞)上也为单调递减函数，所以函数f (x )在R 上为单调递减函数．不等式f (lg x )＋f (1)>0可化为f (lg x )>－f (1)＝f (－1)，所以lg x <－1，解得0<x <110.三、解答题15．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．答案 (1)略 (2)0<a ≤1解析 (1)证明 任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)解 任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1.综上所述知0<a ≤1.16．函数f (x )对任意的a 、b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：f (x )是R 上的增函数；(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3.答案 (1)略 (2){m |－1<m <43}解 (1)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)>1.f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0.∴f (x 2)>f (x 1)．即f (x )是R 上的增函数．(2)∵f (4)＝f (2＋2)＝f (2)＋f (2)－1＝5，∴f (2)＝3，∴原不等式可化为f (3m 2－m －2)<f (2)，∵f (x )是R 上的增函数，∴3m 2－m －2<2，解得－1<m <43，故m 的解集为{m |－1<m <43}．拓展练习·自助餐1．函数f (x )＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( )A ．(3，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1)答案 A解析由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，x －3>0，即x >3，又0<0.5<1，∴f (x )在(3，＋∞)上单调递减．2．设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x <0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数答案 A解析 当x <0时，－x >0，－(2x ＋1x )＝(－2x )＋(－1x )≥2(－2x )·(－1x )＝22，即2x ＋1x ≤－22，2x ＋1x －1≤－22－1，即f (x )≤－22－1，当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取等号，此时函数f (x )有最大值，选A.3．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f (|1x |)<f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 C解析 由已知得：|1x |>1⇒－1<x <0或0<x <1，故选C.4．函数f (x )＝x 2x －1(x ∈R 且x ≠1)的单调增区间是______． 答案 (－∞，0)和(2，＋∞)解析 将原函数y ＝x 2x －1变形为y ＝(x －1)＋1x －1＋2 显然x －1在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)内取值时，函数单调递增，即得x 在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内取值时，函数单调递增．5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax 2＋1，x ≥0(a 2－1)e ax ，x <0在(－∞，＋∞)上单调，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，－ 2 ]∪(1， 2 ]解析 因为f (x )为单调函数，若a >0，则当x ≥0时，f (x )＝ax 2＋1是单调递增函数，故当x <0时，f (x )也是单调递增函数，又a >0时，e ax 为单调递增函数，所以a 2－1>0，又f (x )在(－∞，＋∞)上单调，故还应满足(a 2－1)·e 0≤a ×02＋1，即需满足⎩⎪⎨⎪⎧ a >0a 2－1>0⇒1<a ≤2a 2－1≤1同理，当a <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a <0a 2－1>0⇒a ≤－ 2.a 2－1≥1 综上得1<a ≤2或a ≤－ 2.6．已知函数f (x )自变量取值区间A ，若其值域区间也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间．(1)求函数f (x )＝x 2形如[n ，＋∞)(n ∈R )的保值区间；(2)g (x )＝x －ln(x ＋m )的保值区间是[2，＋∞)，求m 的取值范围．解析 (1)若n <0，则n ＝f (0)＝0，矛盾．若n ≥0，则n ＝f (n )＝n 2，解得n ＝0或1，所以f (x )的保值区间为[0，＋∞)或[1，＋∞)．(2)因为g (x )＝x －ln(x ＋m )的保值区间是[2，＋∞)，所以2＋m >0，即m >－2，令g ′(x )＝1－1x ＋m>0，得x >1－m ， 所以g (x )在(1－m ，＋∞)上为增函数，同理可得g (x )在(－m,1－m )上为减函数．若2≤1－m即m≤－1时，则g(1－m)＝2得m＝－1满足题意．若m>－1时，则g(2)＝2，得m＝－1，矛盾．所以满足条件的m值为－1.。

第二章 ２．6 第6课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题 1．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 本题为二次函数的单调性问题，取决于对称轴的位置，若函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数，则有对称轴x ＝a ≤1，故“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．2．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )答案 C解析 若a >0，A 不符合条件，若a <0，D 不符合条件，若b >0，对B ，∴对称轴－ba <0，不符合，∴选C.3．函数y ＝x α(x ≥1)的图象如图所示，α满足条件( )A ．α<－1B ．－1<α<0C ．0<α<1D ．α>1 答案 C解析 类比函数y ＝x 12即可．4．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (4)＝f (1)，那么( ) A ．f (2)>f (3) B ．f (3)>f (2) C ．f (3)＝f (2)D ．f (3)与f (2)的大小关系不确定 答案 C解析 ∵f (4)＝f (1)∴对称轴为52，∴f (2)＝f (3)．5．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[0,2]C ．[1,2]D ．(－∞，2] 答案 C解析 由函数的单调性和对称轴知，1≤m ≤2，选C.6设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )答案 D解析 若a ＞0，b ＜0，c ＜0，则对称轴x ＝－b2a ＞0，函数f (x )的图象与y 轴的交点(c,0)在x 轴下方．故选D.7．已知f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(0<a <3)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则( ) A ．f (x 1)>f (x 2) B ．f (x 1)<f (x 2) C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定 答案 B解析 解法1：设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，∵x 1＋x 22＝1－a 2∈(－1， 12)，又对称轴x ＝－1，∴AB 中点在对称轴右侧．∴f (x 1)<f (x 2)，故选B.(本方法充分运用了二次函数的对称性及问题的特殊性：对称轴已知)．解法2：作差f (x 1)－f (x 2)＝(ax 21＋2ax 1＋4)－(ax 22＋2ax 2＋4)＝a (x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)＝a (x 1－x 2)(3－a )又0<a <3，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故选B. 二、填空题8．已知y ＝(cos x －a )2－1，当cos x ＝－1时y 取最大值，当cos x ＝a 时，y 取最小值，则a 的范围是________．解析 由题意知 ∴0≤a ≤19．抛物线y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，则m ＝________. 答案 9或25解析 y ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m －1162＋m －7－8·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162∵顶点在x 轴∴m －7－8·⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162＝0，∴m ＝9或25.10．设函数f 1(x )＝x 12，f 2(x )＝x －1，f 3(x )＝x 2，则f 1(f 2(f 3(2010)))＝________. 答案 12010解析 f 3(2010)＝20102 f 2(20102)＝(20102)－1＝2010－2f 1(2010－2)＝(2010－2)12＝2010－1＝12010.11．在函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，若a ，b ，c 成等比数列且f (0)＝－4，则f (x )有最________值(填“大”或“小”)，且该值为________．答案 大 －3解析 ∵f (0)＝c ＝－4，a ，b ，c 成等比，∴b 2＝a ·c ，∴a <0∴f (x )有最大值，最大值为c －b24a ＝－3.12．已知幂函数f (x )＝x 1－α3在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数a ＝________.答案 313．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α，β，且α>0,1<β<2，则实数m 的取值范围是________．答案 2<m <52解析 令f (x )＝x 2－mx ＋1由题意知三、解答题14．已知函数f (x )＝2x －x m ，且f (4)＝－72. (1)求m 的值；(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． 答案 (1)m ＝1 (2)递减解析 (1)∵f (4)＝－72， ∴24－4m ＝－72.∴m ＝1.(2)f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上单调递减，证明如下： 任取0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1－x 1)－(2x 2－x 2)＝(x 2－x 1)(2x 1x 2＋1)．∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，2x 1x 2＋1>0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，即f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上单调递减．15．已知对于任意实数x ，二次函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋12(a ∈R )的值都是非负的，求函数g (a )＝(a ＋1)(|a －1|＋2)的值域．答案 [－94，9]解 由条件知Δ≤0，即(－4a )2－4(2a ＋12)≤0，∴－32≤a ≤2.①当－32≤a <1时，g (a )＝(a ＋1)(－a ＋3)＝－a 2＋2a ＋3＝－(a －1)2＋4， ∴由二次函数图象可知， －94≤g (a )<4.②当1≤a ≤2时，g (a )＝(a ＋1)2， ∴当a ＝1时，g (a )min ＝4； 当a ＝2时，g (a )max ＝9； ∴4≤g (a )≤9.综上所述，g (a )的值域为[－94，9]．16．函数f (x )＝2x和g (x )＝x 3的图象的示意图如图所示．设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，且x 1<x 2.(1)请指出示意图中曲线C 1、C 2分别对应哪一个函数？(2)若x 1∈[a ，a ＋1]，x 2∈[b ，b ＋1]，且a ，b ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a 、b 的值，并说明理由；(3)结合函数图象示意图，请把f (6)、g (6)、f (2007)、g (2007)四个数按从小到大的顺序排列．答案 (1)C 1对应的函数为g (x )＝x 3，C 2对应的函数为f (x )＝2x (2)a ＝1，b ＝9(3)∴f (6)<g (6)<g (2007)<f (2007)解析 (1)C 1对应的函数为g (x )＝x 3，C 2对应的函数为f (x )＝2x . (2)a ＝1，b ＝9. 理由如下：令φ(x )＝f (x )－g (x )＝2x －x 3，则x 1、x 2为函数φ(x )的零点． ∵φ(1)＝1>0，φ(2)＝－4<0，φ(9)＝29－93<0，φ(10)＝210－103>0，∴方程φ(x )＝f (x )－g (x )的两个零点x 1∈(1,2)，x 2∈(9,10)，∴整数a ＝1，b ＝9. (3)从图象上可以看出，当x 1<x <x 2时，f (x )<g (x )，∴f (6)<g (6)．当x >x 2时，f (x )>g (x )，∴g (2007)<f (2007)． ∵g (6)<g (2007)，∴f (6)<g (6)<g (2007)<f (2007)．拓展练习·自助餐1．若函数f (x )＝log 12(x 2－6x ＋5)在(a ，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．[5，＋∞) 答案 D解析 f (x )的减区间为(5，＋∞)，若f (x )在(a ，＋∞)上是减函数，则a ≥5，故选D.2．设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列图象之一，则a 的值为( )A ．1B ．－1 C.－1－52 D.－1＋52答案 B解析 ∵b >0，∴不是前两个图形，从后两个图形看－b2a >0，∴a <0. 故应是第3个图形．∵过原点，∴a 2－1＝0.结合a <0.∴a ＝－1. 3.如图所示，是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，则|OA |·|OB |等于( ) A.c a B ．－c a C ．±c a D ．无法确定答案 B解析 ∵|OA |·|OB |＝|OA ·OB |＝|x 1x 2|＝|c a |＝－ca (∵a <0，c >0)．4．设函数f (x )＝⎩⎨⎧－2 (x >0)，x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x的不等式f (x )≤1的解集为________．答案 －3≤x ≤－1或x >0 解析 由f (－4)＝f (0)得b ＝4. 又f (－2)＝0，可得c ＝4，∴⎩⎨⎧ x ≤0，x 2＋4x ＋4≤1或⎩⎨⎧x >0，－2≤1，可得－3≤x ≤－1或x >0.5．设f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (－1)＝f (3)，则( ) A ．f (1)＞c ＞f (－1) B ．f (1)＜c ＜f (－1) C ．f (1)＞f (－1)＞c D ．f (1)＜f (－1)＜c 答案 B解析 由f (－1)＝f (3)得－b 2＝－1＋32＝1，所以b ＝－2，则f (x )＝x 2＋bx ＋c 在区间(－1,1)上单调递减，所以f (－1)＞f (0)＞f (1)，而f (0)＝c ，所以f (1)＜c ＜f (－1)．6．函数y ＝－x 2－2ax (0≤x ≤1)的最大值是a 2，则实数a 的取值范围是( ) A ．0≤a ≤1 B ．0≤a ≤2 C ．－2≤a ≤0 D ．－1≤a ≤0 答案 D解析 f (x )＝－x 2－2ax ＝－(x ＋a )2＋a 2 若f (x ) 在[0,1]上最大值是a 2，则0≤－a ≤1，即－1≤a ≤0，故选D.教师备选题1．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b ＝( ) A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 答案 C解析 函数在[1，＋∞)上单增∴b ＝b 2－2b ＋2解之得：b ＝2或1(舍)．2．若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，f (0)＝1，则f (x )＝________. 答案 x 2－x ＋1解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，∵f (0)＝1，∴c ＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2ax ＋a ＋b ＝2x ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.3．若函数f (x )＝(a －1)x 2＋(a 2－1)x ＋1是偶函数，则在区间[0，＋∞)上f (x )是( )A ．减函数B ．增函数C ．常函数D ．可能是减函数，也可能是常函数 答案 D解析函数f(x)是偶函数，∴a2－1＝0当a＝1时，f(x)为常函数当a＝－1时，f(x)＝－x2＋1在[0，＋∞)为减函数，选D.4．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a<b)，并且α、β是方程f(x)＝0的两个根(α<β)，则实数a、b、α、β的大小关系可能是()A．α<a<b<βB．a<α<β<bC．a<α<b<βD．α<a<β<b答案 A解析设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝g(x)－2，分别作出这两个函数的图象，如图所示，可得α<a<b<β，故选A.5．对一切实数x，若不等式x4＋(a－1)x2＋1≥0恒成立，则a的取值范围是()A．a≥－1 B．a≥0C．a≤3 D．a≤1答案 A解析令t＝x2≥0，则原不等式转化为t2＋(a－1)t＋1≥0，当t≥0时恒成立．令f(t)＝t2＋(a－1)t＋1则f(0)＝1>0(1)当－a－12≤0即a≥1时恒成立(2)当－a－12>0即a<1时．由Δ＝(a－1)2－4≤0得－1≤a≤3∴－1≤a<1，综上：a≥－1.6．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于________．答案c解析∵f(x2)＝f(x1)，∴x2＋x1＝－ba，∴f(x1＋x2)＝f(－ba)＝c.。

高考数学 黄金配套练习4-5 理一、选择题1．与图中曲线对应的函数是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝sin|x | C ．y ＝－sin|x | D ．y ＝－|sin x | 答案 C2．已知简谐运动f (x )＝2sin(π3x ＋φ)(|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝φ3答案 A解析∵图象过点(0,1)，∴2sin φ＝1，∴sin φ＝12∵|φ|<π2，∴φ＝π6，T ＝2ππ3＝6.3．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin(2x －π10)B ．y ＝sin(2x －π5)C ．y ＝sin(12x －π10)D ．y ＝sin(12x －π20)答案 C解析 将y ＝sin x 的图象向右平移π10个单位得到y ＝sin(x －π10)的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y ＝sin(12x －π10)的图象，选C.4．方程sin πx ＝14x 的解的个数是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 C解析 如图所示在x ≥0，有4个交点，∴方程sin πx ＝14x 的解有7个．5．设ω＞0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A.23B.43C.32D ．3 答案 C解析 解法一 函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3后得到函数y ＝sin[ω(x－4π3)＋π3]＋2＝sin(ωx －4π3ω＋π3)的图象，因为两图象重合，所以sin(ωx ＋π3)＋2＝sin(ωx －4π3ω＋π3)＋2，∴ωx ＋π3＝ωx －4π3ω＋π3＋2kπ，k ∈Z .∴ω＝32k ，k ∈Z .当k ＝1时，ω的最小值是32.解法二 本题的实质是已知函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2(ω＞0)的最小正周期是4π3，求ω的值．由T ＝2πω＝4π3，∴ω＝32.6．函数y ＝sin x －cos x 的图像可由y ＝sin x ＋cos x 的图像向右平移( ) A.3π2个单位 B ．π个单位C.π4个单位 D.π2个单位 答案 D解析y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π4 7.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5 AB ．5 AC ．53AD ．10 A 答案 A解析 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π.∴T ＝10sin(100πt ＋φ)．(1300，10)为五点中的第二个点，∴100π×1300＋φ＝π2. ∴φ＝π6.∴I ＝10sin(100πt ＋π6)，当t ＝1100秒时，I ＝－5 A ，故选A.8．为了得到函数y ＝sin (2x －π3)的图像，只需把函数y ＝sin (2x ＋π6)的图像( )A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位答案 B解析 由y ＝sin(2x ＋π6)――→x →x ＋φy ＝sin[2(x ＋φ)＋π6]＝sin(2x －π3)，即2x ＋2φ＋π6＝2x －π3，解得φ＝－π4，即向右平移π4个长度单位．故选B.9．要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝2sin(2x ＋π4)的图象上所有的点的( )A ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度C ．横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度答案 C解析y ＝2cos x ＝2sin(x ＋π2)，y ＝2sin(2x ＋π4)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin(x ＋π4)的图象，再向左平移π4个单位．二、填空题10．将函数y ＝sin(－2x )的图象向右平移π3个单位，所得函数图象的解析式为________．答案 y ＝sin(23π－2x )11．已知f (x )＝cos(ωx ＋π3)的图象与y ＝1的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到y ＝f (x )的图象，只需把y ＝sin ωx 的图象向左平移________个单位．答案 5π12解析 依题意，y ＝f (x )的最小正周期为π，故ω＝2，因为y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x＋π3＋π2)＝sin(2x ＋5π6)＝sin[2(x ＋5π12)]，所以把y ＝sin2x 的图象向左平移5π12个单位即可得到y ＝cos(2x ＋π3)的图象．12．已知将函数f (x )＝2sin π3x 的图象向左平移1个单位，然后向上平移2个单位后得到的图象与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝1对称，则函数g (x )＝________.答案 2sin π3x ＋2解析 将f (x )＝2sin π3x 的图象向左平移1个单位后得到y ＝2sin[π3(x ＋1)]的图象，向上平移2个单位后得到y ＝2sin[π3(x ＋1)]＋2的图象，又因为其与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以y ＝g (x )＝2sin [π3(2－x ＋1)]＋2＝2sin[π3(3－x )]＋2＝2sin(π－π3x )＋2＝2sin π3x ＋2.13．函数y ＝sin2x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图象恰好关于直线x ＝π6对称，则φ的最小值是________．答案5π12解析y ＝sin2x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，得y ＝sin2(x －φ)＝sin(2x －2φ)．因其中一条对称轴方程为x ＝π6，则2·π6－2φ＝kπ＋π2(k ∈Z )．因为φ>0，所以φ的最小值为5π12三、解答题14．已知函数f (x )＝2sin x cos(π2－x )－3sin(π＋x )cos x ＋sin(π2＋x )cos x .(1)求函数y ＝f (x )的最小正周期和最值；(2)指出y ＝f (x )的图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于坐标原点对称． 解析 (1)f (x )＝2sin x sin x ＋3sin x cos x ＋cos x cos x ＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＝32＋32sin2x －12cos2x ＝32＋sin(2x －π6)，∴y ＝f (x )的最小正周期T ＝π，y ＝f (x )的最大值为32＋1＝52，最小值为32－1＝12.(2)将函数f (x ) ＝32＋sin(2x －π6)的图象左移π12个单位，下移32个单位得到y ＝sin 2x 关于坐标原点对称．(附注：平移(－kπ2－π12，－32)，k ∈Z 均可)15．已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值．(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π16]上的最小值．解析 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ，所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12＝22sin(2ωx ＋π4)＋12. 由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin(2x ＋π4)＋12， 所以g (x )＝f (2x )＝22sin(4x ＋π4)＋12. 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin(4x ＋π4)≤1.因此1≤g (x )≤1＋22. 故g (x )在区间[0，π16]上的最小值为1.16．已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 2，g (x )＝12sin2x －14.(1)函数f (x )的图象可由函数g (x )的图象经过怎样的变化得出？(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最小值，并求使h (x )取得最小值的x 的集合．解析 (1)f (x )＝12cos2x ＝12sin(2x ＋π2)＝12sin2(x ＋π4)， 所以要得到f (x )的图象只需要把g (x )的图象向左平移π4个单位长度，再将所得的图象向上平移14个单位长度即可．(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin2x ＋14＝22cos(2x ＋π4)＋14. 当2x ＋π4＝2kπ＋π(k ∈Z )时，h (x )取得最小值－22＋14＝1－224. h (x )取得最小值时，对应的x 的集合为{x |x ＝kπ＋3π8，k ∈Z }． 拓展练习·自助餐1．y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 答案 －π≤a ≤02．如图是周期为2π的三角函数y ＝f (x )的图象，那么f (x )可以写成( )A ．sin(1＋x )B ．sin(－1－x )C ．sin(x －1)D ．sin(1－x ) 答案 D解析 设y ＝sin(x ＋φ)，点(1,0)为五点法作图的第三点，∴由sin(1＋φ)＝0⇒1＋φ＝π，φ＝π－1，∴y ＝sin(x ＋π－1)＝sin(1－x )．3．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.答案 9π10解析 显然2π－3π4＝5π4＝T 2⇒T ＝5π2＝2πω⇒ω＝45，将x ＝3π4代入y ＝sin(ωx ＋φ)，得45×3π4＋φ＝－π2＋2kπ，k ∈Z ，从而可得φ＝11π10＋2kπ，k ∈Z ，又φ∈[－π，π)，∴φ＝9π10.4．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝1，图象即为C ；当0<a <1时，三角函数的周期为T ＝2πa>2π，图象即为A ；当a >1时，三角函数的周期为T ＝2πa<2π，图象即为B.故选D.5．已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin (π2＋φ)(0<φ<π)，其图象过点(π6，12)．(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值．解析 (1)因为f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin(π2＋φ)(0<φ<π)，所以f (x )＝12sin 2x sin φ＋1＋cos 2x 2cos φ－12cos φ＝12sin 2x sin φ＋12cos 2x cos φ ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)， 又函数图象过点(π6，12)，所以12＝12cos(2×π6－φ)，即cos(π3－φ)＝1，又0<φ<π，所以φ＝π3.(2)由(1)知f (x )＝12cos(2x －π3)，将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，可知g (x )＝f (2x )＝12cos(4x －π3)，因为x ∈[0，π4]，所以4x ∈[0，π]，因此4x －π3∈[－π3，2π3]，故－12≤cos(4x －π3)≤1.所以y ＝g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值分别为12和－14.。