高三数学集合复习资料大全

第一节集合考纲下载1．了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7．能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1．元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集及其符号表示2.集合间的基本关系BAB 3.集合的基本运算4.集合的运算性质(1)A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ； (2)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅； (3)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ；(4)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .1．集合A ＝{x |x 2＝0}，B ＝{x |y ＝x 2}，C ＝{y |y ＝x 2}，D ＝{(x ，y )|y ＝x 2}相同吗？它们的元素分别是什么？提示：这4个集合互不相同，A 是以方程x 2＝0的解为元素的集合，即A ＝{0}；B 是函数y ＝x 2的定义域，即B ＝R ；C 是函数y ＝x 2的值域，即C ＝{y |y ≥0}；D 是抛物线y ＝x 2上的点组成的集合．2．集合∅，{0}，{∅}中有元素吗？∅与{0}是同一个集合吗？提示：∅是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{∅}是含有一个元素∅的集合．∅与{0}不是同一个集合．3．对于集合A，B，若A∩B＝A∪B，则A，B有什么关系？提示：A＝B.假设A≠B，则A∩B A∪B，与A∩B＝A∪B矛盾，故A＝B.4．A∩B＝∅的充要条件是A＝B＝∅吗？提示：不是．A＝B＝∅⇒A∩B＝∅；A∩B＝∅⇒/ A＝B＝∅.5．若A中含有n个元素，则A有多少个子集？多少个真子集？提示：有2n个子集，2n－1个真子集．1．(A.广东高考)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝( ) A．{0,1} B．{－1,0,2}C．{－1,0,1,2} D．{－1,0,1}解析：选C M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}．2．(A.北京高考)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0} B．{0,1}C．{0,2} D．{0,1,2}解析：选C ∵A＝{x|x2－2x＝0}＝{0,2}，∴A∩B＝{0,2}，故选C.3．(教材习题改编)设A＝{－1,1,5}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{5}，则实数a的值为( )A．3 B．1C．±1 D．1或3解析：选D 因为A∩B＝5，所以a＋2＝5或a2＋4＝5.当a＋2＝5时，a＝3；当a2＋4＝5时，a＝±1，又a＝－1时，B＝{1,5}，而此时A∩B＝{1,5}≠{5}，故a＝1或3.4．满足{0,1,2}A⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A的个数为________．解析：集合A除含元素0,1,2外，还至少含有3,4,5中的一个元素，所以集合A的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数，即为23－1＝7.答案：75．设集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为__________．解析：阴影部分是A∩∁R B.集合A＝{x|－4＜x＜2}，∁R B＝{x|x≥1}，所以B＝{x|1≤x＜2}．A∩∁R答案：{x|1≤x＜2}[例1] (1)(A.杭州模拟)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y ∈A}中元素的个数是( )A．1 B．3C．5 D．9(2)已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则实数a构成的集合B 的元素个数是( )A．0 B．1C．2 D．3[自主解答] (1)①当x＝0时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为0，－1，－2；②当x＝1时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为1,0，－1；③当x＝2时，y＝0,1,2，此时x－y的值分别为2,1,0.综上可知，x－y的可能取值为－2，－1,0,1,2，共5个．(2)①当a＋2＝1时，a＝－1，此时A＝{1,0,1}，不合题意，故a≠－1；②当(a＋1)2＝1时，a＝0或a＝－2.若a＝0，则A＝{2,1,3}，符合题意；若a＝－2，则A＝{0,1,1}，不符合题意；③当a2＋3a＋3＝1时，(a＋1)(a＋2)＝0，即a＝－1或a＝－2.由①②知，不符合题意．综上可知a＝0，即实数a构成的集合B只有1个元素．[答案] (1)C (2)B若将本例(1)中的集合B更换为B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B中有多少个元素？解：当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0,1,2. 故集合B ＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B 中有6个元素．解决集合的概念问题应关注两点(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．如本例(1)中集合B 中的元素为实数x －y ，在“互动探究”中，集合B 中的元素为点(x ，y )．(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．1．(A.宁波模拟)已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n )2015＝________.解析：因为M ＝N ，所以⎩⎨⎧n ＝1，log 2n ＝m 或⎩⎨⎧n ＝m ，log 2n ＝1，即⎩⎨⎧n ＝1，m ＝0或⎩⎨⎧n ＝2，m ＝2.故(m －n )2 015＝－1或0.答案：－1或02．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ax －1x －a ＜0，且2∈A,3∉A ，则实数a 的取值范围是________．解析：因为2∈A ，所以2a －12－a ＜0，即(2a －1)(a －2)＞0，解得a ＞2或a ＜12.①若3∈A ，则3a －13－a ＜0，即(3a －1)(a －3)＞0，解得a ＞3或a ＜13，所以3∉A 时，13≤a ≤3.②由①②可知，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12∪(2,3]．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12∪(2,3][例2] (1)(A.温州模拟)已知M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0或1或－1(2)已知集合A ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为________．[自主解答] (1)因为M ∩N ＝N ，所以N ⊆M .当a ＝0时，N ＝∅，M ＝{0}，满足M ∩N ＝N ；当a ≠0时，M ＝{a }，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a ，所以1a ＝a ，即a ＝±1.故实数a 的值为0，±1.图1(2)当B ＝∅时，只需2a ＞a ＋3，即a ＞3；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎨⎧a ＋3≥2a ，a ＋3＜－1图2或⎩⎨⎧a ＋3≥2a ，2a ＞4，解得a ＜－4或2＜a ≤3.综上可得，实数a 的取值范围为(－∞，－4)∪(2，＋∞)． [答案] (1)D (2)(－∞，－4)∪(2，＋∞)根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性；若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到.1．(A.台州模拟)A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则实数a的取值范围是( )A．{a|a≥2} B．{a|a＞2}C．{a|a≥1} D．{a|a≤1}解析：选A 借助数轴可知a≥2，故选A.2．若集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0，x∈R}，集合B＝{1,2}，且A⊆B，则实数a的取值范围是________．解析：①若A＝∅，则Δ＝a2－4＜0，解得－2＜a＜2；②若1∈A，则12＋a＋1＝0，解得a＝－2，此时A＝{1}，符合题意；③若2∈A，则22＋2a＋1＝0，解得a＝－52，此时A＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2，12，不合题意．综上所述，实数a的取值范围为[－2,2)．答案：[－2,2)1．有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为低档题．2．高考对集合运算的考查主要有以下几个命题角度：(1)离散型数集间的交、并、补运算；(2)连续型数集间的交、并、补运算；(3)已知集合的运算结果求集合；(4)已知集合的运算结果求参数的值(或参数的取值范围)．[例3] (1)(A.浙江高考)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝( )A．∅ B．{2} C．{5} D．{2,5}(2)(B.浙江高考)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁R S)∪T＝( )A．(－2,1] B．(－∞，－4]C．(－∞，1] D．[1，＋∞)(3)(A.山东高考)设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}，则A ∩B＝( )A．[0,2] B．(1,3) C．[1,3) D．(1,4)(4)(A.重庆高考)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A)∩B＝________.[自主解答] (1)由题意知U＝{x∈N|x≥2}，A＝{x∈N|x≥5}，所以∁U A ＝{x∈N|2≤x＜5}＝{2}．故选B.(2)∁R S＝{x|x≤－2}，又T＝{x|－4≤x≤1}，故(∁RS)∪T＝{x|x≤1}．(3)|x－1|<2⇔－2<x－1<2，故－1<x<3，即集合A＝(－1,3)．根据指数函数的性质，可得集合B＝[1,4]．所以A∩B＝[1,3)．(4)依题意得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，∁U A＝{4,6,7,9,10}，(∁U A)∩B＝{7,9}．[答案] (1)B (2)C (3)C (4){7,9}集合运算问题的常见类型及解题策略(1)离散型数集或抽象集合间的运算．常借助Venn图求解．(2)连续型数集的运算．常借助数轴求解．(3)已知集合的运算结果求集合．借助数轴或Venn图求解．(4)根据集合运算求参数．先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．1．(A.丽水模拟)已知集合M ＝{－1，0,1}，N ＝{0,1,2}，则如图所示的Venn 图中的阴影部分所表示的集合为( )A ．{0,1}B ．{－1,0,1}C ．{－1,2}D ．{－1,0,1,2}解析：选C 由图可知，阴影部分为{x |x ∈M ∪N 且x ∉M ∩N }，又M ∪N ＝{－1,0,1,2}，M ∩N ＝{0,1}，所以{x |x ∈M ∪N 且x ∉M ∩N }＝{－1,2}．2．(A.杭州模拟)已知集合A ＝{1,2,3}，B ∩A ＝{3}，B ∪A ＝{1,2,3,4,5}，则集合B 的子集的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选C 由题意知B ＝{3,4,5}，集合B 含有3个元素，则其子集个数为23＝8.3．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，34 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ D ．(1，＋∞) 解析：选B A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－3}，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a ＞0，f (－3)＝6a ＋8＞0，根据对称性可知，要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f (2)≤0且f (3)＞0，即⎩⎨⎧4－4a －1≤0，9－6a －1＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥34，a ＜43，即34≤a ＜43. [课堂归纳——通法领悟]1组转化——集合运算与集合关系的转化在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一定的联系，在一定的情况下可以相互转化，如A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B⇔A∩(∁U B)＝∅，在解题中运用这种转化能有效地简化解题过程．2种技巧——集合的运算技巧(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．(2)两个有限集合相等，可以从两个集合中的元素相同求解，如果是两个无限集合相等，从两个集合中元素相同求解就不方便，这时就根据两个集合相等的定义求解，即如果A⊆B，B⊆A，则A ＝B.3个注意点——解决集合问题应注意的问题(1)认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．(2)注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．(3)防范空集．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．前沿热点(一)以集合为载体的创新型问题1．以集合为载体的创新型问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算以及创新交汇等，此类问题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．2．解决此类问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，将其转化为熟知的基本运算求解．[典例] (B.广东高考)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}．令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是( )A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉SB．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈SC．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈SD．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S[解题指导] 先要理解新定义集合S中元素的性质：(1)x，y，z∈X；(2)x ＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立，然后根据已知集合中的两个元素(x，y，z)和(z，w，x)，分别讨论x，y，z，w之间的大小关系，进而检验元素(y，z，w)和(x，y，w)是否满足集合S的性质特征．[解析] 法一(直接法)：由(x，y，z)∈S，则有x＜y＜z，①y＜z＜x，②z＜x＜y，③三个式子中恰有一个成立；由(z，w，x)∈S，则有z＜w＜x，④w＜x＜z，⑤x＜z＜w，⑥三个式子中恰有一个成立．配对后只有四种情况：第一种，①⑤成立，此时w＜x＜y＜z，于是(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S；第二种，①⑥成立，此时x＜y＜z＜w，于是(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S；第三种，②④成立，此时y＜z＜w＜x，于是(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S；第四种，③④成立，此时z＜w＜x＜y，于是(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S.综上所述，可得(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S.法二(特殊值法)：不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w＝1，则(y，z，w)＝(3,4,1)∈S，(x，y，w)＝(2,3,1)∈S.[答案] B[名师点评] 解决本题的关键有以下两点：(1)准确理解集合S的性质：x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立，把已知集合的两个元素和要判断的两个元素中的四个数的大小关系进行分类讨论．(2)紧扣新定义集合的性质，结合不等式的性质，通过分类讨论或特殊值法，把问题转化为熟悉的知识进行求解．有限集合的元素可以一一数出来，无限集合的元素虽然不能数尽，但是可以比较两个集合元素个数的多少．例如，对于集合A＝{1,2,3，…，n，…}与B＝{2,4,6，…，2n ，…}，我们可以设计一种方法得出A 与B 的元素个数一样多的结论．类似地，给出下列4组集合：①A ＝{1,2,3，…，n ，…}与B ＝{31,32,33，…，3n ，…}；②A ＝(0,2]与B ＝[－3，＋∞)；③A ＝[0,1]与B ＝[0,3]；④A ＝{x |－1≤x ≤3}与B ＝{x |x ＝－8或0＜x ≤10}．其中，元素个数一样多的有( )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组解析：选D 可利用函数的概念将问题转化为判断是否能构造出一个函数，使得其定义域与值域分别是条件中所给的两个集合．①y ＝3x (x ∈N *)；②y ＝1x －72(0＜x ≤2)；③y ＝3x (0≤x ≤1)；④y ＝⎩⎨⎧ －8，x ＝－1，x ＋1，－1＜x ≤0，x 2＋1，0＜x ≤3.综上，元素个数一样多的有4组．[全盘巩固]1．(A.新课标全国卷Ⅱ)设集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝( )A ．{1}B ．{2}C ．{0,1}D ．{1,2}解析：选D N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{0,1,2}，所以M ∩N ＝{1,2}．2．已知集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{2,3}，B ＝{2,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{2,4,6}B ．{1,3,5}C ．{2,6}D ．{1,6}解析：选D 图中阴影部分表示的集合为∁U (A ∪B )．因为A ∪B ＝{2,3,4,5}，U ＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U (A ∪B )＝{1,6}．3．已知集合A ＝{1,2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12，则A ∪B ＝( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12，1，2 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12，－1 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12，1 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12，1，－1 解析：选D 由A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12，得2a ＝12，解得a ＝－1，从而b ＝12.所以A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，12，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，12，则A ∪B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12，1，－1. 4．(A.舟山模拟)已知集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}．则A ∩∁R B ＝( )A ．[－3,2]B ．[－2,0)∪(0,3]C ．[－3,0]D ．[－3,0)解析：选D 集合A ＝[－3,2]，集合B ＝[0,2]，∁R B ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，所以A ∩∁R B ＝[－3,0)．5．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}．若B ∩A ＝B ，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－1B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32 C ．(－∞，－1] D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ 解析：选C 因为B ∩A ＝B ，所以B ⊆A .(1)当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32； (2)当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎨⎧ －a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32＜a ≤－1.由(1)(2)可知，a 的取值范围为(－∞，－1]． 6．(A.丽水模拟)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{5,6,7}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈B }，则集合C 中所含元素的个数为( )A ．5B ．6C ．12D ．13解析：选D 当x ＝5∈A ，y ＝1∈A ，则x ＋y ＝5＋1＝6∈B ，即点(5,1)∈C ；同理，(5,2)∈C ，(4,1)∈C ，(4,2)∈C ，(4,3)∈C ，(3,2)∈C ，(3,3)∈C ，(3,4)∈C ，(2,3)∈C ，(2,4)∈C ，(2,5)∈C ，(1,4)∈C ，(1,5)∈C .所以C 中所含元素的个数为13.7．若1∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a －3，9a 2－1，a 2＋1，－1，则实数a 的值为________．解析：若a －3＝1，则a ＝4，此时9a 2－1＝a 2＋1＝17，不符合集合中元素的互异性；若9a 2－1＝1，则a ＝49，符合条件；若a 2＋1＝1，则a ＝0，此时9a 2－1＝－1，不符合集合中元素的互异性．综上可知a ＝49. 答案：498．设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数是________．解析：由题意知，集合S 中至少含有4,5,6中的一个，故集合S 的个数为26－23＝64－8＝56.答案：569．设A 、B 是两个非空集合，定义运算A ×B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ＞0}，则A ×B ＝________________.解析：由题意得A ＝{x |2x －x 2≥0}＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＞1}．所以A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝(1,2]，所以A ×B ＝[0,1]∪(2，＋∞)．答案：[0,1]∪(2，＋∞)10．(A.绍兴模拟)已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5，1－a,9}，分别求出适合下列条件的a 的值．(1)9∈(A ∩B )；(2){9}＝A ∩B .解：(1)∵9∈(A ∩B )，∴9∈A 且9∈B ，∴2a －1＝9或a 2＝9.∴a ＝5或a ＝－3或a ＝3.经检验a ＝5或a ＝－3符合题意．∴a ＝5或a ＝－3.(2)∵{9}＝A ∩B ，∴9∈A 且9∈B ，由(1)知a ＝5或a ＝－3.当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}，此时A ∩B ＝{9}；当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4，9}，此时A ∩B ＝{－4,9}，不合题意．综上知a ＝－3.11．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎨⎧ m －2＝0，m ＋2≥3，∴m ＝2.(2)由(1)知：∁R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}，∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1，即m ＞5或m ＜－3.因此实数m 的取值范围是{m |m ＞5或m ＜－3}．12．设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}．(1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若B ∪A＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}，∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}，∴(∁I M )∩N ＝{2}．(2)由(1)知A ＝(∁I M )∩N ＝{2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{2}，当B ＝∅时，a －1>5－a ，∴a >3；当B ＝{2}时，⎩⎨⎧ a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3，综上所述，实数a 的取值范围为{a |a ≥3}．[冲击名校]1．(A.台州模拟)用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义A *B ＝⎩⎨⎧ C A C B C A C B C B C A C A C B 若A ＝{1,2}，B ＝{x |(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值构成的集合是S ，则C (S )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选B 由A ＝{1,2}，得C (A )＝2，由A *B ＝1，得C (B )＝1或C (B )＝3.由(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0，得x 2＋ax ＝0或x 2＋ax ＋2＝0.当C (B )＝1时，方程(x 2＋ax )·(x 2＋ax ＋2)＝0只有实根x ＝0，这时a ＝0.当C (B )＝3时，必有a ≠0，这时x 2＋ax ＝0有两个不相等的实根x 1＝0，x 2＝－a ，方程x 2＋ax ＋2＝0必有两个相等的实根，且异于x 1＝0，x 2＝－a ，由Δ＝a 2－8＝0，得a ＝±22，可验证均满足题意，故S ＝{－22，0,22}，C (S )＝3.2．(A.金华模拟)已知集合M 为点集，记性质P 为“对∀(x ，y )∈M ，k ∈(0,1)，均有(kx ，ky )∈M ”．给出下列集合：①{(x ，y )|x 2≥y }；②{(x ，y )|2x 2＋y 2＜1}；③{(x ，y )|x 2＋y 2＋x ＋2y ＝0}；④{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}．其中具有性质P 的点集的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 对于①：取k ＝12，点(1,1)∈{(x ，y )|x 2≥y }，但⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12∉{(x ，y )|x 2≥y }，故①是不具有性质P 的点集．对于②：∀(x ，y )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2＜1}，则点{x ，y }在椭圆2x 2＋y 2＝1内部，所以对0＜k ＜1，点(kx ，ky )也在椭圆2x 2＋y 2＝1的内部，即(kx ，ky )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2＜1}，故②是具有性质P 的点集．对于③：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝54，点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12在此圆上，但点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－14不在此圆上，故③是不具有性质P 的点集．对于④：∀(x ，y )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，对于k ∈(0,1)，因为(kx )3＋(ky )3－(kx )2·(ky )＝0⇒x 3＋y 3－x 2y ＝0，所以(kx ，ky )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，故④是具有性质P 的点集．综上，具有性质P 的点集的个数为。

高中数学第一章-集合考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．§01. 集合与简易逻辑 知识要点一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾：（一）集合1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为；②空集是任何集合的子集，记为；③空集是任何非空集合的真子集；如果，同时，那么A = B.如果.[注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=，则C s A= {0}）A A ⊆A ⊆φB A ⊆A B ⊆C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，+N③空集的补集是全集.④若集合A=集合B，则C B A=，C A B =C S（C A B）=D（注：C A B =）.3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R二、四象限的点集.③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集.[注]：①对方程组解的集合应是点集.例：解的集合{(2，1)}.②点集与数集的交集是. （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A∩B =）4. ①n个元素的子集有2n个. ②n个元素的真子集有2n－1个. ③n个元素的非空真子集有2n－2个.5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题逆命题.②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题.例：①若应是真命题.，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.②.1或y = 2.,故是的既不是充分，又不是必要条件.⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.3.例：若.4.集合运算：交、并、补.5.主要性质和运算律（1）包含关系：（2）等价关系：（3）集合的运算律：交换律：结合律:分配律:.∅∅∅}⎩⎨⎧=-=+1323yxyxφ∅⇔⇔325≠≠≠+baba或，则且1≠x3≠y1≠∴yx且3≠+yx21≠≠yx且255xxx或，⇒{|,}{|}{,}A B x x A x BA B x x A x BA x U x A⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U交：且并：或补：且C,,,,,;,;,.UA A A A U A UA B B C A C A B A A B B A B A A B B⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇CUA B A B A A B B A B U⊆⇔=⇔=⇔=C.;ABBAABBA==)()();()(CBACBACBACBA==)()()();()()(CABACBACABACBA==0-1律：等幂律：求补律：A∩C U A=φA∪C U A=U C U U=φ C Uφ=U反演律：C U(A∩B)= (C U A)∪(C U B) C U(A∪B)= (C U A)∩(C U B)6.有限集的元素个数定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.基本公式：(3) card( U A)= card(U)- card(A)(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根轴法（零点分段法）①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-x m)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.（自右向左正负相间）则不等式的解可以根据各区间的符号确定.特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的讨论.>∆0=∆0<∆二次函数cbxaxy++=2（0>a）的图象,,,A A A U A A U A UΦ=ΦΦ===.,AAAAAA==(1)()()()()(2)()()()()()()()()card A B card A card B card A Bcard A B C card A card B card Ccard A B card B C card C Acard A B C=+-=++---+x)0)((002211><>++++--aaxaxaxa nnnn原命题若p 则q否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互一元二次方程()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ∅∅2.分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为>0(或<0)； ≥0(或≤0)的形式，（2）转化为整式不等式（组）3.含绝对值不等式的解法（1）公式法：,与型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.4.一元二次方程根的分布一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.（三）简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。

高三理数知识点归纳总结一、集合与逻辑1. 集合的概念与表示方法集合是由若干个确定的元素所组成的整体。

集合通常用大写字母表示，元素用小写字母表示，并用大括号{}表示集合的结构。

例如，集合A={1,2,3,4,5}表示A是由1、2、3、4、5这几个元素组成的集合。

2. 集合运算（1）并集：若A和B是两个集合，则A和B的并集表示为A∪B，它包括A和B的所有元素。

（2）交集：若A和B是两个集合，则A和B的交集表示为A∩B，它包括A和B共有的元素。

（3）差集：若A和B是两个集合，则A和B的差集表示为A-B，它包括属于A但不属于B的元素。

3. 命题与命题的逻辑连接命题是陈述句，其真假可以确定。

逻辑连接包括合取（命题p且命题q）、析取（命题p 或命题q）、非命题（非p）和蕴含（若p则q）。

4. 命题的等价式（1）合取式的等价式：p∨q≡¬(¬p∧¬q)（2）析取式的等价式：p∧q≡¬(¬p∨¬q)（3）非命题的等价式：¬(p∧q)≡¬p∨¬q（4）蕴含式的等价式：p→q≡¬p∨q5. 命题的推理命题的推理包括假言推理、三段论、析状前提、假言三段论等。

二、整式与多项式1. 整式整式是由自然数、整数、有理数字和字母（代表数）及它们相乘、相除、相加后所得的代数式。

2. 多项式多项式是由有理数字及字母的幂相乘相加而得到的代数式。

多项式的幂必须为自然数。

3. 多项式的运算（1）多项式的加法与减法多项式的加法就是将同类项相加，减法就是将同类项相减。

（2）多项式的乘法多项式的乘法是用分配律和乘法结合律进行的。

（3）多项式的除法多项式的除法是用多项式除以单项式或多项式的长除法进行的。

4. 多项式的因式分解多项式的因式分解就是把一个多项式表示成几个因式相乘的形式。

5. 多项式方程多项式方程就是含有未知数的多项式等式。

三、函数1. 函数的概念设A、B是非空集合，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的每一个元素x，都对应唯一确定的一个元素y∈B，那么称f为从A到B的一个函数，记作y=f(x)。

高三数学知识点全集一、集合与函数1. 集合的表示与性质集合的定义、集合的表示方法、集合的性质等。

2. 集合的运算交集、并集、补集和差集等基本运算，以及运算法则。

3. 函数与映射函数的定义、函数的表示方法、函数的性质等。

二、数列与数列的极限1. 数列的概念与性质数列的定义、通项公式、等差数列、等比数列等概念和性质。

2. 数列的求和等差数列的求和公式、等比数列的求和公式等。

3. 数列极限的概念与性质数列极限的定义、数列极限的性质及运算法则等。

三、函数的极限与连续性1. 函数极限的概念与性质函数极限的定义、性质以及函数极限的运算法则等。

2. 函数连续性的概念与性质函数连续性的定义、连续函数的性质、间断点等。

3. 函数的导数与微分函数导数的定义、导数的性质、常见函数的导数等。

四、导数与其应用1. 导函数的性质与运算导函数的定义、常见函数的导函数、导函数的性质及运算法则等。

2. 高阶导数与高阶导数的应用高阶导数的概念及性质、高阶导数在曲线研究中的应用等。

3. 函数的求导公式与高阶导数常见函数的求导公式、复合函数的求导、隐函数的求导等方法。

五、概率与统计1. 概率的基本概念与性质概率的定义、基本概率规则、加法定理、乘法定理等。

2. 随机变量及其分布随机变量的定义、离散随机变量、连续随机变量、分布函数等。

3. 统计与抽样统计的基本概念、抽样的方法与意义、样本调查等。

六、空间几何与立体几何1. 空间几何图形的性质点、线、面的基本概念和性质，空间几何图形的分类与特征等。

2. 空间几何与向量空间向量的定义、向量的运算法则、向量的数量积与向量的垂直、向量的平行等。

3. 空间几何与平面几何的关系点与直线的位置关系、平面与直线的位置关系等。

七、三角函数与平面向量1. 三角函数的定义与性质正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数的定义与性质。

2. 三角函数的基本公式与解法三角函数的基本公式、解三角方程等方法。

3. 平面向量的基本概念与性质向量的概念、向量的性质、向量的运算法则等。

知识点总结1 集合与简易逻辑一、集合(一)元素与集合1.集合的含义某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．2.集合元素的特征(1)确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．(2)互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．(3)无序性：集合与其组成元素的顺序无关．3.元素与集合的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作a A ∈)和不属于(记作a A ∉)两种．4.集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图)．5.常用数集的表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集符号 NN ∗或N + Z Q R (二)集合间的基本关系1.集合A 为集合B 的子集 ，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.(2)真子集：若A B ⊆，且存在b B ∈，但b A ∉，则集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B A ⊃≠）. 读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.(3)相等：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，同时B A ⊆，那么集合A 与B 相等，记作A =B ．(4)空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；(三)集合的基本运算(1)交集：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ⋂， 即{}|A B x x A x B ⋂=∈∈且．(2) 并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A B ⋃，(3) 即{}|A B x x A x B ⋃=∈∈或．(3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且．(四)集合的运算性质(1)集合的运算性质：①交换律：A ∪B ＝B ∪A ；A ∩B ＝B ∩A ；②结合律：(A ∪B )∪C ＝A ∪(B ∪C )；(A ∩B )∩C ＝A ∩(B ∩C )；③分配律：(A ∩B )∪C ＝(A ∪C )∩(B ∪C )；(A ∪B )∩C ＝(A ∩C )∪(B ∩C )；【集合常用结论】1.子集个数：含有n个元素的有限集合M，其子集个数为2n；其真子集个数为2n－1；其非空子集个数为2n－1；其非空真子集个数为2n－2.2. 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；4.A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝B⇔B⊆A.5.集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解.二、简易逻辑(一).全称命题、特称(存在性)命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为特称(存在性)命题：¬p：∃x0∈M，¬p(x0).(2)特称(存在性)命题p：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题：¬p：∀x∈M，¬p(x).(二).充分条件与必要条件的判定方法(1)定义法：若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件).(2)集合法：利用集合间的包含关系。

高三数学集合复习资料大全第1讲集合一．【课标要求】1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；3．集合的基本运算（1（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn二．【命题走向】的直观性，注意运用Venn预测2010题的表达之中，相对独立。

具体题型估计为：（1）题型是1个选择题或1（2三．【要点精讲】1（1a的元素，记作aA；若b不是集合A的元素，记作bA；（2确定性：设x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R。

2．集合的包含关系：（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B 包含A），记作AB（或AB）；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

若AB且BA，则称A等于B，记作A=B；若AB且A≠B，则称A是B的真子集，记作A B；（2）简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A 有2n个子集（其中2n－1个真子集）；3．全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；（2）若S是一个集合，AS，则，CS={x|xS且xA}称SA的补集；（3）简单性质：1）CS(CS)=A；2）CSS=，CS=S4．交集与并集：（1）一般地，由属于集合A且属于集合BA与B的交集。

高考数学必考知识点归纳一、集合与函数1.集合o表示法：列举法、描述法、图示法（韦恩图）。

o运算：交集、并集、补集（相对于全集）。

2.函数o概念：输入与输出之间的对应关系。

o表示法：解析法、列表法、图像法。

o单调性：增函数、减函数。

o奇偶性：奇函数、偶函数、非奇非偶函数。

二、数列1.定义与表示o数列的定义：按一定顺序排列的一列数。

o表示法：通项公式、递推公式。

2.等差数列o定义、通项公式、前n项和公式。

o性质：中项性质、等差中项。

3.等比数列o定义、通项公式、前n项和公式（注意公比不为1的情况）。

o性质：中项性质、等比中项。

4.数列求和o倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法等。

5.数列的极限o数列极限的概念、性质及简单计算。

三、三角函数1.基本概念o角度与弧度制、三角函数定义（正弦、余弦、正切）。

2.诱导公式o角度加减变换公式。

3.同角关系式o基本恒等式、平方关系、商数关系。

4.性质o周期性、奇偶性、单调性、有界性。

5.图像与性质o各三角函数图像特征、相位变换、振幅变换。

6.三角恒等变换o和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式。

7.解三角形o正弦定理、余弦定理、面积公式、海伦公式。

四、向量1.基本概念o向量的模、方向、坐标表示。

2.运算o加法、减法、数乘、数量积（点积）、向量积（叉积）。

o模长与夹角的关系、平行与垂直的条件。

五、解析几何1.直线o方程：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式。

o斜率：定义、公式、倾斜角。

o位置关系：平行、垂直的条件。

2.圆o方程：标准方程、一般方程。

o性质：圆心、半径、切线、弦的性质（如相交弦定理）。

3.圆锥曲线o椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、性质。

六、立体几何1.空间位置关系o直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系。

2.几何体o柱体、锥体、球体等的结构特征及表面积、体积公式。

3.三视图o正视图、侧视图、俯视图及其绘制方法。

七、不等式1.性质o基本性质、传递性、可加性、可乘性（正数时）。

第一节 集合与常用逻辑用语一、集合的含义与表示1、 集合中元素的性质： 、 、 .2、 集合A 、元素a 的关系：a A 或 a A .3、 常用数集符号：正整数集： ；自然数集： ；整数集： ；有理数集： ；实数集： .4、 集合的表示方法：列举法、描述法（形式可具有多样性）、图示法（一种解题工具或方法，常用的有数轴和韦恩图）、区间法（可用于表示某些数集）. 二、集合间的基本关系 1、集合A 与集合B 的关系①子集：若x A ∀∈，都有x B ∈，则记为 .规定：空集（∅）是任何集合的 . ②集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等.③真子集： 如果集合B A ⊆，但x B ∃∈，且A x ∉，则记为 ，等价于B A ⊆且 . 空集（∅）是任何非空集合的 .2、若集合A 有(1)n n ≥个元素，则集合A 的所有子集个数为 ，所有真子集的个数为 ，所有非空子集的个数为 ，所有非空真子集的个数为 . 三、集合间的基本运算1、交集：{},x x A x B ∈∈且，记作： ，韦恩图： . 2、并集：{},x x A x B ∈∈或，记作： ，韦恩图： . 3、补集：{},x x U x A ∈∉且，记作： ，韦恩图： . 四、充要条件的判断：p q ⇒，p 是q 的 条件，q 是p 的 条件；q p ⇒，p 是q 的 条件，q 是p 的 条件；p q ⇔，,p q 互为 条件.若命题p 对应集合A ，命题q 对应集合B ，则p q ⇒等价于 ，p q ⇔等价于 . 注意区分：“甲是乙的充分条件（甲⇒乙）”与“甲的充分条件是乙（乙⇒甲）”； 五、全称量词与存在量词：1、全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用∀表示；全称量词命题p ：)(,x p M x ∈∀；全称量词命题p 的否定p ¬： ； 2、存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用∃表示；存在量词命题p ：)(,x p M x ∈∃；存在量词命题p 的否定p ¬： .第二节不等式一、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式1、二次函数cbxaxy++=2（a≠0）的图象的对称轴方程是，顶点坐标是；判别式acb42−=∆；0>∆时，图象与x轴有个交点；0=∆时，图象与x轴有个交点；<∆时，图象与x轴交点.2、韦达定理：若21,xx是一元二次方程)0(02≠=++acbxax的两个根（前提：0≥∆），则=+21xx，=21xx，=−21xx.二、不等式的性质1、传递性：,a b b c>>⇒；2、对称性：a b b a>⇔<；3、可加性：a b a c b c>⇔+>+；4、同向可加性：,a b c d>>⇒；5、可乘性:,0a b c>>⇒；,0a b c>=⇒；,0a b c><⇒；6、同正同向可乘性：0,0a b c d>>>>⇒；7、正数的可乘方、可开放性：*0,a b n N>>∈⇒，；8、倒数性：11,0aba b>>⇒；11,0aba b><⇒.三、基本不等式1、重要不等式：,a b R∈，，当且仅当时，等号成立.2、基本不等式：,a b，2a b+≥，当且仅当时，等号成立.>∆0=∆0<∆二次函数2(0)y ax bx c a++>的图象一元二次方程的根20(0)ax bx c a++=>的解集)0(2>>++acbxax的解集)0(2><++acbxax其中，2a b+称为,a b 的称为,a b 的 平均数. 常用变形：a b + （前提：,0a b >，取等条件：当且仅当 时，等号成立） ab （,a b R ∈，取等条件：当且仅当 时，等号成立） 记忆口诀：一正．二定．三相等．．口诀解读：正．是前提，在正的条件下才能使用基本不等式，因此使用前先看“,a b ”是否满足大于0；定．是关键，构造出“和”或“积”为定值，或者利用已知的定值构造出所求形式，“积”定“和”最小，“和”定“积”最大；相等．．是要检验能否取得最值，尤其是用了两次不等式时，要看两次的取等条件是否一致. 3、常用不等式链： 4、应用基本不等式求最值：已知y x ,都是正数，则有：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当==y x 时，和y x +有最小值 ； (2)如果和y x +是定值s ，那么当且仅当==y x 时，积xy 有最大值 . 5、对勾函数()0,0by ax a b x=+>>的图像，画出下列函数图象.第三节 函数与导数一、函数的性质 1、单调性（1）增函数：定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有 ，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；减函数：定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有 ，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数； 注意：求单调性和求单调区间答法不同 .（2）定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，且12x x ≠，那么：（填“增”、“减”）()()()12120x x f x f x −−> ⇔()()12120f x f x x x −>−⇔()f x 在区间D 上是 函数； ()()()12120x x f x f x −−< ⇔()()12120f x f x x x −<−⇔()f x 在区间D 上是 函数；（3）如果0)(>′x f ，则)(x f 为 函数；0)(<′x f ，则)(x f 为 函数； （4）复合函数的单调性：根据“同 异 ”来判断原函数在其定义域内的单调性.（5）常用性质：增＋增＝ ，减＋减＝ ，增－减＝ ，减－增＝ ，增＋减＝ ． 2、偶函数：对于函数()x f 的定义域内任意．．一个x ，都有 ，那么就称函数()x f 为偶函数，偶函数图象关于 对称.奇函数：对于函数()x f 的定义域内任意．．一个x ，都有 ，那么就称函数()x f 为奇函数，奇函数图象关于 对称.注：要判断函数的奇偶性先判断定义域是否关于 对称； 常用性质：①()f x 为奇函数且在0x =处有定义，则(0)f = ；②()f x 为偶函数，则()()()f x f x fx =−=；③在关于原点对称的单调区间内：奇函数有 的单调性，偶函数有 的单调性；④奇±奇＝ ，偶±偶＝ ，奇±偶＝ ，奇×奇＝ ，偶×偶＝ ，奇×偶＝ ． 3、函数的周期性与对称性（1）若函数()x f y =在定义域内都有()()x b f a x f +=+成立，则()x f 是周期函数，周期T = ； （2）若函数()x f y =在定义域内都有()()x f a x f −=+或()()x f a x f 1=+或()()x f a x f 1−=+成立，则()x f 是周期函数，周期T = ；（3）若函数()x f y =在定义域内都有()()x b f a x f −=+成立，则()x f 关于 对称； （4）若函数()x f y =在定义域内都有()()c x b f a x f =−++成立，则()x f 关于 对称； 二、指对数的运算1、当n = ；当n = .2、根式与分数指数幂的互化()1,,,0*>∈>m N n m a ①nma= ；②n ma−= .3、运算性质：(),0,,a b r s Q >∈ ①rsa a = ；②rsa a ÷= ；③()sr a= ；④()rab = .4、指数式与对数式的互化：x a N =⇔ (0,1,0)a a N >≠>．5、几个重要的对数恒等式 log 1a = ，log a a = ，log ba a = ，log a ba = ．6、两种特殊对数：常用对数： ，即10log N ；自然对数： ，即log e N （其中 2.71828e =…）． 7、对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么：①log log a a M N +=；② log log a a M N −= ；③log n a M = ()n R ∈； ④换底公式：log a b = (01,b 0,01)a a c c >≠>>≠且且， 推论：log log a b b a ⋅= ，即log a b = ；log m na b = ． 三、基本初等函数 1、指数函数及其性质2、对数函数及其性质定义函数 (0a >且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域、值域、定点定义域： ，值域： ，必过点单调性a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越往右3、幂函数（1）幂函数的定义：一般地，函数y = 叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数，R α∈．（2）图象（五个典型的幂函数：y x =，2y x =，3y x =，1y x=，y =），在下列图象中标出对应函数 （3）幂函数的性质①图象必过第一象限，必不过第四象限，一定过点 ； ②单调性：α ，y x α=在()0,+∞上单调递增； α ，y x α=在()0,+∞上单调递减.③奇偶性：α=奇数或α=奇数奇数时，y x α=为 函数； t α=偶数或α=偶数奇数时，y x α=为 函数；α=奇数偶数时，y x α=为 函数．四、方程的根与函数的零点1、函数的零点：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点． 注意：函数的零点不是 ．2、函数)(x f y =的零点⇔方程0)(=x f 的实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴交点的 ．3、零点存在性定理：如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是 的一条曲线，并且满足 ，则函数()x f y =在区间()b a ,内有零点，即()b a x ,0∈∃，使得()00=x f ，这个0x 也就是方程()0=x f 的根．4、函数零点个数的常用方法：①（代数法）求方程 的实数根，有几个解则有几个零点；②（数形结合法）将0)(=x f 移项转化为()()g x h x =，画出 和 的图象，有几个交点则函数)(x f 有几个零点． 五、函数的图象图象的变换：（在箭头上填写．．．．．．图象．．是如何变换的．．．．．．，下列0a >） （1）图象的平移:()y f x =()y f x a +；(y f x =()y f x a +；（2）图象的伸缩(y f x =()y f ax =；（3）图象的翻折：(y f x=()y f x =；()y f x =()y fx =；（4）图象的对称：(y f x =()y f x =−；(y f x =()y f x =−；()y f x =()y f x =−−；y x x y a ==← →关于对称.六、导数1、平均变化率：()y f x =从1x 到2x 的平均变化率定义式：()()2121f x f x x x −−.2、导数（瞬时变化率）（1）定义式：()00'|x x f x y ===()()000lim x f x x f x x∆→+∆−∆，（2）几何意义： . 曲线的切线方程：函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率为 ， 相应的切线方程是 .练习：求函数x y e =在0x =处的切线方程 ，所以1xe x ≥+，可用于放缩证明不等式；求函数ln y x =在1x =处的切线方程 ，所以ln 1x x ≤−，可用于放缩证明不等式． 3、基本初等函数的导数公式 ()()'f x g x ±= ，()()'f x g x ⋅=，()'c f x ⋅= ，()()'f x g x=． 5、复合函数的求导公式（1）定义：一般形式()()y f g x =，可分解为()y f u =和()u g x =，（2）求导法则：'x y = 6、导数与函数的单调性：在某区间[],a b 上，()'0f x >（()'0f x <）是()f x 在[],a b 上单调递增（减）的 条件， 在某区间[],a b 上，()'0f x ≥（()'0f x ≤）是()f x 在[],a b 上单调递增（减）的 条件 （填：“充要”、 “充分不必要”、 “必要不充分或既不充分也不必要”）；即：在某区间[],a b 上， ⇒()f x 在[],a b 上单调递增⇒在某区间[],a b 上， ． 导函数()'f x 的正负可以反映原函数()y f x =的增减，()'f x 的大小还能体现原函数()y f x =的变化快慢，()'f x 的值从 到 ，则()y f x =的图象从“平缓”到“陡峭”（反之同理）． 7、导数与函数的极值： （注意：函数的极值点不是 ．）()0'0f x =，且0x 左边()'0f x <，0x 右边()'0f x >，则0x 是()y f x =的 ，()0f x 是()y f x =的 ；()0'0f x =，且0x 左边()'0f x >，0x 右边()'0f x <，则0x 是()y f x =的 ，()0f x 是()y f x =的 ．()0'0f x =是0x 为()y f x =的极值点的 条件．8、画出常见函数大致的走势图一、弧度制1、角度与弧度的转化：360°= rad ，180°= rad ，1°= rad ，1rad= ≈ .2、扇形的弧长l = ，面积S = = ，周长C = （圆心角的弧度为α，半径为r ） 二、三角函数1、角α终边上任意一点(),P x y ，则sin α= ，cos α= ，tan α= . 特别的：角α终边与单位圆交于点(),P x y ，则sin α= ，cos α= ，tan α= .2、三角函数值在各象限的符号：sin α cos α tan α3、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）、变名公式（变名公式就是诱导公式的逆用）sin cos 2παα = ，cos sin 2παα=（填“+”或“−”）. 4、同角三角函数的关系①平方关系： ，商数关系： ；②()2sin cos αα±= ，()()22sin cos sin cos αααα++−= ； ③应用：“1”的妙用，弦切互化，齐次式（同除cosnα弦化切）：（用tan α表示 ） sin cos αα⋅=，2sin α= ，2cos α= ； 三、三角恒等变换 1、两角和差公式：()sin αβ±= ，()cos αβ±= ，()tan αβ±= .2、二倍角公式：sin 2α= ，cos 2α= = = ，tan 2α= .3、降幂公式（由二倍角公式推导而来）sin cos αα⋅= ，2sin α= ，2cos α= .4、辅助角公式：sin cos a x b x ωω+= （其中sin ϕ= ，cos ϕ= ，tan ϕ= ）. 四、三角函数的图像及性质1、三角函数的图像及性质（以下k ∈Z ）函数sin y x =cos y x =tan y x =图像定义域 值域 奇偶性 最小正周期 单调性 对称轴 对称中心2、利用图像记忆特殊的三角函数值：角α 0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°弧度αsinαcos αtan3、函数()sin yA xB ωϕ++()0,0A ω>>的图象及性质：（1）五点作图法（列表，描点),(x ，连线）（2）函数()sin yA xB ωϕ++()0,0A ω>>的性质：①x R ∈时，最值：()sin yA xB ωϕ++的最大值为 ，最小值为 ；②周期性：最小正周期T = （ω指的是x 的 ）； ③奇偶性：0B =时，当ϕ= 时，()sin yA x ωϕ+为奇函数；当ϕ= 时，()sin yA x ωϕ+为偶函数；④单调性： 求()sin yA xB ωϕ++的单调增区间，将x ωϕ+代入正弦函数的单调增区间，即： x ωϕ≤+≤ ()k Z ∈，解出的x 的区间就是函数的()sin y A x B ωϕ++的单调增区间；求()sin yA xB ωϕ++的单调减区间，将x ωϕ+代入正弦函数的单调减区间，即： x ωϕ≤+≤ ()k Z ∈，解出的x 的区间就是函数的()sin y A x B ωϕ++的单调减区间；注意：若0,0A ω><，乘以负数单调性相反，求单调区间时，反着代入. ⑤对称性：求()sin y A x B ωϕ++的对称轴，令x ωϕ+= 解出x ，则对称轴为 ；求()sin yA xB ωϕ++的对称中心，令x ωϕ+= 解出x ，则对称中心为 . 4、三角函数的图像平移伸缩变换： ①左右平移（左加右减）：由sin y x ω=得到()sin y x ωϕ+是向左（或右）平移了 个单位；将sin y xω=向右平移m 个单位得 ；②横坐标伸缩：由sin y x =得到sin y x ω=是横坐标伸长（或缩短）为原来的 倍；将()sin y x ϕ+横坐标伸长（或缩短）为原来的ω倍得 ； ③纵坐标伸缩：由()sin yx ωϕ+得到()sin y A x ωϕ+是纵坐标伸长（或缩短）为原来的 倍；④上下平移（上加下减）：由()sin y A x ωϕ+得到()sin yA xB ωϕ++是向上（或向下）平移 个单位；五、解三角形1、正弦定理： （其中R 为ABC ∆的 圆半径，几何中有时也用到正弦定理）. 变形：①边化正弦：a = ，b = ，c = ； ②正弦化边：sin A = ，sin B = ，sin C = ； ③2sin sin sin sin sin sin sin sin ab c a b a b c R A B C A B A B C+++=====+++ 2、余弦定理：2a = ，常见变形：()22a b c =+− , 余弦定理的推论：cos A = .3、面积公式：S = = = .4、诱导公式在三角形中的应用（利用内角和A B C π++=和诱导公式）： ()sin A B +=()sin sin C C π−=，()cos A B +=，()tan A B += ， sin2A B+= ，cos2A B += . 5、正弦定理可用于解已知什么条件的三角形：①已知两角及任意一边 ；（已知两角等价于已知三个角，利用内角和为180°）②已知两边及一边的对角； 余弦定理可用于解已知什么条件的三角形：①已知三条边 ；②已知两边及其夹角 ；③已知两边及一边的对角 ；（由②③可知已知两边及任意一角都可以用余弦定理来解三角形，先求出第三边，用哪个余弦定理是由已知的角决定的）第五节 向量一、向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量，用有向线段表示，记作： 或 （其中A 为起点，B 为终点）；表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模，记作： 或 .2、两个特殊的向量：①零向量：长度为 ，方向任意的向量，记作： ；②单位向量：长度为 ，任意方向上都有单位向量，与a同向的单位向量为 .3、平行向量（共线向量）：方向 或者 的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。

没有辛勤的汗水，怎么会有丰硕的果实
1． 集合的表示方法 集合有三种表示方法：
列举法、描述法、图示法。 2． 集合与集合的关系 子集、真子集、空集、等集
二、集合的运算 1． 交集、并集、补集
集合的图示：
A
B
A A
B
AB
A
B
A
B
AB
1. 常用的运算性质及一些重要结论
A AA; A ; A BB A; AAA; AA; ABBA;
它是任何集合的子集，是任何非空集合的真
子集。集合 不是空集，是单元素集合， 而 与的关系可表示为：
或 或
集合中元素的个数
例：学校先举办了一次田径运动会，某 班有8名同学参赛，又举办了一次球类运 动会，这个班有12名同学参加，两次运 动会都参加的有3人，两次运动会中，这 个共有多少名同学参加？
例1：99年全国高考题） 如图所 示，U是全集，M、S、P是U的3 个子集，则阴影A部分所表示的 集合是（ ）
A（M∩P)∩S
B（M∩P) ∪S
C（M∩P) ∩
C USD（M∩P) ∪
C
S U
练：方程组
x y1 0

2
x

y

4

0
的解集可以表示为： 1（. 1，2）
2 （. 1，2） 3 . x , y x 1, y 2
思考：班50名学生报名参加羽毛球 和乒乓球两项体育活动小组，报名 参加羽毛球小组的人数是全体人数 的3/5，报名参加乒乓球小组的人数 比报名参加羽毛球小组的人数多3 人，两组都没报名的人数是同时报 名参加羽毛球小组和乒乓球小组的 人数的1/3多1人，求同时报名参加 羽毛球小组和乒乓球小组的人数和 两组都没报名的人数。

高三数学一轮复习：基础知识归纳第一部分 集合1.理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？…2.数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决3.(1) 元素与集合的关系：U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. （2）德摩根公式： ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==I U U I . （3）A B A A B B =⇔=I U U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦI U C A B R ⇔=U注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况.（4）集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n–1个；非空真子集有2n –2个.4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.第二部分 函数与导数1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2222b a b a ab +≤+≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、 绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（xa 、x sin 、x cos 等）；⑨平方法；⑩ 导数法 3．复合函数的有关问题: （1）复合函数定义域求法：① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b 解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域.（2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y = ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

高考数学知识点大全一、集合与常用逻辑用语。

1. 集合。

- 集合的概念：元素与集合的关系（属于、不属于），集合的表示方法（列举法、描述法、韦恩图）。

- 集合间的关系：子集、真子集、相等集合的定义与判断。

- 集合的运算：交集、并集、补集的定义、性质及运算规律。

例如：A∩B={xx∈ A且x∈ B}，A∪ B = {xx∈ A或x∈ B}。

2. 常用逻辑用语。

- 命题：命题的概念，真命题、假命题的判断。

- 四种命题：原命题、逆命题、否命题、逆否命题的相互关系，互为逆否命题的真假性相同。

- 充分条件与必要条件：若pRightarrow q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若pLeftrightarrow q，则p是q的充分必要条件。

- 逻辑联结词：“且”（∧）、“或”（∨）、“非”（¬）的含义及命题真假的判断。

例如：p∧ q为真当且仅当p，q都为真；p∨ q为真当且仅当p，q至少一个为真；¬ p与p真假相反。

二、函数。

1. 函数的概念。

- 函数的定义：设A,B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y = f(x)和它对应，那么就称f:A→ B为从集合A到集合B的一个函数。

- 函数的三要素：定义域、值域、对应关系。

求函数定义域的常见情况，如分式分母不为零，偶次根式被开方数非负等。

- 函数的表示方法：解析法、图象法、列表法。

2. 函数的基本性质。

- 单调性：设函数y = f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x_1,x_2，当x_1 < x_2时，有f(x_1)（或f(x_1)>f(x_2)），那么就说函数y = f(x)在区间D上是增函数（或减函数）。

判断函数单调性的方法有定义法、导数法等。

- 奇偶性：对于函数y = f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)（偶函数）或f(-x)= - f(x)（奇函数）。

高三全册常考数学知识点总结一、集合与函数概念1.1 集合- 集合的表示方法- 集合的性质与运算- 集合的分类（如：数集、子集、真子集等）1.2 函数概念- 函数的定义与表示方法- 函数的性质（如：单调性、奇偶性、周期性等）- 函数的分类（如：线性函数、二次函数、三角函数等）二、实数与方程2.1 实数- 实数的分类与性质- 实数的运算规则2.2 方程- 线性方程的求解- 一元二次方程的求解- 方程组的求解（如：二元一次方程组、三元一次方程组等）三、三角函数3.1 三角函数的定义与性质- 角度与弧度制的转换- 三角函数的定义（如：正弦、余弦、正切等）- 三角函数的性质（如：周期性、奇偶性、单调性等）3.2 三角函数的图象与性质- 三角函数的图象特点- 三角函数的图象变换（如：平移、伸缩等）四、数列4.1 数列的概念与性质- 数列的表示方法- 数列的性质（如：单调性、周期性、收敛性等）4.2 等差数列与等比数列- 等差数列的通项公式与求和公式- 等比数列的通项公式与求和公式五、不等式与不等式组5.1 不等式的性质与解法- 不等式的性质- 不等式的解法（如：移项、合并同类项等）5.2 不等式组的性质与解法- 不等式组的表示方法- 不等式组的解法（如：同大取大、同小取小等）六、解析几何6.1 坐标系与直线- 坐标系的性质与表示方法- 直线的方程与性质（如：斜率、截距等）6.2 圆与椭圆- 圆的方程与性质- 椭圆的方程与性质6.3 抛物线与双曲线- 抛物线的方程与性质- 双曲线的方程与性质七、概率与统计7.1 概率的基本概念- 事件的分类与运算- 概率的求法（如：古典概型、条件概率等）7.2 统计的基本概念- 平均数、中位数、众数的定义与计算- 方差、标准差的定义与计算八、数学应用8.1 数学建模- 数学建模的基本方法与步骤- 数学建模的实际应用案例8.2 数学竞赛- 数学竞赛的类型与特点- 数学竞赛的训练方法与策略以上是对高三全册常考数学知识点的简要总结，希望能对您的有所帮助。

高三数学复习资料大全【导语】随着高考考试的来临，你做好数学的复习准备了吗?下面是作者收集整理的高三数学复习资料以供大家学习!高三数学复习资料(一)1.集合的含义与表示.(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系。

(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(罗列法或描写法)描写不同的具体问题。

2.集合间的基本关系.(1)知道集合之间包含与相等的含义，能辨认给定集合的子集。

(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义。

3.集合的基本运算(1)知道两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

(2)知道在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。

(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算。

高三数学复习资料(二)1.不等式的基本性质:性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,cd,那么a+c>b+d.性质4:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.性质5:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn例1:判定下列命题的真假,并说明理由.若a>b,c=d,则ac2>bd2;(假)若,则a>b;(真)若a>b且abb;(真)若|a|b2;(充要条件)命题A:a命题A:,命题B:0说明:本题要求学生完成一种规范的证明或解题进程,在完善解题规范的进程中完善自身逻辑思维的周密性.a,b∈R且a>b,比较a3-b3与ab2-a2b的大小.(≥)说明:强调在最后一步中,说明等号取到的情形,为今后基本不等式求最值作思维准备。

例2：设a>b,n是偶数且n∈N*,试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小.说明:本例条件是a>b,与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b 为正值这一条件,为此我们必须对a,b的取值情形加以分类讨论.由于a>b,可由三种情形(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想。

《高考数学集合复习知识点全攻略》引言：高考，是千军万马过独木桥的征程，而数学作为其中的重要科目，往往起着关键作用。

在高考数学中，集合是一个基础且重要的知识点，它贯穿于整个高中数学的学习。

掌握好集合的相关知识，不仅有助于我们在高考中取得优异成绩，更能为后续的数学学习奠定坚实的基础。

那么，让我们一同深入探索高考数学集合复习的知识点吧。

一、集合的概念1. 集合的定义集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。

这些对象称为集合的元素。

例如，“所有小于 10 的正整数”就可以组成一个集合。

2. 集合的表示方法（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，用花括号括起来。

例如，{1,2,3,4,5}。

（2）描述法：用集合中元素的共同特征来表示集合。

例如，{x|x 是小于 10 的正整数}。

二、集合的关系1. 子集如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么称集合 A 是集合 B 的子集，记作 A⊆B。

特别地，任何集合都是它自身的子集。

2. 真子集如果集合 A 是集合 B 的子集，且存在元素属于集合 B 但不属于集合 A，那么称集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A⊂B。

3. 相等如果集合 A 和集合 B 的元素完全相同，那么称集合 A 与集合B 相等，记作 A=B。

三、集合的运算1. 交集由既属于集合 A 又属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为集合 A 与集合 B 的交集，记作A∩B。

例如，设 A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则A∩B={3,4}。

2. 并集由属于集合 A 或属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为集合 A 与集合 B 的并集，记作A∪B。

例如，对于上述集合 A 和 B，A∪B={1,2,3,4,5,6}。

3. 补集设全集为 U，集合 A 是 U 的子集，由 U 中所有不属于集合 A 的元素组成的集合，称为集合 A 在全集 U 中的补集，记作∁UA。

四、集合中元素的性质1. 确定性对于一个给定的集合，它的元素是确定的。

第一章 集合与常用逻辑用语1.1集合的概念知识点1.元素和集合的概念元素：一般地，我们把研究对象统称为元素集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。

集合通常用大写的字母表示，如A B C 、、、……；元素通常用小写的字母表示，如a b c d 、、、……。

知识点2.集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，它的元素必须是确定的。

设A 是一个给定的集合，x 是某一具体的对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，二者必居其一，不能模棱两可．（2）互异性： 给定一个集合，它的任意两个元素是互不相同的。

也就是说集合中的元素是不重复出现的。

集合中相同的元素只能算是一个。

（3）无序性：集合中的元素是不分先后顺序的．知识点3.元素与集合的关系一般地，如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈；如果a 不是集合的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉。

特别注意：（1）集合和元素是两个不同的概念，它们之间是个体与整体的关系，并且这种关系是相对的；（2）元素与集合之间不存在大小与相等的关系，只存在属于或不属于的关系。

如2与{}3，只能是{}23∉，不能写成{}23≠。

知识点4.集合的第一种表示方法自然语言和常用数集及记法上面举的例子：中国的直辖市组成的集合。

还比如：地球上的四大洋组成的集合；小于10的所有自然数组成的集合等等我们是可以用自然语言表示一个集合。

数学中有一些常用数集，就是自然语言表示的， 这些常用数集及记法如下： （1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N 。

（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作*N 或+N 。

（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z 。

（4）全体有理数数组成的集合称为有理数集，记作Q 。

（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R 。

知识点5.集合的表示方法 （1）自然语言 （2）列举法列举法概念：像这样把集合中的元素一一列举出来，并用大括号括起来表示集合的方法叫做列举法。

第1节集合1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性: 、、.(2)元素与集合的关系是或,用符号和表示.(3)集合的表示方法: 、、Venn图法.(4)常见数集的记法2.集合间的基本关系或(1)A⊆B包含两层含义:A B或A=B.3.集合的基本运算4.集合的重要性质(1)A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=B∩A.(2)A∪A=A,A∪∅=A,A∪B=B∪A.(3)A∩(∁U A)=∅,A∪(∁U A)=U,∁U(∁U A)=A.1.对于有限集合A,其元素个数为n,则集合A的子集个数为2n,真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.2.A⊆B,A∩B=A,A∪B=B,∁U B⊆∁U A以及A∩(∁U B)=∅两两等价.3.∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B),∁U(A∪B)=(∁U A)∩(∁U B).1.(2021·新高考Ⅰ卷)设集合A={x|-2<x<4},B={2,3,4,5},则A∩B 等于( )A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}2.(必修第一册P9习题1、2T1改编)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁U P)∪Q等于( )A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}3.已知集合A={1,2,5,6},B={5,X},若B⊆A,则X可以取的值为( )A.1,2B.1,6C.2,6D.1,2,64.(2021·云南昆明一中高三月考)已知集合A={(x,y)|x-y=0},B= {(x,y)|-2x+y=3},则A∩B等于( )A.(-3,-3)B.(3,3)C.{(-3,-3)}D.{(3,3)}∈Z},则列举法表示集合A= ,集合5.已知集合A={x∈N|y=12x+3A的真子集有个.集合的概念与表示1.(多选题)下列各个说法中,正确的是( )A.高三(1)班所有高个子的同学可以构成一个集合B.若m∈N,n∈N且m≠n,则m+n的最小值为2C.四个集合{x|x=1},{y|(y-1)2=0},{x=1},{1}所表示的含义不完全相同D.若{x|x2+ax+b=x}={1},则a=-1,b=12.(2021·四省名校高三联考)已知集合A={(x,y)|y≤√3-x2,x,y∈N},则集合A中元素的个数为( )A.3B.4C.5D.6},B={0,1-b,1},a,b 3.(2021·河北石家庄模拟)已知集合A={0,a+b,ab∈R,若A=B,则a+2b等于( )A.-2B.2C.-1D.14.已知集合A={1,2,3,4},B={(x,y)|x∈A,y∈A,y-x∈A},则集合B中的元素的个数为( )A.4B.5C.6D.75.已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,则 2 023a的值为.义如下表:2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.3.求解集合相等问题,要注意分类讨论以及集合中元素性质的应用.集合间的基本关系1.(2021·山东潍坊高三联考)已知集合A={-1,0,1},B={(x,y)|x∈A,y∈A,xy∈N},则集合B的子集个数为( )A.4B.8C.13D.162.(2021·江西重点中学协作体模拟)已知集合A={x|x2-5x-6<0},若B⊆A,则B可以是( )A.{x|-2<x<0}B.{x|x<6}C.{x|x>-1}D.{x|0<x<2}3.设集合M={x|x=k3+16,k∈Z},N={x|x=k6+23,k∈Z},则( )A.M=NB.M⊆NC.N⊆MD.无法确定4.已知集合A={x|-1≤x≤3},集合B={x|1-m≤x≤1+m}.若B⊆A,则m 的取值范围是( )A.(-∞,2]B.[-1,3]C.[-3,1]D.[0,2]1.判断集合之间的关系的常用方法:对于用列举法表示的集合,只需要观察其元素即结合定义判断它们之间的关系,对于用描述法表示的集合,要从所含元素的特征来分析,若集合之间可以统一形式,则需要统一形式后判断.2.已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系.合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.确定参数所满足的条件时,一定要把端点值代入进行验证,否则易增解或漏解.集合的基本运算角度一给定具体集合的基本运算(1)(2021·广东深圳高三二模)已知A={x∈N|x<7},B={5,6,7, 8},则集合A∪B中的元素的个数为( )A.7B.8C.9D.10(2)(2021·安徽合肥高三三模)已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5}, B={-2,0,1,2}之间关系的Venn图如图所示,则图中阴影部分表示的集合为( )A.{-2,0}B.{-2}C.{-2,0,1}D.{-2,0,2,1}1.进行集合运算时,首先看集合能否化简,能化简的先化简,再研究其关系并进行运算.2.涉及与集合的补集有关的集合运算问题,要求出补集后再求解.3.由Venn图给出的集合运算问题,首先将Venn图转化为集合之间的运算关系后再求解.4.若由集合的元素性质具有明显的几何意义的两曲线构成的集合交集问题,可以利用解方程组的方法求解,涉及点集时,也可以利用列举法求解.角度二 含参数的集合运算(1)(2021·广东江门高三调研)已知集合A={1,2a },B={a,b},若A ∩B={12},则A ∪B 等于( )A.{1,12} B.{-1,12}C.{-1,1,12} D.{b,1,12}(2)(2021·宁夏高三联考)已知集合A={1,a 2(a ∈R)},B={-1,0,1},若A ∪B=B,则A 中元素的和为( ) A.0 B.1 C.2 D.-1(3)(2021·安徽示范高中高考模拟)若集合A={x|x<a},B={x|lg x ≥0},且满足A ∪B=R,则实数a 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(0,+∞) D.[0,+∞)求解含参数的集合运算问题,主要有以下方法(1)涉及离散的集合运算求参数,要注意所求参数是否满足集合中元素的性质.(2)与集合的运算性质有关的集合运算,要注意将运算性质转化为集合之间的关系.(3)涉及与连续的数集有关的集合运算,要注意借助数轴转化为与参数有关的不等式(组),此时要注意集合端点的取值. 角度三 抽象集合的运算(1)(2021·江苏、福建等八省高三联合模拟)已知M,N均为R 的子集,且∁R M⊆N,则M∪(∁R N)等于( )A.∅B.MC.ND.R(2)(2021·百校联盟高三联考)已知全集为U且P,Q为U的子集,P∩(∁U Q)=P,则Q∩(∁U P)等于( )A.∅B.PC.QD.U涉及抽象集合的运算问题,可利用集合的包含关系或者画出Venn图,结合Venn图求解.[针对训练]1.(2021·河南新乡高三一模)已知集合A={a,a2-2,0},B={2a,a+b},若A∩B={-1},则b等于( )A.-1B.-2C.0D.12.(2021·山东滨州高三二模)设全集U={-3,-2,0,2,3},A={-3,3}, B={x|(x-3)(x-2)=0},则图中阴影部分所表示的集合为( )A.{-3,2,3}B.{-3,-2,0,2}C.{3}D.{-2,0}3.若集合M={(x,y)∣3x-y=0},N={(x,y)|x2+y2=0},则( )A.M∩N=MB.M∪N=MC.M∪N=ND.M∩N=∅4.(2021·江苏连云港高三联考)若非空且互不相等的集合M,N,P满足:M∩N=M,N∪P=P,则M∪P等于( )A. B.M C.N D.P请完成“课时作业”第195页的内容。

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）第01练集合（精练）1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言列举法或描述法描述不同的具体问题.2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.能使用Venn 图表示集合间的基本关系及集合的基本运算.一、单选题1．（2023·全国·高考真题）设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（）A ．{}0,2,4,6,8B ．{}0,1,4,6,8C ．{}1,2,4,6,8D ．U2．（2023·全国·高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，260N x x x =--≥，则M N ⋂=（）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}2【答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．-3．（2023·全国·高考真题）设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则=a （）．A ．2B ．1C ．23D ．1-4．（2023·全国·高考真题）设全集Z U =,集合{31,},{32,}M xx k k Z N x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，()U M N ⋃=ð（）A ．{|3,}x x k k =∈Z B ．{31,}xx k k Z =-∈∣C ．{32,}xx k k Z =-∈∣D ．∅【答案】A【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【详解】因为整数集{}{}{}|3,|31,|32,x x k k x x k k x x k k ==∈=+∈=+∈Z Z Z Z ，U Z =，所以，(){}|3,U M N x x k k ==∈Z ð．故选：A ．5．（2023·全国·高考真题）已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos N n S a n =∈，若{},S a b =，则ab =（）A ．－1B ．12-C ．0D ．126．（2022·全国·高考真题）设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（）A ．2M ∈B ．3M ∈C ．4M ∉D ．5M∉【答案】A【分析】先写出集合M ,然后逐项验证即可【详解】由题知{2,4,5}M =,对比选项知，A 正确,BCD 错误故选:A7．（2022·全国·高考真题）若集合{4},{31}M x N x x ==≥∣，则M N ⋂=（）8．（2022·全国·高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B = （）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}-【A 级基础巩固练】一、单选题1．（2024·北京丰台·一模）已知集合{}220A x x x =-≤，{}10B x x =->，则A B ⋃=（）A ．{}0x x ≥B ．{}01x x ≤<C ．{}1x x >D ．{}12x x <≤2．（2024·北京顺义·二模）设集合24U x x =∈≤Z ，{}1,2A =，则U A =ð（）A ．[]2,0-B ．{}0C ．{}2,1--D ．{}2,1,0--【答案】DA ．(]0,2B ．31,2⎛⎤ ⎥C ．()0,2D ．30,2⎛⎤4．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知集合{}{}1,2,2,3A B ==，则集合{},,C z z x y x A y B ==+∈∈的子集个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．85．（2024·陕西安康·模拟预测）已知集合{}{}3N 0log 2,21,Z A x x B x x k k =∈<<==+∈∣∣，则A B = （）A ．{}1,3,5,7B ．{}5,6,7C ．{}3,5D ．{}3,5,7【答案】D【分析】先求出集合A ，再根据交集的定义即可得解.【详解】{}{}{}3N0log 2N192,3,4,5,6,7,8A x x x x =∈<<=∈<<=∣∣，所以{}3,5,7A B = .故选：D.6．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若集合{}2,1,4,8A =-，{}2,B x y x A y A =-∈∈∣，则B 中元素的最大值为（）A ．4B ．5C ．7D ．10【答案】C【分析】根据B 中元素的特征，只需满足()2max minx y-即可得解.【详解】由题意，()()222max maxmin817x y x y -=-=-=.故选：C7．（2024·四川成都·三模）设全集{}1,2,3,4,5U =，若集合M 满足{}1,4U M ⊆ð，则（）A ．4M ÎB ．1M ∉C ．2M ∈D ．3M∉8．（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合{}4A x x =∈<N ，{}21,B x x n n A ==-∈，P A B =⋂，则集合P 的子集共有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．8个9．（2024·全国·模拟预测）若集合{}()(){}28,158A x x B x x x =∈<=+->-Z ，则()A B ⋂=R ð（）A ．{}0,1,2B ．{0x x ≤<C ．{1x x ≤≤D ．{}1,210．（2024·四川泸州·三模）已知集合2230A x x x =--<，{}0,B a =，若A B ⋂中有且仅有一个元素，则实数a 的取值范围为（）A ．()1,3-B ．(][),13,-∞-+∞C ．()3,1-D ．(][),31,-∞-⋃+∞11．（2024·北京东城·一模）如图所示，U 是全集，,A B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．AB ⋂B ．A B⋃C ．()U A B ⋂ðD ．()U A B ⋃ð【答案】D【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得解.【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是()U A B ð.二、多选题12．（2024·甘肃定西·一模）设集合{}{}26,,A x x x B xy x A y A =-≤=∈∈∣∣，则（）A ．AB B= B ．Z B ⋂的元素个数为16C ．A B B⋃=D ．A Z I 的子集个数为64取值可能是（）A ．3-B ．1C ．1-D ．014．（2024·广西·二模）若集合M 和N 关系的Venn 图如图所示，则,M N 可能是（）A ．{}{}0,2,4,6,4M N ==B ．{}21,{1}M xx N x x =<=>-∣∣C ．{}{}lg ,e 5x M xy x N y y ====+∣∣D ．(){}(){}22,,,M x y x y N x y y x ====∣∣三、填空题15．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合{}22,4,10A a a a =-+，且3A -∈，则=a .【答案】3-【分析】根据题意，列出方程，求得a 的值，结合集合元素的互异性，即可求解.【详解】因为3A -∈，所以23a -=-或243a a +=-，解得1a =-或3a =-，当1a =-时，23a -=，243a a +=-，集合A 不满足元素的互异性，所以1a =-舍去；当3a =-时，经检验，符合题意，所以3a =-．故答案为：3-．16．（2024高三下·全国·专题练习）集合(){}22,2,,x y x y x y +<∈∈Z Z 的真子集的个数是.17．（23-24高一上·辽宁大连·期中）设{}50A x x =-=，{}10B x ax =-=，若A B B = ，则实数a 的值为.18．（2024·安徽合肥·一模）已知集合{}{}24,11A x x B x a x a =≤=-≤≤+∣∣，若A B ⋂=∅，则a 的取值范围是.【答案】()(),33,-∞-+∞ 【分析】利用一元二次不等式的解法及交集的定义即可求解.【详解】由24x ≤，得()()220x x -+≤,解得22x -≤≤，所以{}22A xx =-≤≤∣.因为A B ⋂=∅，所以12a +<-或12a ->，解得3a <-或3a >，所以a 的取值范围是()(),33,-∞-+∞ .故答案为：()(),33,-∞-+∞ .19．（2024高三·全国·专题练习）设集合(){}2|1A x x a =-<，且2A ∈，3A ∉，则实数a 的取值范围为．【答案】(]1,2【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，再根据2A ∈且3A ∉得到不等式组，解得即可.【详解】由()21x a -<，即11x a -<-<，解得11a x a -<<+，即(){}{}2|11|1A x x a x a x a =-<=-<<+，因为2A ∈且3A ∉，所以121213a a a -<⎧⎪+>⎨⎪+≤⎩，解得12a <≤，即实数a 的取值范围为(]1,2.故答案为：(]1,2四、解答题20．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知集合()(){}230A x x x =-+≤，{}11B x a x a =-<<+，定义两个集合P ，Q 的差运算：{},P Q x x P x Q -=∈∉且．(1)当1a =时，求A B -与B A -；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围．21．（2024高三·全国·专题练习）设M 是由直线0Ax By C ++=上所有点构成的集合,即{}(,)0M x y Ax By C =++=,在点集M 上定义运算“⊗”：对任意()11,,x y M ∈()22,,x y M ∈则()()11221212,,x y x y x x y y ⊗=+．(1)若M 是直线230x y -+=上所有点的集合,计算()()1,52,1⊗--的值．(2)对（1）中的点集M ,能否确定(3,)(,5)a b ⊗（其中,a b ∈R ）的值？(3)对（1）中的点集M ,若(3,)(,)0a b c ⊗<,请你写出实数a ,b ,c 可能的值．【B 级能力提升练】一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知集合{}{}2210,2log 10M x x P x x =->=-<，则M P ⋂=（）A ．12x x ⎧<<⎨⎩B ．142x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．{}4x <<D ．{}24x x <<2．（2024·宁夏银川·一模）设全集{0,1,2,3,4,5,6},{1,2,3,4,5},{Z 2}U A B x ===∈<，则集合{4,5}=（）A ．()U AB ⋂ðB ．()U A B ⋂ðC ．()U A B ∩ðD ．()()U U A B ⋂痧所以{}{}Z |041,2,3B x x =∈<<=，所以{}0,4,5,6U B =ð，所以(){}4,5U A B Ç=ð，故ABD 错误，故C 正确；故选：C3．（23-24高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知集合{}24xA x =>，集合{}B x x a =<∣，若A B ⋃=R ，则实数a 的取值范围为（）A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．(),2-∞D ．()2,+∞【答案】D【分析】先求出集合A ，然后根据A B ⋃=R ，即可求解.【详解】由24x >，得2x >，所以()2,A =+∞，因为(),B a =-∞，A B ⋃=R ，所以2a >，故D 正确.故选：D.4．（23-24高一上·全国·期末）已知m ∈R ，n ∈R ，若集合{}2,,1,,0n m m m n m ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20232023m n +的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知全集{}N |010U A B x x =⋃=∈≤≤，(){}1,3,5,7U A B ⋂=ð，则集合B 的元素个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．不确定【答案】B【分析】由已知求出全集，再由(){}U 1,3,5,7A B ⋂=ð可知A 中肯定有1，3，5，7，B 中肯定没有1，3，5，7，从而可求出B 中的元素.【详解】因为全集{}{}N |0100,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U A B x x =⋃=∈≤≤=，(){}1,3,5,7U A B ⋂=ð，所以A 中肯定有1，3，5，7，B 中肯定没有1，3，5，7，A 和B 中都有可能有0，2，4，6，8，9，10，且除了1，3，5，7，A 中有的其他数字，B 中也一定会有，A 中没有的数字，B 中也一定会有，所以{}0,2,4,6,8,9,10B =，故选：B6．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）如果集合U 存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空子集()*122,,,,k A A A k k ≥∈N ，且满足12k A A A U =U U L U ，那么称子集组12,,,k A A A 构成集合U 的一个k 划分．若集合I 中含有4个元素，则集合I 的所有划分的个数为（）A ．7个B ．9个C ．10个D ．14个二、多选题7．（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意,A B ⊆R ，记{},A B x x A B x A B ⊕=∈⋃∉⋂，并称A B ⊕为集合,A B的对称差．例如：若{}{}1,2,3,2,3,4A B ==，则{}1,4A B ⊕=．下列命题中，为真命题的是（）A ．若,AB ⊆R 且A B B ⊕=，则A =∅B ．若,A B ⊆R 且A B ⊕=∅，则A B =C ．若,A B ⊆R 且A B A ⊕⊆，则A B ⊆D ．存在,A B ⊆R ，使得A B A B⊕≠⊕R R痧三、填空题8．（2024·浙江绍兴·二模）已知集合{}20A x x mx =+≤，1,13B m ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，且A B ⋂有4个子集，则实数m 的最小值是.9．（2024·湖南·二模）对于非空集合P ，定义函数()1,,P f x x P ⎧=⎨∈⎩已知集合{01},{2}A x x B x t x t=<<=<<∣∣，若存在x ∈R ，使得()()0A B f x f x +>，则实数t 的取值范围为.【C 级拓广探索练】一、单选题1．（2023·上海普陀·一模）设1A 、2A 、3A 、L 、7A 是均含有2个元素的集合，且17A A ⋂=∅，()11,2,3,,6i i A A i +⋂=∅= ，记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ，则B 中元素个数的最小值是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【分析】设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素，分析可知4n ≥，然后对n 的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.【详解】解：设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素，若3n =，则12A A ⋂≠∅，不合乎题意.①假设集合B 中含有4个元素，可设{}112,A x x =，则{}24634,A A A x x ===，{}35712,A A A x x ===，这与17A A ⋂=∅矛盾；②假设集合B 中含有5个元素，可设{}1612,A A x x ==，{}2734,A A x x ==，{}351,A x x =，{}423,A x x =，{}545,A x x =，满足题意.综上所述，集合B 中元素个数最少为5.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.二、多选题2．（2024·浙江宁波·二模）指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知U 为全集且元素个数有限，对于U 的任意一个子集S ，定义集合S 的指示函数()()U 1,1,10,S S x Sx x x S∈⎧=⎨∈⎩ð若,,A B C U ⊆，则（）注：()x Mf x ∈∑表示M 中所有元素x 所对应的函数值()f x 之和（其中M 是()f x 定义域的子集）.A ．1()1()A A x Ax Ux x ∈∈<∑∑B ．1()1()1()A B A A B x x x ⋂⋃≤≤C ．()1()1()1()1()1()A B A B A B x Ux Ux x x x x ⋃∈∈=+-∑∑D ．()()()11()11()11()1()1()A B C U A B C x Ux Ux Ux x x x x ⋃⋃∈∈∈---=-∑∑∑【答案】BCD【分析】根据()1S x 的定义()U 1,10,S x Sx x S ∈⎧=⎨∈⎩ð，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A ，由于A U ⊆,所以1()1()1()1(),uA A A A x U x A x A x Ax x x x ∈∈∈∈=+=∑∑∑∑ð故1()1()A A x Ax Ux x ∈∈=∑∑，故A 错误，对于B ，若x A B ∈ ,则1()1,1()1,1()1A B A A B x x x ⋂⋃===，此时满足1()1()1()A B A A B x x x ⋂⋃≤≤，若x A ∈且x B ∉时，1()0,1()1,1()1A B A A B x x x ⋂⋃===，若x B ∈且x A ∉时，1()0,1()0,1()1A B A A B x x x ⋂⋃===，若x A ∉且x B ∉时，1()0,1()0,1()0A B A A B x x x ⋂⋃===，综上可得1()1()1()A B A A B x x x ⋂⋃≤≤，故B 正确，对于C ，()()()()()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()U UAB A B AB A B AB A B x Ux A B x B A x x x x x x x x x x x x ∈∈⋂∈⋂+-=+-++-∑∑∑痧()()()()1()1()1()1()1()1()1()1()U ABABABABx A B x A Bx x x x x x x x ∈⋂∈⋃++-++-∑∑ð()()()()()()()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()0U U U ABABABABABABx A B x A B x A B x B A x x x x x x x x x x x x ∈⋂∈⋃∈⋂∈⋂=+-++-++-+∑∑∑∑ð痧()()1()1()1()1()ABABx A B x x x x ∈⋃=+-∑而()1()1()1()1()U A B A BA B A Bx Ux A Bx A Bx A Bx x x x ⋃⋃⋃⋃∈∈⋃∈⋃∈⋃=+=∑∑∑∑ð，由于()()()U 1,10,A B x A Bx x A B ⋃∈⋃⎧=⎨∈⋃⎩ð，所以1()1()1()1()1()A B A B A B x x x x x ⋃+-=故()1()1()1()1()1()A B AB A B x U x Ux x x x x ⋃∈∈=+-∑∑,C 正确，()1()1()1()U UA B C U x Ux Ux A B C x x x ⋃⋃∈∈∈⋃⋃-=∑∑∑ð,当x A B C ∈⋃⋃时，此时()()()1,1,1A B C x x x 中至少一个为1，所以()()()11()11()11()0A B C x x x ---=，当()x A B C ∉⋃⋃时，此时()()()1,1,1A B C x x x 均为0，所以()()()11()11()11()1A B C x x x ---=，故()()()()()()()()11()11()11()11()11()11()1()UU A B C A B C A B C U x U x x A B C x x x x x x x ⋃⋃∈∈∈⋃⋃---=---=∑∑∑痧,故D 正确，故选：BCD【点睛】关键点点睛：充分利用()1S x 的定义()U 1,10,S x Sx x S ∈⎧=⎨∈⎩ð以及()x M f x ∈∑的定义，由此可得()x A B C ∉⋃⋃时，此时1(),1(),I ()A B C x x x 均为0，x A B C ∈⋃⋃时，此时1(),1(),I ()A B C x x x 中至少一个为1，结合()1S x 的定义化简求解.三、填空题3．（23-24高三上·江西·期末）定义：有限集合{}++,,N ,N i A x x a i n i n ==≤∈∈，12n S a a a =+++ 则称S 为集合A 的“元素和”，记为A .若集合(){}+12,,N ,N i P x x i i n i n +==+≤∈∈，集合P 的所有非空子集分别为1P ，2P ，…，k P ，则12k P P P +++=.四、解答题4．（2024·浙江台州·二模）设A ，B 是两个非空集合，如果对于集合A 中的任意一个元素x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 和它对应，并且不同的x 对应不同的y ；同时B 中的每一个元素y ，都有一个A 中的元素x 与它对应，则称f ：A B →为从集合A 到集合B 的一一对应，并称集合A 与B 等势，记作A B =.若集合A 与B 之间不存在一一对应关系，则称A 与B 不等势，记作A B ≠.例如：对于集合*N A =，{}*2N B n n =∈，存在一一对应关系()2,y x x A y B =∈∈，因此A B =.(1)已知集合(){}22,1C x y x y =+=，()22,|143x y D x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，试判断C D =是否成立?请说明理由；(2)证明：①()()0,1,=-∞+∞；②{}**N N x x ≠⊆.【答案】(1)成立，理由见解析(2)①证明见解析；②证明见解析5．（2024·北京延庆·一模）已知数列{}n a ，记集合()(){}*1,,...,1,,N i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++≤<∈.(1)若数列{}n a 为1,2,3，写出集合T ；(2)若2n a n =，是否存在*,N i j ∈，使得(),512S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由；(3)若n a n =，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12,,...,,...m b b b ，若2024m b ≤，求m 的最大值．若正整数()221t h k =+，其中*N,N t k ∈∈，则当1221t k +>+时，由等差数列的性质可得：()()()()()()()22122...2221...21221...212t t t t t t t t t t t h k k k k k =+=+++=-+-+++-++++++-++，此时结论成立，当1221t k +<+时，由等差数列的性质可得：()()()()()()()()2121...2121...112...2t t h k k k k k k k k k =++++++=-+++-++++++++，此时结论成立，对于数列n a n =，此问题等价于数列1,2,3,...n 其相应集合T 中满足2024m b ≤有多少项，由前面证明可知正整数1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024不是T 中的项，所以m 的最大值为2013.。