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江西师范大学硕士学位论文计算机代数系统在微分方程研究中的应用姓名：曾广洪申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：刘华祥20050401盐兰垫盛塾壅垫壅堕茎查堡堡墨±箜墨旦，ｇｉ：ｔ鞴ｐ工ｏｔ３ｄ‘【ｅｑｎ】ｔｆｘｔｔ），ｙ（ｔ’，ｚ（ｔ，】，ｔｔ０．．６００ｒ¨ｘ（Ｏ，互．２，ｙ《Ｏ）＃．２，ｚｆＯ，＝－３】ｊ，￥ｔｅｐｓｉｚｅ＝．０５，ｌｉｎｅｃｏｌｏｕｒ＝ｓｌｎ（ｔ＋ｐｉ／２））：＞９２：－ｔｔｘｔＰｌｏ七３ｄ（【１／（ａｌｐｈａ＋２），１／（ａｌｐｈａ＋２），Ｉ／（ａｌｐｈａ＋２），”一Ｐ”】，ｃｏｌｏｒ－ｒｅｄ，ｆｏⅡｔ－ＩＣＯＵＲＩＥＲ，ＢＯＬＤ，３０ｌ’：＞ｄｉｓｐｌａｙ（ｇｌ，９２，ｏｒｉｅｎｔａｔｉｏｎ＝【－２７，６０】，ｖｉｅｗ＝ｆｏ．２．．ｏ＋５，ｏ．２．．ｏ．５，ｏ．２．－Ｏ．５１）；圉６＿１更进～步，还可用以下语句给出动画图形，根据曲线随时间变化的趋势易验证系统在奇点Ｐ的邻域内有不稳定的周期解（因纸张不能呈现动画，故具体图形略去、．＞ｓｏｌ：。
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卜２７，６０】，ｖｉｅｗ＝【Ｏ．２．．０．５，０．２．．０．５，０．２．．０．ｓ¨；２４计算机代数系统在微分方程研究中的应用作者：曾广洪学位授予单位：江西师范大学本文链接：/Thesis_Y712281.aspx。
matlab求解最简单的一阶偏微分方程一、引言在科学和工程领域，偏微分方程是非常重要的数学工具，用于描述各种现象和过程。
而MATLAB作为一种强大的数值计算软件，可以用来求解各种复杂的偏微分方程。
本文将以MATLAB求解最简单的一阶偏微分方程为主题，探讨其基本原理、数值求解方法以及具体实现过程。
二、一阶偏微分方程的基本原理一阶偏微分方程是指只含有一个未知函数的偏导数的微分方程。
最简单的一阶偏微分方程可以写成如下形式：\[ \frac{\partial u}{\partial t} = F(x, t, u, \frac{\partial u}{\partial x}) \]其中，\(u(x, t)\) 是未知函数，\(F(x, t, u, \frac{\partial u}{\partial x})\) 是给定的函数。
一阶偏微分方程可以描述很多实际问题，比如热传导、扩散等。
在MATLAB中，我们可以使用数值方法求解这类方程。
三、数值求解方法1. 有限差分法有限差分法是一种常用的数值求解偏微分方程的方法。
其基本思想是用离散的方式来逼近偏导数，然后将偏微分方程转化为代数方程组。
在MATLAB中，我们可以使用内置的求解器来求解离散化后的代数方程组。
2. 特征线法特征线法是另一种常用的数值求解方法，它利用特征线方程的特点来求解偏微分方程。
这种方法在求解一维情况下的偏微分方程时特别有效，可以提高求解的效率和精度。
四、MATLAB求解过程在MATLAB中，我们可以使用`pdepe`函数来求解一阶偏微分方程。
该函数可以针对特定的方程和边界条件，利用有限差分法进行离散化求解。
下面给出一个具体的例子来说明如何使用MATLAB求解最简单的一阶偏微分方程。
假设我们要求解如下的一维热传导方程：\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]其中，\(\alpha\) 是热传导系数。
线性代数与计算机的关系线性代数与计算机的关系————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：浅谈线性代数与计算机的关系线性代数是计算机专业的一门重要基础课程,同时又作为各高等院校和工科类专业的数学基础课程，它具有很强大的应用性和实用性。
线性代数是数学的一个分支，它主要处理线性关系问题，它的研究对象是向量、向量空间、线性变换和有限维的线性方程组，向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛应用于抽象代数和泛函分析中；用过解析几何，线性代数得以被具体表示。
线性代数的理论已经被泛化为算子理论。
由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。
自计算机产生以来，随着计算机的不断发展和进步，计算机语言也在进步，但是很多软件或编程的编写都离不开计算机算法，这时一种好的计算方法就会成为一个软件或编程的亮点。
以前，在计算机的计算算法中，对于一些复杂的计算总是要花很多步骤来完成，既麻烦又容易出错，并很浪费时间（比如在计算机上用算法求鸡兔同笼的问题，如果是用一般算法来求的话，我们会发现很吃力，但是引用的线性代数的矩阵理论就简单的多了），所以在计算效率方面提不上去的话，就会限制计算机的发展和进步。
而线性代数的引入就改变了这个问题，使得计算机的发展更加迅猛，到了今天计算机得到广泛应用的时候，计算机数据结构、算法、计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、经济学、网络技术、虚拟现实等技术无不是以线性代数为理论基础并组成其计算机算法中极其重要的一部分。
线性代数在计算机领域的应用与计算机的计算性能是成正比例的，同时，这一性能会随着计算机硬件的不断创新和发展而得到极大的提升。
线性代数的计算机应用在全球有很多的应用，例如Wassily Leontief教授把美国经济用500个变量的500个线性方程组描述,而后又把系统简化为42个变量的42个线性方程。
偏微分方程的解法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中的一个重要分支，它描述了多变量函数的偏导数之间的关系。
这些方程在自然科学、工程应用和社会科学等领域都发挥着重要作用。
解决偏微分方程是一个复杂而有挑战性的过程，需要运用多种数学方法和工具来求解。
在本文中，我将为您介绍几种常见的偏微分方程的解法，并提供一些示例以帮助您更好地理解。
以下是本文的主要内容：1. 一阶线性偏微分方程的解法1.1 分离变量法1.2 特征线方法2. 二阶线性偏微分方程的解法2.1 分离变量法2.2 特征值法2.3 Green函数法3. 非线性偏微分方程的解法3.1 平移法3.2 线性叠加法3.3 变换法4. 数值方法解偏微分方程4.1 有限差分法4.2 有限元法4.3 谱方法5. 偏微分方程的应用领域5.1 热传导方程5.2 波动方程5.3 扩散方程在解一阶线性偏微分方程时，我们可以使用分离变量法或特征线方法。
分离变量法的基本思路是将方程中的变量分离，然后通过积分的方式求解每个分离后的常微分方程，最后再将结果合并。
特征线方法则是将方程中的变量替换为新的变量，使得方程中的导数项消失，从而简化求解过程。
对于二阶线性偏微分方程，分离变量法、特征值法和Green函数法是常用的解法。
分离变量法的核心思想与一阶线性偏微分方程相似，将方程中的变量分离并得到常微分方程，然后进行求解。
特征值法则利用特征值和特征函数的性质来求解方程，适用于带有齐次边界条件的问题。
Green函数法则通过引入Green函数来求解方程，其特点是适用于非齐次边界条件的情况。
非线性偏微分方程的解法则更加复杂，常用的方法有平移法、线性叠加法和变换法。
这些方法需要根据具体问题的特点选择合适的变换和求解技巧，具有一定的灵活性和创造性。
除了上述解析解法，数值方法也是解偏微分方程的重要手段。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
实 验 报 告 四代数方程求解1、【示例】以下命令可求出方程 (x +1)e –x +e x sin x =0在0附近的一个根：>>y=sym('(x+1)*exp(-x)+exp(x)*sin(x)'); % 用sym 命令定义符号表达式>>x=solve(y,'x') % 用准解析方法求出方程最接近0的一个根x =-0.86508244315736795185621568221837或可用以下命令求解该方程以指定点为初始搜索点的数值解：>> y=inline('(x+1)*exp(-x)+exp(x)*sin(x) ', 'x'); % 用数值方法求解时，方程要用inline 命令定义 >> x=fsolve(y,0) % 用数值方法从初始点1开始搜索方程的近似解 x = -0.8651注：准解析命令solve 只能求出方程最接近0的一个实数根，而数值解法fsolve 可以通过初始搜索点的变化，得到不同的解（如果方程有多个实数解）。
【要求】仿照示例，用准解析方法求出30.5sin(42)4cos(2)0.5t t e t e t --++=的一个根；再用数值方法分别求该方程在-0.6和3附近的两个根。
y=sym('exp(-3*t)*sin(4*t+2)+4*exp(-0.5*t)*cos(2*t)-0.5');t=solve(y,'t')t =0.67374570500134756702960220427474y=inline('exp(-3*t).*sin(4*t+2)+4*exp(-0.5*t).*cos(2*t)-0.5','t');t=fsolve(y,0.6)t =0.6737y=inline('exp(-3*t).*sin(4*t+2)+4*exp(-0.5*t).*cos(2*t)-0.5','t');t=fsolve(y,3)t =2.59372、【示例】以下命令可求解非线性方程组339820x y x x y ⎧+-=⎨+-=⎩>> eq1=sym('x^3+y^3-x-98'); % 定义第一个方程表达式>> eq2=sym('x+y-2'); % 定义第二个方程表达式>> [x,y]=solve(eq1,eq2) % 解方程组（用准解析方法）x =13/12+1/12*2329^(1/2)13/12-1/12*2329^(1/2)y =11/12-1/12*2329^(1/2)11/12+1/12*2329^(1/2)或可用以下命令求解上述方程组以指定点为初始搜索点的数值解：>> f=inline('[x(1) ^3+x(2) ^3-x(1)-98; x(1)+x(2)-2]', 'x'); % 用inline 命令定义方程组>> x=fsolve(f,[1;1]) % 用数值方法从初始点(1,1)开始搜索方程组的一个近似解 x =-2.93834.9383【要求】仿照示例，求解（1）方程35323=+-x x x 和方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+=++1430122yz z x x x 35323=+-x x x（1）y=sym('x^3-3.*x^2+5*x');x=solve(y,'x')x =1.1.+1.4142135623730950488016887242097*i1.-1.4142135623730950488016887242097*i（2）y=inline('x^3-3.*x^2+5*x-3 ', 'x');x=fsolve(y,0)x =1.0000⎪⎩⎪⎨⎧-==+=++1430122yz z x x x（1）eq1=sym('x^2+2*x+1');eq2=sym('x+3*z-4');eq3=sym('y*z+1');[x,y,z]=solve(eq1,eq2,eq3)x =-1y =-3/5z =5/3（2）f=inline('[x(1)^2+2*x(1)+1; x(1)+3*x(3)-4;x(2)*x(3)+1]', 'x');x=fsolve(f,[1;1;1])x = -0.9979-0.60031.6660（2）方程组x 2+y =0, e x +sin y =0在[-5,5]内的所有根。
