导数----极值点偏移

导数---极值点偏移

做题步骤：

（1）求极值点0x ；

（2）构造函数0()()(2)F x f x f x x =--；

（3）判断极值点左移还是右移；

（4）若是左移，求导时研究极值点左侧区间，比较()f x 和0(2)f x x -大小，然后在极值点右侧区间利用()f x 单调性，得出结论；若是右移，求导时研究极值点右侧区间，比较()f x 和0(2)f x x -大小，然后在极值点左侧区间利用()f x 单调性，得出结论；

（5）若极值点求不出来，由'0()0f x =，使用替换的思想，简化计算步骤.

1.已知函数()2ln f x x ax =-，其中a R ∈

（1）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围；

（2）若函数()f x 有极大值为12

-，且方程()f x m =的两根为12,x x ，且12x x <，证明：124x x a +>.

2.已知函数()()x f x e ax a a R =-+∈，其中e 为自然对数的底数.

（1）讨论函数()y f x =的单调性；

（2）若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：122ln x x a +<.

3.设函数()()22ln f x a x x ax a R =-+-∈.

（1）试讨论函数()f x 的单调性；

（2）如果0a >且关于x 的方程()f x m =有两解1x ，2x （12x x <），证明122x x a +>.

4. 已知函数()2ln (0).f x ax x x a =+->

(Ⅰ)求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）设()f x 极值点为0x ，若存在()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，使()()12f x f x =，求证：1202.x x x +>

分析：极值点偏移，+替换'22

00000()0,210,21f x ax x ax x =+-==-

5.设函数()()22ln f x a x x ax a R =-+-∈.

（1）试讨论函数()f x 的单调性；

（2）设()()22ln x x a a x ϕ=+-，记()()()h x f x x ϕ=+，当0a >时，若方程()()h x m m R =∈有两个不相等的实根1x ，2x ，证明12'02x

x h +⎛⎫

> ⎪⎝⎭.

6.设函数()()21

1ln .2f x x a x a x =---

（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；

（Ⅱ）若()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证120.2x

x f +⎛⎫

> ⎪⎝⎭'

7.设函数()2ln f x x a x =-，()g x =()2a x -.

（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若函数()()()F x f x g x =-有两个零点12,x x .

(1)求满足条件的最小正整数a 的值；

(2)求证：1202x x F +⎛⎫

> ⎪⎝⎭'.