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三角恒等变换综合
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.
3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：两角和、差的正、余弦、正切公式 sin()±αβ= ①； cos()±=αβ ②；
tan()±=αβ ③；
要点诠释：
1．公式的适用条件(定义域) ：公式①、②对任意实数α，β都成立，这表明①、②是R 上的恒等式；公式③中,∈，且R αβk (k Z)2
±≠
+∈、、π
αβαβπ
2．正向用公式①、②，能把和差角()±αβ的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角()±αβ 的弦函数．公式③正向用是用单角的正切值表示和差角()±αβ的正切值化简．
要点二：二倍角公式
1. 在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式
222,,S C T ααα：
sin 2α=2()S α；
cos2α=2()C α； tan 2α=2()T α．
要点诠释：
1．在公式22,S C αα中，角α没有限制，但公式2T αα中，只有当)(2
24
Z k k k ∈+≠+
≠ππ
αππ
α和时才成立；
2. 余弦的二倍角公式有三种：ααα22sin cos 2cos -=＝1cos 22-α＝α2sin 21-；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用．
3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，
24α
α是的二倍，332
αα是的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公
式的关键．
要点三：二倍角公式的推论
升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-= 降幂公式：ααα2sin 2
1
cos sin =
； 22cos 1sin 2α
α-=
； 2
2cos 1cos 2α
α+=
. 要点四：三角恒等变换的基本题型
三角式的化简、求值、证明是三角恒等变换的基本题型： 1．三角函数式的化简
（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等．（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．
2．三角函数的求值类型有三类
（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角．
3．三角等式的证明
（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；
（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明．
【典型例题】
类型一：正用公式
例1．已知2313sin ,,,cos ,,23232πααππββπ⎛⎫⎛⎫=-
∈=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． （1）求sin 2α的值；
（2）求()cos αβ-的值．
【思路点拨】（1）由题意知，cos α=，然后利用二倍角公式求得sin 2α的值．（2）求得
sin 9
β=-
，然后利用两角差的余弦公式可求解．
【答案】（1（2
【解析】
（1）23sin ,,,32π
ααπ⎛⎫
=-
∈ ⎪
⎝
⎭
Q 得cos α=，
2sin 22sin cos 2339ααα⎛
⎛⎫==⨯-⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭
（2）13cos ,,2,32πββπ⎛⎫
=
∈ ⎪⎝⎭
Q 得sin 3β=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ∴-=+
=123333⎛⎛⎫-
⨯+-⨯- ⎪ ⎝⎭⎝⎭
举一反三：
【变式1】求值：sin15︒=；sin 75︒= ；cos75︒=
【答案】
444
【解析】sin15sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 454︒=︒-︒=︒︒-︒︒=
，
sin 75sin(3045)sin 30cos 45cos30sin 45︒=︒+︒=︒︒+︒︒=
cos 75cos(3045)cos30cos 45sin 30sin 45︒=︒+︒=︒︒-︒︒=
. 【变式2】已知tan α和tan β是方程2260x x +-=的两个根，求tan()αβ+的值. 【答案】18
-
