数学期望与方差ppt课件

相关系数的计算公式
相关系数在统计学、金融等领域有广泛应用，如股票价格与市场指数的相关性分析、回归分析等。
相关系数的应用
数学期望的性质
数学期望具有线性性质、可加性质、可乘性质等，这些性质在概率论和统计学中有重要应用。
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数学期望与方差的实例分析
总结词
数学期望和方差在投资组合的风险与回报分析中具有重要应用。
总结词
利用数学期望和方差可以对赌博游戏的概率进行分析。
详细描述
在赌博游戏中，玩家需要根据游戏规则和概率计算每种可能结果的数学期望和方差，以评估游戏的风险和潜在收益。通过比较不同赌博游戏的数学期望和方差，玩家可以做出更明智的决策。
数学期望
对于赌博游戏而言，数学期望计算的是长期玩家的平均收益。如果数学期望为正数，则表示长期玩家将获得正收益；如果数学期望为负数，则表示长期玩家将面临亏损。
方差
在赌博游戏中，方差反映了玩家实际收益与预期收益之间的波动范围。较小的方差表示实际收益相对稳定，而较大的方差则表示实际收益可能存在较大的波动。
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总结词：数学期望和方差可用于预测市场的表现。
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数学期望和方差在某些情况下可以相互转化，如当随机变量服从正态分布时。
变量同时变动的情况，即一个变量增加或减少时，另一个变量也相应地增加或减少的概率。
协方差的概念
协方差 = E[(X-E[X])(Y-E[Y])]，其中E[X]和E[Y]分别是X和Y的数学期望，X和Y是随机变量。
协方差的计算公式
协方差可以用于分析投资组合的风险，如果两个资产的收益率呈正相关，则它们的协方差为正；如果呈负相关，则协方差为负。
协方差的应用
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• 方值，乘以相应的概率并相加求和。
假设离散型随机变量ξ一切能够取的值是X1，x2，…,xn，…, 且取这些值的概率分别是 P1，p2，…ｐn,…
那么，把
D ( x 1 E ) 2 P 1 ( x 2 E ) 2 P 2 . . ( x n .E ) 2 P n ..
叫做随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中Ｅξ是随机变 量ξ的期望，Ｄξ的算术平方根 D叫 做随机变量ξ的规范 差，记作ａξ,随机变量的方差与规范差都反映了随机变量取 值的稳定与动摇、集中与离散的程度，其中规范差与随机变 量本身有一样的单位
• 解 由射手甲的分布列很清楚地知道，他命中10环的概率 是0.5，换句话说，他发出100粒子弹，约有50粒子弹命中 10环，同理，约有20粒命中9环，约有10粒命中8环和7环， 约有5粒命中6环和5环，没有脱靶的，这样“平均〞起来 甲命中环数约为
1 ( 1 5 0 9 0 2 8 0 1 7 0 1 6 0 5 5 5 0 0 ) 8 .8 ( 环 ) 5 100
反映 ξ“平均〞意义的数字特征为 Eξ=x1p1+x2p2+…=Σxipi,并把它叫做ξ的平均值。
数学期望
•
这里，我们求偏离值平方的“平均〞
• 值，而不去求偏离值的“平均〞值，原
• 因在于：偏离值有正，有负，在相加
பைடு நூலகம்
• 的的过程中，不应让它们相互抵消，
• 而应让每一次偏离值(不论是正是负)
• 都被思索进去，故可思索偏离值的平
• 我们E ( 把ξ 它) 记1 作 1 甲 E5 0 (ξ 甲9 0 0 )1 ，2 0 对 8 0 上0 1 1 式0 稍 7 0 0 做 1 1 变0 化6 0 0 得1 5 0 5 0 1 5 0 0 0 1 0 0 00

于是
P{X k} 1 , k 1, 2, , n n
EX
n
k
k 1
1 n
1 n
(1 n)n 2
n 1 2
文科数学
例3 掷一枚均匀骰子，以 X 表示掷得的点数， 求 X 的数学期望。
解：随机变量 X 的概率分布为
P{X k} 1 , k 1, 2, , 6 6
于是
E(X ) 6 k 1 7
文科数学
期望与方差的重要性
1. 在实际问题中，有时很难求出随机变量的分 布，不得不求助于期望、方差等数字特征；
2. 对许多问题，用期望、方差等数字特征就足 够了；
例如：比较两个地区人民的生活水平 3. 求分布时，往往是先确定其分布类，再确定 分布的参数，而分布的参数却可由期望、方差等 确定。
文科数学
我们称
D(X ) E{[X E(X )]2}
为随机变量 X 的方差。
文科数学
方差的定义
随机变量 X 的方差：D(X ) E{[X E(X )]2} D(X ) (X )
称为均方差或标准差。 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散
程度，若 X 的取值比较集中， 则方差较小； 若 X 的取值比较分散， 则方差较大。
k1 6 2
文科数学
例习 甲乙两人射击，他们的射击水平由下表给出
X：甲击0 Y pk 0.1 0.3 0.6 pk
试问哪个人的射击水平较高？
8 9 10 0.2 0.5 0.3
解：可求得甲乙两人的平均环数为
E(X ) 80.1 9 0.3 10 0.6 9.5
文科数学
方差的性质
1. 设 C 是常数，则 D( C ) = 0； 2. 若 C 是常数，则 D( CX ) = C2 D( X );

[解析] (1)依题意，随机变量 ξ 的取值是 2、3、4、5、6. 因为 P(ξ＝2)＝3822＝694； P(ξ＝3)＝2×8232＝1684； P(ξ＝4)＝32＋28×2 3×2＝2614； P(ξ＝5)＝2×832×2＝1624； P(ξ＝6)＝2×82 2＝644. 所以，当 ξ＝4 时，其发生的概率最大，为 P(ξ＝4)＝2614.
• 【典例2】 编号1,2,3的三位学生随意入座编号为 1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编 号相同的学生的个数是ξ.
• (1)求随机变ຫໍສະໝຸດ ξ的概率分布；• (2)求随机变量ξ的数学期望和方差．
• [分析] (1)随机变量ξ的意义表示对号入座的学生个数； 它的取值只有(zhǐyǒu)0、1或3，若2人对号入座第3人 必对号入座，所以ξ＝2不存在．由排列知识与等可能 事件概率公式易求分布列．
• 回归课本 • 1.一般地，若离散(lísàn)型随机变量ξ的概率分布列为
ξ
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
• 则称Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…为ξ的数学期望 或平均值、均值，数学期望又简称为期望．它反映了 离散(lísàn)型随机变量取值的平均水平．
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• 3．如果离散型随机变量ξ所有可能的取值是x1， x2，…，xn，…且取这些值的概率分别是p1，p2，…， pn，…，设Eξ是随机变量ξ的期望，那么把Dξ＝(x1－ Eξ)2·p1＋(x2－Eξ)2·p2＋…＋(xn－Eξ)2·pn＋…叫做 随机变量ξ的均方差(fānɡ chà)，简称方差(fānɡ chà)．Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记 作σξ.随机变量的方差(fānɡ chà)与标准差都反映了随 机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．其中 标准差与随机变量本身有相同的单位．