版高中数学第一章解三角形12应用举例一学案新人教B版必修5

1.2 应用举例（一）
学习目标 1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．
知识点一常用角
思考试画出“北偏东60°”和“南偏西45°”的示意图．
梳理在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语，请查阅资料后填空：
(1)方向角
指北或指南方向线与目标方向所成的小于________度的角．
(2)仰角与俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线________时叫仰角，目标视线在水平线________时叫俯角．(如下图所示)
(3)张角
由C点看AB的张角指的是角________．
知识点二测量方案
思考1 如图是北京故宫的角楼，设线段AB表示角楼的高度，在宫墙外护城河畔的马路边，选位置C，设CC′为测量仪器的高，过点C′的水平面与AB相交于点B′，由测点C′对角楼进行测量，你认为通过测量的数据能求出角楼的高度吗？
思考2 如图，如果移动测量仪CC′到DD′(测量仪高度不变)，想想
看，我们能测得哪些数据，使问题得以解决？
梳理测量某个量的方法有很多，但是在实际背景下，有些方法可能没法实施，比如直接测量某楼高．这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的．设计测量方案的基本任务是把目标量转化为可测量的量，并尽可能提高精确度．一般来说，基线越长，精确度越高．
类型一测量两个不能到达点之间的距离问题
例1 如图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为
3
2
km，∠ADB＝∠CDB
＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离．
反思与感悟测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，运用正弦定理解决．
跟踪训练1 要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边选取相距1003米的C、D两点，
并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D在同一平面内)，求A、B两地的距离．
类型二求高度
命题角度1 测量仰角(俯角)求高度
例2 如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于( )
A．10 m B．5 3 m
C．5(3－1) m D．5(3＋1) m
反思与感悟利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要从所给的实际背景中，进行加工、提炼，抓住本质，抽象出数学模型，使之转化为解三角形问题．
跟踪训练2 江岸边有一炮台C高30 m，江中有两条船B，A，船与炮台底部D在同一直线上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，则两条船相距________ m.
命题角度2 测量方位角求高度
例3 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
反思与感悟此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题．
跟踪训练3
如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB 的高是( )
A．10 m B．10 2 m
C．10 3 m D．10 6 m
1．如图，在河岸AC上测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是 ( )
A．a，c，α B．b，c，α C．c，a，β D．b，α，γ
2．如图，某人向正东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好13千米，那么x的值是________．
3．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________m，________m.
4.如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的
河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，
则A、B两点的距离为________m.
1．运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理．测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”是测量“两个不可到达点间的距离”的基础，这两类测量距离的题型间既有联系又有区别．
2．正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
答案精析
问题导学 知识点一 思考
梳理 (1)90 (2)上方 下方 (3)ACB 知识点二
思考1 可测得点A 的仰角α的大小．在△AB ′C ′中，三条边的长度都无法测出，因而AB ′无法求得．
思考2 如图所示，在点B ′，C ′，D ′构成的三角形中，可以测得∠β和∠γ的大小，又可测得C ′D ′的长，这样，我们就可以根据正弦定理求出边B ′C ′的长，从而在Rt△AB ′C ′中，求出AB ′的长．使问题得到解决． 题型探究 类型一
例1 解 在△BCD 中，
∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得BC sin 30°＝CD
sin 45°，
则BC ＝
CD sin 30°
sin 45°
＝
6
4
(km)． 在△ACD 中，
∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°， ∴△ACD 为正三角形， ∴AC ＝CD ＝
3
2
(km)． 在△ABC 中，由余弦定理得
AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°
＝34＋616－2×32×64×22＝38
，
∴AB ＝
6
4
(km)． ∴河对岸A 、B 两点间的距离为
6
4
km. 跟踪训练1 解 如图在△ACD 中，∠CAD ＝180°－(120°＋30°)＝30°，
∴AC ＝CD ＝1003(米)．
在△BCD 中，∠CBD ＝180°－(45°＋75°)＝60°， 由正弦定理得BC ＝1003sin 75°
sin 60°
＝200sin 75°(米)． 在△ABC 中，由余弦定理，得
AB 2＝(1003)2＋(200sin 75°)2－2×1003×200sin 75°cos 75°
＝1002
×(3＋4×1－cos 150°2－2×3×sin 150°)
＝1002
×5， ∴AB ＝1005(米)．
所以河对岸A 、B 两点间的距离为1005米． 类型二 命题角度1
例2 D [方法一 设AB ＝x m ， 则BC ＝x m. ∴BD ＝(10＋x )m.
∴tan∠ADB ＝AB DB ＝x 10＋x ＝3
3
.
解得x ＝5(3＋1)m. 所以A 点离地面的高AB 等于 5(3＋1)m.
方法二 ∵∠ACB ＝45°， ∴∠ACD ＝135°，
∴∠CAD ＝180°－135°－30°＝15°. 由正弦定理，
得AC＝CD
sin ∠CAD
·sin ∠ADC
＝
10
sin 15°
·sin 30°
＝
20
6－2
∴AB＝AC sin 45°＝5(3＋1)m.]
跟踪训练2 30
命题角度2
例3 100 6
解析依题意，∠CAB＝30°，AB＝600 m，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠CBD＝30°，∴∠ACB＝180°－30°－105°＝45°.
由正弦定理，得
BC＝AB
sin∠ACB
·sin∠CAB
＝
600
sin 45°
×sin 30°＝3002，
∴CD＝BC tan∠CBD＝3002×tan 30°＝1006(m)．跟踪训练3 D
当堂训练
1．D 2.4 3.20 3 40
3
3 4.50 2。