吉林省长春市2021届高三数学第一次质量监测一模试题文

吉林省长春市2021届高三数学第一次质量监测（一模）试题 文

一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合2

{|03,},{|20},A x x x B x x x =<<∈=-Z ≥则集合A B 的元素个数有

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个 2.若平面向()(),2,,12x ==-a b 且//a b ,则x 的值为

1 A.

B. 1 C 4 . 4 D. 2

--

3.函数26sin y x π⎛⎫

=+

⎪⎝

⎭

的图象的一条对称轴是 A. 6

x π

=-

B. 0x =

C. 6

x π=

D. |3

x π=

4.已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的渐近线方程为2,y x =±则其离心率为

5.张老师居住的一条街上,行驶着甲、乙两路公交车,这两路公交车的数目相同,并且都是每隔

十分钟就到达车站一辆(即停即走).张老师每天早晨都是在6:00到6:10之间到达车站乘车到学校,这两条公交线路对他是一样的,都可以到达学校,甲路公交车的到站时间是6:09,6:19，6:29,6:39，…,乙路公交车的到站时间是6:00,6:10,6:20,6:30,…，则张老师乘坐上甲路公交车的概率是

A. 10%

B. 50%

C. 60%

D. 90% 6.

1的长方形ABCD 沿对角线BD 折起,得到四面体-A BCD , 则四面体-A BCD 的外接球体积为 A.

43π B. 83π C. 4π D. 323

π 7.曲线ln y x x =在e x =处的切线的斜率为

A. 1

B. 2

C. 1-

D. 2-

8.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的 温度有关.经验表明,某种绿茶用85℃的水泡制,再等到 茶水温度降至60℃时饮用,可以产生最佳口感. 为分析 泡制一杯最佳口感茶水所需时间,某研究人员每隔 1min 测量一次茶水的温度,根据所得数据做出如图 所示的散点图.观察散点图的分布情况,下列哪个函数 模型可以近似地刻画茶水温度y 随时间x 变化的规律 A. ()2

0y mx n m =+> B. ()0y mx n m =+>

C. 0,01)(x

y ma a n m a +=>>≠且 D. ()log 0,01a y m x n m a a =+>>≠且

9.如图,长方体1111ABCD A B C D -中1,,BB BC P =为

11C D 的中点,则异面直线PB 与1B C 所成角的大小为

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

10.已知抛物线()220y px p =>，过其焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在第一象限)，且4,AB FB =则直线l 的倾斜角为 A.

6π B. 4π C. 3π D. 23

π

11.如图,在面积为1的正方形

1111

A B C D 内做四边形

2222,

A B C D 使

12212,A A A B =

1221122122112,2,2,B B B C C C C D D D D A ===以此类推,在四边形2222A B C D 内再

做四边形3333A B C D ……，记四边形i i i i A B C D 的面积为

1,2,3,,)(i a i n =，则123n a a a a +++

+=

]4. [1995n

A ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ]95. [149n

B ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

]1. [1233n

C ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ]. 3[132n

D ⎛⎫- ⎪⎝⎭

12.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()5,f x f x =+当[)2,0x ∈-时()2

,(2),f x x =-+当[)03x ∈，时(),,f x x =则(1)(2)(2021)f f f ++

+=

A. 809

B. 811

C. 1011 C. 1013

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.若tan 2,α=则sin 2α= . 14.24

1

log 3log 9

+= . 15.若复数z 满足3,z z ⋅=则||z = . 16.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,满足213

22

n S n n =

+,则n a = ; 1

C 1

D 1

A 1

B 2

A 2

B 2

C 2

D 3

A 3

B 3

C 3

D

数列1

1

{

}n n a a +的前n 项和n T = . 三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分

17.(12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,PA ⊥底面ABCD ,4PA AB ==,E 为PB 的中点,F 为线段BC 上的动点. (I)求证:平面AEF ⊥平面PBC ; (Ⅱ)求点

到平面的距离.

18.(12分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足1

cos 2

a b c B +=⋅. (1)求角C ;

(Ⅱ)若2,3a b ==,求ABC △外接圆的半径

.

19.(12分)某小区超市采取有力措施保障居民 正常生活的物资供应.为做好日常生活必需的 甲类物资的供应,超市对社区居民户每天对甲 类物资的购买量进行了调查,得到了以下频率 分布直方图(如图).

(I)估计该小区居民对甲类物资购买量的中位数; (Ⅱ)现将小区居民按照购买量分为两组,即购买量在[)1,3单位:kg )的居民为A 组,购买量在[]3,6 (单位:kg ]的居民为B 组,采用分层抽样的方式从