量词与含有一个量词的命题的否定

例2：
写出下列特称命题的否定：
（1）p: 存在一对实数，使2x＋3y＋3>0成立； （2）p: 有些三角形不是等腰三角形； （3）p: 有一个素数含三个正因数.
（1） ┐p：所有的实数都使得2x＋3y＋3≤0成立； （2） ┐p：所有的三角形都是等腰 三角形； （3） ┐p：所有的素数都不含有三个因数.
命
全称命题
题
特称命题
表 述
(1)所有x A, p(x)成立.
(1)存在x0 A,使p(x0 )成立.
(2)对一切x A, p(x)成立. (2)至少有一个x0 A,使p(x0 )
(3)对每一个x A, p(x)成立. 成立.
方 (4)任选一个x A,使p(x) 法 成立.
(3)对有些x0 A,使p(x0 )成立. (4)对某个x0 A,使p(x0 )成立.
探究一：
写出下列命题的否定：
（1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3）x∈R, x2－2x＋1≥0.
（1）并非所有的矩形都是平行四边形; 即 存在矩形不是平行四边形；
（2）并非每一个素数都是奇数；
即 存在素数不是奇数； （3）并非所有的x ∈ R，x2-2x+1≥0.
即 x0 ∈ R，x02-2x0+1<0.
一般地 , 对于含有一个量词的全称命题的 否定 , 有下面的结论:
结论一：
全称命题p : x ∈M，p （ x）， 它的否定┐p : x0 ∈M, ┐p （ x0 ）.
例1：
写出下列全称命题的否定：
（1）p：所有自然数的平方是正数； （2）p：所有可以被5整除的整数，末位 数字都是0； （3）p：每一个四边形的四个顶点共圆.

第五讲全称量词命题与存在量词命题的否定【学习目标】1.能正确写出一个命题的否定，并判断其真假．2．理解含有一个量词的命题的否定的意义．3．会对含有一个量词的命题进行否定．4．掌握全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．【基础知识】一、命题的否定1．命题的否定：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p”，读作“非p”或“p的否定”．2．命题的真假与命题的否定的真假：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题；反之亦然．3．常见的命题的否定形式有：原语句是都是>至少有一个至多有一个否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个二、全称量词命题与存在量词命题的否定1．全称量词的否定：全称量词命题p：∀x∈M，q(x)。

它的否定﹁p：∃x∈M，¬q(x)。

2．存在量词的否定：存在量词命题p：∃x∈M，p(x)。

它的否定﹁p：∀x∈M，¬p(x)。

3．结论：全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题。

4．全称量词命题与存在量词命题的否定判断真假：(1)要否定全称量词命题“∀x∈M，q(x)”，只需在M中找到一个x，使得q(x)不成立，也就是命题“∃x∈M，¬q(x)”成立．(2)要否定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是命题“∀x∈M，¬p(x)”成立．【考点剖析】考点一：命题的否定例1写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：y＝sin x是周期函数；(2)p：实数的绝对值都大于0；(3)p：菱形的对角线垂直平分；(4)p：若xy＝0，则x＝0或y＝0.【解析】(1) ¬p：y＝sin x不是周期函数．假命题．(2) ¬p：实数的绝对值不都大于零．真命题．(3) ¬p：菱形的对角线不垂直或不平分．假命题．(4) ¬p：若xy＝0，则x≠0且y≠0. 假命题．【答案】见解析考点二：全称量词命题的否定例2写出下列全称量词命题的否定，并判断其否定的真假．(1)对所有正数x，x>x＋1；(2)∀x∈R，x3＋1≠0；(3)所有被5整除的整数都是奇数；(3)所有的正方形都是矩形．【解析】(1)该命题的否定：存在正数x，x≤x＋1，真命题．(2)该命题的否定：∃x∈R，x3＋1＝0，真命题．(3)该命题的否定：存在一个被5整除的整数不是奇数，真命题．(4)该命题的否定：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．【答案】见解析考点三：存在量词命题的否定例3写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．①有些实数的绝对值是正数；②某些平行四边形是菱形；③∃x∈R，x2＋1<0；④∃x，y∈Z，使得2x＋y＝3.【解析】①该命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”．也即“所有实数的绝对值都不是正数”．假命题.②该命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．假命题.③该命题的否定：“不存在x∈R，x2＋1<0”，也即“∀x∈R，x2＋1≥0”．真命题.④该命题的否定：“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．假命题.【答案】见解析考点四：命题的否定含有参数的应用例4已知命题p：∃x∈(1,3)，x－a≥0；若¬p是真命题，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1) B．(3，＋∞)C．(－∞，3] D．[3，＋∞)(2)已知命题p：“∀x∈R，mx2≥0”是真命题，则实数m的取值范围是________．【解析】∃x∈(1,3)，x－a≥0的否定为∀x∈(1,3)，x－a<0，因为¬p为真命题，所以x<a在x∈(1,3)上恒成立．故a≥3.【答案】D【真题演练】1．有以下命题：①没有男生爱踢足球；②所有男生都不爱踢足球；③至少有一个男生不爱踢足球；④所有女生都爱踢足球．其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定的是()A．①B．②C．③D．④【解析】所有男生都爱踢足球的否定为“不是所有男生都爱踢足球”，即“至少有一个男生不爱踢足球”．【答案】 C2．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋2<0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋2≥0B．存在x∉R，x3－x2＋2≥0C．存在x∈R，x3－x2＋2≥0D．存在x∈R，x3－x2＋2<0【解析】命题“对任意的x∈R，x3－x2＋2<0”是全称量词命题，否定时将量词“对任意的x∈R”变为“存在x∈R”，再将<变为≥即可．即存在x∈R，x3－x2＋2≥0.故选C.【答案】 C3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数【解析】量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.【答案】 B4．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是()A．∀x∈R，|x|>0 B．∃x∈R，|x|>0C．∀x∈R，|x|≤0 D．∃x∈R，|x|≤0【解析】命题是存在量词命题，即∃x∈R，|x|>0，其否定为∀x∈R，|x|≤0.【答案】 C5．已知命题p：∃n∈N,2n>1 000，则¬p为()A．∀n∈N,2n≤1 000 B．∀n∈N,2n>1 000C．∃n∈N,2n≤1 000 D．∃n∈N,2n>1 000【解析】存在量词命题的否定为全称量词命题，“>”的否定为“≤”．【答案】 A6．命题“有些三角形是等腰三角形”的否定是()A．有些三角形不是等腰三角形B．所有三角形是等边三角形C．所有三角形都不是等腰三角形D．所有三角形都是等腰三角形【解析】存在量词命题的否定为全称量词命题，注意否定结论．故选C.【答案】 C7．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为______________，此命题的否定是______________，其否定是________命题(填“真”或“假”)．【答案】∃x，y∈R，使得x＋y>1 ∀x，y∈R，x＋y≤1假8．“至多有2个人”的否定为________．【解析】“至多有两个人”含义是有0人或1人或2人，故“至多有2个人”的否定为“至少有3个人”．【答案】至少有3个人9．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)任何有理数都是实数．(2)存在一个实数a，能使a2＋1＝0成立．【解析】(1)该命题的否定：至少有一个有理数不是实数．因为原命题是真命题，所以其否定是假命题．(2)该命题的否定：任意一个实数a，都不能使a2＋1＝0成立．因为a2＝－1在实数范围内不成立，所以原命题是假命题，所以其否定是真命题．【答案】见解析【过关检测】1．下列命题的否定是真命题的为()A ．p 1每一个合数都是偶数B ．p 2两条平行线被第三条直线所截内错角相等C ．p 3有些实数的绝对值是正数D ．p 4某些平行四边形是菱形【解析】 若判断某命题的否定的真假，只要判断出原命题的真假即可得解，它们的真假性始终相反．因p 1为全称量词命题，且是假命题，则﹁p 1是真命题．命题p 2，p 3，p 4均为真命题，即﹁p 2，﹁p 3，﹁p 4均为假命题．【答案】 A2．已知命题p ：∃x >0，x ＋a －1＝0，若p 为假命题，则a 的取值范围是( ) A ．{a |a <－1} B ．{a |a ≥1} C ．{a |a >1}D ．{a |a ≤－1}【解析】 ∵p 为假命题，∴¬p 为真命题，即：∀x >0，x ＋a －1≠0，即x ≠1－a ， ∴1－a ≤0，则a ≥1.∴a 的取值范围是{a |a ≥1}，故选B. 【答案】 B3．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2【解析】 根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D. 【答案】 D4．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋a ≠0，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤14B ．a <14C ．a <－14或a >0D ．a ≤－14或a ≥0【解析】 ∵p 是假命题，∴命题p 的否定，即∃x ∈R ，x 2＋x ＋a ＝0是真命题．∴Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14.【答案】 A5．全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是( ) A ．所有能被5整除的整数都不是奇数B ．所有奇数都不能被5整除C ．存在一个能被5整除的整数不是奇数D ．存在一个奇数，不能被5整除【解析】 全称量词命题的否定是存在量词命题，而选项A ，B 是全称量词命题，所以选项A ，B 错误．因为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”，所以选项D 错误，选项C 正确，故选C.【答案】 C6．下列四个命题中，真命题是( ) A ．∀x ∈R ，x ＋1x ≥2B ．∃x ∈R ，x 2－x >5C ．∃x ∈R ，|x ＋1|<0D ．∀x ∈R ，|x ＋1|>0【解析】 选项A ，当x <0时，x ＋1x ≥2不成立，所以A 错；选项C ，绝对值恒大于等于0，故C 错；选项D ，当x ＝－1时，|x ＋1|＝0，所以D 错，故选B.【答案】 B7．命题“至少有一个正实数x 满足方程x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝0”的否定是________________________________________________________________________．【解析】 把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定． 【答案】 所有正实数x 都不满足方程x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝08．若命题“∃x ＜2 019，x ＞a ”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 由于命题“∃x ＜2 019，x ＞a ”是假命题， 因此其否定“∀x ＜2 019，x ≤a ”是真命题，所以a ≥2 019.【答案】 [2 019，＋∞)9．若命题“∀x ∈R,2x 2＋3x ＋a ≠0”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 因为命题“∀x ∈R,2x 2＋3x ＋a ≠0”是假命题，所以其否定“∃x ∈R,2x 2＋3x ＋a ＝0”是真命题，所以Δ＝32－4×2×a ≥0，解得a ≤98.故实数a 的取值范围是a ≤98.【答案】 a ≤9810．写出下列命题的否定，并判断真假． (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)非负数的平方是正数；(3)有的四边形没有外接圆； (4)∃x ，y ∈Z ，使得2x ＋y ＝3； (5)∀x ∈Z ，x 2与3的和不等于0； (6)有些三角形的三个内角都为60°.【解析】 (1)命题的否定：“存在一个平行四边形的对边不平行．”由平行四边形的定义知，这是假命题．(2)命题的否定：“存在一个非负数的平方不是正数．”因为02＝0，不是正数，所以该命题是真命题．(3)命题的否定：“所有四边形都有外接圆”．因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题．(4)命题的否定：“∀x ，y ∈Z ，都有2x ＋y ≠3”． ∵当x ＝0，y ＝3时，2x ＋y ＝3， ∴原命题为真命题，命题的否定为假命题．(5)命题的否定：∃x ∈Z ，x 2与3的和等于0.是假命题．(6)命题的否定：任意一个三角形的三个内角不都为60°.是假命题． 【答案】 见解析11．已知命题“∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1≠0”为假命题，求实数a 的取值范围． 【解析】 题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否定“∃x ∈R ，使ax 2＋2x ＋1＝0”为真命题，即关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0有实数根．所以a ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，4－4a ≥0，即a ＝0，或a ≤1且a ≠0，所以a ≤1.所以实数a 的取值范围是{a |a ≤1}． 【答案】 {a |a ≤1}。

日常生活中的否定
在日常生活中，我们常常需要对这些命题进行否定。如“不是所有的猫都喜欢吃 鱼”、“不是所有人都喜欢运动”、“不是有些人喜欢吃甜食”等等。这些否定 命题中，量词不变，但是否定的内容变了。
在法律和医学中的应用
法律中的否定
在法律中，否定命题的应用非常广泛。如“不得侵犯他人的 人身权利”、“不得盗窃他人财物”、“不得伪造证件”等 等。这些命题中都包含着量词，如“不得”、“可以”。
命题
命题是一个判断（陈述）的语义表达，它可以被证实为真或 假。
命题的否定的定义与性质
命题的否定
命题的否定是在原命题的基础上，对其结论进行否定，即原命题为真，其否 定为假；原命题为假，其否定为真。
命题否定的性质
命题的否定具有唯一性，即对于任何一个命题，其否定只有一个。
常用逻辑用语与命题否定的关系
关系
02
关注逻辑学的新进展：随着逻辑学的发展，对于含有一个量词的命题的否定的 研究也在不断深入。需要关注逻辑学的新进展，以便了解最新的研究成果和研 究趋势。
03
研究实际应用：研究含有一个量词的命题的否定不仅是为了理论上的探讨，还 为了解决实际应用中的问题。因此，需要结合实际应用场景，研究和解决具体 问题。
04
命题否定与逻辑关系
命题否定与逻辑运算符的关系
命题否定与逻辑运算符的关联
命题否定是一种逻辑否定与逻辑运算符的差异
命题否定只对一个命题进行操作，而逻辑运算符可以对多个命题进行操作。
命题否定与逻辑推理的关系
命题否定与逻辑推理的关联
数学命题的否定
数学命题的否定是指以原命题的否定的真假为依据，即 若原命题为真则其否命题为假，若原命题为假则其否命 题为真。
在日常思维中的应用

│ 考点类析
[小结] (1)对任意的实数 x，a>f(x)恒成立，只需 a>f(x)max； 若存在一个实数 x0 ，使 a>f(x0 )成立，只需 a>f(x)min.(2)关于 恒成立的问题的求解方法：一是转化为二次函数求解；二是 利用分离参数法求解．
__∀__x_∈__M__，__￢_p__(_x_) ___________.
│ 预习探究
一些常见的量词的否定
词语 词语的 否定
词语
词语的 否定
是
不是
至少有 一个 一个 也没有
一定是
不一定是
至少 有n个 至多有 n－1 个
都是 大于
小于 且

不都是
小于或 等于
大于或 等于
或
至多 所有 x 有一个 成立
│ 考点类析
例 2 写出下列特称命题的否定，并判断其真假． (1)p：∃x0∈R，2x0＋1≥0； (2)q：∃x0∈R，x20－x0＋14<0； (3)r：有些分数不是有理数． 解：(1) ￢p：∀x∈R，2x＋1<0，￢p 为假命题． (2) ￢p：∀x∈R，x2－x＋14≥0. ∵x2－x＋14＝x－122≥0，∴￢p 是真命题． (3) ￢r：一切分数都是有理数，￢r 是真命题．
含有一个量词的命题的否定
► 知识点一 含有一个量词的全称命题的否定
对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题 p：∀x∈M，p(x)，它的否定￢p： _____∃__x0_∈__M__，__￢__p_(_x_0_) ______.
► 知识点二 含有一个量词的特称命题的否定 对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论： 特称命题 p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定￢p：

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(2)用全称量词或存在量词表示下列语句： ①有理数都能写成分数形式； ②方程 x2＋2x＋8＝0 有实数解； ③有一个实数乘以任意一个实数都等于 0.
【解】 ①任意一个有理数都能写成分数形式. ②存在实数 x，使方程 x2＋2x＋8＝0 成立. ③存在一个实数 x，它乘以任意一个实数都等于 0.上一页返回首页第二十二页，共三十八页。
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【自主解答】 (1)命题的否定：“存在一个平行四边形的对边不都平行”. 由平行四边形的定义知，这是假命题.
(2)命题的否定：“存在一个非负数的平方不是正数”.因为 02＝0，不是正 数，所以该命题是真命题.
(3)命题的否定：“所有四边形都有外接圆”.因为只有对角互补的四边形才 有外接圆，所以原命题为真，所以命题的否定为假命题.
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全XX称X (quán chēnɡ)命题与特称命题的真假 判断
指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假. (1)∀x∈N,2x＋1 是奇数； (2)存在一个 x0∈R，使x0－1 1＝0； (3)存在一组 m，n 的值，使 m－n＝1； (4)至少有一个集合 A，满足 A {1,2,3}.
(4)命题的否定：“∀x，y∈Z，都有 2x＋y≠3”. ∵当 x＝0，y＝3 时， 2x＋y＝3， ∴原命题为真，命题的否定为假命题.
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对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题 1.确定命题类型，是全称命题还是特称命题. 2.改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全 称量词. 3.否定结论：原命题中的 “是”“有”“存在 ”“成立”等改为“不 是”“没有”“不存在”“不成立”等. 4.无量词的全称命题要先补回量词再否定.

《含有一个量词的命题的否定》说课稿尊敬的各位评委、老师们：大家好！今天我说课的内容是《含有一个量词的命题的否定》。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析本节课是高中数学选修2-1 第一章第四节的内容。

在前面的学习中，学生已经掌握了全称量词和存在量词的概念以及全称命题和特称命题的形式。

本节课在此基础上，进一步研究含有一个量词的命题的否定，这不仅是对前面知识的深化和拓展，也为后续学习逻辑推理和证明打下坚实的基础。

教材通过具体的例子，引导学生观察、分析、归纳，总结出含有一个量词的命题的否定的规律和方法，体现了从特殊到一般的数学思想。

二、学情分析学生在之前的学习中已经对全称量词和存在量词有了一定的认识，但对于命题的否定还处于较为模糊的阶段。

在学习过程中，学生可能会在理解和运用命题的否定规则时出现困难，容易混淆全称命题和特称命题的否定形式。

因此，在教学中要注重引导学生通过实例进行分析和比较，加深对概念的理解和掌握。

三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解含有一个量词的命题的否定的概念。

（2）掌握全称命题和特称命题的否定形式，并能正确地写出它们的否定。

（3）能够运用含有一个量词的命题的否定解决一些简单的数学问题。

2、过程与方法目标（1）通过具体例子的分析和探究，培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理的能力。

（2）让学生经历从特殊到一般、从具体到抽象的思维过程，体会数学思想方法的应用。

3、情感态度与价值观目标（1）通过自主探究和合作交流，激发学生的学习兴趣和求知欲，培养学生勇于探索的精神。

（2）让学生在解决问题的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的信心。

四、教学重难点1、教学重点（1）全称命题和特称命题的否定形式。

（2）正确写出含有一个量词的命题的否定，并判断其真假。

2、教学难点理解全称命题和特称命题的否定形式的本质，以及在实际应用中灵活运用命题的否定解决问题。

特称命题”存在 中的一个 中的一个x,使 特称命题”存在M中的一个 使p(x) 成 立”可用符号简记为
（3）存在实数x，使得x +x-1=0。 存在实数 实数x 使得x +x-1=0。
2
2
∃x ∈x ∈ Biblioteka , 使得x(+xx).1 = 0。 ∃ M, p −
成立” 读作”存在一个x,使p(x)成立”. 存在一个 使 成立
表 述 方 法
（3）对每一个 x ∈ A ，使 p ( x) 成立； ； 成立； 立 （4）任意一个 （5）若 ，使 成立； 3）对有些 x ∈ A ，使 p ( x) 成立； 成立； （ 成立； （4）对某个 x ∈ A ，使 p (x) 成立； 成立； （5）有一个 x ∈ A ，使 p (x) 成立； 成立；
在以上命题的条件中， 所有” 每一个”“任 在以上命题的条件中，“所有”“每一个”“任 ”“ 何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整 ”“任意一条 任意一 一切”都是在指定范围内， 体或全部的含义，这样的词叫 全称量词 并用符号 体或全部的含义，这样的词叫作全称量词,并用符号 ∀ “ 含有全称量词的命题,叫 全称命题. ”表示.含有全称量词的命题 叫作全称命题 表示 含有全称量词的命题
含有一个量词的
命题的否定
（1）所有正方形都是矩形； 所有正方形都是矩形； 正方形都是矩形 每一个有理数都能写成分数的形式 有理数都能写成分数的形式； （2）每一个有理数都能写成分数的形式； 任何实数乘 都等于0 实数乘0 （3）任何实数乘0都等于0； 如果直线L垂直于平面α内的任意一条 （4）如果直线L垂直于平面α内的任意一条 直线，那么直线L垂直于平面α 直线，那么直线L垂直于平面α； 。 一切三角形的内角和都等于 三角形的内角和都等于180 （5）一切三角形的内角和都等于180 。

2021-2022学年高一上数学必修一1．5.2全称量词命题和存在量词命题的否定学习目标 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．知识点含量词的命题的否定p 綈p 结论全称量词命题∀x∈M，p(x)∃x∈M，綈p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题1．∃x∈M，p(x)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．(√)2．“任意x∈R，x2≥0”的否定为“∃x∈R，x2<0”．(√)3．“∃x∈R，|x|＝x”是假命题．(×)一、全称量词命题的否定例1写出下列命题的否定．(1)所有矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.解(1)存在一个矩形不是平行四边形；(2)存在一个素数不是奇数；(3)∃x∈R，x2－2x＋1<0.反思感悟全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x∈M，綈p(x)，全称量词命题的否定是存在量词命题．跟踪训练1写出下列命题的否定，并判断其否定的真假：(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根；(2)p：∀x∈N,2x>0.解(1)綈p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，故綈p为假命题．(2)綈p：∃x∈N,2x≤0.綈p为假命题．二、存在量词命题的否定例2写出下列命题的否定．(1)有些四边形有外接圆；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x∈R，x2＋1<0.解(1)所有的四边形都没有外接圆；(2)所有平行四边形都不是菱形；(3)∀x∈R，x2＋1≥0.反思感悟对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述．跟踪训练2写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：(1)有些实数的绝对值是正数；(2)∃x，y∈Z，使得2x＋y＝3.解(1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．(2)命题的否定：“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．∵当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，∴命题的否定是假命题．三、全称量词命题、存在量词命题的综合应用例3对于任意实数x，不等式x2＋4x－1>m恒成立．求实数m的取值范围．解令y＝x2＋4x－1，x∈R，则y＝(x＋2)2－5，因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，所以只要m<－5即可．所以所求m的取值范围是{m|m<－5}．延伸探究本例条件变为：“存在实数x，使不等式－x2＋4x－1>m有解”，求实数m的取值范围．解令y＝－x2＋4x－1，因为y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3.又因为∃x∈R，－x2＋4x－1>m有解，所以只要m小于函数的最大值即可，所以所求m的取值范围是{m|m<3}．反思感悟求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>y max(或a<y min)．(2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>y min(或a<y max)．跟踪训练3若命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0是真命题，则实数a的取值范围是() A．a≥1 B．a>1 C．a<1 D．a≤1答案 D解析命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0是真命题，则Δ≥0，即a≤1.故选D.1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．∀x∈R，|x|＋x2<0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x∈R，|x|＋x2<0D．∃x∈R，|x|＋x2≥0答案 C解析条件∀x∈R的否定是∃x∈R，结论“|x|＋x2≥0”的否定是“|x|＋x2<0”．2．命题“存在实数x，使x>1”的否定是()A．对任意实数x，都有x>1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1答案 C解析利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解．“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.3．关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是()A．綈p：∃x∈R，x2＋1≠0B．綈p：∀x∈R，x2＋1＝0C．p是真命题，綈p是假命题D．p是假命题，綈p是真命题答案 C解析命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”．所以p是真命题，綈p是假命题．4．命题“同位角相等”的否定为________．答案有的同位角不相等解析全称量词命题的否定是存在量词命题，故否定为：有的同位角不相等．5．命题：“有的三角形是直角三角形”的否定是：________.答案所有的三角形都不是直角三角形解析命题：“有的三角形是直角三角形”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，按照存在量词命题改为全称量词命题的规则，即可得到该命题的否定．1．知识清单：(1)全称量词命题、存在量词命题的否定．(2)命题真假的判断．2．方法归纳：转化思想．3．常见误区：否定不唯一，命题与其否定的真假性相反．1．若p：∀x∈R，|x|≤1，则()A．綈p：∃x∈R，|x|>1B．綈p：∀x∈R，|x|>1C．綈p：∃x∈R，|x|≥1D．綈p：∀x∈R，|x|≥1答案 A解析根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，∀x∈R，|x|≤1的否定为：∃x∈R，|x|>1，故选A.2．命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定()A．∃x>0，使得x2－x＋3≤0B．∃x>0，使得x2－x＋3>0C．∀x>0，都有x2－x＋3>0D．∀x≤0，都有x2－x＋3>0答案 B解析命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是：∃x>0，使得x2－x＋3>0.3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案 B解析量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.4．命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式綈p为()A．∀x∈N，x3≤x2B．∃x∈N，x3>x2C．∃x∈N，x3<x2D．∃x∈N，x3≤x2答案 D解析命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式是存在量词命题；∴綈p：“∃x∈N，x3≤x2”．故选D.5．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是()A．命题綈p是真命题B．命题p是存在量词命题C．命题p是全称量词命题D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题答案 C解析命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故綈p是假命题，命题p是全称量词命题，故选C.6．命题“∃x∈N，x2>1”的否定是________．答案∀x∈N，x2≤1解析由题意，根据存在量词命题与全称量词命题的关系可得，命题“∃x∈N，x2>1”的否定为“∀x∈N，x2≤1”．7．命题：∃x∈R，x2－x＋1＝0的否定是____________．答案∀x∈R，x2－x＋1≠0.解析因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以∃x∈R，x2－x＋1＝0的否定是：∀x∈R，x2－x＋1≠0.8．命题“任意一个x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是________．答案存在x∈R，使得x2－2x＋4>0解析原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，所以其否定为：存在x∈R，使得x2－2x＋4>0.9．写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)∀x ∈R ，x 2>0；(2)∃x ∈R ，x 2＝1；(3)∃x ∈R ，x 是方程x 2－3x ＋2＝0的根；(4)等腰梯形的对角线垂直．解 (1)命题的否定：∃x ∈R ，使x 2≤0，因为x ＝0时，02＝0，所以命题的否定为真．(2)命题的否定：∀x ∈R ，使x 2≠1，因为x ＝1时，x 2＝1，所以命题的否定为假．(3)命题的否定：∀x ∈R ，x 不是方程x 2－3x ＋2＝0的根，因为x ＝1时，12－3×1＋2＝0，即x ＝1为方程的根，所以命题的否定为假．(4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直，是真命题．10．命题p 是“对某些实数x ，若x －a >0，则x －b ≤0”，其中a ，b 是常数．(1)写出命题p 的否定；(2)当a ，b 满足什么条件时，命题p 的否定为真？解 (1)命题p 的否定：对任意实数x ，若x －a >0，则x －b >0.(2)b ≤a .11．下列命题的否定是真命题的是( )A ．三角形角平分线上的点到两边的距离相等B ．所有平行四边形都不是菱形C ．任意两个等边三角形都是相似的D ．3是方程x 2－9＝0的一个根答案 B解析 A 的否定：存在一个三角形，它的角平分线上的点到两边的距离不相等，假命题， B 的否定：有些平行四边形是菱形，真命题，C 的否定：有些等边三角形不相似，假命题，D 的否定： 3不是方程x 2－9＝0的一个根，假命题，故选B.12．已知命题“∃x ∈R ，使4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <0B ．0≤a ≤4C ．a ≥4D ．0<a <4答案 D解析 ∵命题“∃x ∈R ，使4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，∴命题“∀x ∈R ，使4x 2＋(a－2)x ＋14>0”是真命题，即判别式Δ＝(a －2)2－4×4×14<0，即Δ＝(a －2)2<4，则－2<a －2<2，即0<a <4，故选D.13．命题∀x ∈R ，x 2－x ＋3>0的否定是________，命题∃x ∈R ，x 2＋1<0的否定是________． 答案 ∃x ∈R ，x 2－x ＋3≤0 ∀x ∈R ，x 2＋1≥014．已知命题p ：任意x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是____________．答案 {a |a ≤0，或a ≥1}解析 若命题p 为真命题，则Δ＝4a 2－4a <0，∴0<a <1，所以当p 为假命题时，a 的取值范围是a ≤0或a ≥1.15．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥2x ＋1”的否定形式是( )A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <2x ＋1B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <2x ＋1C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <2x ＋1D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <2x ＋1答案 D解析 由题意可知，全称量词命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥2x ＋1”的否定形式为存在量词命题“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <2x ＋1”，故选D.16．已知命题“存在x ∈R ，ax 2－2ax －3>0”是假命题，求实数a 的取值范围．解 因为命题“存在x ∈R ，ax 2－2ax －3>0”的否定为“对于任意x ∈R ，ax 2－2ax －3≤0恒成立”，由命题真，其否定假；命题假，其否定真可知该命题的否定是真命题．事实上，当a ＝0时，对任意的x ∈R ，不等式－3≤0恒成立；当a ≠0时，借助二次函数的图象(图略)，数形结合，易知不等式ax 2－2ax －3≤0恒成立的等价条件是a <0且其判别式Δ＝4a 2＋12a ≤0，即－3≤a <0；综上知，实数a 的取值范围是{a |－3≤a ≤0}．。

1．5.2全称量词命题和存在量词命题的否定学习目标 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．知识点含量词的命题的否定p 綈p 结论全称量词命题∀x∈M，p(x)∃x∈M，綈p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题1．∃x∈M，p(x)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．(√)2．“任意x∈R，x2≥0”的否定为“∃x∈R，x2<0”．(√)3．“∃x∈R，|x|＝x”是假命题．(×)一、全称量词命题的否定例1写出下列命题的否定．(1)所有矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.解(1)存在一个矩形不是平行四边形；(2)存在一个素数不是奇数；(3)∃x∈R，x2－2x＋1<0.反思感悟全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x∈M，綈p(x)，全称量词命题的否定是存在量词命题．跟踪训练1写出下列命题的否定，并判断其否定的真假：(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根；(2)p：∀x∈N,2x>0.解(1)綈p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，故綈p为假命题．(2)綈p：∃x∈N,2x≤0.綈p为假命题．二、存在量词命题的否定例2写出下列命题的否定．(1)有些四边形有外接圆；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x∈R，x2＋1<0.解(1)所有的四边形都没有外接圆；(2)所有平行四边形都不是菱形；(3)∀x∈R，x2＋1≥0.反思感悟对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述．跟踪训练2写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：(1)有些实数的绝对值是正数；(2)∃x，y∈Z，使得2x＋y＝3.解(1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．(2)命题的否定：“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．∵当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，∴命题的否定是假命题．三、全称量词命题、存在量词命题的综合应用例3对于任意实数x，不等式x2＋4x－1>m恒成立．求实数m的取值范围．解令y＝x2＋4x－1，x∈R，则y＝(x＋2)2－5，因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，所以只要m<－5即可．所以所求m的取值范围是{m|m<－5}．延伸探究本例条件变为：“存在实数x，使不等式－x2＋4x－1>m有解”，求实数m的取值范围．解令y＝－x2＋4x－1，因为y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3.又因为∃x∈R，－x2＋4x－1>m有解，所以只要m小于函数的最大值即可，所以所求m的取值范围是{m|m<3}．反思感悟求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>y max(或a<y min)．(2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>y min(或a<y max)．跟踪训练3若命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0是真命题，则实数a的取值范围是() A．a≥1 B．a>1 C．a<1 D．a≤1答案 D解析命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0是真命题，则Δ≥0，即a≤1.故选D.1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．∀x∈R，|x|＋x2<0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x∈R，|x|＋x2<0D．∃x∈R，|x|＋x2≥0答案 C解析条件∀x∈R的否定是∃x∈R，结论“|x|＋x2≥0”的否定是“|x|＋x2<0”．2．命题“存在实数x，使x>1”的否定是()A．对任意实数x，都有x>1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1答案 C解析利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解．“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.3．关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是()A．綈p：∃x∈R，x2＋1≠0B．綈p：∀x∈R，x2＋1＝0C．p是真命题，綈p是假命题D．p是假命题，綈p是真命题答案 C解析命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”．所以p是真命题，綈p是假命题．4．命题“同位角相等”的否定为________．答案有的同位角不相等解析全称量词命题的否定是存在量词命题，故否定为：有的同位角不相等．5．命题：“有的三角形是直角三角形”的否定是：________.答案所有的三角形都不是直角三角形解析命题：“有的三角形是直角三角形”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，按照存在量词命题改为全称量词命题的规则，即可得到该命题的否定．1．知识清单：(1)全称量词命题、存在量词命题的否定．(2)命题真假的判断．2．方法归纳：转化思想．3．常见误区：否定不唯一，命题与其否定的真假性相反．1．若p：∀x∈R，|x|≤1，则()A．綈p：∃x∈R，|x|>1B．綈p：∀x∈R，|x|>1C．綈p：∃x∈R，|x|≥1D．綈p：∀x∈R，|x|≥1答案 A解析根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，∀x∈R，|x|≤1的否定为：∃x∈R，|x|>1，故选A.2．命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定()A．∃x>0，使得x2－x＋3≤0B．∃x>0，使得x2－x＋3>0C．∀x>0，都有x2－x＋3>0D．∀x≤0，都有x2－x＋3>0答案 B解析命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是：∃x>0，使得x2－x＋3>0.3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案 B解析量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.4．命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式綈p为()A．∀x∈N，x3≤x2B．∃x∈N，x3>x2C．∃x∈N，x3<x2D．∃x∈N，x3≤x2答案 D解析命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式是存在量词命题；∴綈p：“∃x∈N，x3≤x2”．故选D.5．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是()A．命题綈p是真命题B．命题p是存在量词命题C．命题p是全称量词命题D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题答案 C解析命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故綈p是假命题，命题p是全称量词命题，故选C.6．命题“∃x∈N，x2>1”的否定是________．答案∀x∈N，x2≤1解析由题意，根据存在量词命题与全称量词命题的关系可得，命题“∃x∈N，x2>1”的否定为“∀x∈N，x2≤1”．7．命题：∃x∈R，x2－x＋1＝0的否定是____________．答案∀x∈R，x2－x＋1≠0.解析因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以∃x∈R，x2－x＋1＝0的否定是：∀x∈R，x2－x＋1≠0.8．命题“任意一个x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是________．答案存在x∈R，使得x2－2x＋4>0解析原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，所以其否定为：存在x∈R，使得x2－2x＋4>0.9．写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)∀x∈R，x2>0；(2)∃x∈R，x2＝1；(3)∃x∈R，x是方程x2－3x＋2＝0的根；(4)等腰梯形的对角线垂直．解(1)命题的否定：∃x∈R，使x2≤0，因为x＝0时，02＝0，所以命题的否定为真．(2)命题的否定：∀x∈R，使x2≠1，因为x＝1时，x2＝1，所以命题的否定为假．(3)命题的否定：∀x∈R，x不是方程x2－3x＋2＝0的根，因为x＝1时，12－3×1＋2＝0，即x ＝1为方程的根，所以命题的否定为假．(4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直，是真命题．10．命题p 是“对某些实数x ，若x －a >0，则x －b ≤0”，其中a ，b 是常数．(1)写出命题p 的否定；(2)当a ，b 满足什么条件时，命题p 的否定为真？解 (1)命题p 的否定：对任意实数x ，若x －a >0，则x －b >0.(2)b ≤a .11．下列命题的否定是真命题的是( )A ．三角形角平分线上的点到两边的距离相等B ．所有平行四边形都不是菱形C ．任意两个等边三角形都是相似的D ．3是方程x 2－9＝0的一个根答案 B解析 A 的否定：存在一个三角形，它的角平分线上的点到两边的距离不相等，假命题， B 的否定：有些平行四边形是菱形，真命题，C 的否定：有些等边三角形不相似，假命题，D 的否定： 3不是方程x 2－9＝0的一个根，假命题，故选B.12．已知命题“∃x ∈R ，使4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <0B ．0≤a ≤4C ．a ≥4D ．0<a <4答案 D解析 ∵命题“∃x ∈R ，使4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，∴命题“∀x ∈R ，使4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题，即判别式Δ＝(a －2)2－4×4×14<0，即Δ＝(a －2)2<4，则－2<a －2<2，即0<a <4，故选D.13．命题∀x ∈R ，x 2－x ＋3>0的否定是________，命题∃x ∈R ，x 2＋1<0的否定是________． 答案 ∃x ∈R ，x 2－x ＋3≤0 ∀x ∈R ，x 2＋1≥014．已知命题p ：任意x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是____________．答案{a|a≤0，或a≥1}解析若命题p为真命题，则Δ＝4a2－4a<0，∴0<a<1，所以当p为假命题时，a的取值范围是a≤0或a≥1.15．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥2x＋1”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<2x＋1B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<2x＋1C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<2x＋1D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<2x＋1答案 D解析由题意可知，全称量词命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥2x＋1”的否定形式为存在量词命题“∃x∈R，∀n∈N*，使得n<2x＋1”，故选D.16．已知命题“存在x∈R，ax2－2ax－3>0”是假命题，求实数a的取值范围．解因为命题“存在x∈R，ax2－2ax－3>0”的否定为“对于任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，由命题真，其否定假；命题假，其否定真可知该命题的否定是真命题．事实上，当a＝0时，对任意的x∈R，不等式－3≤0恒成立；当a≠0时，借助二次函数的图象(图略)，数形结合，易知不等式ax2－2ax－3≤0恒成立的等价条件是a<0且其判别式Δ＝4a2＋12a≤0，即－3≤a<0；综上知，实数a的取值范围是{a|－3≤a≤0}。

B
【即时训练】
一般地,对于含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面的结论: 存在量词命题p：x0∈M，p（x0）， 它的否命题﹁p: x∈M,﹁p（x）.
例2 写出下列存在量词命题的否定： （1）p：x0∈R，x02＋2x0＋2≤0； （2）p：有的三角形是等边三角形； （3）p：有一个素数含有三个正因数. 【解析】（1）﹁p：x∈R，x2＋2x＋2＞0； （2）﹁p：所有的三角形都不是等边三角形； （3）﹁p：每一个素数都不含三个正因数.
逻辑推理：通过具体命题真假的判断，培养逻辑推理的核心素养
（1）注意全称量词命题和存在量词命题的自然语言与符号语言的转化
（2）注意省略量词的命题的真假判断
（3）对于“至多”“至少”型的命题，多采用逆向思维的方法处理
判断全称、存在量词命题真假的方法: （1）若全称量词命题为真，则给定集 合中每一个元素x使p(x)为真，若为假命题，则只需举一
探究点1 全称量词命题的否定 写出下列命题的否定： （1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3）x∈R, x2－2x＋1≥0.
提示： 经过观察，我们发现，以上三个全称量词命题的否定都可以用存在量词命题表示. 上述命题的否定可写成: （1）存在一个矩形不是平行四边形； （2）存在一个素数不是奇数； （3）x0∈R，x02-2x0+1<0.
（2）若存在量词命题为真，则给定集 合中只要有一个元素x使p(x)为真即可，否则为假命题.
否定
否定结论
1.命题“原函数与反函数的图象关于y=x对称” 的否定是（ ） A.原函数与反函数的图象关于y=-x对称 B.原函数不与反函数的图象关于y=x对称 存在一个原函数与反函数的图象不关于 y=x对称 D.存在原函数与反函数的图象关于y=x对称

(2)命题的否定：一般地，对命题p加以__否__定__，就得到一个新的命题，记
作“___綈__p_”.
索引
2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事 物的全体，称为全称量词，用符号“___∀_”表示. (2)存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个 体或部分，称为存在量词，用符号“∃”表示.
索引
5.(2020·合肥调研)能说明命题“∀x∈R 且 x≠0，x＋1x≥2”是假命题的 x 的值可
以是__－___1_(_任__意___负__数__)____(写出一个即可).
解析 当 x>0 时，x＋1x≥2，当且仅当 x＝1 时取等号， 当 x<0 时，x＋1x≤－2，当且仅当 x＝－1 时取等号， ∴x的取值为负数即可，例如x＝－1.
索引
2
考点分层突破
考点聚焦
题型剖析
考点一 全称量词命题、存在量词命题的真假判断
师生共研
【例 1】 (1)(多选题)(2021·德州模拟)下列四个命题中为真命题的是
A.∃x0∈(0，＋∞)，12x0＜13x0 B.∃x0∈(0，1)，log x0＞log x0 C.∀x∈(0，＋∞)，21x＞log x D.∀x∈0，13，12x＜log x
索引
【训练1】 (1)(多选题)下列命题中是真命题的有 A.∀x∈R，2x－1＞0
( ACD )
B.∀x∈N*，(x－1)2＞0
C.∃x0∈R，lg x0＜1 D.∃x0∈R，tan x0＝2 解析 当x＝1时，(x－1)2＝0，故B为假命题，其余都是真命题，故选ACD.
索引
【训练1】(2)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是

1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定(一)教学目标1.知识与技能目标（1）通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．（2）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．2．过程与方法目标：使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．3.情感态度价值观通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．(二)教学重点与难点教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．教具准备：与教材内容相关的资料.教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．（三）教学过程一.复习引入我们在上一节中学习过逻辑联结词“非”．对给定的命题p，如何得到命题p的否定（或非p），它们的真假性之间有何联系？二.思考分析观察下列命题：(1)被7整除的整数是奇数；(2)有的函数是偶函数；(3)至少有一个三角形没有外接圆．问题1：命题(1)的否定是“被7整除的整数不是奇数”，对吗？提示：不对．这是一个省略了量词“所有的”的全称量词命题．它的否定为：被7整除的整数不都是奇数，即存在一个被7整除的整数不是奇数．问题2：命题(2)的否定是“有的函数不是偶函数”，对吗？提示：不对．应为：不存在函数是偶函数，即每一个函数都不是偶函数．问题3：判断命题(3)的否定的真假．提示：命题(3)的否定：所有的三角形都有外接圆，是真命题．四.例题分析及练习[例1]判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)任何一个平行四边形的对边都平行；(4)负数的平方是正数．[思路点拨]先判断命题的真假，再写出命题的否定．[精解详析](1)是全称量词命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形且它的内角和不等于180°.(2)是全称量词命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)是全称量词命题且为真命题．命题的否定：存在一个平行四边形的对边不都平行．(4)是全称量词命题且为真命题．命题的否定：某个负数的平方不是正数．[感悟体会](1)全称量词命题的否定为存在量词命题．p：∀x∈M，p(x)成立⇒￢p：∃x0∈M，￢p(x0)成立．(2)命题p的否定为“非p”，二者真假性相反．当一个命题的真假不易判断时，可以通过“非p”的真假判断．训练题组11．命题“∀x∈R,3x2－2x＋1>0”的否定是________．【解析】“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，有￢p(x0)”．∴其否定为∃x0∈R,3x20－2x0＋1≤0.【答案】∃x0∈R,3x20－2x0＋1≤02．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)任何一个素数是奇数．(2)所有的矩形都是平行四边形．(3)∀a，b∈R，a2＋b2>0.(4)被5整除的整数，末位数字是0.【解】(1)是全称量词命题，其否定为存在一个素数，它不是奇数．因为2是素数，而不是奇数，所以其否定是真命题．(2)是全称量词命题，其否定为存在一个矩形，它不是平行四边形．它是假命题．(3)是全称量词命题，其否定为∃a，b∈R，a2＋b2≤0.它是真命题．(4)是全称量词命题，其否定为存在被5整除的整数，末位不是0.因为15能被5整除，其末位为5，所以是真命题．[例2]写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x0∈R，x20＋1<0；(4)∃x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3.[思路点拨]写命题的否定时注意更换量词并否定结论．[精解详析](1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定是“不存在x0∈R，使x20＋1<0”，即“∀x∈R，x2＋1≥0”．x2＋1≥1≥0，因此命题的否定是真命题．(4)命题的否定是“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．[感悟体会](1)存在量词命题的否定是全称量词命题，存在量词命题“∃x0∈M，p(x0)”的否定为对M 中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是“∀x∈M，￢p(x)”．(2)要证明存在量词命题是真命题，只需要找到使p(x0)成立的条件即可．训练题组23．命题“∃x0∈R，x30－x20＋1>0”的否定是()A．∀x∈R，x3－x2＋1<0B．∃x0∈R，x30－x20＋1≤0C．∃x0∈R，x30－x20＋1<0D．∀x∈R，x3－x2＋1≤0【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题，x3－x2＋1>0的否定是x3－x2＋1≤0，故D正确．【答案】D4．写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假．(1)p ：∃x 0＞1，使x 20－2x 0－3＝0；(2)p ：若a n ＝－2n ＋10，则∃n 0∈N *，Sn 0＜0； (3)p ：∃x 0∈R ，x 0＞2； (4)p ：∃x 0∈R ，x 20＜0.【解】(1)￢p ：∀x ＞1，x 2－2x －3≠0.(假) (2)￢p ：若a n ＝－2n ＋10，则∀n ∈N *，S n ≥0.(假) (3)￢p ：∀x ∈R ，有x ≤2.(假) (4)￢p ：∀x ∈R ，x 2≥0.(真)[例3] 若命题“∀x ∈[－1，＋∞)，x 2－2ax ＋2≥a ”是真命题，求实数a 的取值范围．[思路点拨] 因为此命题是全称量词命题，所以应满足在所给条件下恒成立．令f (x )＝x 2－2ax ＋2，只需当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ≥a 成立，可以利用一元二次不等式与一元二次函数的关系解题．[精解详析] 法一：由题意，∀x ∈[－1，＋∞)．令f (x )＝x 2－2ax ＋2≥a 恒成立，可转化为∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ≥a 恒成立．又f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，∴∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2，a ≥－1，（1＋a ）2＋2－a 2，a <－1. 因为f (x )的最小值f (x )min ≥a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥－1，2－a 2≥a ，或⎩⎪⎨⎪⎧a <－1，（1＋a ）2＋2－a 2≥a⇒ －1≤a ≤1或－3≤a <－1，得a ∈[－3,1]．法二：x 2－2ax ＋2≥a ，即x 2－2ax ＋2－a ≥0. 令f (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，所以全称量词命题转化为∀x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥0成立． 所以Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4(2－a )>0，a <－1，f （－1）≥0，即－2≤a ≤1或－3≤a <－2. 所以－3≤a ≤1.综上，所求实数a 的取值范围是[－3,1]．[感悟体会] 全称量词命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某些性质，因此属于恒成立问题，而恒成立问题往往借助于函数思想或数形结合思想最终归结到函数的最值问题上． 训练题组35．若命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－2,2)【解析】ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，即不等式ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1对∀x ∈R 恒成立，即(a ＋2)x 2＋4x ＋(a －1)≥0.当a ＋2＝0时，不符合题意．故有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，Δ≤0，解得a ≥2. 【答案】B6．若存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0，则实数a 的取值范围是________．【解析】当a ≤0时，显然存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0. 当a >0时，需满足Δ＝4－4a 2>0，得－1<a <1， 故0<a <1.综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，1)． 【答案】(－∞，1) 五.课堂小结与归纳1．一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．2．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定． 3．常用词语的否定如下表：六.1．已知命题p ：∀x ∈R ，cos x ≤1，则( )A ．￢p ：∃x 0∈R ，cos x 0≥1B ．￢p ：∀x ∈R ，cos x ≥1C ．￢p ：∃x 0∈R ，cos x 0>1D ．￢p ：∀x ∈R ，cos x >1【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题， ∴∀x ∈R ，cos x ≤1的否定为：∃x 0∈R ，cos x 0>1. 【答案】C2．下列命题中，真命题是( )A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数【解析】只有当m ＝0时，f (x )＝x 2(x ∈R )是偶函数，故A 正确，C 、D 不正确；又二次函数不可能为奇函数，故B 不正确．【答案】A3．已知a ＞0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)【解析】由题意知：x 0＝－b2a 为函数f (x )图象的对称轴方程，所以f (x 0)为函数的最小值，即对所有的实数x ，都有f (x )≥f (x 0)，因此∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)是错误的．【答案】C4．已知命题p ：对∀x ∈R ，∃m ∈R ，使4x ＋2x m ＋1＝0.若命题￢p 是假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．[－2，＋∞)【解析】因为￢p 为假，故p 为真，即求原命题为真时m 的取值范围． 由4x ＋2x m ＋1＝0， 得－m ＝4x ＋12x ＝2x ＋12x ≥2.∴m ≤－2. 【答案】C5．命题“∀x ∈R ，x 2－x ＋4>0”的否定是________．【解析】“∀x ∈M ，p (x )”的否定是“∃x 0∈M ，￢p (x 0)”，∴其否定为：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋4≤0. 【答案】∃x 0∈R ，x 20－x 0＋4≤06．命题“零向量与任意向量共线”的否定为________．【解析】命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称量词命题，其否定为存在量词命题“有的向量与零向量不共线”．【答案】有的向量与零向量不共线7．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假：(1)二次函数的图象是抛物线．(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象．(3)有些四边形存在外接圆．(4)∃a，b∈R，方程ax＋b＝0无解．【解】(1)∃f(x)∈{二次函数}，f(x)的图象不是抛物线．它是假命题．(2)在直角坐标系中，∃l∈{直线}，l不是一次函数的图象．它是真命题．(3)∀x∈{四边形}，x不存在外接圆．它是假命题．(4)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解．它是假命题．8．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，使x20＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．【解】对于命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0恒成立，只需12－a≥0恒成立，即a≤1；对于命题q：∃x0∈R，使x20＋2ax0＋2－a＝0成立，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，得a≤－2或a≥1.若p且q为真，则a≤－2或a＝1.故a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}．。

因为存在性命题强调结论的存在性，所以已知一个存在性命题“ ”．要证明它是真命题，只需在集合 中找到一个元素 ，使 成立即可；要判断它是假命题，需对集合 中每个元素 ，证明 不成立．
当然，如果直接判定一个命题的真值难度较大，也可以利用原命题真值与其否定形式真值之间的关系：原命题真，否定形式假；原命题假，否定形式真。
练习2（1）真命题；（2）假命题。
练习2B
练习1判断下列命题是特称命题还是全称命题，并写出其否命题：
（1）三周岁以下的儿童容易感染EV71病毒（手足口病）；
（2）存在周期函数没有最小正周期；
（3） 。
2、命题真值的判断
例2：对于函数 ，判定下列各命题的
真假
（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】因为全称命题强调命题的一般性，所以已知一个全称命题“ ”．要证明它是真命题，需对集合 中每一个元素x，证明 成立；要判断它是假命题，只要在集合 中找到一个元素 ，使 不成立即可．
判定方法，同时注意利用全称命题与特称命题真值关系灵活运用“正难则反”的解题策略，这样就可准确的判定出含一个量词的命题的真假。万万不能“以知识的昏昏，想让题目昭昭”。
练习2对于双曲线C： ，直线 ： （ ）。判断下列命题真假
（1） ；
（2）
3、综合问题
例3：命题“ 为假命题”是命题“ ”的( )条件
A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件
练习3命题p：“ 为假命题”是命题q：“ ”的（）条件
A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件
其实，每一部分知识的背后都有一双隐形的翅膀，典型的练习题就是锻炼这双翅膀的风浪。插上这双有力翅膀，我们就会在题海上自由翱翔!

命题的否定口诀
命题的否定口诀为：一全否，二特否，三条件，四结论。

具体解释如下：
1.“一全否”：如果一个命题是一个直言命题（包括全称肯定、全称否定、特称肯定和特称否定），那么它的否定就是另一个直言命题（只是把“所有”或“有”等限定词换成了“没有”或“不存在”等否定词）。

2.“二特否”：如果一个命题是一个量词命题（即含有一个或、和、非等逻辑联结词的命题），那么它的否定就是另一个量词命题（只是把“或”换成“且”，把“且”换成“或”，同时把逻辑值相反的量词换过来）。

3.“三条件”：如果一个命题是一个条件命题（即含有“如果...那么...”等关键词的命题），那么它的否定就是另一个条件命题（只是把“如果...那么...”等关键词换成了“如果非...那么非...”）。

4.“四结论”：如果一个命题是一个复合命题（即含有“或”、“且”、“非”等逻辑联结词的命题），那么它的否定就是另一个复合命题（只是把逻辑联结词和逻辑值相反的量词换过来）。

1.4.3 含有一个量词的命题的否定教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化； 教学难点：隐蔽性否定命题的确定； 课 型：新授课 教学手段：多媒体 教学过程：一、创设情境数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ∀”与“∃”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。

在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，,p q p q ∨∧都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。

二、活动尝试问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。

（1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3）∀x ∈R ，x 2-2x+1≥0分析：（1）∀∈x M,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形；∃∈⌝x M,p(x)（2）∀∈x M,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数；∃∈⌝x M,p(x) （3）∀∈x M,p(x)，否定：∃x ∈R ，x 2-2x+1<0；∃∈⌝x M,p(x) 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题. 三、师生探究问题2：写出命题的否定 （1）p ：∃ x ∈R ，x 2＋2x +2≤0； （2）p ：有的三角形是等边三角形； （3）p ：有些函数没有反函数；（4）p ：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分； 分析：（1）∀ x ∈R ，x 2＋2x+2>0；（2）任何三角形都不是等边三角形； （3）任何函数都有反函数；（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分； 从集合的运算观点剖析：()U UU A B A B = 痧 ,()U UU A B A B =痧四、数学理论1.全称命题、存在性命题的否定一般地，全称命题P ：∀ x ∈M,有P （x ）成立；其否定命题┓P 为：∃x ∈M,使P （x ）不成立。

也就是说，所有实数的绝对值都不是正数。 （2）某些平行四边形是菱形；
否定：没有一个平行四边形是菱形， 也就是说，任意一个平行四边形都不是菱形。
(3)x Ｒ，x2 1 0．
否定：不存在实ห้องสมุดไป่ตู้x使不等式 x2 1 0 成立，
也就是说，x R，x2 1 0．
(1)有些实数的绝对值是正数； 所有实数的绝对值都不是正数．
（1）所有的矩形都是平行四边形;
否定：并非所有的矩形都是平行四边形， 也就是说，存在一个矩形不是平行四边形.
(2)每一个素数都是奇数;
否定：并非每一个素数都是奇数， 也就是说，存在一个素数不是奇数.
(3)x Ｒ，x2 -2x 1 0．
否定：并非任意的实数x都使不等式x2 -2x 1 0成立，
也就是说，x R，x2 -2x 1 0．
(1)所有的矩形都是平行四边形； 存在一个矩形不是平行四边形．
(2)每一个素数都是奇数；
存在一个素数不是奇数．
(3)x Ｒ，x2 -2x 1 0．
x R，x2 -2x 1 0．
全称命题p: x M , p(x)
它的否定p: x M , p(x)
前三个命题都是全称命题，即具有“ x∈M，p（x）”的形式； 后三个命题都是特称命题，即“x0∈M，p（x0）”的形式. 它们命题的否定又是怎么样的呢？ 这就是我们这节课将要学习的内容 .
1 全称命题的否定
目 标
2 特称命题的否定
3 含有一个量词的命题的否定的应用
全称命题的否定
写出下列命题的否定：
结论：全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题
全称量词 存在量词
全称命题 特称命题

1.2 简单的逻辑联结词(不作要求)1.3 全称量词与存在量词1.3.1 量词1.3.2 含有一个量词的命题的否定学习目标核心素养1.理解全称量词与存在量词的意义，能准确地利用全称量词和存在量词叙述简单的数学内容．(重点)2.能判定全称命题和存在性命题的真假．(难点)3.了解对含有一个量词的命题的否定的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(易错点)1.通过对含有量词的命题的否定，培养逻辑推理素养．2.借助含量词的命题的真假求参数问题，提升数学运算素养.1．全称量词和全称命题全称量词“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词符号表示∀全称命题含有全称量词的命题称为全称命题符号表示∀x∈M，p(x)存在量词“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词符号表示∃存在性命题含有存在量词的命题称为存在性命题符号表示∃x∈M，p(x)写成相应命题的形式．(2)“不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立”是存在性命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．[提示] (1)是存在性命题，可改写为“∃x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”(2)是全称命题，可改写成：“∀x∈R，(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0”．3．全称命题和存在性命题的否定1．下列命题中为全称命题的是( ) A ．至少有一个自然数是2的倍数 B ．存在小于零的整数 C ．方程3x ＝2有实数根 D ．无理数是小数D [D 中“无理数”指的是所有的无理数．] 2．下列语句是存在性命题的是( ) A ．整数n 是2和7的倍数 B ．存在整数n ，使n 能被11整除 C ．x ＞7D ．∀x ∈M ，p (x )成立B [B 选项中有存在量词“存在”，故B 项是存在性命题，A 和C 不是命题，D 是全称命题．]3．下列四个命题中的真命题为( ) A ．∃x ∈Z,1<4x <3 B ．∃x ∈Z,5x ＋1＝0 C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0 D ．∀x ∈R ，x 2＋x ＋2>0D [当x ∈R 时，x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74>0，故选D.]4．已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则命题p 的否定是________．∃x ∈R ，sin x ＞1 [命题p 是全称命题，其否定应为存在性命题，即綈p ：∃x ∈R ，sinx ＞1.]两种命题的概念及真假判断【例1(1)∀x ∈N,2x ＋1是奇数；(2)存在一个x ∈R ，使1x －1＝0； (3)能被5整除的整数末位数是0； (4)有一个角α，使sin α>1[解] (1)是全称命题，因为∀x ∈N,2x ＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是存在性命题．因为不存在x ∈R ，使1x －1＝0成立，所以该命题是假命题． (3)是全称命题．因为25能被5整除，但末位数不是0，因此该命题是假命题． (4)是存在性命题，因为∀α∈R ，sin α∈[－1,1]，所以该命题是假命题．1．判断命题是全称命题还是存在性命题的方法 (1)分析命题中是否含有量词； (2)分析量词是全称量词还是存在量词；(3)若命题中不含量词，要根据命题的意义去判断． 2．全称命题与存在性命题真假的判断方法(1)要判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中每个元素x ，证明p (x )都成立；如果在集合M 中找到一个元素x ，使得p (x )不成立，那么这个全称命题就是假命题．(2)要判定存在性命题“∃x ∈M ，p (x )”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x ，使p (x )成立即可；如果在集合M 中，使p (x )成立的元素x 不存在，那么这个存在性命题就是假命题．1．(1)以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，使1x>2B [A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是存在性命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝0，所以C 是假命题；D 中对于任一个负数x ，都有1x<0，所以D 是假命题．](2)下列命题中，真命题是( ) A ．∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋cos x ≥2B ．∀x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1 C ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1D ．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan x >sin x B [(1)对于选项A ，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，∴此命题不成立；对于选项B ，x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x >3时，(x －1)2－2>0，∴此命题成立；对于选项C ，x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，∴x 2＋x ＝－1对任意实数x 都不成立，∴此命题不成立；对于选项D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，tan x <0，sin x >0，命题显然不成立．故选B.]含有一个量词的命题的否定x x 2x A ．∀x ∉R ，x 2≠x B ．∀x ∈R ，x 2＝x C ．∃x ∉R ，x 2≠x D ．∃x ∈R ，x 2＝x(2)写出下列命题的否定，并判断其真假： ①p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；②p ：所有的正方形都是菱形； ③p ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0.[思路探究] 先判定命题是全称命题还是存在性命题，再针对不同的形式加以否定． (1)D [原命题的否定为∃x ∈R ，x 2＝x ，故选D.] (2)[解] ①綈p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，假命题．因为∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0恒成立．②綈p ：至少存在一个正方形不是菱形，假命题． ③綈p ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题． 因为x ＝－1时，x 3＋1＝0.对全称命题和存在性命题进行否定的步骤与方法1．确定类型：是存在性命题还是全称命题．2．改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词． 3．否定结论：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．提醒：无量词的全称命题要先补回量词再否定．2．(1)命题“∃x ∈(0，＋∞)，ln x ＝x －1”的否定是( ) A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1 B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1 C ．∃x ∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1 D ．∃x ∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1A [存在性命题的否定是全称命题，故原命题的否定是∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1.] (2)写出下列命题的否定，并判断其真假．①p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； ②q: 存在一个实数x ，使得x 2＋x ＋1≤0； ③r ：等圆的面积相等，周长相等； ④s ：对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.[解] ①这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0有 实数根”，其否定形式是綈p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”．注意到当Δ＝1＋4m ＜0时，即m ＜－14时，一元二次方程没有实数根，所以綈p 是真命题．②这一命题的否定形式是綈q ：“对所有的实数x ，都有x 2＋x ＋1＞0”，利用配方法可以证得綈q 是真命题．③这一命题的否定形式是綈r ：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知綈r 是假命题．④这一命题的否定形式是綈s ：“存在α∈R ，sin 2α＋cos 2α≠1”，由于命题s 是真命题，所以綈s 是假命题.由命题的真假确定参数的范围1．若含参数的命题p 是假命题，如何求参数的取值范围？ 提示：先求綈p ，再求参数的取值范围．2．全称命题和存在性命题与恒成立问题和存在性问题有怎样的对应关系？提示：全称命题与恒成立问题对应，存在性命题与存在性问题对应．【例3】 (1)若命题p “∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．(2)已知命题p ：∃x ∈R,9x －3x－a ＝0，若命题p 是真命题，求实数a 的取值范围． [思路探究] (1)先求綈p ，再求参数的取值范围． (2)令3x＝t ，看作一元二次方程有解问题．(1) [－22，22] [綈p ：∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0为真命题． 则Δ＝9a 2－72≤0，解得－22≤a ≤22] (2)解：设3x＝t ，由于x ∈R ，则t ∈(0，＋∞)，则9x－3x－a ＝0⇔a ＝(3x )2－3x⇔a ＝t 2－t ，t ∈(0，＋∞)，设f (t )＝t 2－t ，t ∈(0，＋∞)，则f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14，当t ＝12时，f (t )min ＝－14，则函数f (t )的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞.母题探究：1.若将本例题(2)条件“∃x ∈R ”，改为“∃x ∈[0,1]”，其他不变，试求实数a 的取值范围．[解] 设3x＝t ，x ∈[0,1]，∴t ∈[1,3]．a ＝t 2－t ，∵t 2－t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14，∴a ＝t 2－t 在t ∈[1,3]上单调递增．∴t 2－t ∈[]0，6.即a 的取值范围是[]0，6.2．将本例题(2)换为“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m 是真命题”，试求m 的最小值．[解] 由已知可得m ≥tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4恒成立．设f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，显然该函数为增函数，故f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π4＝1，由不等式恒成立可得m ≥1，即实数m的最小值为1.应用两种命题求参数范围的两类题型1．全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以利用代入体现集合中相应元素的具体性质中求解；也可以根据函数等数学知识来解决．2．存在性命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．1．判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．3．要确定一个存在性命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在性命题是假命题．4．对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是存在性命题．(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“对数函数都是单调函数”是全称命题．( )(2)命题“有些菱形是正方形”是全称命题．( )(3)命题：∀x∈R，x2－3x＋3>0的否定是∀x∉R，x2－3x＋3≤0.()[答案] (1)√(2)×(3)×2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )A．所有不能被2整除的数都是偶数B．所有能被2整除的数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的数是偶数D．存在一个能被2整除的数不是偶数D[全称命题的否定为相应的存在性命题，即将“所有”变为“存在”，并且将结论进行否定．]3．命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5＜0是________(填“全称命题”或“存在性命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为綈p：________.存在性命题假∀x∈R，x2＋2x＋5≥0[命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5＜0是存在性命题．因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4＞0恒成立，所以命题p为假命题．命题p的否定为：∀x∈R，x2＋2x＋5≥0.]4．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假；(1)对某些实数x，有2x＋1>0；(2)∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶函数；(3)∃x∈Q，x2＝3[解] (1)命题中含有存在量词“某些”，因此是存在性命题，真命题．(2)命题中含有全称量词的符号“∀”，因此是全称命题．把3,5,7分别代入3x＋1，得10,16,22，都是偶数，因此，该命题是真命题．(3)命题中含有存在量词的符号“∃”，因此是存在性命题．由于使x2＝3成立的实数只有±3，且它们都不是有理数，因此，没有一个有理数的平方等于3，所以该命题是假命题．。