探究数列通项公式的求法

求数列通项公式常用的七种方法一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 进行求解.例1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式.分析：设数列{}n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧-=+=+54111d a d a 解得⎩⎨⎧-==231d a∴ ()5211+-=-+=n d n a a n二、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a . 例2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a . 分析：当2≥n 时，1--=n n n s s a =()()32321----n n=12-n而111-==s a 不适合上式，()()⎩⎨⎧≥=-=∴-22111n n a n n三、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a . 例3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 311=+，其中11=a ，求n a . 分析： 13+=n n a s ① ∴ n n a s 31=- ()2≥n ② ①-② 得 n n n a a a 331-=+ ∴ 134+=n n a a即 341=+n n a a ()2≥n 又1123131a s a ==不适合上式∴ 数列{}n a 从第2项起是以34为公比的等比数列 ∴ 222343134--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=n n n a a ()2≥n ∴()()⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛==-23431112n n a n n注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，类比出1-n a 与1-n s 的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项.四、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.例4：()12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a分析： 121-=-+n a a n n ∴ 112=-a a 323=-a a 534=-a a┅ 321-=--n a a n n ()2≥n以上各式相加得()()211327531-=-+++++=-n n a a n ()2≥n又01=a ，所以()21-=n a n ()2≥n ，而01=a 也适合上式， ∴ ()21-=n a n ()*∈Nn五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.例5：111,1n n na a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a分析：11n n n a a n -=- ∴11n n a n a n -=- ()2,n n N *≥∈故3241123123411231n n n a a a a na a n a a a a n -===- ()2,n n N *≥∈ 而11a =也适合上式，所以()n a n n N *=∈ 六、构造法：㈠、一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面形式上来看n a 是关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的方法:一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+ 则()11n n a ka k m -=+- 而1n n a ka b -=+ ∴()1b k m =- 即1b m k =- 故111n n b b a k a k k -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭∴数列11n b a k -⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 为公比的等比数列，借助它去求n a例6：已知111,21n n a a a -==+ ()2,n n N *≥∈ 求通项n a分析：121n n a a -=+ ∴()1112221n n n a a a --+=+=+∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列 ∴()111122n n n a a -+=+⋅= 故21n n a =- ㈡、取倒数法：这种方法适用于11n n n ka a ma p--=+()2,n n N *≥∈（,,k m p 均为常数0m ≠）， 两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于1n n a ka b -=+的式子. 例7：已知11122,2n n n a a a a --==+ ()2,n n N *≥∈ 求通项n a1122n n n a a a --=+ ∴111211122n n n n a a a a ---+==+ 即11112n n a a --= ()2,n n N *≥∈ ∴ 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，以12为公差的等差数列∴()1111222n n n a =+-⋅= ∴2n a n= ㈢、取对数法：一般情况下适用于1k l n n a a -=（,k l 为非零常数） 例8：已知()2113,2n n a a a n -==≥ 求通项n a分析：由()2113,2n n a a a n -==≥知0n a >∴在21n n a a -=的两边同取常用对数得 211lg lg 2lg n n n a aa --==即1lg 2lg nn a a -= ∴数列{}lg n a 是以lg 3为首项，以2为公比的等比数列故112lg 2lg3lg3n n n a --== ∴123n n a -=七、“m n n c ba a +=+1（c b ,为常数且不为0，*,N n m ∈）”型的数列求通项n a .例9：设数列{}n a 的前n 项和为n s ，已知*11,3,N n s a a a n n n ∈+==+，求通项n a . 解：n n n s a 31+=+ 113--+=∴n n n s a ()2≥n两式相减得 1132-+⋅+=-n n n n a a a 即 11322-+⋅+=n n n a a上式两边同除以13+n 得92332311+⋅=++n n n n a a （这一步是关键） 令nnn a c 3=得 92321+=+n n c c ⎪⎭⎫⎝⎛-=-∴+3232321n n c c ()2≥n （想想这步是怎么得来的） ∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-32n c 从第2项起，是以93322-=-a c 为首项，以32为公比的等比数列故 ()n n n n n a a c c 32332933232322222----=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-()323232+-=∴-n n n a c 又n n n a c 3=，所以()123223--⋅+⋅-=n n n a a a a =1 不适合上式 ()()()⎩⎨⎧≥⋅+⋅-==∴--23223112n a n a a n n n 注：求m n n c ba a +=+1（c b ,为常数且不为0，*,N n m ∈）”型的数列求通项公式的方法是等式的两边同除以1+n c ，得到一个“1n n a ka b -=+”型的数列，再用上面第六种方法里面的“一次函数法”便可求出n n ca 的通式，从而求出n a .另外本题还可以由n n n s a 31+=+得到nn n n s s s 31+=-+即 n n n s s 321+=+,按照上面求n a 的方法同理可求出n s ,再求n a .您不不妨试一试.除了以上七种方法外，还有嵌套法（迭代法）、归纳猜想法等，但这七种方法是经常用的，将其总结到一块，以便于学生记忆和掌握.。

求数列通项公式的各种方法
1、数列通项公式的求法
正确求解数列通项公式需要正确使用正确的数学方法，一般有以下几
种方法：
(1)数值计算法
数值计算法是运用一定的运算规则进行计算，可以求出数列通项公式。

运用的计算规则可以是把数列值转化到一个函数中求解，也可以是求出数
列中一组值的和，从而求出数列的一般项的系数。

(2)函数拟合法
函数拟合法是一种采用曲线拟合的方法来求解数列通项公式，它通过
将数列中的数据拟合到其中一种函数形式上来求出数列的通项公式。

一般
来说，采用函数拟合法求解数列的通项公式，需要先建立一种准确的函数
模型，然后通过拟合得到数列的通项公式。

(3)递推法
递推法是一种利用给出的数列中的两项或几项来求出数列中剩余的项，从而求出数列的通项公式的方法。

这种方法的原理是：当给出数列中的两
项或几项时，如果能够找到他们之间的关系或规律，就可以利用这种规律
来求出其他的项，最终求出数列的通项公式。

(4)特殊数列通项公式
特殊数列通项公式是一种将给出数列中的几项拆分开来，再套用一些
特殊的数列通项公式，从而求出数列的通项公式的方法。

常见的特殊数列
通项公式有等差数列的通项公式、等比数列的通项公式和其他一些特殊数列的通项公式。

数列求通项公式的方法（八种方法）（一）由数列的前几项求数列的通项公式（观察法）1．(1)数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n＝________.(2)数列{a n}的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式a n＝________.解析：(1)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n＝(－1)n1n(n＋1).(2)数列{a n}的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n＝2n＋1n2＋1.答案：(1)(－1)n1n(n＋1)(2)2n＋1n2＋1由数列的前几项求数列通项公式的策略根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等.（二）由a n与S n的关系求通项a n（公式法）2．(2017·东营模拟)设数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n}的前n项和为T n，满足T n＝2S n－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{a n}的通项公式．解析：(1)令n＝1时，T1＝2S1－1，∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.(2)n≥2时，T n－1＝2S n－1－(n－1)2，则S n＝T n－T n－1＝2S n－n2－[2S n－1－(n－1)2]＝2(S n－S n－1)－2n＋1＝2a n－2n＋1.因为当n＝1时a1＝S1＝1也满足上式，所以S n＝2a n－2n＋1(n≥1)，当n≥2时，S n－1＝2a n－1－2(n－1)＋1，两式相减得a n＝2a n－2a n－1－2，所以a n＝2a n－1＋2(n≥2)，所以a n＋2＝2(a n－1＋2)，因为a1＋2＝3≠0，所以数列{a n＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列．所以a n＋2＝3×2n－1，∴a n＝3×2n－1－2，当n＝1时也成立，所以a n＝3×2n－1－2.1．规律方法已知S n求a n的3个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替换S n中的n得到一个新的关系，利用a n＝S n－S n－1(n≥2)便可求出当n≥2时a n的表达式；(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时a n的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．（三）由递推关系求数列的通项公式递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接．归纳起来常见的探究角度有：(1)形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n . （累乘法） (2)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n . （累加法）(3)形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n . （构造法一）(4)形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C (A ，B ，C 为常数)，求a n . （取倒数法，构造二）命题点1 形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n3．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式． 解析：因为a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)， 所以a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.由累乘法可得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n (n ≥2)．又a 1＝1符合上式，∴a n ＝1n .命题点2 形如a n ＋1－a n ＝f (n )，求a n4．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，求数列{a n }的通项公式． 解析：因为a n ＋1－a n ＝3n ＋2，所以a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n (3n ＋1)2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝2＝12×(3×1＋1)，符合上式，所以a n ＝32n 2＋n 2. 命题点3 形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)求a n5．在数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式．解析：因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3.又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以a n ＝2·3n－1－1.1111()n n n n n n n n a pa qa a xa pa q x px q x a x p a x ++++=+===+⇒=+⇒-=-数列第一类型解释：代换 代入 原式命题点4 形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)，求a n6．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．解析：∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．课堂练习 a n 与S n 的关系求通项a n （公式法）1.已知数列{}n a 的前n 项和为23nn S =-,则n a = ．2.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11=a ，12n n na S +=.则n a = ．3.数列{}n a 满足112n n S a =-，则n a = ． 4．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝32a n －3，则数列{a n }的前n 项和S n 等于5.各项为正数的数列{}n a 满足2421n n n a S a =--(*n ∈N ),其中n S 为{}n a 前n 项和.(1)求1a ,2a 的值； (2)求数列{}n a 的通项公式6.已知2a 、5a 是方程027122=+-x x 的两根，数列{}n a 是递增的等差数列，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且n n b S 211-=（*∈N n ）．求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； 7．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且312n n S a =-*()n ∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在数列{}n b 中，15b =，1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式．8.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =且12n n S S n -=+（2n ≥，*n ∈N ）.( I )求n S ； ( II ) 是否存在等比数列{}n b 满足112339, b a b a b a ===，？若存在，则求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，则说明理由.9、已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. （累加法）10、已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

一般地，数列的通项公式可用数列的第n 项表示出来，因此求数列的通项公式，关键是根据数列各项之间的规律，求得数列第n 项的表达式.求数列的通项公式问题可采用公式法、逐差相加法、逐商相减法来求解.一、公式法对于求数列的通项公式来说，公式法是最简单，也最直接的方法，但该方法只适用于求解等差、等比数列的通项公式问题.在解题时，需首先根据等差、等比数列的定义判定数列的类型，然后求出数列的首项、公差、公比，再根据等差数列的通项公式：a n =a 1+(n -1)d ；等比数列的通项公式：a n =a 1q n -1来求解.例1.已知数列{a n }满足a 1=0，且11-a n +1-11-a n =1，求数列{a n }的通项公式.解:∵11-a n +1-11-a n =1,a 1=0，∴11-a 1=1，∴数列{}11-a n是以1为首项，1为公差的等差数列，∴11-a n =11-a 1+(n -1)×1=n ,∴数列{a n }的通项公式为a n =n -1n .由等差数列的定义：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，可知数列{}11-a n是等差数列，求得数列的首项、公差，便可利用等差数列的通项公式求出数列{}11-a n 的通项公式，通过运算，即可得到a n 的表达式.二、逐差相加法逐差相加法也叫做累加法，是求数列通项公式的常用方法之一.当遇到形如a n +1-a n =f (n )的递推式时，可采用逐差相加法求数列的通项公式.首先令n =1,2,3,…,n ，得到a n +1-a n =f (n ),a n -1-a n -2=f (n -1),…,a 2-a 1=f (1)，再将各项相加可得a n -a 1=(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)=f (n )+f (n -1)+…+f (1).通过正负相消，即可求得a n 的表达式.例2.若数列{a n }满足a n +1=a n +2n +1,a 1=1,求数列{a n }的通项公式.解:∵a n +1=a n +2n +1，∴a n +1-a n =2n +1，a n -a n -1=2n -1，...a 3-a 2=3=3，a 2-a 1=1.将上述式子累加可得(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 3-a 2)+(a 2-a 1)=[2(n -1)+1]+[2(n -2)+1]+…+(2×2+1)+(2×1+1)=2[(n -1)+(n -2)+…+2+1]+(n -1)=2×(n -1)n 2+(n -1)=n 2-1,∴a n =n 2，即数列{a n }的通项公式为a n =n 2.有些数列的递推式并不满足n =1的情况，因此运用逐差相加法求数列的通项公式，要注意考虑n =1的情况是否满足所求得的数列通项公式.三、逐商相乘法逐商相乘法也叫做累乘法，主要适用于求解由形如a n +1a n=f (n )的递推式求数列的通项公式问题.在解题时，需先分别令n =1,2,3，…，n ，得到=f (n )，a n -1a n -2=f (n -1),…，a 2a 1=f (1)，再将各项相乘可得a n a 1=a n +1a n ·a n -1a n -2·…·a 2a 1=f (n )·f (n -1)·…·f (1).通过约分，即可求得a n 的表达式.例3.已知数列{a n }是首项为1的正项数列，(n +1)a 2n +1-na 2n +a n +1a n =0，求数列{a n }的通项公式.解：(n +1)a 2n +1-na 2n +a n +1a n =(a n +1+a n )[(n +1)a n +1-na n ]=0,∵a n +1+a n >0，∴(n +1)a n +1=na n ，∴a n +1a n =n n +1，∴a 2a 1=12，a 3a 2=23，a 4a 3=34，…，a n a n -1=n -1n ，将上述n -1个式子相乘可得a n a 1=1n ，∴数列{a n }的通项公式为a n =1n.将数列的递推公式变形后，便可得到形如a n +1a n=f (n )的式子，于是采用逐商相乘法来求解，就能得到数列{a n }的通项公式.总之，无论运用哪种方法求解，都需仔细研究数列的各项或递推式，将其进行适当的变形，使其转化为a n +1-a n =d 、a n +1-a n =f (n )、a n +1a n =d 、a n +1a n =f (n )的形式，然后采用定义法、逐差相加法、逐商相乘法来求出数列的通项公式.（作者单位：甘肃省庆阳市环县第五中学）杜海坤探索探索与与研研究究50。

求数列通项公式的十种办法求数列的通项公式是数学中的一项重要工作。

下面列举了十种常用的求解数列通项公式的方法：1.递推法：这是最常见的一种方法。

通过观察数列中的规律，找出前一项与后一项之间的关系，并将其表达成递推公式，从而求得数列的通项。

例如斐波那契数列：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(n)表示第n项，F(n-1)表示第n-1项，F(n-2)表示第n-2项。

2.数列差法：如果数列的前后两项之间的差值有规律可循，可以通过观察差的变化规律来得到通项公式。

例如等差数列：a(n)=a(1)+(n-1)d，其中a(n)表示第n项，a(1)表示首项，d表示公差。

3.数列比法：如果数列的前后两项之间的比值有规律可循，可以通过观察比的变化规律来得到通项公式。

例如等比数列：a(n)=a(1)*r^(n-1)，其中a(n)表示第n项，a(1)表示首项，r表示公比。

4.代数方程法：数列中的数可以看作方程中的未知数，通过列方程组求解，得到方程的解即为数列的通项公式。

例如斐波那契数列可以通过矩阵的特征值和特征向量求得。

5.数列求和法：如果数列是由一个个项的和组成的，可以通过数列的求和公式求得通项公式。

例如等差数列的前n项和：S(n)=[n/2]*[2a(1)+(n-1)d]，其中[n/2]表示n除以2的整数部分，a(1)表示首项，d表示公差。

6.数列积法：如果数列可以表达为一系列项的连乘积的形式，可以通过求取连乘积的对数，再利用对数运算得到通项公式。

例如等比数列的前n项积：P(n)=a(1)^n*(r^n-1)/(r-1)，其中a(1)表示首项，r表示公比。

7.查表法：如果数列的部分项已知，可以通过列出表格的方式观察规律，推测出通项公式。

例如自然数列：1,2,3,...，通过观察可得到通项公式：a(n)=n。

8.数学归纳法：数学归纳法是一种证明方法，但也可以用来求数列的通项公式。

首先证明数列的通项公式对n=1成立，然后假设对n=k也成立，通过数学归纳法证明对n=k+1也成立，从而得到通项公式。

求数列通项公式的十种方法一．SA 法⎩⎨⎧≥-==-)2(1)(n11n S S S S n nn 注意具体可分为两种方法 1.改写相减，消去S n2.S n -S n-1直接替换掉a n ,求出S n ,再求出a n例 1. 已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和为n S 满足1S ＞1且6n S =(1)(2)n n a a ++ n ∈N * 求{n a }的通项公式。

的通项公式和，求数列项和为的前，数列项和为的前：已知数列例}{}{2}{22}{12n n n n n n n b a b T n b n n S n a -=+=的通项公式求各项均为正数，满足：已知数列例}{,21}{2n n nn n a S a a a =+的通项公式并求数列试确定常数最大值为的且项和的前：已知数列练习}{,.8),(21}{12n n n n a k S N k kn n S n a *∈+-=nn n n n a S a n n S 求）已知（求）已知（：练习,2232,732122-⋅=-+-=二．累加累乘法（也可用迭代法求解）用“累加”形如二用“累乘”形如一)()(),()(11n f a a n f a a n n n n +==++的通项公式求满足：已知数列例}{,1,21}{1211n n n n a nn a a a a ++==+的通项公式求项和前中，：已知数列例}{,32,1}{21n n n a a n S n a a +==的通项公式求，满足：已知数列练习n n n n a n a n n a a a ),1(23133}{111≥+-==+的通项公式求数列满足：已知数列练习}{a ,a a ,5a }{a 2n 2)1(311nn nn n ++==三．差商法实质是已知数列的前n 项和或前n 项积，求数列的通项公式的通项公式求数列满足：已知数列例}{),(4444}{113221n n n n a N n na a a a a *-∈=+++}{,2,1}{223211n n n a n a a a a n N n a a 求时都有且对所有中，：已知数列例=⋅⋅≥∈=*四．构造法”“)(1n f pa a n n +=+ ，只能用此法。

求数列通项公式的11种办法办法总述：一．运用递推关系式求数列通项的11种办法：累加法.累乘法.待定系数法.阶差法（逐差法）.迭代法.对数变换法.倒数变换法.换元法（目标是去递推关系式中消失的根号）.数学归纳法（罕用）不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）.特点根法二．四种根本数列：等差数列.等比数列.等和数列.等积数列及其广义情势.等差数列.等比数列的求通项公式的办法是：累加和累乘,这二种办法是求数列通项公式的最根本办法.三．求数列通项的办法的根本思绪是：把所求数列经由过程变形,代换转化为等级差数列或等比数列.四．求数列通项的根本办法是：累加法和累乘法.五．数列的本质是一个函数,其界说域是天然数集的一个函数. 一.累加法1．实用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最根本的二个办法之一. 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥,则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=双方分离相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 知足11211n n a a n a +=++=，,求数列{}n a 的通项公式. 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =.例2 已知数列{}n a 知足112313n n n a a a +=+⨯+=，,求数列{}n a 的通项公式. 解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.n n a n =+-解法二：13231n n n a a +=+⨯+双方除以13n +,得111213333n n n n n a a +++=++, 则111213333n n n n n a a +++-=+,故 是以11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯,则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯-演习1.已知数列{}n a 的首项为1,且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 答案：12+-n n演习2.已知数列}{n a 知足31=a ,)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ,求此数列的通项公式. 答案：裂项乞降n a n 12-=评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+,个中f(n)可所以关于n 的一次函数.二次函数.指数函数.分式函数,求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数,累加后可转化为等差数列乞降; ②若f(n)是关于n 的二次函数,累加后可分组乞降;③若f(n)是关于n 的指数函数,累加后可转化为等比数列乞降; ④若f(n)是关于n 的分式函数,累加后可裂项乞降.例3.已知数列}{n a 中,0>n a 且)(21nn n a n a S +=,求数列}{n a 的通项公式.解:由已知)(21nn n a na S +=得)(2111---+-=n n n n n S S nS S S ,化简有n S S n n =--212,由类型(1)有n S S n ++++= 32212,又11a S =得11=a ,所以2)1(2+=n n S n ,又0>n a 2)1(2+=n n s n ,,则2)1(2)1(2--+=n n n n a n此题也可以用数学归纳法来求解. 二.累乘法1.实用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列 累乘法是最根本的二个办法之二. 2．若1()n n a f n a +=,则31212(1)(2)()n na aaf f f n a a a +===，，， 双方分离相乘得,1111()nn k a a f k a +==⋅∏例4 已知数列{}n a 知足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，,求数列{}n a 的通项公式. 解：因为112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，,所以0n a ≠,则12(1)5n n na n a +=+,故1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=⋅⋅⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯所以数列{}na 的通项公式为(1)12325!.n n n na n --=⨯⨯⨯例5.设{}n a 是首项为1的正项数列,且()011221=+-+++n n n n a a na a n （n =1,2,3,…）,则它的通项公式是n a =________.解：已知等式可化为：[]0)1()(11=-++++n n n n na a n a a0>n a (*N n ∈)∴(n+1)01=-+nn na a , 即11+=+n na a nn ∴2≥n 时,n n a a n n 11-=- ∴112211a a a a a a a a n n n n n ⋅⋅⋅⋅=--- =121121⋅⋅--⋅- n n n n =n 1. 评注：本题是关于n a 和1+n a 的二次齐次式,可以经由过程因式分化（一般情形时用求根公式）得到n a 与1+n a 的更为显著的关系式,从而求出na .1,111->-+=+a n na a n n ,求数列{an}的通项公式.答案：=n a )1()!1(1+⋅-a n -1.评注：本题解题的症结是把本来的递推关系式,11-+=+n na a n n 转化为),1(11+=++n n a n a 若令1+=n n a b ,则问题进一步转化为n n nb b =+1情势,进而运用累乘法求出数列的通项公式. 三.待定系数法 实用于1()n n a qa f n +=+根本思绪是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其界说域是天然数集的一个函数.1．形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,个中a a =1)型（1）若c=1时,数列{n a }为等差数列; （2）若d=0时,数列{n a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时,数列{n a }为线性递推数列,其通项可经由过程待定系数法结构帮助数列来求.待定系数法：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得d c =-λ)1(,所以)0(,1≠-=c c dλ所以有：)1(11-+=-+-c d a c c d a n n 是以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 组成认为11-+c da 首项,以c 为公比的等比数列, 所以11)1(1-⋅-+=-+n n c c da c d a 即：1)1(11--⋅-+=-c d c c d a a n n .纪律：将递推关系d ca a n n +=+1化为)1(11-+=-++c da c c d a n n ,结构成公比为c 的等比数列}1{-+c da n 从而求得通项公式)1(1111-++-=-+c da c c d a n n逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系dca a n n +=+1中把n换成n-1有dca a n n +=-1,两式相减有)(11-+-=-n n n n a a c a a 从而化为公比为c 的等比数列}{1n n a a -+,进而求得通项公式.)(121a a c a a nn n -=-+,再运用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此办法比较庞杂.例6已知数列{}n a 中,111,21(2)n n a a a n -==+≥,求数列{}n a 的通项公式. 解法一：121(2),n n a a n -=+≥又{}112,1n a a +=∴+是首项为2,公比为2的等比数列12n n a ∴+=,即21nn a =-解法二：121(2),n n a a n -=+≥两式相减得112()(2)n n n n a a a a n +--=-≥,故数列{}1n n a a +-是首项为2,公比为2的等比数列,再用累加法的……演习．已知数列}{n a 中,,2121,211+==+n n a a a 求通项n a .答案：1)21(1+=-n n a2．形如：n n n q a p a +⋅=+1 (个中q 是常数,且n ≠0,1)①若p=1时,即：nn n q a a +=+1,累加即可.②若1≠p 时,即：n n n q a p a +⋅=+1,求通项办法有以下三种偏向：i. 双方同除以1+n p .目标是把所求数列结构成等差数列即：nn nn n q p p q a p a )(111⋅+=++,令n n n p a b =,则n nn q p p b b )(11⋅=-+,然后类型1,累加求通项.ii.双方同除以1+n q . 目标是把所求数列结构成等差数列.即： q q a q p q a n n n n 111+⋅=++,令n nn q a b =,则可化为q b q p b n n 11+⋅=+.然后转化为类型5来解,iii.待定系数法：目标是把所求数列结构成等差数列 设)(11n n n n p a p q a ⋅+=⋅+++λλ.经由过程比较系数,求出λ,转化为等比数列求通项.留意：运用待定系数法时,请求p ≠q,不然待定系数法会掉效. 例7已知数列{}n a 知足1112431n n n a a a -+=+⋅=，,求数列{}n a的通项公式.解法一（待定系数法）：设11123(3n n n n a a λλλ-++=+⋅),比较系数得124,2λλ=-=,则数列{}143n na--⋅是首项为111435a --⋅=-,公比为2的等比数列,所以114352n n n a ---⋅=-⋅,即114352n n n a --=⋅-⋅解法二（双方同除以1+n q ）： 双方同时除以13n +得：112243333n n n n a a ++=⋅+,下面解法略解法三（双方同除以1+n p ）： 双方同时除以12+n 得：nn n n n a a )23(342211⋅+=++,下面解法略 演习.（2003天津理） 设a 为常数,且)(2311N n a a n n n ∈-=--．证实对随意率性n≥1,012)1(]2)1(3[51a a n n n n nn ⋅-+⋅-+=-;3．形如b kn pa a n n ++=+1 (个中k,b 是常数,且0≠k ) 办法1：逐项相减法（阶差法） 办法2：待定系数法 经由过程凑配可转化为 ))1(()(1y n x a p y xn a n n +-+=++-;解题根本步调： 1.肯定()f n =kn+b 2.设等比数列)(y xn a b n n ++=,公比为p3.列出关系式))1(()(1y n x a p y xn a n n +-+=++-,即1-=n n pb b4.比较系数求x,y5.解得数列)(y xn a n ++的通项公式6.解得数列{}n a 的通项公式例8 在数列}{n a 中,,23,111n a a a n n +==+求通项n a .（逐项相减法）解： ,,231n a a n n +=+①∴2≥n 时,)1(231-+=-n a a n n ,两式相减得2)(311+-=--+n n n n a a a a .令nn n a a b -=+1,则231+=-n n b b运用类型5的办法知2351+⋅=-n n b 即13511-⋅=--+n n n a a ② 再由累加法可得213251--⋅=-n a n n . 亦可联立 ①②解出213251--⋅=-n a n n .例9. 在数列{}n a 中,362,2311-=-=-n a a a n n ,求通项n a .（待定系数法）解：原递推式可化为yn x a y xn a n n ++-+=++-)1()(21比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为12-=n n b b所所以{}n b 一个等比数列,首项299611=+-=n a b ,公比为21.1)21(29-=∴n n b即：nn n a )21(996⋅=+- 故96)21(9-+⋅=n a n n .4．形如cn b n a pa a n n +⋅+⋅+=+21 (个中a,b,c 是常数,且0≠a )根本思绪是转化为等比数列,而数列的本质是一个函数,其界说域是天然数集的一个函数.例10 已知数列{}n a 知足21123451n n a a n n a +=+++=，,求数列{}n a 的通项公式.解：设221(1)(1)2()n na x n y n z a xn yn z ++++++=+++ 比较系数得3,10,18x y z ===,所以2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++ 由213110118131320a +⨯+⨯+=+=≠,得2310180n a n n +++≠则2123(1)10(1)18231018n n a n n a n n ++++++=+++,故数列2{31018}n a n n +++为认为21311011813132a +⨯+⨯+=+=首项,以2为公比的等比数列,是以2131018322n n a n n -+++=⨯,则42231018n n a n n +=---.21 n n n a pa qa ++=+时将n a 作为()f n 求解剖析：原递推式可化为211()() n n n n a a p a a λλλ++++=++的情势,比较系数可求得λ,数列{}1n n a a λ++为等比数列. 例11 已知数列{}n a 知足211256,1,2n n n a a a a a ++=-=-=,求数列{}n a 的通项公式. 解：设211(5)()n n n n a a a a λλλ++++=++比较系数得3λ=-或2λ=-,无妨取2λ=-,（取-3 成果情势可能不合,但本质雷同） 则21123(2)n n n n a a a a +++-=-,则{}12n n a a +-是首项为4,公比为3的等比数列11243n n n a a -+∴-=⋅,所以114352n n n a --=⋅-⋅{}n a 中,若2,821==a a ,且知足03412=+-++n n n a a a ,求n a .答案：nn a 311-=.四.迭代法 rn n pa a =+1(个中p,r 为常数)型 例12 已知数列{}n a 知足3(1)2115nn n na aa ++==，,求数列{}n a 的通项公式.解：因为3(1)21n n n na a++=,所以又15a =,所以数列{}n a 的通项公式为(1)123!25n n n n n a --⋅⋅=.注：本题还可分解运用累乘法和对数变换法求数列的通项公式. 例13.（2005江西卷）已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a N n a a a a n n n ∈-==+),4(21,110,（1）证实12,;n n a a n N +<<∈ （2）求数列}{n a 的通项公式an.解：（1）略（2）],4)2([21)4(2121+--=-=+n n n n a a a a 所以21)2()2(2--=-+n n a ann nn n n n n n b b b b b a b 22212122222112)21()21(21)21(2121,2-+++----==⋅-=--=-=-= 则令又b n =－1,所以1212)21(22,)21(---=+=-=n n n n n b a b 即.办法2：本题用归纳-猜测-证实,也很简捷,请试一试.解法3：设c n n b -=,则c2121-=n n c ,转化为上面类型（1）来解五.对数变换法 实用于rn n pa a =+1(个中p,r 为常数)型 p>0,0>n a例14. 设正项数列{}n a 知足11=a ,212-=n na a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式.解：双方取对数得：122log 21log -+=n n a a ,)1(log 21log 122+=+-n na a ,设1log 2+=n a n b ,则12-=n n b b {}n b 是以2为公比的等比数列,11log 121=+=b 11221--=⨯=n n n b ,1221log -=+n a n,12log 12-=-n a n,∴1212--=n na演习 数列{}n a 中,11=a ,12-=n n a a （n ≥2）,求数列{}n a 的通项公式.答案：nna --=2222例15 已知数列{}n a 知足5123n n n a a +=⨯⨯,17a =,求数列{}n a 的通项公式.解：因为511237n n na a a +=⨯⨯=，,所以100n n a a +>>，. 双方取经常运用对数得1lg 5lg lg3lg 2n n a a n +=++ 设1lg (1)5(lg )n n a x n y a xn y ++++=++（同类型四） 比较系数得,lg3lg3lg 2,4164x y ==+ 由1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg 1lg 71041644164a +⨯++=+⨯++≠,得lg3lg3lg 2lg 04164n a n +++≠, 所以数列lg3lg3lg 2{lg }4164n a n +++是认为lg3lg3lg 2lg 74164+++首项,以5为公比的等比数列,则1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg (lg 7)541644164n n a n -+++=+++,是以11111111116164444111115161644445415151164lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (lg 7)54164464[lg(7332)]5lg(332)lg(7332)lg(332)lg(732)n n n n n n n n n n a n --------=+++---=⋅⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅则11541515164732n n n n na -----=⨯⨯.六.倒数变换法 实用于分式关系的递推公式,分子只有一项 例16 已知数列{}n a 知足112,12nn n a a a a +==+,求数列{}n a 的通项公式. 解：求倒数得11111111111,,22n n n n n n a a a a a a +++⎧⎫=+∴-=∴-⎨⎬⎩⎭为等差数列,首项111a =,公役为12,112(1),21n n n a a n ∴=+∴=+ 七.换元法 实用于含根式的递推关系 例17 已知数列{}n a知足111(14116n n a a a +=++=，,求数列{}n a 的通项公式.解：令n b =则21(1)24n n a b =-代入11(1416n n a a +=++得 即2214(3)n n b b +=+因为0n b =≥,则123n n b b +=+,即11322n n b b +=+, 可化为113(3)2n n b b +-=-,所所以{3}n b -认为13332b -==首项,认为21公比的等比数列,是以121132()()22n n n b ---==,则21()32n n b -=+,21()32n -=+,得2111()()3423n n n a =++.八.数学归纳法 经由过程首项和递推关系式求出数列的前n 项,猜出数列的通项公式,再用数学归纳法加以证实.例18 已知数列{}n a 知足11228(1)8(21)(23)9n n n a a a n n ++=+=++，,求数列{}n a 的通项公式.解：由1228(1)(21)(23)n n n a a n n ++=+++及189a =,得由此可猜测22(21)1(21)n n a n +-=+,下面用数学归纳法证实这个结论. （1）当1n =时,212(211)18(211)9a ⨯+-==⨯+,所以等式成立. （2）假设当n k =时等式成立,即22(21)1(21)k k a k +-=+,则当1n k =+时, 由此可知,当1n k =+时等式也成立.依据（1）,（2）可知,等式对任何*n N ∈都成立. 九.阶差法（逐项相减法） 1.递推公式中既有n S ,又有n a剖析：把已知关系经由过程11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩转化为数列{}n a 或n S 的递推关系,然后采取响应的办法求解.例19 已知数列{}n a 的各项均为正数,且前n 项和n S 知足1(1)(2)6n n n S a a =++,且249,,a a a 成等比数列,求数列{}n a 的通项公式.解：∵对随意率性n N +∈有1(1)(2)6n n n S a a =++⑴ ∴当n=1时,11111(1)(2)6S a a a ==++,解得11a =或12a = 当n ≥2时,1111(1)(2)6n n n S a a ---=++⑵ ⑴-⑵整顿得：11()(3)0n n n n a a a a --+--= ∵{}n a 各项均为正数,∴13n n a a --=当11a =时,32n a n =-,此时2429a a a =成立当12a =时,31n a n =-,此时2429a a a =不成立,故12a =舍去所以32n a n =-演习.已知数列}{n a 中,0>n a 且2)1(21+=n n a S ,求数列}{n a 的通项公式.答案：n n na S S =--1212)1()1(+=--n n a a 12-=n a n2.对无限递推数列例20 已知数列{}n a 知足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，,求{}n a 的通项公式.解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥①所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+② 用②式－①式得1.n n n a a na +-= 则1(1)(2)n n a n a n +=+≥ 故11(2)n na n n a +=+≥ 所以13222122![(1)43].2n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⨯=③由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥,21222n a a a ==+取得,则21a a =,又知11a =,则21a =,代入③得!13452n n a n =⋅⋅⋅⋅⋅=. 所以,{}n a 的通项公式为!.2n n a =十.不动点法 目标是将递推数列转化为等比（差）数列的办法不动点的界说：函数()f x 的界说域为D ,若消失0()f x x D ∈,使00()f x x =成立,则称0x 为()f x 的不动点或称00(,())x f x 为函数()f x 的不动点.剖析：由()f x x =求出不动点0x ,在递推公式双方同时减去0x ,在变形求解.类型一：形如1 n n a qa d +=+例21 已知数列{}n a 中,111,21(2)n n a a a n -==+≥,求数列{}n a 的通项公式. 解：递推关系是对应得递归函数为()21f x x =+,由()f x x =得,不动点为-1 ∴112(1)n n a a ++=+,…… 类型二：形如1n n n a a ba c a d+⋅+=⋅+剖析：递归函数为()a x bf x c x d⋅+=⋅+（1）如有两个相异的不动点p,q 时,将递归关系式双方分离减去不动点p,q,再将两式相除得11n n n n a p a pk a q a q++--=⋅--,个中a pc k a qc -=-,∴111111()()()()n n n a q pq k a p pq a a p k a q -----=---（2）如有两个雷同的不动点p,则将递归关系式双方减去不动点p,然后用1除,得111n n k a p a p +=+--,个中2ck a d=+.例22. 设数列{}n a 知足7245,211++==+n n n a a a a ,求数列{}n a 的通项公式.剖析：此类问题经常运用参数法化等比数列求解. 解：对等式两头同时加参数t,得：,725247)52(727)52(72451+++++=+++=+++=++n n n n n n n a t t a t a t a t t a a t a令5247++=t t t , 解之得t=1,-2 代入72)52(1+++=++n n n a t a t t a 得721311+-=-+n n n a a a ,722921++=++n n n a a a ,相除得21312111+-⋅=+-++n n n n a a a a ,即{21+-n n a a }是首项为412111=+-a a , 公比为31的等比数列,21+-n n a a =n -⋅1341, 解得13423411-⋅+⋅=--n n n a . 办法2：,721311+-=-+n n n a a a ,双方取倒数得1332)1(39)1(2)1(372111-+=-+-=-+=-+n n n n n n a a a a a a , 令b 11-=n n a ,则b =n n b 332+,, 转化为累加法来求.例23 已知数列{}n a 知足112124441n n n a a a a +-==+，,求数列{}n a 的通项公式.解：令212441x x x -=+,得2420240x x -+=,则1223x x ==，是函数2124()41x f x x -=+的两个不动点.因为112124224121242(41)13262132124321243(41)92793341n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++---+--+--====----+---+.所以数列23n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是认为112422343a a --==--首项,认为913公比的等比数列,故12132()39n n n a a --=-,则113132()19nn a -=+-. 演习1：已知{}n a 知足11122,(2)21n n n a a a n a --+==≥+,求{}n a 的通项n a答案：3(1)3(1)n nn nna --∴=+-演习2.已知数列{}n a 知足*11212,()46n n n a a a n N a +-==∈+,求数列{}n a 的通项n a答案：135106n na n -∴=-演习3.（2009陕西卷文）已知数列{}n a 知足, *11212,,2n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝. ()I 令1n n n b a a +=-,证实：{}n b 是等比数列;(Ⅱ)求{}n a 的通项公式.答案：（1）{}n b 是以1为首项,12-为公比的等比数列.（2）1*521()()332n n a n N -=--∈.十一：特点方程法 形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列 （已知 a1;a2)形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特点根法求得通项n a ,其特点方程为2x px q =+…①若①有二异根,αβ,则可令1212(,n nn a c c c c αβ=+是待定常数） 若①有二重根αβ=,则可令1212()(,nn a c nc c c α=+是待定常数）再运用1122,,a m a m ==可求得12,c c ,进而求得n a例24 已知数列{}n a 知足*12212,3,32()n n na a a a a n N ++===-∈,求数列{}n a 的通项n a解：其特点方程为232x x =-,解得121,2x x ==,令1212n nn a c c =⋅+⋅, 由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩,得12112c c =⎧⎪⎨=⎪⎩, 112n n a -∴=+例25已知数列{}n a 知足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈,求数列{}n a 的通项n a解：其特点方程为2441x x =-,解得1212x x ==,令()1212nn a c nc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩,得1246c c =-⎧⎨=⎩, 1322n n n a --∴=演习1．已知数列{}n a 知足*12211,2,441()n n n a a a a a n N ++===--∈,求数列{}n a 的通项演习2．已知数列{}n a 知足*12211,2,444()n n n a a a a a n n N ++===---∈,求数列{}n a 的通项解释：(1)若方程2x px q =+有两不合的解s , t,则)(11-+-=-n n n n ta a s ta a , )(11-+-=-n n n n sa a t sa a ,由等比数列性质可得1121)(-+-=-n n n s ta a ta a , 1121)(-+-=-n n n t sa a sa a ,,s t ≠ 由上两式消去1+n a 可得()()()nn n t t s t sa a s t s s ta a a ..1212-----=.(2)若方程2x px q =+有两相等的解t s =,则()()12121211)(ta a s ta a s ta a s ta a n n n n n n n -==-=-=-----+ ,21211s ta a s a s a n n n n -=-∴++,等于⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n s a 等差数列, 由等差数列性质可知()2121.1ssa a n s a s a n n --+=, 所以nn s n s sa a s sa a s a a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=.2122121． 例26.数列{}n a 知足1512a =-,且212542924n n n a a a +-=+求数列{}n a 的通项.解：2211252925244429292244n n n n n n n a a a a a a a λλλλ++-++-+==+=++……① 令229254λλ-=,解得12251,4λλ==,将它们代回①得,()21112924n n n a a a +++=+……②,212525429424nn n a a a +⎛⎫+ ⎪⎝⎭+=+……③,③÷②,得21125254411n nn n a a a a ++⎛⎫++ ⎪= ⎪++ ⎪⎝⎭,则11252544lg 2lg 11n n n n a a a a ++++=++,∴数列254lg 1n n a a ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭成等比数列,首项为1,公比q =2所以1254lg 21n n n a a -+=+,则12254101n n n a a -+=+,112225104101n n n a ---∴=-十二.四种根本数列1．形如)(1n f a a n n =-+型 等差数列的广义情势,见累加法.)(1n f a a nn =+型 等比数列的广义情势,见累乘法. )(1n f a a n n =++型（1）若d a a n n =++1（d 为常数）,则数列{n a }为“等和数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来评论辩论;（2）若f(n)为n 的函数（异常数）时,可经由过程结构转化为)(1n f a a n n =-+型,经由过程累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得)1()(11--=--+n f n f a a n n ,,分奇偶项来分求通项.例27. 数列{n a }知足01=a ,n a a n n 21=++,求数列{a n }的通项公式. 剖析 1：结构 转化为)(1n f a a n n =-+型解法1：令n nn a b )1(-=则n a a a a b b n n n n n n n n n n 2)1()()1()1()1(111111⋅-=+-=---=-++++++.2≥n 时,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=⨯⋅-=--⋅-=--⋅-=-----012)1()2(2)1()1(2)1(112121211a b b b n b b n b b n n n n n n各式相加:[]1)1(2)1()2()1()1()1(2231⋅-+⋅-++--+--=- n n b n n n当n 为偶数时,n n n b n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅-+-=22)1()1(2. 此时n b a n n == 当n 为奇数时,1)21(2+-=--=n n b n 此时n n a b -=,所以1-=n a n .故 ⎩⎨⎧-=.,,,1为偶数为奇数n n n n a n解法2： na a n n 21=++∴2≥n 时,)1(21-=+-n a a n n ,两式相减得：211=--+n n a a . ∴,,,,531 a a a 组成以1a ,为首项,以2为公役的等差数列; ,,,,642 a a a 组成以2a ,为首项,以2为公役的等差数列∴22)1(112-=-+=-k d k a a k k d k a a k 2)1(22=-+=.∴⎩⎨⎧-=.,,,1为偶数为奇数n n n n a n 评注：成果要还原成n 的表达式.例28.（2005江西卷）已知数列{a n }的前n 项和S n 知足 S n －S n －2=3,23,1),3()21(211-==≥--S S n n 且求数列{a n }的通项公式. 解：办法一：因为),3()21(31112≥-⋅=++=-----n a a a a S S n n n n n n n 所以 以下同上例,略答案 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+-⋅-=--.,)21(34,,)21(3411为偶数为奇数n n a n n n)(1n f a a n n =⋅+型（1）若p a a n n =⋅+1(p 为常数),则数列{n a }为“等积数列”,它是一个周期数列,周期为2,其通项分奇数项和偶数项来评论辩论;（2）若f(n)为n 的函数（异常数）时,可经由过程逐差法得)1(1-=⋅-n f a a n n ,两式相除后,分奇偶项来分求通项.例29. 已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a nn n ∈=⋅=+,求此数列的通项公式.注：同上例相似,略.。

数列通项公式的十种求法（1）公式法（构造公式法）例1 已知数列{}n a 满足1232nn n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232nn n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2nna 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222nn a n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nn n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

（2）累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。

求通项公式的常用方法通项公式是数列中每一项与序号n之间的关系式，可通过递推关系和数列特点来确定。

下面将介绍几种常用的方法来求解通项公式。

一、等差数列等差数列是一种公差固定的数列，通项公式可以通过公差和首项求得。

1.递推法：设等差数列的首项为a₁，公差为d，则通项公式为an = a₁ + (n -1)d。

2.求和法：对于等差数列，可以根据前n项和与首项之间的关系来求解通项公式。

设前n项和为Sn，首项为a₁，公差为d，则有等差数列求和公式Sn =n/2(a₁ + an)。

二、等比数列等比数列是一种比值固定的数列，通项公式可以通过公比和首项求得。

1.递推法：设等比数列的首项为a₁，公比为r，则通项公式为an = a₁ * r^(n -1)。

2.求和法：对于等比数列，可以根据前n项和与首项之间的关系来求解通项公式。

设前n项和为Sn，首项为a₁，公比为r，则有等比数列求和公式Sn=a₁(r^n-1)/(r-1)。

三、斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，前两项为1，之后的每一项都是前两项的和。

1.递推法：设斐波那契数列的第n项为F(n)，则通项公式为F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=12.通项公式法：利用通项公式公式Fn = (Phi^n - (-Phi)^(-n))/sqrt(5)，其中Phi是黄金分割比(约为1.618）。

四、多项式数列多项式数列是指通项由多项式表达的数列。

1.解线性递推关系：对于多项式数列，可以根据给定的递推关系式来推导通项公式。

具体的方法可以通过代入法、特征根法、辅助方程法等来求解。

2.拉格朗日插值法：对于已知部分数列项的数值，可以利用拉格朗日插值法求解通项公式。

该方法需要确定数列项数目与已知项数目一致。

以上是一些常见的求通项公式的方法，不同的数列类型可能需要不同的方法来求解。

在实际问题中，还可以根据数列性质和给定条件等将其转化为已知的数列类型，从而应用相应的求解方法。

求数列通项公式的十种方法求解数列通项公式是数学中的一个重要问题，对于一些特殊的数列，我们可以通过观察规律来找到通项公式，但对于一般的数列来说，我们需要使用一些数学工具和技巧来解决这个问题。

在下面，我将介绍十种常用的方法来求解数列的通项公式。

方法一：递推法递推法是一种常见的求解数列的方法，通过观察数列中相邻项之间的关系，可以找到递推公式。

常见的递推公式有线性递推和非线性递推两种形式。

方法二：列元法列元法是一种将数列元素列出来，然后通过观察数列元素之间的关系，找到通项公式的方法。

常见的列元法包括列出常数项和差项、连加项、平方项和立方项等。

方法三：指数递推法指数递推法是一种将数列元素进行指数递推，然后通过观察递推结果找到通项公式的方法。

常见的指数递推法包括指数增长、指数递减和二阶指数递增等。

方法四：利用级数对于一些复杂的数列，可以使用级数的方法来求解通项公式。

通过构造级数和求导积分等操作，可以得到数列的通项公式。

方法五：利用生成函数生成函数是一种将数列转化为多项式的方法，通过多项式的操作，可以得到数列的通项公式。

常见的生成函数包括普通生成函数和指数型生成函数。

方法六：利用逼近方法逼近方法是通过找到数列与一些函数逼近的关系，然后通过求解该函数的表达式来求解数列的通项公式。

常见的逼近方法包括泰勒级数逼近和拉格朗日插值等。

方法七：利用矩阵运算对于一些特殊的数列，可以使用矩阵运算的方法来求解通项公式。

通过构造矩阵和矩阵的运算，可以得到数列的通项公式。

方法八：利用线性代数利用线性代数的方法，可以将数列看作向量空间中的向量，通过线性变换和线性方程组的解来求解数列的通项公式。

方法九：利用特殊函数对于一些特殊的数列，可以使用特殊函数的方法来求解通项公式。

常见的特殊函数有二次函数、指数函数、对数函数、三角函数和双曲函数等。

方法十：利用离散数学离散数学是一种研究离散结构和离散规律的数学分支，通过利用离散数学的方法，可以求解数列的通项公式。

数列通项公式一常见9种求法、公式法例1已知数列[飞.满足'，--，求数列..的通项公式。

7T-为首项，以:为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得 厂一-匚，所以数 Q J等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出 J-1-一一，进而求出数列的通项公式。

、累加法例2已知数列宀. '满足，求数列 的通项公式。

解：由 一、一 得—、-■■--则叫=（叫一耳_1）斗（&3 4（包1%）亠（勺1鬥）4丐=[2（»-1）+1]+[2（«-2）+1]-F---F （2x2+-0+ （2xl+l ）+l二 2[0_D + @_Z ）十…十 2十1]|十&_1）十I=2 凹斗 “1） + 1 2所以数列：•：.的通项公式为， 「。

解:V|i - ,-■ 一‘两边除以7-，得二 ，： 3 m 氐厶】 <2™ 3j _ 1，则 L'-1 _ 丁 _ ] 1，故数列匸；是以 评注：本题解题的关键是把递推关系式列的通项公式为二.一「"转化为 说明数列「是.一「，_,一 .■ ___ - - : ----- 「一 一 匕-i '，即得数列 .；■的通项公式。

例3已知数列[飞.满足＞ : -；1 I.，:_ :,求数列「J •的通项公式解：由—1 讥一—丁 十■得■■■'■ .1 _ . 一 丁 +叫=(E -总+ -耳…(也-旳)+@2 一为)亠闻=(2K 3*-] + 1) + (2X 3,'-3+1) + -^(2X +1)+ (2x 31 +1) 4-3=2(严+尹4 …+ 罗 +31)+(»-1)+3二3+-1所以二评注：本题解题的关键是把递推关系式 「.1 ，-' 丁 +转化为=：._-「•： '才—I ,进而求出.■ ... - --1'- - - ，-j. ■ + 二 一'_ 一. •一一 ■一：十一，即得数列 二 J:的通项公式。

数列通项公式的九种求法各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。

特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。

笔者总结出九种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。

一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列}a {n 是递增数列，前n 项和为n S ，且931a ,a ,a 成等比数列，255a S =．求数列}a {n 的通项公式解：设数列}a {n 公差为)0d (d >∵931a ,a ,a 成等比数列，∴9123a a a =， 即)d 8a (a )d 2a (1121+=+，得d a d 12=∵0d ≠，∴d a 1=……………………①∵255S a =∴211)d 4a (d 245a 5+=⋅⨯+…………②由①②得：53a 1=，53d =∴n5353)1n (53a n =⨯-+= 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。

二、累加法求形如1()n n a a f n --=（f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令n=2，3，…n —1得到n —1个式子累加求得通项。

例2．已知数列{a n}中，a 1=1，对任意自然数n 都有11(1)n n a a n n -=++，求n a ． 解：由已知得11(1)n n a a n n --=+，121(1)n n a a n n ---=-，……，32134a a -=⨯，21123a a -=⨯，以上式子累加，利用111(1)1n n n n =-++得n a -1a =1111...23(2)(1)(1)(1)n n n n n n ++++⨯---+ =1121n -+，3121n a n ∴=-+ 点评：累加法是反复利用递推关系得到n —1个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求{f(n)}的前n —1项的和，要注意求和的技巧．三、迭代法求形如1n n a qa d +=+(其中,q d 为常数) 的数列通项，可反复利用递推关系迭代求出。

求通项公式的5种重要方法一、Sn 法，根据等差数列、等比数列的定义求通项an=Sn-S n-1*121{}(1)()3(1),;(2):{}.n n n n n a n S S a n N a a a =-∈ 已知数列的前项为，求求证数列是等比数列二、累加、累乘法1、累加法 适用于：1()n n a a f n +=+若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

例12、累乘法 适用于： 1()n n a f n a += 若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na a a f f f n a a a +=== ，，， 两边分别相乘得，1111()n n k a a f k a +==⋅∏ 例4 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

例5 已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.例6 已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项公式。

三、待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+分析：通过凑配可转化为1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+;解题基本步骤：1、确定()f n2、设等比数列{}1()n a f n λ+，公比为2λ3、列出关系式1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+4、比较系数求1λ，2λ5、解得数列{}1()n a f n λ+的通项公式6、解得数列{}n a 的通项公式例7 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。

数列通项公式的十种求法方法一：直接法对于一些简单的数列，可以通过观察数列的规律，直接写出通项公式。

例如，对于等差数列an=3n+1，可以观察到每一项都是前一项加上3，因此可以直接写出通项公式。

方法二：递推法递推法是通过数列前一项和通项之间的关系式来推导通项公式。

例如，对于斐波那契数列an=an-1+an-2，可以通过给出前两项的值，然后通过关系式不断求解后续项的值，得到通项公式。

方法三：代数法对于一些特殊的数列，可以通过代数方式求解通项公式。

例如，对于等比数列an=2^n，可以通过代数方法得到通项公式。

方法四：数学归纳法数学归纳法是通过证明法来得到通项公式。

首先证明数列的前几项符合一些表达式，然后假设n=k时表达式成立，再证明n=k+1时也成立，从而得到通项公式。

方法五：求和法有些数列的通项公式可以通过求和公式得到。

例如，对于等差数列an=3n+1，可以通过求和公式求得前n项和Sn=3n(n+1)/2，然后推导出通项公式。

方法六：线性递推法对于一些特殊的数列，可以通过线性递推法求解通项公式。

线性递推法是通过设定通项公式的形式，然后求解出相应的系数。

例如，对于一阶等差数列an=ax+b，可以通过线性递推法求解出通项公式。

方法七：矩阵法矩阵法是通过将数列表示成矩阵的形式，然后通过矩阵运算求解出通项公式。

例如，对于数列an=2n+1，可以将其表示为一个2×2的矩阵，然后通过矩阵运算得到通项公式。

方法八：生成函数法生成函数法是通过定义一个函数来表示数列，然后通过函数运算求解出通项公式。

例如，对于斐波那契数列an=an-1+an-2，可以定义一个生成函数F(x)=a0+a1x+a2x^2+...，然后通过函数运算得到通项公式。

方法九：离散动力系统法离散动力系统法是通过建立数列的动力系统方程，然后求解出通项公式。

例如，对于一阶等差数列an=ax+b，可以将其表示为一个离散动力系统方程xn+1=axn+b，然后通过求解方程得到通项公式。