3.3.2 简单的线性规划问题(1)

3.3.2 简单的线性规划问题姓名:___________班级:______________________1.如果实数x ,y 满足约束条件10,10,10,x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩则2x y -的最大值为( )A.3-B.2-C.2D.12.若,x y 满足30,10,,x y x y x k -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩且2z x y =+的最大值为6,则k 的值为( )A.−7B.−1C.1D.73.在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组220,210,380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值为( ) A. 31-B. 21- C. 1 D. 2 4.已知x ,y 满足约束条件0,2,0,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ax y =+的最大值为1a +,则a 的取值范围为( )A.(1,1)-B.[1,1)-C.[1,1]-D.(1,1]-5.若实数y x 、满足240,0,0,x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则12-+=x y z 的取值范围为( )A.),32[]4,(+∞--∞B.),32[]2,(+∞--∞ C.]32,2[- D.]32,4[-6.设,x y 满足约束条件1,1,2210,x y x x y ≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩向量(2,)a y x m =-,(1,1)b =-,且a ∥b ,则m的最小值为( )A.−2B.2C.6D.−67.设,x y 满足约束条件0,,x y x ≥⎧⎪≥⎨⎪且231x y z x ++=+,则z 的取值范围是( )A.[]1,5B.[]2,6C.[]2,10D.[]3,118.实数,,x y k 满足2230,10,,x y x y z x y x k +-≥⎧⎪-+≥=+⎨⎪≤⎩,若z 的最大值为13,则k 的值为( )A.1B.2C.3D.49.设y x ,满足约束条件1,20,20,x x y y ≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩则32-+=y x z 的最大值为_______.10.设变量,x y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则212x y z -⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小值为______.11.设,x y 满足约束条件0,0,210,x x y x y ≤⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则目标函数z xy =的取值范围为 .12.已知实数x,y 满足20,40,250.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩求:(1)z ＝x+2y −4的最大值;(2)z ＝x 2+y 2−10y+25的最小值; (3)z ＝211y x ++的取值范围. 13.某工厂造A 、B 型桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A 、B 型桌子分别需要1小时和2小时,漆工油漆一张A 、B 型桌子分别需要3小时和1小时;又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时,而工厂造一张A 、B 型桌子分别获利润2千元和3千元,试问工厂每天应生产A 、B 型桌子各多少张,才能使获得的利润最大？最大利润是多少？14.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨,B 原料2吨;生产每吨乙产品要用A 原料1吨,B 原料3吨,销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨,B 原料不超过18吨.那么在一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品各多少吨可获得最大利润,最大利润是多少？(用线性规划求解要画出规范的图形)参考答案1.D【解析】不等式组对应的可行域为直线10,10,10x y y x y -+=+=++=围成的三角形区域,顶点为()()()1,0,0,1,2,1----,令2z x y =-,则当直线z =2x y -过点()0,1-时,z 取得最大值1.考点:求线性目标函数的最值. 2.C【解析】画出满足条件的平面区域,如图所示,由,30,x k x y =⎧⎨-+=⎩解得,3,x k y k =⎧⎨=+⎩则(,3)A k k +,由2z x y =+,得2y x z =-+,显然直线2y x z =-+过(,3)A k k +时,z 最大,故236k k ++=,解得1k =,故选C.考点:由目标函数的最值求参数值. 3.A【解析】由线性约束条件可知其对应的可行域如图,通过观察图象可知当过原点的直线经过点A 的时候斜率最小,由方程组380,210x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得()3,1A -,所以直线OM 斜率的最小值为1133k -==-.考点:分式型目标函数的最值.4.C【解析】不等式组表示的平面区域如图所示:∵z ＝ax+y 的最大值为a+1,∴最值是在(1,1)处取得,∵y ＝−ax+z, 当−a≥0时,−a≤1,即−1≤a≤0; 当−a ＜0时,需满足−a≥−1,即0＜a≤1,故−1≤a≤1. 考点:由线性目标函数的最值求参数范围. 5.B【解析】作出约束条件表示的可行域,如图OAB △内部(含边界),21y z x +=-表示可行域内部的点(,)x y 与点(1,2)-连线的斜率,221OP k -==-,202143PA k --==-,结合图可知,z 的取值范围是2z ≤-或23z ≥,故选B.考点:分式型目标函数的最值. 6.D【解析】由向量(2,)a y x m =-,(1,1)b =-,且a ∥b ,得()1210y x m -⨯--⨯=,即2m x y =-.由约束条件1,1,2210x y x x y ≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩作出可行域如图,联立1,210,x x y =⎧⎨+=⎩解得1,8,x y =⎧⎨=⎩则()1,8C ,由2m x y =-,得2y x m =-,故当直线2y x m =-在y 轴上的截距最大时,m 最小,即当直线2y x m =-过()1,8C 时,m 取最小值为2186⨯-=-.故答案为6-.选D. 考点:平行向量,由线性目标函数最值求参数. 7.D【解析】作出不等式组0,,4312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩表示的平面区域,如图阴影部分所示,目标函数()()12123112111x y x y y z x x x ++++++===+⨯+++,表示可行域内的点与()1,1--的连线的斜率的2倍与1的和,其斜率的最小值为min 1,k =最大值为()()max 41501k --==--,所以z 的取值范围是[]3,11,故选D.考点:分式型目标函数的最值. 8.B【解析】画出可行域(如图阴影部分所示)和曲线1322=+y x ,观察图形,知直线k x = 过直线01=+-y x 和1322=+y x 的交点)3,2(,解得2=k ,故选B.考点:由平方和型的目标函数的最值求参数值. 9.5【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,z 在点()4,2处取得最大值,最大值为max 42235z =+⨯-=.考点:线性目标函数的最值. 10.14【解析】作出约束条件10,10,330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩所对应的可行域如图所示,设2t x y =-,则当直线2t x y =-经过点()1,0时,2t x y =-取最大值2,从而212x yz -⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小值为14.考点:指数函数型目标函数的最值.11.1,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中(0,0),(0,1),(1,1)A B C --,因此,当0z >,且z y x =的图象过点C 时,z 取最大值1;当0z <,且zy x =的图象与直线210x y -+=相切时,z 取最小值18-;当0x =时,0z =.综上,目标函数z xy =的取值范围为1,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.考点:反比例函数型目标函数的范围. 12.(1)21 (2)92 (3)37,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】作出可行域如图所示,并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9).(1)易知可行域内各点均在直线x+2y −4＝0的上方,故x+2y −4＞0,将点C(7,9)代入得z 的最大值为21.(2)z ＝x 2+y 2−10y+25＝x 2+(y −5)2表示可行域内任一点(x,y)到定点M(0,5)的距离的平方,过M 作直线AC 的垂线,易知垂足N 在线段AC 上,故z 的最小值是|MN|2＝92. (3)z ＝2×()121y x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭--表示可行域内任一点(x,y)与定点Q 11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线的斜率的两倍,而k QA ＝74,k QB ＝38,故z 的范围为37,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 考点:简单线性规划.13.每天应生产A 型桌子2张,B 型桌子3张才能获得最大利润,最大利润为13千元 【解析】设每天生产A 型桌子x 张,B 型桌子y 张,获得的利润为z 千元,则28,39,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩z ＝2x+3y,作出可行域如图:把直线l :2x+3y ＝0向右上方平移至l '的位置时,直线经过可行域上的点M,此时z ＝2x+3y 取得最大值,解方程组28,39,x y x y +=⎧⎨+=⎩得2,3,x y =⎧⎨=⎩即M 的坐标为(2,3),此时最大利润223313z =⨯+⨯=千元.答:每天应生产A 型桌子2张,B 型桌子3张才能获得最大利润,最大利润为13千元. 考点:线性规划的实际应用.14.在一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品分别为3吨和4吨时可获得最大利润,最大利润是27万元【解析】设该企业生产甲产品为x 吨,乙产品为y 吨,该企业可获得利润为z 万元,则53z x y =+,且0,0,313,2318,x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩作出可行域如图所示,联立313,2318,x y x y +=⎧⎨+=⎩解得3,4,x y =⎧⎨=⎩由图可知,最优解为()3,4P ,∴z 的最大值为max 533427z =⨯+⨯=(万元).所以在一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品分别为3吨和4吨时可获得最大利润,最大利润是27万元.考点:简单线性规划的应用.。

今需要A、 、 三种规格的成品分别为 三种规格的成品分别为15、 、 今需要 、B、C三种规格的成品分别为 、18、27 块，用数学关系式和图形表示上述要求，如何使所 用数学关系式和图形表示上述要求， 用钢板张数最少？ 用钢板张数最少？
例6：一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 车皮甲种 ：一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种 肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥 肥料的主要原料是磷酸盐 、硝酸盐 ；生产 车皮乙种肥 料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。 料需要的主要原料是磷酸盐 、硝酸盐 。现库存磷酸盐 10t、硝酸盐 ，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满 、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。 足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。 足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。若生产 一车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产一车皮乙肥 一车皮甲种肥料，产生的利润为 元 产生的利润为5000元，那么非别生产甲乙肥料各多好车 料，产生的利润为 元 能够产生最大利润？ 皮，能够产生最大利润？
分析： 分析：将已知数据列成表格
食物／kg 碳水化合物／kg 蛋白质/kg 脂肪／kg
A B
0.105 0.105
0.07 0.14
0.14 0.07
三种规格， 例5： 要将两种大小不同的钢板截成 、B、C三种规格， ： 要将两种大小不同的钢板截成A、 、 三种规格 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表示： 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表示： 规格 钢型 第一种钢板 第二种钢板 A规格 规格 2 1 B规格 规格 1 2 C规格 规格 1 3
• 通过不等式（组）的平面区域，我们可以 知道不等式的可能取值范围。那么在不等 式平面区域中，那个值是最有意义的取值 呢，比如对于资源的利用，人力调配，生 产安排等等，都需要我们有一个最优的处 理办法

在线性约束条件下，求目标函数最小值.
思考5：作可行域，使目标函数取最小
值的最优解是什么？目标函数的最小值
为多少？ 28x＋21y=0
7x＋14y＝6
y
A最最优小解值1(671.,
4 7
)，
7x 7 x

7y 5 14 y 6
14x 7 y 6
x 0, y 0
x＝4
思考3：图中阴影区域内任意一点的坐
标都代表一种生产安排吗？
y
x 2y 8
0 x 4 0 y 3 x N , y N O
y＝3 x
x＋2y＝8 x＝4
阴影区域内的整点（坐标为整数的点） 代表所有可能的日生产安排.
思考4：若生产一件甲产品获利2万元， 生产一件乙产品获利3万元，设生产甲、 乙两种产品的总利润为z元，那么z与x、 y的关系是什么？
3.3.2 简单的线性规划问题
第一课时
问题提出
1.“直线定界，特殊点定域”是画二元 一次不等式表示的平面区域的操作要点， 怎样画二元一次不等式组表示的平面区 域？
2.在现实生产、生活中，经常会遇到资 源利用、人力调配、生产安排等问题， 如何利用数学知识、方法解决这些问题， 是我们需要研究的课题.
探究（一）：线性规划的实例分析 t
5730
【背景材料】某工厂用A、B两种配件 生产甲、乙两种产品，每生产一件甲 产品使用4个A配件耗时1h；每生产一 件乙产品使用4个B配件耗时2h.该厂每 天最多可从配件厂获得16个A配件和12 个B配件，每天工作时间按8h计算.
思考1：设每天分别生产甲、乙两种产 品x、y件，则该厂所有可能的日生产 安排应满足的基本条件是什么？
2x y 15

解简单线性规划问题的基本步骤： 1．画图．画出线性约束条件所表示的平面区域，即 可行域． 2．定线．令 z＝0，得一过原点的直线． 3．平移．在线性目标函数所表示的一组平行线中， 利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或 最小的直线．
4．求最优解．通过解方程组求出最优解． 5．求最值．求出线性目标函数的最小值或最大值．
归纳升华 解线性规划问题的基本步骤： (1)画：画出线性约束条件所表示的可行域． (2)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，用 平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小 的直线．
(3)求：通过解方程组求出最优解． (4)答：根据所求得的最优解得出答案．
[变式训练] 已知实数 x，y 满足约束条件
[知识提炼·梳理]
1．约性约束条件： __由__关__于__x_，__y_的__一__次__不__等__式__形__成__的__约__束__条__件____． 2．线性目标函数： _由__关__于__两__个__变__量__x_，__y_一__次__式__形__成__的__函__数_____． 3．线性规划问题： _在__线__性__约__束__条__件__下__求__线__性__目__标__函__数__的__最__大__值__或__最__小 _值__问__题___．
y＝mx， 点 A 处取得最大值，由
x＋y＝1，
得 A1＋1 m，1＋mm，代入目标函数，即1＋1 m＋15＋mm＝ 4，解得 m＝3.
答案：3
归纳升华 根据目标函数的最值求参数的解题思路：采用数形结 合，先画出可行域，根据目标函数表示的意义，画出目标 函数等于最值的直线，它与相应直线的交点就是最优解， 再将所求出的最优解代入含有参数的约束条件，即可求出 参数的值或范围．