2018-2019东城区数学(理科)第一学期期末试卷 终稿

2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合A={x|-2＜x≤0}，B={-2，-1，0，1，2}，则A∩B=（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用交集运算得答案．【详解】∵集合表示到0的所有实数，集合表示5个整数的集合，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了交集的概念及其运算，是基础题．2.下列复数为纯虚数的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用复数的运算对每个选项逐一求解即可得答案.【详解】∵，，，，∴为纯虚数的是，故选D．【点睛】本题主要考查了复数的基本运算及基本概念，是基础题3.下列函数中，是奇函数且存在零点的是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性及函数的零点可判断为奇函数，且存在零点为，为非奇非偶函数，为偶函数，不存在零点，故得解．【详解】对于选项A：为奇函数，且存在零点为x=0，与题意相符；对于选项B：为非奇非偶函数，与题意不符；对于选项C：为偶函数，与题意不符；对于选项D：不存在零点，与题意不符，故选：A．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性及函数的零点，熟练掌握常见初等函数的性质是解题的关键，属于简单题．4.执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的等于（ ）A. 3B. 12C. 60D. 360【答案】C【解析】【分析】通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．【详解】模拟执行程序，可得，，，，，满足条件，执行循环体，，，满足条件，执行循环体，，，不满足条件，退出循环，输出的值为60．故选C．【点睛】本题考查程序框图的应用，解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律，属于基础题．5.“”是“函数的图像关于直线对称”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的对称性求出函数的对称轴为，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若函数的图象关于直线，则，得，当时，，即“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件，故选A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性求出的取值范围是解决本题的关键．6.某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（ ）A. 2B.C.D. 3【答案】D【解析】【分析】由三棱锥的三视图知该三棱锥是三棱锥，其中底面，，，，由此能求出在该三棱锥中，最长的棱长．【详解】由三棱锥的三视图知该三棱锥是如图所示的三棱锥，其中底面，，，，∴，∴在该三棱锥中，最长的棱长为，故选D．【点睛】本题考查三棱锥中最长棱长的求法，考查三棱锥性质及其三视图等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题．7.在极坐标系中，下列方程为圆的切线方程的是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出圆的直角坐标方程为，圆心为，半径，将每个选项分别利用直角坐标表示，根据直线与圆的位置关系能求出结果．【详解】圆，即，∴圆的直角坐标方程为，即，圆心为，半径，在A中，即，圆心到的距离，故不是圆的切线，故A错误；在B中，是圆，不是直线，故B错误；在C中，即，圆心到的距离，故是圆的切线，故C正确；在D中，即，圆心到的距离，故不是圆的切线，故D错误．故选C．【点睛】本题考查圆的切线方程的判断，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．【详解】，∴，，∴，，∴，∵，，，∴，∴的值所在的区间为，故选B．【点睛】本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键，属于基础题.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若满足，则的最小值为______．【答案】4【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义即可得到结论．【详解】作出，满足对应的平面区域，由，得，平移直线，由，解得由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小，此时，故答案为4．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.10.已知双曲线-=1的一个焦点为，则m=______．【答案】3【解析】【分析】由双曲线的焦点坐标可得的值，列出关于的方程，解出即可．【详解】双曲线的一个焦点为，即，解得，故答案为3．【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，注意分析、的关系，属于基础题.11.若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=-1，b1=2，a3+b2=-1，试写出一组满足条件的数列{a n}和{b n}的通项公式：a n=______，b n=______．【答案】(1). -n(2). 2【解析】【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得，，即可得到所求通项公式，注意答案不唯一．【详解】等差数列的公差设为，等比数列的公比设为，，，，可得，即为，可取，可得，则，，故答案为，2．【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12.在菱形ABCD中，若，则的值为______．【答案】【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分，则，结合平面向量的数量积公式计算即可．【详解】菱形中，，由可得则，故答案为．【点睛】本题考查了平面向量的数量积计算问题，由菱形的性质得到是解题的关键，属于基础题．13.函数在区间上的最大值为______．【答案】【解析】【分析】利用两角差的正弦与余弦公式化简，根据在上，结合三角函数的性质可得最大值．【详解】函数；∵，∴当时，取得最大值为，故答案为.【点睛】本题主要考查了两角和与差公式的应用和计算能力，得到是解题的关键，属于基础题．14.已知函数f（x）为定义域为R，设F f（x）=．①若f（x）=，则F f（1）=______；②若f（x）=e a-|x|-1，且对任意x∈R，F f（x）=f（x），则实数a的取值范围为______．【答案】(1). (2).【解析】【分析】①通过的范围，可得，代入可得所求值；②由题意可得恒成立，运用绝对值不等式的性质和参数分离，以及函数的最值求法，可得的范围．【详解】①若，由，可得，成立，即有，则；②若，且对任意，，可得恒成立，即为，即有，可得，即，由的最小值为，则，故答案为，．【点睛】本题主要考查分段函数的运用：求函数值和解析式，考查变形能力和转化思想，注意运用参数分离和绝对值不等式的性质，将问题转化为恒成立是解决②的关键，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在△ABC中，．（1）求∠B的大小；（2）若△ABC的面积为a2，求cos A的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理可得，结合范围，可求的值；（2）利用三角形的面积公式可求的值，根据余弦定理可求的值，进而可求的值．【详解】（1）在△ABC中，由正弦定理可得：，所以：，又，．（2）因为△ABC的面积为，∴2，由余弦定理，，所以．．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题16.某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的x的值；（2）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（3）已知课外阅读时间在[10，12）的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10，12）的样本学生中随机抽取3人，记X为抽到女生的人数，求X的分布列与数学期望E（X）．【答案】（1）0.15；（2）150；（3）见解析【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图，通过概率和为1，即可求解；（2）利用分布直方图求解即可；（3）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率得到分布列，然后求解期望．【详解】（1）由，可得0.15（2），即课外阅读时间不小于16个小时的学生样本的频率为0.30.500×0.30=150，所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16个小时的学生人数为150．（3）课外阅读时间在[10，12）的学生样本的频率为0.08×2=0.16，50×0.16=8，即阅读时间在[10，12）的学生样本人数为8，8名学生为3名女生，5名男生，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，；　；；．所以X的分布列为：X0123P故的期望【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，频率分布直方图的应用，考查计算能力，属于中档题.17.如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，E，F分别为AD，BC的中点，AE=EF，．将四边形ABFE沿EF折起，使平面ABFE⊥平面EFCD（如图2），G是BF的中点．（1）证明：AC⊥EG；（2）在线段BC上是否存在一点H，使得DH∥平面ABFE？若存在，求的值；若不存在，说明理由；（3）求二面角D-AC-F的大小．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）推导出，，，从而平面，进而，四边形为正方形，，由此能证明平面，从而；（2）由，，两两垂直，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出在线段上存在一点，使得平面，并能求出的值；（3）求出平面的法向理和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的大小．【详解】证明：（1）在图1中，，可得△AEF为等腰直角三角形，AE⊥EF．因为AD∥BC，所以EF⊥BF，EF⊥FC．因为平面ABFE⊥平面EFCD，且两平面交于EF，CF⊂平面CDEF，所以CF⊥平面ABFE．又EG⊂平面ABFE，故CF⊥EG；由G为中点，可知四边形AEFG为正方形，所以AF⊥EG；又AF∩FC=F，所以EG⊥平面AFC．又AC⊂平面AFC，所以AC⊥EG（2）由（1）知：FE，FC，FB两两垂直，如图建立空间直角坐标系F-xyz，设FE=1，则F（0，0，0），C（0，2，0），B（0，0，2），D（1，1，0）．设H是线段BC上一点，．因此点．由（1）知为平面ABFE的法向量，=（0，2，0），因为平面ABFE，所以平面，当且仅当，即，解得．．（3）设A（1，0，1），E（1，0，0），G（0，0，1）．由（1）可得，是平面的法向量，．，设平面ACD的法向量为n=（x，y，z），由即令x=1，则y=1，z=1．于是n=（1，1，1）．所以．所以二面角D-AC-F的大小为90°【点睛】本题主要考查线线垂直的证明，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.已知函数f（x）=axe x-x2-2x．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）当x＞0时，若曲线y=f（x）在直线y=-x的上方，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意，求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，求出切点的坐标，由直线的点斜式方程分析可得答案；（2）根据题意，原问题可以转化为恒成立，设，求出的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得其最大值，分析可得答案．【详解】（1）当时，，其导数，．又因为，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为；（2）根据题意，当时，“曲线y=f（x）在直线的上方”等价于“恒成立”，又由x＞0，则，则原问题等价于恒成立；设，则，又由，则，则函数在区间上递减，又由，则有，若恒成立，必有，即的取值范围为．【点睛】本题考查利用导数分析函数的切线方程以及最值，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解，属于中档题.19.已知椭圆过点P（2，1）．（1）求椭圆C的方程，并求其离心率；（2）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为A'，直线A'P与C交于另一点B．设O为原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）将点代入椭圆方程，求出，结合离心率公式即可求得椭圆的离心率；（2）设直线，，设点的坐标为，，分别求出，，根据斜率公式，以及两直线的位置关系与斜率的关系即可得结果.【详解】（1）由椭圆方程椭圆过点P（2，1），可得．所以，所以椭圆C的方程为+=1，离心率e==，（2）直线AB与直线OP平行．证明如下：设直线，，设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2），由得，∴，∴同理，所以，由，有，因为A在第四象限，所以，且A不在直线OP上．∴，又，故，所以直线与直线平行．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了斜率和直线平行的关系，是中档题．20.对给定的d∈N*，记由数列构成的集合．（1）若数列{a n}∈Ω（2），写出a3的所有可能取值；（2）对于集合Ω（d），若d≥2．求证：存在整数k，使得对Ω（d）中的任意数列{a n}，整数k不是数列{a n}中的项；（3）已知数列{a n}，{b n}∈Ω（d），记{a n}，{b n}的前n项和分别为A n，B n．若|a n+1|≤|b n+1|，求证：A n≤B n．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）推导出，，，，由此能求出的所有可能取值；（2）先应用数学归纳法证明数列，则具有，（）的形式，由此能证明取整数，则整数均不是数列中的项；（3）由，得：，从而，由此利用累加法得，从而，同理，由此能证明．【详解】（1）由于数列{a n}∈Ω（2），即d=2，a1=1．由已知有|a2|=|a1+d|=|1+2|=3，所以a2=±3，|a3|=|a2+d|=|a2+2|，将a2=±3代入得a3的所有可能取值为-5，-1，1，5．证明：（2）先应用数学归纳法证明数列：若{a n}∈Ω（d），则a n具有md±1，（m∈Z）的形式．①当n=1时，a1=0•d+1，因此n=1时结论成立．②假设当n=k（k∈N*）时结论成立，即存在整数m0，使得a k=m0d0±1成立．当n=k+1时，|a n+1|=|m0d0±1+d0|=|（m0+1）d0±1|，a k+1=（m0+1）d±1，或a k+1=-（m0+1）±1，所以当n=k+1时结论也成立．由①②可知，若数列{a n}∈Ω（d）对任意n∈N*，a n具有md±1（m∈Z）的形式．由于a n具有md±1（m∈Z）的形式，以及d≥2，可得a n不是d的整数倍．故取整数k=d，则整数k均不是数列{a n}中的项（3）由|a n+1|=|a n+d|，可得：=，所以有=+2a n d+d2，=+2a n-1d+d2，，…=，以上各式相加可得，即A n =-，同理B n =-，当时，有，∵d ∈N *，∴≤，∴≤-，∴【点睛】本题考查数列的第项的所有可能取值的求法，考查数列不等式的证明，考查数学归纳法、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。

2018-2019学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（3分）已知集合A＝{x|x2﹣1＞0}，那么下列结论正确的是（）A．0∈A B．1∈A C．﹣1∈A D．1∉A2．（3分）命题“∀x∈（0，），tan x＞0”的否定是（）A．∃x0∈（0，），tan x0≤0B．∃x0∉（0，），tan x0≤0C．∀x∈（0，），tan x≤0D．∃x0∈（0，），tan x0＞03．（3分）下列结论成立的是（）A．若ac＞bc，则a＞b B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＞b，c＜d，则a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c 4．（3分）在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为（）A．πB．πC．9πD．10π5．（3分）函数的零点所在区间是（）A．B．C．D．6．（3分）sin1，sin2，sin3的大小关系是（）A．sin1＜sin2＜sin3B．sin3＜sin2＜sin1C．sin2＜sin3＜sin1D．sin3＜sin1＜sin27．（3分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x+1|≤1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（3分）若实数x，y满足2x+y＝1，则x•y的最大值为（）A．1B．C．D．9．（3分）已知函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＝2x+1+1，当﹣1≤x≤1时，f （﹣x）＝﹣f（x），当x＞时，f（x+）＝，则f（2019）＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．210．（3分）已知非空集合A，B满足以下两个条件（i）A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，A∩B＝∅；（ii）若x∈A，则x+1∈B．则有序集合对（A，B）的个数为（）A．12B．13C．14D．15二、填空题共5小题，每小题4分，共20分，11．（4分）＝．12．（4分）函数f（x）＝的定义域为．13．（4分）（）+log925﹣log315＝．14．（4分）已知函数f（x）满足下列性质：（i）定义域为R，值域为[1，+∞）；（ii）在区间（﹣∞，0）上是减函数；（ⅲ）图象关于x＝2对称．请写出满足条件的f（x）的解析式（写出一个即可）．15．（4分）已知函数f（x）＝．（i）f（2）＝．（ii）若方程f（x）＝x+a有且只有一个实根，则实数a的取值范围是．三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（8分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣x﹣12≤0}，非空集合B＝{x|m﹣1≤x≤2m+3}．（Ⅰ）求当m＝﹣3时，∁U（A∪B）；（Ⅱ）若B⊆A，求实数m的取值范围．17．（8分）已知函数f（x）＝1+（﹣2≤x≤2）．（Ⅰ）画出f（x）的图象；（Ⅱ）根据图象写出f（x）的值域、单调区间．18．（8分）在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点P（﹣，），以角α的终边为始边，逆时针旋转得到角β．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos（α+β）的值．19．（10分）函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，令F（x）＝f（x）+g（x），求函数F（x）的单调递增区间．20．（8分）2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥一港珠澳大桥正式通车．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到220辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为100千米/时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤220时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）f（x）＝x•v（x）可以达到最大？并求出最大值．21．（8分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（﹣1）＝﹣1，当a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0时，有＞0成立．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣1，1上的最大值；（Ⅱ）若对任意的a∈[﹣1，1]都有f（x）≥2m2﹣am﹣4，求实数m的取值范围．2018-2019学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】解：由x2﹣1＞0，解得x＞1，或x＜﹣1．∴A＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．可得0，1，﹣1∉A，故选：D．2．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈（0，），tan x＞0，则￢p为∃x0∈（0，），tan x0≤0．故选：A．3．【解答】解：对于A．当c＜0时，不成立；对于B．取a＝﹣1，b＝﹣2，不成立；对于C．∵a＞b，c＜d，∴a﹣c＞b﹣d，因此不成立；对于D．∵c＞d，∴﹣d＞﹣c，又a＞b，∴a﹣d＞b﹣c，因此成立．故选：D．4．【解答】解：l＝＝＝，故选：B．5．【解答】解：根据题意，函数，分析易得函数f（x）为减函数，且f（）＝8﹣＞0，f（1）＝4﹣2＝2＞0，f（）＝﹣＜0，f（2）＝2﹣4＝﹣2＜0，则函数的零点所在区间是（1，）；故选：C．6．【解答】解：由sin2＝sin（π﹣2），sin3＝sin（π﹣3），∵0＜π﹣3＜1＜π﹣2，sin x在第一象限为增函数，∴sin（π﹣3）＜sin1＜sin（π﹣2）．故得sin3＜sin1＜sin2故选：D．7．【解答】解：由2﹣x≥0得x≤2，由|x+1|≤1得﹣1≤x+1≤1，得﹣2≤x≤0．则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件，故选：B．8．【解答】解：∵实数x，y满足2x+y＝1，∴y＝1﹣2x，∴xy＝x（1﹣2x）＝﹣2x2+x＝﹣2（x﹣）2+≤，当x＝，y＝时取等号，故选：C．9．【解答】解：根据题意，函数f（x）的定义域为R，且当x＜0时，f（x）＝2x+1+1，则f （﹣1）＝2，当x＞时，f（x+）＝，即f（x+1）＝＝f（x），即f（x+1）＝f（x），则函数f（x）为周期为1的周期函数；则f（2019）＝f（1），当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）＝﹣f（x），则有f（1）＝﹣f（1），又由f（﹣1）＝2，则f（1）＝﹣f（1）＝﹣2；故选：A．10．【解答】解：由题意分类讨论可得：若A＝{1}，则B＝{2，3，4，5，6}；若A＝{2}，则B＝{1，3，4，5，6}；若A＝{3}，则B＝{1，2，4，5，6}；若A＝{4}，则B＝{1，2，3，5，6}；若A＝{5}，则B＝{2，3，4，1，6}；若A＝{6}，则B＝{2，3，4，5，1}，舍去．若A＝{1，3}，则B＝{2，4，5，6}；若A＝{1，4}，则B＝{2，3，5，6}；若A＝{1，5}，则B＝{2，3，4，6}；若A＝{2，4}，则B＝{1，3，5，6}；若A＝{2，5}，则B＝{1，3，4，6}；若A＝{3，5}，则B＝{1，2，4，6}；若A＝{1，3，5}，则B＝{2，4，6}．综上可得：有序集合对（A，B）的个数为12．故选：A．二、填空题共5小题，每小题4分，共20分，11．【解答】解：＝﹣sin＝﹣sin（π﹣）＝﹣sin＝﹣故答案为﹣12．【解答】解：函数的定义域为：{x|}，解得0＜x≤e．故答案为：（0，e]．13．【解答】解：原式＝＝3+log35﹣1﹣log35＝2．故答案为：2．14．【解答】解：f（x）＝（x﹣2）2+1满足上述3条性质．故答案为：f（x）＝（x﹣2）2+1．15．【解答】解：（i）f（2）＝2f（1）＝4f（0）＝4×1＝4，（ii）当0＜x≤1时，﹣1＜x﹣1≤0，f（x）＝2f（x﹣1）＝2×＝，当1＜x≤2时，0＜x﹣1≤1，f（x）＝2f（x﹣1）＝2×＝（）x﹣4，当2＜x≤3时，1＜x﹣1≤2，f（x）＝2f（x﹣1）＝2×＝（）x﹣5＝（）x﹣6，作出函数f（x）的图象如图，其中f（0）＝1，f（1）＝2f（0）＝2，f（3）＝2f（2）＝4，f（4）＝2f（3）＝8，设直线g（x）＝x+a，当g（x）＝x+a分别过（0，1），A（1，2），B（2，4）时，则g（0）＝a＝1，g（1）＝+a＝2，得a＝，g（2）＝3+a＝4，得a＝1，由图象知要使方程f（x）＝x+a有且只有一个实根，则g（x）在A，B之间的区域，即≤a＜1，即实数a的取值范围是[，1），故答案为：4，[，1）．三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．【解答】解：（Ⅰ）A＝{x|x2﹣x﹣12≤0}＝{x|﹣3≤x≤4}，当m＝﹣3时，B＝{x|﹣4≤x≤﹣3}．则A∪B＝{x|﹣4≤x≤4}，∁U（A∪B）＝{x|x＞4或x＜﹣4}．（Ⅱ）若B⊆A，则，得，即﹣2≤m≤，即实数m的取值范围是[﹣2，]．17．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝，f（x）的图象；（Ⅱ）由图象知f（x）的值域为[1，3]，f（x）的单调递减区间为[﹣2，0]，无增区间．18．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点P（﹣，），∴tanα＝＝﹣．（Ⅱ）以角α的终边为始边，逆时针旋转得到角β，∴β＝α+．由（Ⅰ）利用任意角的三角函数的定义可得cosα＝﹣，sinα＝，∴sn2α＝2sinαcosα＝﹣，cos2α＝2cos2α﹣1＝﹣．∴cos（α+β）＝cos（2α+）＝sin2αcos﹣cos2αsin＝（cos2α﹣sin2α）＝．19．【解答】解：（Ⅰ）因为T＝＝4（﹣）＝2π，所以ω＝1．又因为sin（+φ）＝1，所以+φ＝+2kπ，k∈Z，即φ＝+2kπ，k∈Z．因为﹣＜φ＜，所以φ＝．所以f（x）的解析式是f（x）＝sin（x+）．……………（6分）（Ⅱ）由已知g（x）＝sin[（x+）+]＝sin（x+）＝cos x，所以F（x）＝f（x）+g（x）＝sin（x+）+cos x＝sin x+cos x+cos x＝sin x+cos x ＝sin（x+）．函数y＝sin x的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，所以F（x）的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．………（13分）20．【解答】解：（I）当20≤x≤220时，设v（x）＝kx+b，则，解得：，∴v（x）＝．（II）由（I）得f（x）＝．当0≤x≤20时，f（x）≤f（20）＝2000；当20＜x≤220时，f（x）＝﹣（x﹣110）2+6050，∴当x＝110时，f（x）的最大值为f（110）＝6050．∴车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时．21．【解答】解：（Ⅰ）任取x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，则﹣x2∈[﹣1，1]，∵f（x）为奇函数，∴f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）+f（﹣x2）＝•（x1﹣x2），由已知得＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在[﹣1，1]上单调递增，可得f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（1）＝﹣f（﹣1）＝1；（Ⅱ）若对任意的a∈[﹣1，1]都有f（x）≥2m2﹣am﹣4成立，∵f（﹣1）＝﹣1，f（x）在[﹣1，1]上单调递增，∴在[﹣1，1]上，﹣1≤f（x）≤1，即2m2﹣am﹣4≤﹣1，∴2m2﹣am﹣3≤0对a∈[﹣1，1]恒成立，设g（a）＝﹣m•a+2m2﹣3≤0，①若m＝0，则g（a）＝﹣3≤0，自然对a∈[﹣1，1]恒成立．②若m≠0，则g（a）为a的一次函数，若g（a）≤0对a∈[﹣1，1]恒成立，则必须g（﹣1）≤0，且g（1）≤0，即m+2m2﹣3≤0，且﹣m+2m2﹣3≤0，∴﹣1≤m≤1．∴m的取值范围是[﹣1，1]．第11页（共11页）。

2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合A={x|-2＜x≤0}，B={-2，-1，0，1，2}，则A∩B=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用交集运算得答案．【详解】∵集合表示到0的所有实数，集合表示5个整数的集合，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了交集的概念及其运算，是基础题．2.下列复数为纯虚数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用复数的运算对每个选项逐一求解即可得答案.【详解】∵，，，，∴为纯虚数的是，故选D．【点睛】本题主要考查了复数的基本运算及基本概念，是基础题3.下列函数中，是奇函数且存在零点的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性及函数的零点可判断为奇函数，且存在零点为，为非奇非偶函数，为偶函数，不存在零点，故得解．【详解】对于选项A：为奇函数，且存在零点为x=0，与题意相符；对于选项B：为非奇非偶函数，与题意不符；对于选项C：为偶函数，与题意不符；对于选项D：不存在零点，与题意不符，故选：A．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性及函数的零点，熟练掌握常见初等函数的性质是解题的关键，属于简单题．4.执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的等于（）A. 3B. 12C. 60D. 360【答案】C【解析】【分析】通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．【详解】模拟执行程序，可得，，，，，满足条件，执行循环体，，，满足条件，执行循环体，，，不满足条件，退出循环，输出的值为60．故选C．【点睛】本题考查程序框图的应用，解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律，属于基础题．5.“”是“函数的图像关于直线对称”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的对称性求出函数的对称轴为，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若函数的图象关于直线，则，得，当时，，即“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件，故选A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性求出的取值范围是解决本题的关键．6.某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（）A. 2B.C.D. 3【答案】D【解析】【分析】。

北京市东城区2018-2019学年高一数学上学期期末考试试题一、选择题1．设i 是虚数单位，若复数z 满足(1)2i z i +=，则z =（ ） A ．1i -+ B ．1i -C ．1i +D ．1i --2．()40x x x+>的最小值是（ ）A ．2B ．C ．4D ．83．在区间[]1,m -上随机选取一个数，若1x ≤的概率为25，则实数m 的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．54．命题“任意实数x ,都有2x >”的否定是（ ） A ．对任意实数x ,都有2x ≤ B ．不存在实数x ,使2x ≤ C ．对任意非实数x ,都有2x ≤D ．存在实数x ,使2x ≤5．命题“2R,220x x x ∀∈-+≤”的否定为（ ） A ．2R,220x x x ∃∈-+> B ．2R,220x x x ∀∈-+≥ C ．2R,220x x x ∀∉-+≤D ．2R,220x x x ∃∉-+>6．设函数sin cos y x x x =+的图象上的点()00,x y 处的切线的斜率为k ，记()0k g x =，则函数()k g x =的图象大致为（ ）A. B.C. D.7．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足()()4f x f x +=，当[]2,0x ∈-时，()2xf x =，则()1129f 等于（ ）A.12B.1-2C.1-D.18．已知方程2mx e x =在(]0,16上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1ln 2,82⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1ln 2,162⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．ln 22,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,8e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭9．设,m n 是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，给出下列四个命题: ①若,//m n αα⊂，则//m n ； ②若m β⊥，//m α，则αβ⊥； ③若m ，βαβ⊂⊥，则m α⊥； ④若αγβγ⊥⊥，，则//αβ； 则真命题为（ ） A ．①②B ．③④C ．②D ．②④10．已知两点(,0),(,0)(0)A a B a a ->,若曲线22230x y y +--+=上存在点P ，使得090APB ∠=,则正实数a 的取值范围为（ ）A.(0,3]B.[1,3]C.[2,3]D.[1,2]11．已知点（x,y）满足曲线方程4{6x y θθ=+=+ （θ为参数），则yx的最小值是（ ）B.32D.112．已知向量(5,5),(0,3)a b =-=-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．4π B ．3π C ．23π D ．34π 二、填空题 13．已知函数()212ln 2f x x ax b x c =+++的两个极值点分别在区间()0,1，()1,2内，则2b a -的取值范围为______．14．已知实数x ，y 满足1,3,2,y x x x y ≤-⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =＋的最小值为___.15．某空间几何体的三视图如图所示，已知俯视图是一个边长为2的正方形，侧视图是等腰直角三角形，则该几何体的最长的棱的长度为_______；该几何体的体积为______．16．正方体1111ABCD A B C D -的 棱长为a ，在正方体内随机取一点M ，则点M 落在三棱锥111B A BC -内的概率为______． 三、解答题 17． 已知函数（t 常数）.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）当时，若函数的最小值为M ，正数a ，b 满足，证明.18．如图，已知过点，圆心C 在抛物线上运动，若MN 为在x 轴上截得的弦，设，，当C 运动时，是否变化？证明你的结论．求的最大值，并求出取最大值时值及此时方程．19． 已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期：（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.20．在平面直角坐标系xoy 中，已知A(1,0)，点B 在直线x=－1上，M 点满足，，M 点的轨迹为曲线C 。