24.4弧长和扇形的面积

24.4 弧长和扇形面积(第1课时)教学内容1．n °的圆心角所对的弧长L=180n Rπ 2．扇形的概念；3．圆心角为n °的扇形面积是S 扇形=2360n R π；4．应用以上内容解决一些具体题目． 教学目标了解扇形的概念，理解n•°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长L=2180n R π和扇形面积S 扇=2360n R π的计算公式，并应用这些公式解决一些题目．重难点、关键1．重点：n °的圆心角所对的弧长L=180n Rπ，扇形面积S 扇=2360n R π及其它们的应用．2．难点：两个公式的应用．3．关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程． 教具、学具准备小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板． 教学过程 一、引入问题：制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单位：mm ，精确到10mm)二、探索新知（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题．1．半径为R 的圆,周长是多少？ 2．圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？3．1°圆心角所对弧长是多少？ 2°的圆心角所对的弧长是_______． 4°的圆心角所对的弧长是_______． ……n °的圆心角所对的弧长是_______．（老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到：n °的圆心角所对的弧长为180Rn l π=（幻灯片5）.c针对练习题1.已知一个圆的半径为12，则圆心角为150°所对的弧长为（ ） A ．5π B ．6π C ．8π D ．10π2.一个圆的半径为8cm ，则弧长为π316cm 所对的圆心角为（ ）A ．60°B ．120°C ．150°D ．180°3.若长为12π的弧所对的圆心角120°，则这条弧所在圆的半径为（） A ．6 B ．9 C ．18 D ．36问题、制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即»AB 的长（结果精确到0.1mm ）（幻灯片7）.c分析：要求»AB 的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可． 解：R=40mm ，n=110∴»AB 的长=180n R π=11040180π⨯≈76.8（mm ）因此，管道的展直长度约为76.8mm ．练习题： 有一段弯道是圆弧形的，道长是12m ，弧所对的圆心角是段圆弧的半径R(精确0.1m)扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形．1）半径为R 的圆,面积是多少？圆的面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形？ 1°圆心角所对扇形面积是多少？2°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______．设圆半径为R ，n °的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______． 因此：在半径为R 的圆中，圆心角n °的扇形针对练习题1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S 扇=_ .已知扇形面积为π34 ，圆心角为120°，则这个扇形的半径R=已知半径为2cm 的扇形，其弧长为π34 ，则这个扇形的面积，S 扇=例题：如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m ，其中水面高0.3m 。

第1课时弧长和扇形面积课时目标1.理解弧长和扇形面积公式,并会计算弧长、扇形的面积,发展学生抽象思维能力的核心素养.2.经历探究弧长和扇形面积公式的过程,解决部分与整体的问题,培养学生的探索能力和运用公式解决问题的能力.3.在弧长和扇形面积计算公式的探究过程中,感受转化、类比的数学思想.4.通过用弧长和扇形面积公式解决实际问题,让学生感受数学与实际生活的联系,激发学习数学的兴趣,提高学习数学的积极性,培养学生会用数学知识解决简单几何问题的能力.学习重点弧长及扇形面积公式的推导过程及运用.学习难点运用弧长和扇形面积公式计算组合图形的面积.课时活动设计情境引入在田径200米跑步比赛中,运动员的起跑位置相同吗?为什么?教师通过课件展示图片,提出问题.解:起跑位置不同,为了保证每个人所跑路程为200米.在学生回答的基础上,提出每个跑道应该相距多远呢,关键是应该知道这些弯道的“展直长度”,如何计算呢?设计意图:由现实图片引出,给学生产生视觉上的强烈冲击,产生强烈的求知欲,为下面探究新知识打下基础.让学生感悟数学来源于生活并应用于生活的辨证思想,初步感受弧长的作用.探究新知我们知道,弧是圆的一部分,弧长就是圆周长的一部分.想一想,如何计算圆周长?圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长?由此出发,1°的圆心角所对的弧长是多少?n°的圆心角呢?分析:在半径为R 的圆中,因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C =2πR ,所以1°的圆心角所对的弧长是2πR360,即πR180.于是n°的圆心角所对的弧长为l =nπR180.典例精讲例1 制造弯形管道时,经常要先按中心线计算“展直长度”,再下料,试计算如图所示的管道的展直长度L (结果取整数).解:由弧长公式,得AB⏜的长l =100×900×π180=500π≈1 570(mm). 因此所要求的展直长度L =2×700+1 570=2 970(mm).设计意图:由圆的周长和周角的定义分析出1°的圆心角所对的弧长,进而得出n°圆心角所对弧长公式,体现了新旧知识的联系.教师给出扇形图片,学生观察图片,尝试归纳概念.扇形:由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形. 思考:由扇形的定义可知,扇形面积就是圆面积的一部分.想一想,如何计算圆的面积?圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积?1°的圆心角所对的扇形面积是多少?n°的圆心角呢?分析:在半径为R 的圆中,因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S =πR 2,所以圆心角是1°的扇形面积是πR 2360.于是圆心角为n°的扇形面积是S扇形=nπR2360.比一比:n°的圆心角所对的弧长和扇形面积之间有什么关系?(教师提问,学生讨论交流,得出结论.)S扇形=nπR2360=nπR·R180×2=l·R2=12lR.典例精讲例2如图,圆心角为60°的扇形的半径为10 cm.求这个扇形的面积和周长.(精确到0.01 cm2和0.01 cm)学生独立思考后师生共同解答.解:∵n=60,r=10 cm,∵扇形的面积为S=nπr2360=60×π×102360=50π3≈52.36(cm2).扇形的周长为l=2r+nπr180=20+60×π×10180=20+10π3≈30.47(cm).设计意图:类比弧长公式的研究方法,学生可以自行推倒扇形面积公式并应用,锻炼学生的推理能力.典例精讲例3如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m,其中水面高0.3 m.求截面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位).解:连接OA,OB,作弦AB的垂直平分线,垂足为D,交AB⏜于点C,连接AC.∵OC=0.6 m,DC=0.3 m,∵OD=OC-DC=0.3(m).∵OD=DC.又AD∵DC,∵AD是线段OC的垂直平分线.∵AC=AO=OC.从而∵AOD=60°,∵AOB=120°.有水部分的面积S=S扇形OAB-S∵OAB=120π360×0.62-12AB·OD=0.12π-12×0.6√3×0.3≈0.22(m2).有水的部分实际上是一个弓形,通过例题我们发现,弓形的面积可以通过扇形的面积与相应三角形面积的和或差求得.设计意图:通过例题总结出弓形的面积.巩固训练1.如图,一条公路(公路的宽度忽略不计)的转弯处是一段圆弧AB⏜,点O是这段弧所在圆的圆心,半径OA=90 m,圆心角∵AOB=80°,则这段弯路AB⏜的长度为(C)A.20π mB.30π mC.40π mD.50π m第1题图第2题图2.如图,在扇形AOB中,AC为弦,∵AOB=140°,∵CAO=60°,OA=6,则BC⏜的长为(B)A.4π3B.8π3C.2√3πD.2π3.如图,∵O经过点A和点B,其半径是√2m,连接AB,若∵AOB=45°,则阴影部分的面积为π4-√22m2(结果保留π).4.某校编排的一个舞蹈需要五把和图1形状大小完全相同的绸扇.学校现有三把符合要求的绸扇,将这三把绸扇完全展开刚好组成如图2所示的一朵圆形的花.请你算一算:再做两把这样的绸扇至少需要多少平方厘米的绸布?(单面制作,不考虑绸扇的折皱,结果用含π的式子表示)解:由三把绸扇完全展开刚好组成了一个圆可知,扇形的圆心角为120°.由题图知,大扇形的半径为18+12=30(cm).S大扇形=120×π×302360=300π(cm2).S小扇形=120×π×122360=48π(cm2).S绸面=S大扇形-S小扇形=300π-48π=252π(cm2).两把绸扇所需的绸布面积是2×252π=504π(cm2).所以再做两把这样的调扇至少需要504π平方厘米的绸布.5.如图,将Rt∵ABC绕点A逆时针旋转90°得到Rt∵AB1C1,阴影部分为线段BC 扫过的区域,已知AB=4,BC=3,求阴影部分的面积.解:∵AB=4,BC=3,∵由勾股定理,得AC=√32+42=5.∵将Rt∵ABC绕点A逆时针旋转90°得到Rt∵AB1C1,∵∵ABC的面积等于∵AB1C1的面积,∵C1AC=∵B1AB=90°.∵阴影部分的面积S=S扇形AC1C +S∵ABC-S扇形AB1B-S△AC1B1=S扇形AC1C-S扇形ABB1=90π×52360-90π×42360=94π.设计意图:通过练习进一步巩固所学.课堂小结本节课我们主要学习了哪些内容? (1)弧长公式l=nπR180.(2)扇形面积S扇形=nπR2360=12 lR.(3)弓形面积S弓形=S扇形-S三角形,S弓形=S扇形+S三角形.设计意图:将课程中的知识点进行整理和归纳,形成结构化的知识体系,便于学生理解和记忆.课堂8分钟.1.教材第113页练习第2,3题,教材第115页习题24.4第7,8题.2.七彩作业.教学反思第2课时圆锥的侧面积和全面积课时目标1.理解圆锥的侧面积和全面积公式,并会利用公式解决圆锥侧面积或全面积的问题,发展学生抽象思维能力的核心素养.2.经历探索圆锥侧面积计算公式的过程,培养学生获取新知的能力,并渗透化曲面为平面的思想,培养学生观察、操作、归纳、猜想的能力以及增强学生的合作意识,进一步发展空间观念的核心素养.3.通过教学互动培养学生的观察能力和抽象概括能力,掌握解决问题的策略.4.通过运用公式解决实际问题,让学生感受数学与实际生活的联系,激发学生学习数学的兴趣,培养学生会用数学知识解决简单几何问题的能力.学习重点了解圆锥的侧面积和全面积计算公式,并会应用公式解决问题.学习难点经历探索圆锥侧面积和全面积计算公式的过程.课时活动设计观察思考问题:观察下面的物体,你能抽象出什么相同的几何图形?问题:你还能举出一些生活中的圆锥形物体吗?设计意图:通过熟悉的生活中实物图片引入,提高学生的学习兴趣,并让学生感受数学与实际生活的联系,通过举例让学生进一步熟悉圆锥.问题1:观察圆锥,你能说出它是由哪些面围成的几何体吗?解:圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体.底面是一个圆,侧面是一个曲面.追问1:圆锥中常见的元素有哪些?解:连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线有无数条.连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高.追问2:圆锥的母线、高、半径三者之间有什么关系?解:h2+r2=l2讲完每一部分可以先让学生讨论,最后教师总结给出每部分的所讲内容.设计意图:通过分析得出圆锥的母线、高、半径三者之间的关系,为后面解题作准备,同时进一步培养学生的观察能力和抽象概括能力.问题2:我们知道圆锥的侧面是一个曲面,那么如何求它的侧面积呢?将曲面变成平面,沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平.追问:圆锥的侧面展开图是什么图形?扇形教师活动:先让学生动手操作,将扇形纸片折成圆锥再展开,然后提出下面的问题让学生抢答.(1)展开的扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等?母线长.(2)展开的扇形的弧长与底面圆的周长有什么关系?相等.设计意图:通过提问引导学生分析出求侧面积的方法,培养学生获取新知的能力,并渗透化曲面为平面的思想.通过动手操作培养学生的操作实践能力,并让学生熟悉展开的扇形中的弧长和半径与圆锥中元素的关系,为后面推导出圆锥的侧面积公式作铺垫,通过抢答提高学生学习的积极性.问题3:如何计算圆锥的侧面积?分析:由活动3可知圆锥母线长l ,底面圆的半径为r ,那这个扇形半径为l ,弧长为2πr.因此圆锥的侧面积=扇形的面积=12lR =12×2πr ×l =πrl.设计意图:将圆锥的侧面积转化为已学的扇形的面积,让学生掌握解决问题的策略.问题4:如何计算圆锥的全面积呢? 圆锥的全面积=侧面积+底面积=πrl +πr 2. 说明:r 是底面圆的半径,l 是圆锥的母线长.设计意图:通过自主探究交流的方式引导学生推导出圆锥的侧面积公式和全面积公式,培养学生分析问题和解决问题的能力.问题5:还记得前面提到的蒙古包吗?能否利用今天学到的知识求出蒙古包的全面积?蒙古包的全面积=圆锥的侧面积+圆柱的侧面积. 典例精讲例 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.如果想用毛毡搭建20个底面积为12 m2,高为3.2 m,外围高1.8 m的蒙古包,至少需要多少平方米的毛毡(π取3.142,结果取整数)?解:如图是一个蒙古包的示意图.根据题意,下部圆柱的底面积为12 m2,高h2=1.8 m;上部圆锥的高h1=3.2-1.8=1.4(m).≈1.954(m),圆柱的底面圆的半径r=√12π侧面积为2π×1.954×1.8≈22.10(m2).圆锥的母线长l=√1.9542+1.42≈2.404(m),侧面展开扇形的弧长为2π×1.954≈12.28(m),×2.404×12.28≈14.76(m2).圆锥的侧面积为12因此,搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡20×(22.10+14.76)≈738(m2).设计意图:让学生自主分析出求解思路,学会运用数学知识解决实际问题,进一步感受数学与实际生活的联系,并为后面的练习、习题解答作准备.让学生在探究过程中进一步加深对圆锥侧面积公式的理解,培养学生的应用意识.巩固训练1.已知一个圆锥的底面半径为12 cm,母线长为20 cm,则这个圆锥的侧面积为240π cm2,全面积为384π cm2(结果保留π).2.一个圆锥形的冰淇淋纸筒,其底面直径为6 cm,高为4 cm,则围成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面积为15π cm2(结果保留π).3.若圆锥的底面半径r=4 cm,高线h=3 cm,则它的侧面展开图中扇形的圆心角是288度.4.童心玩具厂欲生产一种圣诞老人的帽子,其圆锥形帽身的母线长为15 cm,底面半径为5 cm,生产这种帽身10 000个,你能帮玩具厂算一算至少需多少平方米的材料吗(不计接缝用料和余料,π取3.14)?解:由题意可知,母线长l=15 cm,r=5 cm,∵S侧=πrl=π×5×15≈235.5(cm2).∵235.5×10 000=2 355 000(cm2)=235.5(m2).答:至少需要235.5平方米的材料.设计意图:通过巩固训练及时巩固本节课所学内容,并考查学生的知识应用能力,培养独立完成练习的习惯.课堂小结设计意图:通过课堂小结总结回顾本节课学习内容,帮助学生归纳、巩固所学知识.课堂8分钟.1.教材第114页练习第1,2题,教材第115页习题24.4第5,9题.2.七彩作业.第2课时圆锥的侧面积和全面积重要图形,重要结论.(1)其侧面展开图扇形的半径=母线的长l;(2)侧面展形图扇形的弧长=底面圆的周长.(1)r2+h2=l2;(2)S侧=πrl;(3)S全=S侧+S底=πrl+πr2.教学反思。

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解弧长和扇形面积的基本概念。弧长是圆上一段弧的长度，而扇形面积则是圆心角所对的区域。这些概念在工程、地理和日常生活中有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们要计算一个半径为10米的半圆的弧长，我们将学习如何使用弧长公式来求解。
然而，我也注意到在小组讨论环节，有些小组的参与度并不高，可能是因为问题设置不够贴近学生的实际经验，或者是我没有给予足够的引导。在未来的教学中，我需要针对这一点进行改进，设计更具启发性和参与性的讨论主题。
实践活动虽然增加了学生对知识的直观感受，但在时间分配上似乎有些紧张。有些小组没有足够的时间完成讨论和实验操作，导致成果展示不够充分。我考虑在下次课中，适当延长实践活动的时间，确保每个小组都有足够的机会来展示他们的成果。
（3）教学难点中的弧度与角度转换，学生需要记住π弧度等于180°，因此在计算中如遇到角度制，需要先转换为弧度制。例如，一个圆心角为60°的扇形，其对应的弧度为π/3（60° × π/180）。
（4）在实际应用中，学生需要将问题描述转化为数学表达式。例如，如果一个公园的圆形喷泉半径是3米，需要清洁的部分占整个圆的1/6，学生需要计算出这部分扇形的面积（A = 1/2 × 3² × π/3）。这个过程中，学生需要识别出圆心角是π/3弧度，这是解决问题的关键。
人教版九年级数学上册24.4弧长和扇形面积（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学上册第24.4节，本节课将重点探讨以下内容：
1.弧长的概念及其计算公式；
2.弧度的概念及其与角度的转换；
3.扇形的定义及扇形面积的计算公式；
4.应用实例：计算给定圆的半径或弧长，求解扇形面积。

24.4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
1.通过自主探究得出弧长的计算公式，体验从特殊到一般的学习
方法，发展学生的推理能力.
2.通过小组讨论推导出扇形面积公式，会推导弧长和扇形面积之
间的关系，学会利用类比的思想方法解决问题.
3.通过练习恰当熟练地运用公式计算弧长、扇形的面积，增强学
生的数学运用能力.
3
4.试着总结圆心角为 ᵒ的扇形面积公式.
扇形 =


=






教师讲评
知识点1．弧长（重点）

n°的圆心角所对的弧长为l= .

知识点2．扇形面积（重点）
1.扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.如
图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
2.扇形面积：
旧知回顾
还记得小学学过的圆的周长和面积公式吗？
(C=πd=2πr,S=πr²)
“欲穷千里目，更上一层楼”是唐朝诗人王之涣在《登鹳雀楼》一诗中的诗句
，那么同学们想过没有，如果真的要看千里之遥，要“站”多高呢？
如图，地球上B、C两点间的距离指的是球面上两点间的距离，也就是什么的
长？（弧BC的长）
假设弧BC的长为500km，如果地球的半径是6400km，你能算出视线AC的
(2)由(1)易得 =

,

=

, ∠

= °.
∴阴影部分的面积=扇形OAB的面积 −△ 的面积
=
×





− × ×

×



= −

.