§5.2简单的线性规划

错解剖析得真知（十三）

§5.2简单的线性规划

一、知识导学

1. 目标函数: Ｐ ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变 量 ｘ 和ｙ 的 函数，称为目标函数．

2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.

3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．

4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．

5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．

二、疑难知识导析

线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.

1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．

2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直 线 不 过 原点，通 常 选 择 原 点 代入检验．

3. 平 移 直 线 ｙ＝－kｘ ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．

4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．

5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.

三、经典例题导讲

[例1] ．画出不等式组表示的平面区域.

错解：如图（1）所示阴影部分即为不等式组表示的平面区域.

错因一是实虚线不清，二是部分不等式所表示的平面区域弄错了.

正解：如图（2）所示阴影部分即为不等式组表示的平面区域.

[例2] 已知1x－y2,且2x+y4,求4x－2y的范围.

错解：由于 1x－y2 ①,

2x+y4 ②,

①+② 得32x6 ③

①×(－1)+② 得：02y3 ④.

③×2+④×(－1)得. 34x－2y12

错因：可行域范围扩大了.

正解：线性约束条件是：

令z＝4x－2y，

画出可行域如图所示，

由得A点坐标（1.5，0.5）此时z＝4×1.5－2×0.5＝5.

由得B点坐标（3，1）此时z＝4×3－2×1＝10.

54x－2y10

[例3] 已知,求x2+y2的最值.

错解：不等式组表示的平面区域如图所示ABC的内部（包括边界），

令z= x2+y2

由得A点坐标（4，1），

此时z＝x2+y2＝42+12＝17，

由得B点坐标（－1，－6），

此时z＝x2+y2＝（－1）2+(－6)2＝37，

由得C点坐标（－3，2），

此时z＝x2+y2＝（－3）2+22＝13， 当时x2+y2取得最大值37，当时x2+y2取得最小值13.

错因：误将求可行域内的点到原点的距离的平方的最值误认为是求三点A、B、C到原点的距离的平方的最值.

正解：不等式组表示的平面区域如图所示ABC的内部（包括边界），

令z= x2+y2,则z即为点（x，y）到原点的距离的平方.

由得A点坐标（4，1），

此时z＝x2+y2＝42+12＝17，

由得B点坐标（－1，－6），

此时z＝x2+y2＝（－1）2+(－6)2＝37，

由得C点坐标（－3，2），

此时z＝x2+y2＝（－3）2+22＝13，

而在原点处，，此时z＝x2+y2＝02+02＝0，

当时x2+y2取得最大值37，当时x2+y2取得最小值0.

[例4]某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.如果只安排生产书桌，可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？怎样安排生产可使得利润最大？

分析： 数据分析列表

书桌 书橱 资源限制

木料（m3） 0．1 0．2 90

五合板（m2） 2 1 600

利润（元/张） 80 120

计划生产（张） x y 设生产书桌x张，书橱y张，利润z元，则约束条件为

目标函数z=80x+120y

作出上可行域：

作出一组平行直线2x+3y=t, 此直线经过点A（100，400）时，即合理安排生产，生产书桌100张，书橱400张，有最大利润为

zmax=80×100+400×120=56000(元)

若只生产书桌，得0

z=80×300=24000（元）

若只生产书橱，得0

z=120×450=54000（元）

答：略

[例5]某钢材厂要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表：

A规格 B规格 C规格

第一种钢板 1 2 1

第二种钢板 1 1 3

需求 12 15 27

每张钢板的面积，第一种为1m2，第二种为2 m2，今需要A、B、C三种规格的成品各12、15、27块，请你们为该厂计划一下，应该分别截这两种钢板多少张，可以得到所需的三种规格成品，而且使所用钢板的面积最小？只用第一种钢板行吗？

解：设需要截第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板面积为z m2，则

目标函数z=x+2y

作出可行域如图

作一组平行直线x+2y=t， 由

可得交点，

但点不是可行域内的整点，其附近的整点（4，8）或（6，7）可都使z有最小值，且zmin=4+2×8=20 或zmin=6+2×7=20

若只截第一种钢板，由上可知x≥27，所用钢板面积最少为z=27(m2);若只截第二种钢板，则y≥15，最少需要钢板面积z=2×15=30(m2).它们都比zmin大，因此都不行.

答：略

[例6]设，式中满足条件，求的最大值和最小值.

解：由引例可知：直线与所在直线平行，则由引例的解题过程知，

当与所在直线重合时最大，此时满足条件的最优解有无数多个，

当经过点时，对应最小，∴，．

说明：1．线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；

2．线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个.

四、典型习题导练

1．画出不等式－+2y－4＜0表示的平面区域.

2．画出不等式组表示的平面区域

3.求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件

4.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6000元，运费不超过2000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？

5.某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？

6．（06年高考广东）在约束条件下，当时，目标函数

的最大值的变化范围是

A.[6,15] B.[7,15]

C.[6,8] D.[7,8]

§5.3 基本不等式的证明

一、知识导学

1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法).

(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法.

(2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R+，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法.

2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ.

3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有„，这只需证明Ｂ2为真，从而又有„，„„这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件.

4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法.

5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法.主要有两种换元形式.(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示.此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题； (2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如ａ>ｂ>ｃ等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简.如ａ+ｂ=1，可以用ａ=1-ｔ，ｂ=ｔ或ａ=1/2+ｔ，ｂ=1/2-ｔ进行换元.

二、疑难知识导析

1.在用商值比较法证明不等式时，要注意分母的正、负号，以确定不等号的方向.

2.分析法与综合法是对立统一的两个方面，前者执果索因，利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握；后者是由因导果，宜于表述，因为它条理清晰，形式简洁，适合人们的思维习惯.但是，用分析法探求证明不等式，只是一种重要的探求方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述较繁，如果把“只需证明”等字眼不写，就成了错误.而用综合法书写的形式，它掩盖了分析、探索的过程.因而证明不等式时，分析法、综合法常常是不能分离的.如果使用综合法证明不等式，难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律.还有的不等式证明难度较大，需一边分析，一边综合，实现两头往中间靠以达到证题的目的.这充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系.分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点.