2015高考湖南卷文科数学【答案加解析】

2015年普通高等学校招生全国统一考试·湖南卷(文科)检索号:231.(2015·湖南高考文科·T1)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i【解题指南】本题主要考查复数的加减乘除基本运算,验证即得结论.【解析】选D.验证各选项,只有z=-1-i时,==1+i.检索号:502.(2015·湖南高考文科·T2)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示:1314 150 0 3 4 5 6 6 8 8 8 91 1 12 2 23 34 45 5 56 678 0 1 2 2 3 3 3若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是()A.3B.4C.5D.6【解析】选B.由茎叶图可知,在区间[139,151]的人数为20,再由系统抽样的性质可知人数为20×=4.检索号:23.(2015·湖南高考文科·T3)设x∈R,则“x>1”是“x3>1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】直接利用充分必要条件进行判断,可先判断充分性是否成立,再判断必要性是否成立.【解析】选C.由题易知“x>1”可以推得“x3>1”,“x3>1”可以得到“x>1”,所以“x>1”是“x3>1”的充要条件.检索号:314.(2015·湖南高考文科·T4)若变量x,y满足约束条件则z=2x-y的最小值为()A.-1B.0C.1D.2【解题指南】画出满足约束条件的可行域,结合图象确定目标函数的最优解.【解析】选A.如图所示,画出线性约束条件所表示的区域,即得可行域,从而可知,最优解为A(0,1),故z=2x-y取得的最小值是-1,故选A.检索号:495.(2015·湖南高考文科·T5)执行如图所示的程序框图.如果输入n=3,则输出的S=()A. B. C. D.【解题指南】本题考查程序框图,根据程序框图的功能可直接求解.【解析】选B.由题意得,输出的S为数列的前三项和,而=(-),所以S n=(1-)=,所以S3=.检索号:456.(2015·湖南高考文科·T6)若双曲线-=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为()A. B. C. D.【解题指南】由题利用双曲线的渐近线方程经过的点,得到a,b的关系式,然后求出双曲线的离心率即可.【解析】选D.因为双曲线的一条渐近线经过点(3,-4),所以3b=4a,所以9(c2-a2)=16a2,所以e==.检索号:327.(2015·湖南高考文科·T7)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为()A. B.2 C.2 D.4【解题指南】根据+=可得a>0,b>0,然后利用基本不等式+≥2,求解ab的最小值即可.【解析】选C.因为+=,所以a>0,b>0,由=+≥2=2,所以ab≥2(当且仅当b=2a时取等号),所以ab的最小值为2.检索号:108.(2015·湖南高考文科·T8)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数【解题指南】先判断函数的奇偶性,再判断函数的单调性.【解析】选A.显然,f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,又因为f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,因为f'(x)=+=,在(0,1)上f'(x)>0,所以f(x)在(0,1)上是增函数.检索号:439.(2015·湖南高考文科·T9)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则的最大值为()A.6B.7C.8D.9【解题指南】由题意可得AC为圆的直径,可设坐标A(m,n),C(-m,-n),B(x,y),转化为x的函数求其最大值即得.【解析】选B.由题意得,AC为圆的直径,故可设A(m,n),C(-m,-n),B(x,y),所以++=(x-6,y),而(x-6)2+y2=37-12x≤49,所以的最大值为7.检索号:3610.(2015·湖南高考文科·T10)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件的利用率为(材料的利用率=新工件的体积/原工件的体积)()。

2015 年湖南省高考数学试卷（文科）一、选择题（每题 5 分，共 50 分）1．（5 分）已知=1+i（i 为虚数单位），则复数 z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣ 1+i D．﹣ 1﹣ i2．（ 5 分）在一次马拉松竞赛中， 35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图以下图．若将运动员按成绩由好到差编为 1﹣ 35 号，再用系统抽样方法从中抽取7 人，则此中成绩在区间 [ 139，151] 上的运动员人数是（）A．3B．4C．5D．633．（5 分）设 x∈R，则“x＞1“是“x＞1”的（）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件4．（5 分）若变量 x， y 知足拘束条件，则z=2x﹣y的最小值为（）A．﹣ 1 B．0C．1D．25．（5 分）履行以下图的程序框图，假如输入n=3，则输出的 S=（）A．B．C．D．6．（5 分）若双曲线﹣=1 的一条渐近线经过点（ 3，﹣ 4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．（5 分）若实数 a，b 知足 + =，则 ab 的最小值为（）A．B．2 C．2 D．48．（5 分）设函数 f（ x）=ln（1+x）﹣ ln（1﹣x），则 f（x）是（）A．奇函数，且在（ 0， 1）上是增函数B．奇函数，且在（ 0，1）上是减函数C．偶函数，且在（ 0，1）上是增函数D．偶函数，且在（ 0， 1）上是减函数．（分）已知，，在圆x 2+y2=1上运动，且⊥ ，若点P的坐标为（，9 5 A B C AB BC2 0），则 || 的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．910．（ 5 分）某工件的三视图以下图，现将该工件经过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件资料的利用率为（资料利用率=）（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分）11．（5 分）已知会合 U={ 1，2，3，4} ，A={ 1，3} ，B={ 1，3，4} ，则 A ∪（?U B ）= ．12．（5 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立 极坐标系，若曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2sin ，θ则曲线 C 的直角坐标方程为．22 213．（5 分）若直线 3x ﹣4y+5=0与圆 x+y（r ＞0）订交于 A ，B 两点，且∠ AOB=120°，=r（ O 为坐标原点），则 r= ．14（．5 分）已知函数 （fx ）=| 2x﹣2| ﹣b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是 ．15．（ 5 分）已知 ω＞0，在函数 y=2sin ωx 与 y=2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 2，则 ω=．三、解答题16．（ 12 分）某商场举行有奖促销活动，顾客购置必定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有 2 个红球 A 1，A 2 和 1 个白球 B 的甲箱与装有 2 个红球 a 1， a 2 和 2 个白球 b 1，b 2 的乙箱中，各随机摸出 1 个球，若摸出的 2 个球都是红球则中奖，不然不中奖．（Ⅰ）用球的标号列出全部可能的摸出结果；（Ⅱ）有人以为：两个箱子中的红球比白球多， 因此中奖的概率大于不中奖的概率，你以为正确吗？请说明原因．17．（ 12 分）设△ ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明： sinB=cosA；（Ⅱ）若 sinC﹣sinAcosB= ，且 B 为钝角，求 A， B， C．18．（ 12 分）如图，直三棱柱 ABC﹣A1B1C1的底面是边长为 2 的正三角形， E，F 分别是 BC，CC 的中点，1（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面 B1BCC1；（Ⅱ）若直线 A1 C 与平面 A1ABB1所成的角为 45°，求三棱锥 F﹣ AEC的体积．19．（ 13 分）设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，已知 a1=1，a2=2，a n+2=3S n﹣ S n+1+3，n∈N*，（Ⅰ）证明 a n+2=3a n；（Ⅱ）求 S n．20．（13 分）已知抛物线 C1：x2=4y 的焦点 F 也是椭圆 C2： +=1（ a＞ b＞ 0）的一个焦点， C1与 C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1订交于A，B两点，与 C2订交于 C，D 两点，且与同向．（Ⅰ）求 C2的方程；（Ⅱ）若 | AC| =| BD| ，求直线 l 的斜率．21．（ 13 分）已知 a＞ 0，函数 f（x）=ae x cosx（x∈[ 0， +∞ ] ），记 x n为 f（x）的从小到大的第 n（ n∈N*）个极值点．（Ⅰ）证明：数列 { f（x n）} 是等比数列；（Ⅱ）若对全部n∈N*，x n≤ | f （x n）| 恒成立，求 a 的取值范围．2015 年湖南省高考数学试卷（文科）参照答案与试题分析一、选择题（每题 5 分，共 50 分）1．（5 分）已知=1+i（i 为虚数单位），则复数 z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣ 1+i D．﹣ 1﹣ i【剖析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法例，求得z 的值．【解答】解：∵已知=1+i（i 为虚数单位），∴z===﹣1﹣i，应选： D．【评论】此题主要考察两个复数代数形式的乘除法法例的应用，属于基础题．2．（ 5 分）在一次马拉松竞赛中， 35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1﹣ 35 号，再用系统抽样方法从中抽取7 人，则此中成绩在区间 [ 139，151] 上的运动员人数是（）A．3B．4C．5D．6【剖析】对各数据分层为三个区间，而后依据系统抽样方法从中抽取7 人，获得抽取比率为，而后各层依据此比率抽取．【解答】解：由已知，将个数据分为三个层次是[ 130，138] ，[ 139，151] ，[ 152，153] ，依据系统抽样方法从中抽取7 人，获得抽取比率为，因此成绩在区间 [ 139，151] 中共有 20 名运动员，抽取人数为20×=4；应选： B．【评论】此题考察了茎叶图的认识以及利用系统抽样抽取个体的方法；重点是正确分层，明确抽取比率．33．（5 分）设 x∈R，则“x＞1“是“x＞1”的（）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件【剖析】利用充要条件的判断方法判断选项即可．3【解答】解：因为 x∈R，“x＞1“? “x＞1”，3因此“x＞1“是“x＞ 1”的充要条件．应选： C．【评论】此题考察充要条件的判断，基本知识的考察．4．（5 分）若变量 x， y 知足拘束条件，则z=2x﹣y的最小值为（）A．﹣ 1 B．0C．1D．2【剖析】由拘束条件作出可行域，由图获得最优解，求出最优解的坐标，数形联合得答案．【解答】解：由拘束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得 A（ 0，1）．∴z=2x﹣y 的最小值为 2×0﹣1=﹣ 1．应选： A．【评论】此题考察了简单的线性规划，考察了数形联合的解题思想方法，是中档题．5．（5 分）履行以下图的程序框图，假如输入n=3，则输出的 S=（）A．B．C．D．【剖析】列出循环过程中 S 与 i 的数值，知足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：判断前 i=1，n=3， s=0，第 1 次循环， S=，i=2，第 2 次循环， S=，i=3，第 3 次循环， S=，i=4，此时， i＞n，知足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===应选： B．【评论】此题考察循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考察计算能力6．（5 分）若双曲线﹣=1 的一条渐近线经过点（ 3，﹣ 4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【剖析】利用双曲线的渐近线方程经过的点，获得a、b 关系式，而后求出双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线﹣=1 的一条渐近线经过点（ 3，﹣ 4），可得 3b=4a，即 9（c2﹣a2） =16a2，解得=．应选： D．【评论】此题考察双曲线的简单性质的应用，基本知识的考察．7．（5 分）若实数 a，b 知足+ =，则ab的最小值为（）A．B．2C．2D．4【剖析】由+ =，可判断a＞0，b＞0，而后利用基础不等式即可求解 ab 的最小值【解答】解：∵+ =，∴a＞ 0，b＞ 0，∵（当且仅当 b=2a 时取等号），∴，解可得， ab，即ab的最小值为2，应选： C．【评论】此题主要考察了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题8．（5 分）设函数 f（ x）=ln（1+x）﹣ ln（1﹣x），则 f（x）是（）A．奇函数，且在（ 0， 1）上是增函数B．奇函数，且在（ 0，1）上是减函数C．偶函数，且在（ 0，1）上是增函数D．偶函数，且在（ 0， 1）上是减函数【剖析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单一性推出结果即可．【解答】解：函数 f （x） =ln（ 1+x）﹣ ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣ 1， 1），函数 f （﹣ x）=ln（1﹣x）﹣ ln（ 1+x）=﹣[ ln （1+x）﹣ ln（ 1﹣ x）] =﹣f （x），所以函数是奇函数．清除 C，D，正确结果在 A，B，只要判断特别值的大小，即可推出选项， x=0 时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，明显f（0）＜f（），函数是增函数，因此 B 错误， A 正确．应选： A．【评论】此题考察函数的奇偶性以及函数的单一性的判断与应用，考察计算能力．，，在圆x 2+y2=1上运动，且⊥ ，若点P的坐标为（，9．（5 分）已知 A B C AB BC2 0），则 || 的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【剖析】由题意， AC为直径，因此 ||=|2+| ．B 为（﹣ 1，0）时，| 2+| ≤7，即可得出结论．【解答】解：由题意， AC为直径，因此 ||=|2+|因此 B 为（﹣ 1，0）时， | 2+| ≤7．因此 || 的最大值为 7．另解：设 B（cosα， sin α），| 2+| =| 2 （﹣ 2 ， 0 ） + （ cosα﹣ 2 ， sin α） | =| （ cosα﹣ 6 ， sin α） | ==，当 cosα=﹣1 时， B 为（﹣ 1，0），获得最大值7．应选： B．【评论】此题考察向量知识的运用，考察学生剖析解决问题的能力，比较基础．10．（ 5 分）某工件的三视图以下图，现将该工件经过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件资料的利用率为（资料利用率=）（）A．B．C．D．【剖析】由题意，原资料对应的几何体是圆锥，其内接正方体是加工的新工件，求出它们的体积，正方体的体积与圆锥的体积比为所求．【解答】解：由题意，由工件的三视图获得原资料是圆锥，底面是直径为2的圆，母线长为 3，因此圆锥的高为2，圆锥是体积为；其内接正方体的棱长为x，则，解得x=，因此正方体的体积为，因此原工件资料的利用率为：=；应选： A．【评论】此题考察了由几何体的三视图获得几何体的体积以及几何体的内接正方体棱长的求法；正确复原几何体以及计算内接正方体的体积是重点，属于中档题．二、填空题（本大题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分）11．（5 分）已知会合 U={ 1，2，3，4} ，A={ 1，3} ，B={ 1，3，4} ，则 A∪（?U B）= { 1，2，3}．【剖析】第一求出会合 B 的补集，而后再与会合 A 取并集．【解答】解：会合 U={ 1，2，3，4} ， A={ 1，3} ， B={ 1， 3，4} ，因此 ?U B={ 2} ，因此 A∪（ ?U B）={ 1，2，3} ．故答案为： { 1， 2，3} ．【评论】此题考察了会合的交集、补集、并集的运算；依据定义解答，属于基础题．12．（5 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，若曲线 C 的极坐标方程为ρ=2sin，θ则曲线 C 的直角坐标方程为 x2+（y﹣ 1）2=1 ．【剖析】直接利用极坐标与直角坐标互化，求解即可．2【解答】解：曲线 C 的极坐标方程为ρ=2sn，θ即ρ=2ρ sn，θ它的直角坐标方程为： x2+y2 =2y，即 x2+（y﹣1）2=1．故答案为： x2+（ y﹣ 1）2=1．【评论】此题考察极坐标与直角坐标方程的互化，基本知识的考察．2 2 213．（5 分）若直线 3x﹣4y+5=0与圆 x +y =r（r＞0）订交于 A，B两点，且∠AOB=120°，（ O 为坐标原点），则 r= 2 ．【剖析】若直线 3x﹣4y+5=0 与圆 x2+y2=r2（ r＞0）交于 A、B 两点，∠AOB=120°，则△ AOB为顶角为 120°的等腰三角形，极点（圆心）到直线 3x﹣4y+5=0 的距离d= r，代入点到直线距离公式，可结构对于r 的方程，解方程可得答案．【解答】解：若直线 3x﹣4y+5=0 与圆 x2+y2=r2（r＞ 0）交于 A、 B 两点， O 为坐标原点，且∠ AOB=120°，则圆心（ 0， 0）到直线 3x﹣4y+5=0 的距离 d=rcos= r，即= r，解得 r=2，故答案为： 2．【评论】此题考察的知识点是直线与圆订交的性质，此中剖析出圆心（0，0）到直线 3x﹣ 4y+5=0 的距离 d=r 是解答的重点．14．（5 分）已知函数 f（x）=| 2x﹣2| ﹣b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是0＜b＜ 2 ．【剖析】由函数 f（ x） =| 2x﹣2| ﹣b 有两个零点，可得 | 2x﹣ 2| =b 有两个零点，进而可得函数 y=| 2x﹣ 2| 函数 y=b 的图象有两个交点，联合函数的图象可求 b 的范围【解答】解：由函数 f（x）=| 2x﹣2| ﹣ b 有两个零点，可得 | 2x﹣2| =b 有两个零点，进而可得函数 y=| 2x﹣ 2| 函数 y=b 的图象有两个交点，联合函数的图象可得，0＜b＜2 时切合条件，故答案为：0＜b＜2【评论】此题主要考察函数的零点以及数形联合方法，数形联合是数学解题中常用的思想方法，可以变抽象思想为形象思想，有助于掌握数学识题的实质．15．（ 5 分）已知ω＞0，在函数 y=2sin ωx与 y=2cos ωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω=．【剖析】依据正弦线，余弦线得出交点（（k1，），（（k2，）， k1，k2都为整数，两个交点在同一个周期内，距离近来，即可得出方程求解即可．【解答】解：∵函数 y=2sin ωx与 y=2cosωx的图象的交点，∴依据三角函数线可得出交点（（k1，），（（k2，），k1， k2都为整数，∵距离最短的两个交点的距离为2，∴这两个交点在同一个周期内，∴ 12=（）2+（）2，ω=故答案为：【评论】此题考察了三角函数的图象和性质，三角函数线的运用，属于中档题，计算较麻烦．三、解答题16．（ 12 分）某商场举行有奖促销活动，顾客购置必定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有 2 个红球 A1，A2和 1 个白球 B 的甲箱与装有 2 个红球 a1， a2和 2 个白球 b1，b2的乙箱中，各随机摸出 1 个球，若摸出的 2 个球都是红球则中奖，不然不中奖．（Ⅰ）用球的标号列出全部可能的摸出结果；（Ⅱ）有人以为：两个箱子中的红球比白球多，因此中奖的概率大于不中奖的概率，你以为正确吗？请说明原因．【剖析】（Ⅰ）中奖利用列举法列出全部可能的摸出结果；（Ⅱ）在（Ⅰ）中求出摸出的 2 个球都是红球的结果数，而后利用古典概型概率计算公式求得概率，并说明中奖的概率大于不中奖的概率是错误的．【解答】解：（Ⅰ）全部可能的摸出的结果是：{ A1，a1} ， { A1， a2} ， { A1，b1} ，{ A1，b2} ，{ A2，a1} ，{ A2， a2} ，{ A2，b1} ， { A2， b2} ，{ B，a1} ， { B，a2} ，{ B，b1} ，{ B， b2 } ；（Ⅱ）不正确．原因以下：由（Ⅰ）知，全部可能的摸出结果共 12 种，此中摸出的 2 个球都是红球的结果为：{ A1，a1} ， { A1， a2} ， { A2，a1} ，{ A2，a2} ，共 4 种，∴中奖的概率为．不中奖的概率为： 1﹣．故这类说法不正确．【评论】此题考察了古典概型及其概率计算公式，训练了列举法求基本领件个数，是基础题．17．（ 12 分）设△ ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明： sinB=cosA；（Ⅱ）若 sinC﹣sinAcosB= ，且 B 为钝角，求 A， B， C．【剖析】（Ⅰ）由正弦定理及已知可得=，由sinA≠0，即可证明sinB=cosA．（Ⅱ）由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC﹣ sinAcosB=cosAsinB= ，由（1）sinB=cosA，可得 sin2B= ，联合范围可求 B，由 sinB=cosA及 A 的范围可求 A，由三角形内角和定理可求 C．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵ a=btanA．∴=tanA，∵由正弦定理：，又 tanA=，∴=，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．（Ⅱ）∵ sinC=sin[ π﹣（ A+B）] =sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB= ，由（ 1）sinB=cosA，∴sin2B= ，∵0＜ B＜π，∴ sinB= ，∵B 为钝角，∴B= ，又∵ cosA=sinB=，∴A= ，∴C=π﹣A﹣B= ，综上， A=C=，B=．【评论】此题主要考察了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．18．（ 12 分）如图，直三棱柱 ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2 的正三角形， E，F 分别是 BC，CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面 B1BCC1；（Ⅱ）若直线 A1 C 与平面 A1ABB1所成的角为 45°，求三棱锥 F﹣ AEC的体积．【剖析】（Ⅰ）证明 AE⊥ BB1， AE⊥BC，BC∩ BB1=B，推出 AE⊥平面 B1 BCC1，利用平面余平米垂直的判断定理证明平面AEF⊥平面 B1BCC1；（Ⅱ）取 AB 的中点 G，说明直线 A1C与平面 A1ABB1所成的角为 45°，就是∠ CA1G，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴BB1⊥底面 ABC，AE? 底面 ABC，∴AE⊥BB1，∵直三棱柱 ABC﹣ A1B1C1的底面是边长为 2 的正三角形， E 分别是 BC的中点，∴AE⊥BC，BC∩BB1=B，∴AE⊥平面B1BCC1，∵ AE? 平面 AEF，∴平面 AEF⊥平面 B1BCC1；（Ⅱ）解：取 AB 的中点 G，连接 A1G，CG，由（Ⅰ）可知 CG⊥平面 A1ABB1，直线 A1C 与平面 A1ABB1所成的角为 45°，就是∠ CA1G，则 A1G=CG= ，∴AA1== ，CF=．三棱锥 F﹣AEC的体积：×== ．【评论】此题考察几何体的体积的求法，平面与平面垂直的判断定理的应用，考察空间想象能力以及计算能力．19．（ 13 分）设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，已知 a1=1，a2=2，a n+2=3S n﹣ S n+1+3，n∈N*，（Ⅰ）明 a n+2=3a n；（Ⅱ）求 S n．【剖析】（Ⅰ）当 n≥2 ，通 a n+2=3S n S n+1+3 与 a n+1=3S n﹣1 S n+3 作差，而后当 n=1 命也成立刻可；（Ⅱ）通（ I）写出奇数、偶数的通公式，分奇数的和、偶数的和算即可．【解答】（Ⅰ）明：当 n≥2 ，由 a n+2=3S n S n+1+3，可得 a n+1=3S n﹣1S n+3，两式相减，得 a n+2a n+1=3a n a n+1，∴a n+2=3a n，当 n=1 ，有 a3 =3S1 S2+3=3×1（ 1+2）+3=3，∴ a3=3a1，命也成立，上所述： a n+2=3a n；（Ⅱ）解：由（ I）可得，此中k是随意正整数，∴S2k﹣1=（a1+a2）+（a3+a4）+⋯+（a2k﹣3+a2k﹣2）+a2k﹣1=3+32+⋯+3k﹣1+3k﹣1=+3k﹣ 1=×3k﹣1，k﹣ 1k﹣ 1S2k=S2k﹣1+a2k= ×3+2×3=，上所述， S n=．【点】本考求数列的通及乞降，考分的思想，注意解方法的累，属于中档．20．（13 分）已知抛物线 C1：x2=4y 的焦点 F 也是椭圆 C2： +=1（ a＞ b＞ 0）的一个焦点， C1与 C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1订交于A，B两点，与 C2订交于 C，D 两点，且与同向．（Ⅰ）求 C2的方程；（Ⅱ）若 | AC| =| BD| ，求直线 l 的斜率．【剖析】（Ⅰ）经过 C1方程可知 a2﹣b2=1，经过 C1与 C2的公共弦的长为2且C1与 C2的图象都对于 y 轴对称可得，计算即得结论；（Ⅱ）设 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），经过=可得（x1+x2）2﹣4x1x2 =（ x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l方程为 y=kx+1，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可．【解答】解：（Ⅰ）由 C1方程可知 F（0，1），∵ F 也是椭圆 C2的一个焦点，∴ a2﹣b2=1，又∵ C1与 C2的公共弦的长为2，C1与C2的图象都对于y轴对称，∴易得 C1与 C2的公共点的坐标为（±，），∴，又∵ a2﹣b2=1，∴a2=9，b2=8，∴C2的方程为+ =1；（Ⅱ）如图，设A（ x1，y1），B（x2， y2），C（ x3，y3），D（x4，y4），∵与同向，且| AC| =| BD|，∴= ，∴ x1﹣x2=x3﹣x4，∴（ x1+x2）2﹣ 4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线 l 的斜率为 k，则 l 方程： y=kx+1，由，可得 x2﹣4kx﹣4=0，由韦达定理可得x1+x2=4k， x1x2=﹣ 4，由，得（ 9+8k2）x2+16kx﹣64=0，由韦达定理可得x3+x4=﹣，x3x4=﹣，又∵（ x1+x2）2﹣4x1x2=（ x3+x4）2﹣4x3x4，∴ 16（k2+1）=+，化简得 16（k2+1）=，∴（ 9+8k2）2=16×9，解得 k=±，即直线 l 的斜率为±．【评论】此题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考察求椭圆方程以及直线的斜率，波及到达定理等知，考算能力，注意解方法的累，属于中档．21．（ 13 分）已知 a＞ 0，函数 f（x）=ae x cosx（x∈[ 0， +∞ ] ）， x n f（x）的从小到大的第 n（ n∈N*）个极点．（Ⅰ）明：数列 { f（x n）} 是等比数列；（Ⅱ）若全部n∈N*，x n≤ | f （x n）| 恒成立，求 a 的取范．【剖析】（Ⅰ）求出函数的数，令数 0，求得极点，再由等比数列的定，即可得；（Ⅱ）由 n=1 可得 a 的范，运用数学法8n＞4n+3，当 a≥π，得 | f（ x n+1） | ＞ x n+1，即可获得 a 的范．【解答】（Ⅰ）明：函数f（x）=ae x cosx的数 f （′x） =ae x（cosx sinx），a＞0，x≥0， e x≥1，由 f ′（x） =0，可得 cosx=sinx，即 tanx=1，解得 x=kπ+，k=0， 1， 2，⋯，当 k 奇数， f ′（x）在 kπ+邻近左右正，当 k 偶数， f ′（x）在 kπ+邻近左正右．故 x=kπ+，k=0，1，2，⋯，均极点，x n=（n 1）π+ =nπ ，f（x n）=a cos（ nπ ），f（x n+1）=a cos（ nπ+），π当 n 偶数， f（x n+1）= e f（x n），π当 n 奇数， f（x n+1）= e f（x n），即有数列 { f（x n）} 是等比数列；（Ⅱ）解：因为x1≤| f（ x1） | ，≤a，解得 a≥π，下边明 8n＞4n+3．2015年湖南省高考数学试卷(文科)当 n=1 时， 8＞7 明显成立，假定 n=k 时， 8k＞ 4k+3，当 n=k+1 时， 8k+1=8?8k＞8（4k+3）=32k+24=4（k+1）+28k+20＞4（k+1）+3，即有 n=k+1 时，不等式成立．综上可得 8n＞4n+3（n∈N+），π由 e ＞8，当 a≥ π时，πn由（Ⅰ）可得 | f（ x n+1） | =| （﹣ e ） || f（x1）|＞8n| f （x1）| =8n f（ x1）＞（ 4n+3）x1＞x n+1，n∈N+，综上可得 a≥π成立．【评论】此题考察导数的运用：求极值，主要考察不等式的恒成立问题，同时考查等比数列的通项公式和数学概括法证明不等式的方法，以及不等式的性质，属于难题．第 21 页（共 21 页）。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(文科)一㊁选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知(1-i )2z=1+i (i 为虚数单位),则复数z 等于( )A.1+i B .1-iC .-1+i D.-1-i 2.在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.130 0 3 4 5 6 6 8 8 8 914 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 815 0 1 2 2 3 3 3(第2题)若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( )A.3B .4C .5D.63.设x ɪR ,则 x >1 是 x 3>1的( )A.充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若变量x ,y 满足约束条件x +y ȡ1,y -x ɤ1,x ɤ1,{则z =2x -y 的最小值为( )A.-1B .0C .1D.25.执行如图所示的程序框图.如果输入n =3,则输出的S 等于( )(第5题)A.67B .37C .89 D.496.若双曲线x 2a 2-y 2b2=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( )A.73B .54C .43 D.537.若实数a ,b 满足1a +2b=a b ,则a b 的最小值为( )A.2B .2C .22D.48.设函数f (x )=l n (1+x )-l n (1-x ),则f (x )是( )A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B .奇函数,且在(0,1)上是减函数C .偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数9.已知点A ,B ,C 在圆x 2+y 2=1上运动,且A B ʅB C .若点P 的坐标为(2,0),则|P A ң+P B ң+P C ң|的最大值为( )A.6B .7C .8 D.910.某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=新工件的体积原工件的体积)( )(第10题)A.89πB .827πC .24(2-1)3π D.8(2-1)3π二㊁填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.已知集合U ={1,2,3,4},A ={1,3},B ={1,3,4},则A ɣ(∁U B )= .12.在直角坐标系x O y 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为ρ=2s i n θ,则曲线C 的直角坐标方程为 .13.若直线3x -4y +5=0与圆x 2+y 2=r 2(r >0)相交于A ,B 两点,且øA O B =120ʎ(O 为坐标原点),则r = .14.若函数f (x )=|2x-2|-b 有两个零点,则实数b 的取值范围是 .15.已知ω>0,在函数y =2s i n ωx 与y =2c o s ωx 的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为23,则ω= .三㊁解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A 1,A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a 1,a 2和2个白球b 1,b 2的乙箱中,各随机摸出1个球.若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.(Ⅰ)用球的标号列出所有可能的摸出结果;(Ⅱ)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率.你认为正确吗?请说明理由.17.(本小题满分12分)设әA B C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b t a n A.(Ⅰ)证明:s i n B=c o s A;(Ⅱ)若s i n C-s i n A c o s B=34,且B为钝角,求A,B,C.18.(本小题满分12分)如图,直三棱柱A B C-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,E,F分别是B C,C C1的中点. (Ⅰ)证明:平面A E Fʅ平面B1B C C1;(Ⅱ)若直线A1C与平面A1A B B1所成的角为45ʎ,求三棱锥F-A E C的体积.(第18题)19.(本小题满分13分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=1,a2=2,且a n+2=3S n-S n+1+3,nɪN*. (Ⅰ)证明:a n+2=3a n;(Ⅱ)求S n.20.(本小题满分13分)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为26.过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且A Cң与B Dң同向.(Ⅰ)求C2的方程;(Ⅱ)若|A C|=|B D|,求直线l的斜率.21.(本小题满分13分)已知a>0,函数f(x)=a e x c o s x(xɪ[0,+ɕ)).记x n为f(x)的从小到大的第n(nɪN*)个极值点.(Ⅰ)证明:数列{f(x n)}是等比数列;(Ⅱ)若对一切nɪN*,x nɤ|f(x n)|恒成立,求a的取值范围.。

2015年湖南省高考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是（）A．3 B．4 C．5 D．63．（5分）设x∈R，则“x＞1“是“x3＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．25．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A．B．C．D．6．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2 C．2 D．48．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数9．（5分）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．910．（5分）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A． B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知集合U={1，2，3，4}，A={1，3}，B={1，3，4}，则A∪（∁U B）=．12．（5分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为．13．（5分）若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=．14．（5分）已知函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是．15．（5分）已知ω＞0，在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω=．三、解答题16．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．17．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F 分别是BC，CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．19．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，a2=2，a n+2=3S n﹣S n+1+3，n ∈N*，=3a n；（Ⅰ）证明a n+2（Ⅱ）求S n．20．（13分）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．21．（13分）已知a＞0，函数f（x）=ae x cosx（x∈[0，+∞]），记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．（Ⅰ）证明：数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若对一切n∈N*，x n≤|f（x n）|恒成立，求a的取值范围．2015年湖南省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．【解答】解：∵已知=1+i（i为虚数单位），∴z===﹣1﹣i，故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．2．（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】对各数据分层为三个区间，然后根据系统抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，然后各层按照此比例抽取．【解答】解：由已知，将个数据分为三个层次是[130，138]，[139，151]，[152，153]，根据系统抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，所以成绩在区间[139，151]中共有20名运动员，抽取人数为20×=4；故选：B．【点评】本题考查了茎叶图的认识以及利用系统抽样抽取个体的方法；关键是正确分层，明确抽取比例．3．（5分）设x∈R，则“x＞1“是“x3＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用充要条件的判断方法判断选项即可．【解答】解：因为x∈R，“x＞1“⇔“x3＞1”，所以“x＞1“是“x3＞1”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查充要条件的判断，基本知识的考查．4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（0，1）．∴z=2x﹣y的最小值为2×0﹣1=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A．B．C．D．【分析】列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：判断前i=1，n=3，s=0，第1次循环，S=，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===故选：B．【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力6．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣a2）=16a2，解得=．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．7．（5分）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2 C．2 D．4【分析】由+=，可判断a＞0，b＞0，然后利用基础不等式即可求解ab的最小值【解答】解：∵+=，∴a＞0，b＞0，∵（当且仅当b=2a时取等号），∴，解可得，ab，即ab的最小值为2，故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题8．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力．9．（5分）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】由题意，AC为直径，所以||=|2+|．B为（﹣1，0）时，|2+|≤7，即可得出结论．【解答】解：由题意，AC为直径，所以||=|2+|所以B为（﹣1，0）时，|2+|≤7．所以||的最大值为7．另解：设B（cosα，sinα），|2+|=|2（﹣2，0）+（cosα﹣2，sinα）|=|（cosα﹣6，sinα）|==，当cosα=﹣1时，B为（﹣1，0），取得最大值7．故选：B．【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．10．（5分）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A． B．C．D．【分析】由题意，原材料对应的几何体是圆锥，其内接正方体是加工的新工件，求出它们的体积，正方体的体积与圆锥的体积比为所求．【解答】解：由题意，由工件的三视图得到原材料是圆锥，底面是直径为2的圆，母线长为3，所以圆锥的高为2，圆锥是体积为；其内接正方体的棱长为x，则，解得x=，所以正方体的体积为，所以原工件材料的利用率为：=；故选：A．【点评】本题考查了由几何体的三视图得到几何体的体积以及几何体的内接正方体棱长的求法；正确还原几何体以及计算内接正方体的体积是关键，属于中档题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知集合U={1，2，3，4}，A={1，3}，B={1，3，4}，则A∪（∁U B）={1，2，3} ．【分析】首先求出集合B的补集，然后再与集合A取并集．【解答】解：集合U={1，2，3，4}，A={1，3}，B={1，3，4}，所以∁U B={2}，所以A∪（∁U B）={1，2，3}．故答案为：{1，2，3}．【点评】本题考查了集合的交集、补集、并集的运算；根据定义解答，属于基础题．12．（5分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2=1．【分析】直接利用极坐标与直角坐标互化，求解即可．【解答】解：曲线C的极坐标方程为ρ=2snθ，即ρ2=2ρsnθ，它的直角坐标方程为：x2+y2=2y，即x2+（y﹣1）2=1．故答案为：x2+（y﹣1）2=1．【点评】本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，基本知识的考查．13．（5分）若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=2．【分析】若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，∠AOB=120°，则△AOB为顶角为120°的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案．【解答】解：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos=r，即=r，解得r=2，故答案为：2．【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中分析出圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r是解答的关键．14．（5分）已知函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是0＜b＜2．【分析】由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围【解答】解：由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可得，0＜b＜2时符合条件，故答案为：0＜b＜2【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．15．（5分）已知ω＞0，在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω=．【分析】根据正弦线，余弦线得出交点（（k1，），（（k2，），k1，k2都为整数，两个交点在同一个周期内，距离最近，即可得出方程求解即可．【解答】解：∵函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点，∴根据三角函数线可得出交点（（k1，），（（k2，），k1，k2都为整数，∵距离最短的两个交点的距离为2，∴这两个交点在同一个周期内，∴12=（）2+（）2，ω=故答案为：【点评】本题考查了三角函数的图象和性质，三角函数线的运用，属于中档题，计算较麻烦．三、解答题16．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．【分析】（Ⅰ）中奖利用枚举法列出所有可能的摸出结果；（Ⅱ）在（Ⅰ）中求出摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概型概率计算公式求得概率，并说明中奖的概率大于不中奖的概率是错误的．【解答】解：（Ⅰ）所有可能的摸出的结果是：{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}；（Ⅱ）不正确．理由如下：由（Ⅰ）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为：{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种，∴中奖的概率为．不中奖的概率为：1﹣．故这种说法不正确．【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，训练了枚举法求基本事件个数，是基础题．17．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．【分析】（Ⅰ）由正弦定理及已知可得=，由sinA≠0，即可证明sinB=cosA．（Ⅱ）由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，可得sin2B=，结合范围可求B，由sinB=cosA及A的范围可求A，由三角形内角和定理可求C．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．∴=tanA，∵由正弦定理：，又tanA=，∴=，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，∴sin2B=，∵0＜B＜π，∴sinB=，∵B为钝角，∴B=，又∵cosA=sinB=，∴A=，∴C=π﹣A﹣B=，综上，A=C=，B=．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F 分别是BC，CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．【分析】（Ⅰ）证明AE⊥BB1，AE⊥BC，BC∩BB1=B，推出AE⊥平面B1BCC1，利用平面余平米垂直的判定定理证明平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）取AB的中点G，说明直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴BB1⊥底面ABC，AE⊂底面ABC，∴AE⊥BB1，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E分别是BC的中点，∴AE⊥BC，BC∩BB1=B，∴AE⊥平面B1BCC1，∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）解：取AB的中点G，连结A1G，CG，由（Ⅰ）可知CG⊥平面A1ABB1，直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，则A1G=CG=，∴AA1==，CF=．三棱锥F﹣AEC的体积：×==．【点评】本题考查几何体的体积的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，a2=2，a n+2=3S n﹣S n+1+3，n∈N*，=3a n；（Ⅰ）证明a n+2（Ⅱ）求S n．【分析】（Ⅰ）当n≥2时，通过a n=3S n﹣S n+1+3与a n+1=3S n﹣1﹣S n+3作差，然后+2验证当n=1时命题也成立即可；（Ⅱ）通过（I）写出奇数项、偶数项的通项公式，分奇数项的和、偶数项的和计算即可．=3S n﹣S n+1+3，【解答】（Ⅰ）证明：当n≥2时，由a n+2可得a n=3S n﹣1﹣S n+3，+1﹣a n+1=3a n﹣a n+1，两式相减，得a n+2=3a n，∴a n+2当n=1时，有a3=3S1﹣S2+3=3×1﹣（1+2）+3=3，∴a3=3a1，命题也成立，综上所述：a n=3a n；+2（Ⅱ）解：由（I）可得，其中k是任意正整数，∴S2k=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2k﹣3+a2k﹣2）+a2k﹣1﹣1=3+32+…+3k﹣1+3k﹣1=+3k﹣1=×3k﹣1﹣，S2k=S2k﹣1+a2k=×3k﹣1﹣+2×3k﹣1=﹣，综上所述，S n=．【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（13分）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．【分析】（Ⅰ）通过C1方程可知a2﹣b2=1，通过C1与C2的公共弦的长为2且C1与C2的图象都关于y轴对称可得，计算即得结论；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），通过=可得（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l方程为y=kx+1，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可．【解答】解：（Ⅰ）由C1方程可知F（0，1），∵F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，又∵C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2的图象都关于y轴对称，∴易得C1与C2的公共点的坐标为（±，），∴，又∵a2﹣b2=1，∴a2=9，b2=8，∴C2的方程为+=1；（Ⅱ）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），∵与同向，且|AC|=|BD|，∴=，∴x1﹣x2=x3﹣x4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l的斜率为k，则l方程：y=kx+1，由，可得x2﹣4kx﹣4=0，由韦达定理可得x1+x2=4k，x1x2=﹣4，由，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，由韦达定理可得x3+x4=﹣，x3x4=﹣，又∵（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，∴16（k2+1）=+，化简得16（k2+1）=，∴（9+8k2）2=16×9，解得k=±，即直线l的斜率为±．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆方程以及直线的斜率，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．（13分）已知a＞0，函数f（x）=ae x cosx（x∈[0，+∞]），记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．（Ⅰ）证明：数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若对一切n∈N*，x n≤|f（x n）|恒成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，令导数为0，求得极值点，再由等比数列的定义，即可得证；（Ⅱ）由n=1可得a的范围，运用数学归纳法证8n＞4n+3，当a≥π时，）|＞x n+1，即可得到a的范围．验证得|f（x n+1【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）=ae x cosx的导数为f′（x）=ae x（cosx﹣sinx），a＞0，x≥0，则e x≥1，由f′（x）=0，可得cosx=sinx，即tanx=1，解得x=kπ+，k=0，1，2，…，当k为奇数时，f′（x）在kπ+附近左负右正，当k为偶数时，f′（x）在kπ+附近左正右负．故x=kπ+，k=0，1，2，…，均为极值点，x n=（n﹣1）π+=nπ﹣，f（x n）=a cos（nπ﹣），f（x n+1）=a cos（nπ+），）=﹣eπf（x n），当n为偶数时，f（x n+1）=﹣eπf（x n），当n为奇数时，f（x n+1即有数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）解：由于x1≤|f（x1）|，则≤a，解得a≥π，下面证明8n＞4n+3．当n=1时，8＞7显然成立，假设n=k时，8k＞4k+3，当n=k+1时，8k+1=8•8k＞8（4k+3）=32k+24=4（k+1）+28k+20＞4（k+1）+3，即有n=k+1时，不等式成立．综上可得8n＞4n+3（n∈N+），由eπ＞8，当a ≥π时，）|=|（﹣eπ）|n|f（x1）|由（Ⅰ）可得|f（x n+1＞8n|f（x1）|=8n f（x1）＞（4n+3）x1＞x n+1，n∈N+，综上可得a ≥π成立．【点评】本题考查导数的运用：求极值，主要考查不等式的恒成立问题，同时考查等比数列的通项公式和数学归纳法证明不等式的方法，以及不等式的性质，属于难题．第21页（共21页）。

2015年普通高等学校招生全国统一考试湖南文科数学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共5页,时量120分钟,满分150分.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015湖南,文1)已知(1-i)2z=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i 答案:D解析:由已知得z=(1-i)2=-2i=-2i(1-i)(1+i)(1-i)=-2-2i=-1-i.2.(2015湖南,文2)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是()A.3B.4C.5D.6答案:B解析:依题意,应将35名运动员的成绩由好到差排序后分为7组,每组5人.然后从每组中抽取1人,其中成绩在区间[139,151]上的运动员恰好是第2,3,4,5组,因此,成绩在该区间上的运动员人数是4.3.(2015湖南,文3)设x∈R,则“x>1”是“x3>1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:C解析:由x>1能推得x3>1,充分性成立.由x3>1得(x-1)(x2+x+1)>0,∵x2+x+1>0恒成立,∴x>1,∴“x>1”是“x3>1”的充要条件.故选C.4.(2015湖南,文4)若变量x,y满足约束条件x+y≥1,y-x≤1,x≤1,则z=2x-y的最小值为()A.-1B.0C.1D.2答案:A解析:画出满足约束条件的平面区域如图.作直线y=2x,平移直线y=2x,当x=0,y=1,即直线过点A(0,1)时,z取得最小值,此时z min=2×0-1=-1.故选A.5.(2015湖南,文5)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()A.67B.37C.89D.49答案:B解析:由题意得,输出的S 为数列1(2n -1)(2n +1)的前3项和,而1(2n -1)(2n +1)=112n -1-1,即S n =1 1-1=n .故当输入n=3时,S=S 3=3,故选B . 6.(2015湖南,文6)若双曲线x 2a 2−y 2b2=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( )A. 73B.54C.43D.53答案:D解析:∵双曲线的渐近线方程为y=±b ax ,且过点(3,-4),∴-4=-b ×3,∴b a =43.∴离心率e= 1+ b 2= 1+ 4 =5,故选D .7.(2015湖南,文7)若实数a ,b 满足1a +2b=ab ,则ab 的最小值为( ) A. B.2C.2D.4答案:C解析:由已知1+2= ab ,可知a ,b 同号,且均大于0.由 =1a +2b ≥2 2ab,得ab ≥2 2.即当且仅当1=2,即b=2a 时等号成立,故选C .8.(2015湖南,文8)设函数f (x )=ln(1+x )-ln(1-x ),则f (x )是( )A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数 答案:A解析:要使函数有意义,应满足 1+x >0,1-x >0,解得-1<x<1,即函数f (x )定义域为(-1,1),关于原点对称.此时f (-x )=ln(1-x )-ln(1+x )=-f (x ),所以f (x )为奇函数.又f (x )=ln 1+x 1-x=ln 21-x-1 ,由复合函数的单调性可知f (x )在(0,1)上是增函数.故选A .9.(2015湖南,文9)已知点A ,B ,C 在圆x 2+y 2=1上运动,且AB ⊥BC ,若点P 的坐标为(2,0),则|PA +PB +PC|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案:B解析:设坐标原点为O ,则PA +PB +PC =PO +OA +PO +OB +PO +OC =3PO +OB +(OA +OC ),由于AB ⊥BC ,所以AC 是圆的直径,因此OA +OC =0,于是|PA +PB +PC |=|3PO +OB |= (3PO +OB )2= 9|PO |2+6PO ·OB +|OB |2= 9×22+12-6OP ·OB= 37-6|OP ||OB |cos ∠POB= 37-12cos ∠POB ,故当∠POB=π时,cos ∠POB 取最小值-1,此时|PA +PB +PC |取最大值7.10.(2015湖南,文10)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为材料利用率=新工件的体积原工件的体积()A.89πB.8 27πC.24(2-1)3D.8(2-1)3答案:A解析:由三视图可知该几何体是一个圆锥,其底面半径r=1,母线长l=3,所以其高h=l2-r2=32-12=22.故该圆锥的体积V=πr2h=π×12×22=22π.由题意可知,加工后的正方体是该圆锥的一个内接正方体,如图所示.正方体ABCD-EFGH的底面在圆锥的底面内,下底面中心与圆锥底面的圆心重合,上底面中心在圆锥的高线上,设正方体的棱长为x.在轴截面SMN中,由O1G∥ON可得,O1G=SO1,即22x=22-x22,x=22.所以正方体的体积为V1=2233=16227.所以该工件的利用率为V1=1622722π3=8.故选A.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2015湖南,文11)已知集合U={1,2,3,4},A={1,3},B={1,3,4},则A∪(∁U B)=.答案:{1,2,3}解析:∁U B={2},A∪(∁U B)={1,2,3}.12.(2015湖南,文12)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,若曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ,则曲线C的直角坐标方程为.答案:x2+y2-2y=0解析:∵ρ=2sin θ,且ρ2=x2+y2,ρsin θ=y,∴ρ2=2ρsin θ,∴x2+y2=2y.∴曲线C的直线坐标方程为x2+y2-2y=0.13.(2015湖南,文13)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则r=.答案:2解析:如图所示,由题意知,圆心O到直线3x-4y+5=0的距离|OC|=3+(-4)=1,故圆的半径r=1cos60°=2.14.(2015湖南,文14)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是. 答案:(0,2)解析:函数f(x)的零点个数即为函数g(x)=|2x-2|=2x-2,x≥1,2-2x,x<1的图象与直线y=b的交点个数.如图,分别作出函数y=g(x)与直线y=a的图象,由图可知,当0<a<2时,直线y=a与y=g(x)有两个交点.所以a 的取值范围为(0,2).15.(2015湖南,文15)已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为23,则ω=.答案:π解析:如图所示,在同一直角坐标系中,作出函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象.A,B为符合条件的两交点.则Aπ4ω,2,B-3π4ω,-2,由|AB|=23,得πω+(22)2=23,解得πω=2,即ω=π2.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)(2015湖南,文16)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果.(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由.解:(1)所有可能的摸出结果是{A1,a1},{A1,a2},{A1,b1},{A1,b2},{A2,a1},{A2,a2},{A2,b1},{A2,b2},{B,a1},{B,a2},{B,b1},{B,b2}.(2)不正确.理由如下:由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1,a1},{A1,a2},{A2,a1},{A2,a2},共4种,所以中奖的概率为4=1,不中奖的概率为1-1=2>1.故这种说法不正确.17.(本小题满分12分)(2015湖南,文17)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b tan A.(1)证明:sin B=cos A;(2)若sin C-sin A cos B=3,且B为钝角,求A,B,C.解:(1)由a=b tan A及正弦定理,得sin A=a=sin A,所以sin B=cos A.(2)因为sin C-sin A cos B=sin[180°-(A+B)]-sin A cos B=sin(A+B)-sin A cos B=sin A cos B+cos A sin B-sin A cos B=cos A sin B,所以cos A sin B=3.由(1)sin B=cos A,因此sin2B=3.又B为钝角,所以sin B=32,故B=120°.由cos A=sin B=3知A=30°.从而C=180°-(A+B)=30°.综上所述,A=30°,B=120°,C=30°.18.(本小题满分12分)(2015湖南,文18)如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形,E ,F 分别是BC ,CC 1的中点.(1)证明:平面AEF ⊥平面B 1BCC 1;(2)若直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角为45°,求三棱锥F-AEC 的体积. 解:(1)证明:如图,因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱,所以AE ⊥BB 1.又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点,所以AE ⊥BC. 因此,AE ⊥平面B 1BCC 1.而AE ⊂平面AEF ,所以,平面AEF ⊥平面B 1BCC 1. (2)设AB 的中点为D ,连结A 1D ,CD. 因为△ABC 是正三角形,所以CD ⊥AB.又三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱,所以CD ⊥AA 1.因此CD ⊥平面A 1ABB 1,于是∠CA 1D 为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角.由题设,∠CA 1D=45°,所以A 1D=CD= 3AB= 3.在Rt △AA 1D 中,AA 1= A 1D 2-AD 2= 3-1= 2,所以FC=1AA 1=2.故三棱锥F-AEC 的体积V=1S △AEC ·FC=1×3×2=6.19.(本小题满分13分)(2015湖南,文19)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,a 2=2,且a n+2=3S n -S n+1+3,n ∈N *. (1)证明:a n+2=3a n ; (2)求S n .解:(1)由条件,对任意n ∈N *,有a n+2=3S n -S n+1+3,因而对任意n ∈N *,n ≥2,有a n+1=3S n-1-S n +3.两式相减,得a n+2-a n+1=3a n -a n+1,即a n+2=3a n ,n ≥2. 又a 1=1,a 2=2,所以a 3=3S 1-S 2+3=3a 1-(a 1+a 2)+3=3a 1, 故对一切n ∈N *,a n+2=3a n .(2)由(1)知,a n ≠0,所以an +2n=3,于是数列{a 2n-1}是首项a 1=1,公比为3的等比数列;数列{a 2n }是首项a 2=2,公比为3的等比数列.因此a 2n-1=3n-1,a 2n =2×3n-1.于是S 2n =a 1+a 2+…+a 2n =(a 1+a 3+…+a 2n-1)+(a 2+a 4+…+a 2n )=(1+3+…+3n-1)+2(1+3+…+3n-1)=3(1+3+…+3n-1)=3(3n -1), 从而S 2n-1=S 2n -a 2n =3(3n -1)-2×3n-1=3(5×3n-2-1). 综上所述,S n = 32(5×3n -22-1),当n 是奇数,3(3n2-1),当n 是偶数. 20.(本小题满分13分)(2015湖南,文20)已知抛物线C 1:x 2=4y 的焦点F 也是椭圆C 2:y 22+x 2b2=1(a>b>0)的一个焦点.C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ,B 两点,与C 2相交于C ,D 两点,且AC 与BD同向. (1)求C 2的方程;(2)若|AC|=|BD|,求直线l 的斜率.解:(1)由C 1:x 2=4y 知其焦点F 的坐标为(0,1).因为F 也是椭圆C 2的一个焦点,所以a 2-b 2=1. ① 又C 1与C 2的公共弦的长为2 6,C 1与C 2都关于y 轴对称,且C 1的方程为x 2=4y ,由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为 ± 6,32,所以94a 2+6b2=1.②联立①,②得a 2=9,b 2=8,故C 2的方程为y 2+x 2=1. (2)如图,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4).因AC 与BD 同向,且|AC|=|BD|,所以AC =BD ,从而x 3-x 1=x 4-x 2,即x 1-x 2=x 3-x 4,于是(x 1+x 2)2-4x 1x 2=(x 3+x 4)2-4x 3x 4,③ 设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为y=kx+1. 由 y =kx +1,x 2=4y ,得x 2-4kx-4=0,而x 1,x 2是这个方程的两根,所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4. ④由 y =kx +1,x 2+y 2=1得(9+8k 2)x 2+16kx-64=0,而x 3,x 4是这个方程的两根, 所以x 3+x 4=-16k9+8k2,x 3x 4=-649+8k2.⑤将④,⑤代入③,得16(k 2+1)=162k2(9+8k 2)2+4×649×8k2,即16(k 2+1)=162×9(k 2+1)(9+8k 2)2,所以(9+8k 2)2=16×9,解得k=± 6,即直线l 的斜率为± 64.21.(本小题满分13分)(2015湖南,文21)已知a>0,函数f (x )=a e x cos x (x ∈[0,+∞)).记x n 为f (x )的从小到大的第n (n ∈N *)个极值点.(1)证明:数列{f (x n )}是等比数列;(2)若对一切n ∈N *,x n ≤|f (x n )|恒成立,求a 的取值范围. 解:(1)f'(x )=a e x cos x-a e x sin x= 2a e x cos x +π4.令f'(x )=0,由x ≥0,得x+π=m π-π, 即x=m π-3π,m ∈N *.而对于cos x +π4 ,当k ∈Z 时,若2k π-π2<x+π4<2k π+π2,即2k π-3π4<x<2k π+π4,则cos x +π4>0;若2k π+π2<x+π4<2k π+3π2,即2k π+π4<x<2k π+5π4,则cos x +π4<0.因此,在区间 (m -1)π,mπ-3π 与 mπ-3π,mπ+π 上,f'(x )的符号总相反,于是当x=m π-3π(m ∈N *)时,f (x )取得极值,所以x n =n π-3π(n ∈N *).此时,f (x n )=a e nπ-34πcos nπ-3π =(-1)n+1 2a e nπ-34π.易知f (x n )≠0,而f (x n +1)n )=(-1)n +2 2a 2e (n +1)π-34π(-1)n +1 22a enπ-34π=-e π是常数,故数列{f (x n )}是首项为f (x 1)=2a e π4,公比为-e π的等比数列.(2)对一切n ∈N *,x n ≤|f (x n )|恒成立,即n π-3π4≤2a 2enπ-34π恒成立,亦即2a≤enπ-34πnπ-3π4恒成立(因为a>0).设g (t )=e t (t>0),则g'(t )=e t (t -1)t 2.令g'(t )=0得t=1.当0<t<1时,g'(t )<0,所以g (t )在区间(0,1)上单调递减.当t>1时,g'(t )>0,所以g (t )在区间(1,+∞)上单调递增.因为x 1∈(0,1),且当n ≥2时,x n ∈(1,+∞),x n <x n+1,所以[g (x n )]min =min{g (x 1),g (x 2)}=min g π ,g 5π =g π =4e π4,因此,x n ≤{f (x n )}恒成立,当且仅当 2≤4e π4.解得a ≥2πe -π4,故a 的取值范围是2πe -π4,+∞ .。

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知2(1i)1i z-=+(i 为虚数单位),在复数z = ( )A .1i +B .1i -C .1i -+D .1i --2.在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩（单位:分钟）的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编为1～35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( )A .3B .4C .5D .6 3.设x ∈R ,则“1x >”是“31x >”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.若变量x ,y 满足约束条件1,1,1,x y y x x +⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤则2z x y =-的最小值为( )A .1-B .0C .1D .25.执行如图所示的程序框图.如果输入3n =,则输出的S =( )A .67B .37C .89D .496.若双曲线22221x y a b -=的一条渐近线经过点(3,4)-,则此双曲线的离心率为( )AB .54C .43D .537.若实数a ,b满足12a b+=则ab 的最小值为 ( )AB .2 C.D .48.设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--,则()f x 是( )A .奇函数,且在(0,1)上是增函数B .奇函数,且在(0,1)上是减函数C .偶函数,且在(0,1)上是增函数D .偶函数,且在(0,1)上是减函数9.已知点A ,B ,C 在圆221x y +=上运动,且AB BC ⊥.若点P 的坐标为(2,0),则||PA PB PC ++的最大值为( )A .6B .7C .8D .910.某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为=⎛⎫ ⎪⎝⎭新工件的体积材料利用率原工件的体积 ( ) A .89π B .827πCD第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在题中的横线上. 11.已知集合{1,2,3,4}U =,{1,3}A =,{1,3,4}B =,则()U A B =ð . 12.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=,则曲线C 的直角坐标方程为 .13.若直线3450x y -+=与圆222(0)x y r r +=>相交于A ,B 两点,且120(AOB O ∠=为坐标原点),则r = .14.若函数()22||x f x b =--有两个零点,则实数b 的取值范围是 .15.已知0ω>,在函数2sin y x ω=与2cos y x ω=的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为,则ω= .三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球1A ,2A 和1个白球B 的甲箱与装有2个红球1a ,2a 和2个白球1b ,2b 的乙箱中,各随机摸出1个球.若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖. （Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果;（Ⅱ）有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率.你认为正确吗?请说明理由.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________17.（本小题满分12分）设ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,tan a b A =. （Ⅰ）证明:sin cos B A =; （Ⅱ）若3sin sin cos 4C A B -=,且B 为钝角,求A ,B ,C .18.（本小题满分12分）如图,直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形,E ,F 分别是BC ,1CC 的中点.（Ⅰ）证明:平面AEF ⊥平面11B BCC ;（Ⅱ）若直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为45︒,求三棱锥F AEC -的体积.19.（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,22a =,且2133n n n a S S ++=-+,*n ∈Ν. （Ⅰ）证明:23n n a a +=;（Ⅱ）求n S .20.（本小题满分13分）已知抛物线1C :24x y =的焦点F 也是椭圆2C :22221(0)y x a b a b+=>>的一个焦点,1C 与2C 的公共弦的长为26过点F 的直线l 与1C 相交于A ,B 两点,与2C 相交于C ,D 两点,且AC 与BD 同向.（Ⅰ）求2C 的方程;（Ⅱ）若||||AC BD =,求直线l 的斜率.21.（本小题满分13分）已知0a >,函数()cos ([0,))x f x ae x x =∈+∞.记n x 为()f x 的从小到大的第*()n n ∈Ν个极值点.（Ⅰ）证明:数列{()}n f x 是等比数列;（Ⅱ）若对一切*n ∈Ν,|()|n n x f x ≤恒成立,求a 的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文科）答案解析第Ⅰ卷z x y∴=-在点A处取得最小值为.故选A.z x y∴=-22数学试卷第10页（共36页）(22)x x x -≤第Ⅱ卷二、填空题11.【答案】{123}，， 【解析】由题{}2U B =ð，所以(){123}UB A =，，ð. 【提示】首先求出集合B 的补集，然后再与集合A 取并集. 【考点】集合的运算. 12.【答案】22(1)1x y +-=【解析】曲线C 的极坐标方程为22sin 2sin ,ρθρρθ=∴=，它的直角坐标方程为222x y y +=， 22(1)1x y ∴+-=，故答案为22(1)1x y +-=【提示】直接利用极坐标与直角坐标互化，求解即可. 【考点】圆的极坐标方程. 13.【答案】2数学试卷 第16页（共36页）120，120，则△120的等腰三角形，顶点（圆心）到直线的距离数y b =的图像有两个交点，结合函数的图像可得，02b <<时符合条件，故答案为02b <<.所以平面AEF⊥平面11B BCC.3322121BC BB B=，推出数学试卷第22页（共36页）（Ⅱ）如图，设11223344()()()()A x yB x yC x yD x y，，，，，，，，uuu r uuu r u u ur u u ur数学试卷第28页（共36页）11 / 12数学试卷第34页（共36页）数学试卷第35页（共36页）数学试卷第36页（共36页）。

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文科）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知()21jz-=1+i（i为虚数单位），则复数z=2.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图1所示若将运动员按成绩由好到差编为1-35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动人数是A.3B.4C.5D.63.设x∈R，则”x>1”是”3x>1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若变量x,y满足约束条件错误!未找到引用源。

则z=2x-y的最小值为A.-1B.0C.1D.25.执行如图2所示的程序框图，如果输入n=3,则输出的S=A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

6.若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为A.73 B.54 C.43 D.537.若实数a,b 满足12a b a b+=ab 的最小值为2 B.2 2 D.4 8.设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是A.奇函数，且在（0,1）上是增函数B.奇函数，且在（0,1）上是减函数C.偶函数，且在（0,1）上是增函数D.偶函数，且在（0,1）上是减函数 9.已知点A ，B ，C 在圆221y χ+=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2,0），则||PA PB PC ++的最大值为A.6B.7C.8D.910.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的利用率为（材料的利用率= 新工件的体积/原工件的体积）A.89πB.827π C.)32421π D.)3821π二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.已知集合U={1,2,3,4}，A={1，3}，B={1,3,4}，则A ⋃（C B ⋃）=________ 12.在直角坐标系xOyz 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴建立极坐标系，若曲线C 的极坐标方程为ρ=3sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为______13.若直线3x-4y+5=0与圆x ²+y ²=r ²（r>0）相交于A ，B 两点，且∠AOB=120°（O 为坐标原点），则r=___________.14.若函数f （x ）=|2x -2|-b 有两个零点，则实数b 的取值范围是___________15.已知w>0，在函数y=2sin mx 余y=2 cos wx 的图像的交点，距离最短的两个交点的距离为3w=________.三、解答题：本大题共6小题，共75分。

2015年湖南省高考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）（2015•湖南）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）（2015•湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是（）A．3 B．4 C．5 D．63．（5分）（2015•湖南）设x∈R，则“x＞1“是“x3＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2015•湖南）若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．25．（5分）（2015•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A．B．C．D．6．（5分）（2015•湖南）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）（2015•湖南）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2 C．2 D．48．（5分）（2015•湖南）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数9．（5分）（2015•湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P 的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．910．（5分）（2015•湖南）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A． B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2015•湖南）已知集合U={1，2，3，4}，A={1，3}，B={1，3，4}，则A∪（∁U B）=．12．（5分）（2015•湖南）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为．13．（5分）（2015•湖南）若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B 两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=．14．（5分）（2015•湖南）已知函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是．15．（5分）（2015•湖南）已知ω＞0，在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω=．三、解答题16．（12分）（2015•湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．17．（12分）（2015•湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．18．（12分）（2015•湖南）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．19．（13分）（2015•湖南）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，a2=2，a n+2=3S n +3，n∈N*，﹣S n+1（Ⅰ）证明a n=3a n；+2（Ⅱ）求S n．20．（13分）（2015•湖南）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．21．（13分）（2015•湖南）已知a＞0，函数f（x）=ae x cosx（x∈[0，+∞]），记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．（Ⅰ）证明：数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若对一切n∈N*，x n≤|f（x n）|恒成立，求a的取值范围．2015年湖南省高考数学试卷（文科）参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）1．D；2．B；3．C；4．A；5．B；6．D；7．C；8．A；9．B；10．A；二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．{1，2，3}；12．x2+（y﹣1）2=1；13．2；14．0＜b＜2；15．；三、解答题16．；17．；18．；19．；20．；21．；。