2019届中考数学总复习知识点归纳总结：第21章-作图与设计

第二十一章作图与设计考情分析高频考点考查频率所占分值1.作一条线段等于已知线段★★5～８分2.作一个角等于已知角★3.作角的平分钱★4.作线段的垂直平分线★★★5.作已知直线的垂线★6.根据已知条件作三角形★★7.作三角形的外接圆★★智能图谱尺规作图的概念用无刻度的直尺和圆规作图尺规作图的步骤写已知，求作，作法，结论作一条线段等于已知线段作一个角等于已知角基本作图作角的平分线尺规作图经过一点作已知直线的垂线作线段的垂直平分线利用基本作图作三角形作图举列探索如何过一点、两点和不在同一条直线上的三点作圆作正多边形知识能力解读知能解读（一）尺规作图的概念在几何里，用无刻度的直尺和圆规作图，就是尺规作图。

最基本、最常用的尺规作图通常称作基本作图。

知能解读（二）基本作图1作一条线段与已知线段相等已知：线段a（如图所示）。

求作：一条线段长度等于a。

作法：①任何一条射线OA；②在射线OA上截取OB a（以O为圆心，以a的长为半径画弧，交OA于点B），则OB即为所求作的线段。

2作一个角等于已知角已知：AOB（如图所示）。

求作：A O B，使.A OB AOB作法：（1）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点,;C D（2）作射线O A，以点O为圆心，以OC长为半径面弧，交O A于点C；3作已知角的平分线已知：AOB （如图所示）。

求作：射线OC ，使.AOC BOC 作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点D ，交OB 于点E ；（2）分别以点,D E 为圆心，大于12DE 长为半径画弧，两弧在AOB 内相交于点;C （3）画射线,OC 则OC 就是所求作的射线。

4作已知线段的垂直平分线已知：线段AB （如图所示）。

求作：直线CD ,使CD 垂直平分线段AB 。

作法：（1）分别以点,A B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点,C D ；（2）过点,C D 作直线CD ，则直线CD 就是线段AB 的垂直平分线。

第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

注意一下几点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。

知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

典型例题：1、已知关于x的方程（）x21m-+（m-3）-1=0是一元二次方程，求m的值。

21.2 降次——解一元二次方程21.2.1 配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。

一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a-.（2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。

（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。

（1）把常数项移到等号的右边；（2）方程两边都除以二次项系数；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；（4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

九年级上册二十一章知识点二十一章知识点九年级上册的二十一章涉及到一些重要的知识点，本文将对其进行深入探讨。

一、数列与常用求和公式数列是由一列数字按照一定规律排列而成的序列。

常见的数列有等差数列和等比数列。

在解题中，我们常常需要求解数列的前n 项和。

对于等差数列，其前n项和公式为Sn = (a1 + an) * n / 2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。

对于等比数列，其前n项和公式为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中a1为首项，q为公比。

二、函数的概念与性质函数是一个特殊的关系，它将一个集合的每个元素映射到另一个集合的唯一元素。

函数的定义域为所有可能的输入值，值域为所有可能的输出值。

函数可以用图象、公式或者表格的形式表示。

在解题中，我们常常需要根据给定的函数关系找到其定义域、值域、零点以及最值等相关性质。

三、平行四边形与梯形的性质平行四边形是指四个边两两平行的四边形。

平行四边形的性质有：对角线相等、对边平行、对边相等、对角线互相平分等。

梯形是指有两条平行边的四边形，其性质有：底角相等、对角线交点与底边中点距离等于高等。

四、二次函数的基本性质二次函数是一个以自变量的平方项为最高次幂的函数。

二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a≠0。

二次函数的图象为抛物线。

二次函数的基本性质有：顶点坐标、开口方向、对称轴、零点以及最值等。

五、几何体的体积和表面积几何体是三维空间中的物体。

几何体的体积表示其所占据的空间大小，表面积表示其外部曲面的大小。

常见的几何体有球体、圆柱体、正方体等。

计算几何体的体积和表面积需要根据其特定形状和尺寸进行相应的公式推导和计算。

六、碱、酸、盐的性质及其反应碱、酸、盐是化学中常见的物质。

碱是指能与酸发生中和反应并产生盐和水的物质，常见的碱有氢氧化钠、氢氧化钙等。

酸是指能够产生氢离子（H+）的物质，常见的酸有硫酸、盐酸等。

第二十一章小结与复习【学习目标】1．记住一元二次方程的概念．2．能根据不同的一元二次方程的特点，选择恰当的方法求解，使解题过程简单合理． 3．能用判别式b 2－4ac 判断一元二次方程根的情况．4．记住：如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca .并对这一性质进行运用．5．能根据数量之间的关系，列出一元二次方程解决应用题． 【学习重点】一元二次方程的解法．一元二次方程的应用题． 【学习难点】列一元二次方程解决实际问题．教学建议：建议本课时分两个课时，第一课时情景导入、自学自研并交流展示知识模块一、二，第二课时复习知识结构并交流展示知识模块三、四、五．情景导入 生成问题知识结构我能建：一元二次方程⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧1.概念：只含有一个未知数；并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）Ｗ.2.解法⎩⎪⎨⎪⎧（1）直接开平方法，适用于能化为（x ＋m ）2＝n （n ≥0）的一元二次方程；（2）配方法；（3）公式法，其中求根公式是x ＝2a （4）因式分解法，即把方程变形为ab ＝0的形式，（a ，b 为 两个因式），则a ＝0或b ＝0Ｗ.3.根的判别式⎩⎪⎨⎪⎧（1）当b 2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b 2－4ac<0时，方程没有实数根.4.根与系数的关系：若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的解是x 1、x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca Ｗ.5.一元二次方程的应用.自学互研 生成能力知识模块一 一元二次方程的有关概念 【自主探究】典例1：下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由． (1)1x 2－2x ＋1＝0；(2)x 2＝4；(3)x 2－4＝(x ＋2)2. 解：(1)不是．不符合条件：整式方程； (2)是．符合一元二次方程的概念；(3)不是．方程整理后，不符合条件：未知数的最高次数是2. 【合作探究】典例2：已知关于x 的方程(m ＋3)(m －3)x 2＋(m ＋3)x ＋2＝0. (1)当m 为何值时，此方程是一元一次方程？解：由题意得(m ＋3)(m －3)＝0且m ＋3≠0，所以m －3＝0，即m ＝3. (2)当m 为何值时，此方程是一元二次方程？ 解：由题意得(m ＋3)(m －3)≠0，即m ≠±3.典例3：已知a 是方程x 2－2016x ＋1＝0的一个根，试求a 2－2015a ＋2016a 2＋1的值．解：∵a 是方程x 2－2016x ＋1＝0的一个根， ∴a 2－2016a ＋1＝0， ∴a 2＋1＝2016a.∴a 2－2015a ＋2016a 2＋1＝a 2－2016a ＋a ＋20162016a＝－1＋a ＋1a ＝a 2－a ＋1a ＝2016a －aa＝2015知识模块二 一元二次方程的解法 【合作探究】典例4：用适当的方法解下列一元二次方程： (1)(x ＋2)2－16＝0；解：(x ＋2)2＝16，x ＋2＝±4，x 1＝2，x 2＝－6. (2)(x －3)2＋x 2＝9 解：(x －3)2＋x 2－9＝0 (x －3)2＋(x ＋3)(x －3)＝0 (x －3)＝0 x 1＝3，x 2＝0 (3)3x 2＋4x －7＝0.解：a ＝3，b ＝4，c ＝－7， b 2－4ac ＝16－4×3×(－7)＝100. x ＝－b±b 2－4ac 2a ＝－4±1002×3＝－4±106.x 1＝1，x 2＝－73知识模块三 一元二次方程的根的判别式 【自主探究】典例5：k 为何值时，关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋k －5＝0：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)没有实数根．解：Δ＝(－4)2－4·(k －5)＝16－4k ＋20＝36－4k. (1)∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ>0，即36－4k>0.解得k<9. (2)∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即36－4k ＝0.解得k ＝9. (3)∵方程没有实数根， ∴Δ<0，即36－4k<0.解得k>9.知识模块四 一元二次方程的根与系数的关系 【自主探究】典例6：不解方程，求方程两根的和与两根的积． (1)x 2＋4x ＋1＝0；解：x 1＋x 2＝－4，x 1·x 2＝1 (2)3x 2＋10＝2x 2＋8x. 解：x 1＋x 2＝8，x 1·x 2＝10 【合作探究】典例7：已知x ＝－1是方程x 2＋mx －5＝0的一个根，求m 的值及方程的另一根x 2. 解：解法1：将x ＝－1代入原方程，得 (－1)2＋m·(－1)－5＝0，解得m ＝－4. 当m ＝－4时，方程为x 2－4x －5＝0，解得x 1＝－1，x 2＝5. ∴m ＝－4，方程另一根x 2＝5. 解法2：由根与系数的关系可得：⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（－1）＝－m ，x 2·（－1）＝－5.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，x 2＝5. 知识模块五 一元二次方程的应用 【自主探究】典例8：要组织一场篮球联赛，每两队之间都赛2场，计划安排90场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 解：设应邀请x 个篮球队参加比赛，根据题意，得 x （x －1）2×2＝90. 则x 2－x －90＝0.解得x ＝10或x ＝－9(舍去)． 答：应邀请10个篮球队参加比赛．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 一元二次方程的有关概念 知识模块二 一元二次方程的解法 知识模块三 一元二次方程的根的判别式 知识模块四 一元二次方程的根与系数的关系 知识模块五 一元二次方程的应用当堂检测 达成目标【当堂检测】1．方程5(x 2－2x ＋1)＝－32x ＋2的一般形式是5x 2，一次项是－数项是3．2．关于x 的方程(m －4)xm 2－14－x ＝5是一元二次方程，则m ＝－4． 3．解下列一元二次方程： (1)4(x －5)2－36＝0； 解：4(x －5)2＝36. (x －5)2＝9. x ＋5＝±3. x 1＝－2，x 2＝－8.(2)3x 2＋3x －2＝0； 解：a ＝3，b ＝3，c ＝－2. b 2－4ac ＝9－4×3×(－2)＝33.x ＝－3±332×3＝－3±336.x 1＝－3＋336，x 2＝－3－336.(3)x 2＋10x ＋9＝0； 解：x 2＋10x ＋25＝－9＋25. (x ＋5)2＝16. x ＋5＝±4.x 1＝－1，x 2＝－9. (4)x(x －3)＋x －3＝0. 解：(x －3)(x ＋1)＝0. x 1＝3，x 2＝－1.4．已知关于x 的方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－3＝0. (1)当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)设x 1、x 2是方程的两根，且(x 1＋x 2)2－(x 1＋x 2)－12＝0，求m 的值． 解：(1)∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ>0，即4(m ＋1)2－4(m 2－3)>0.解得m>－2. (2)方法一：∵(x 1＋x 2)2－(x 1＋x 2)－12＝0 ∴x 1＋x 2＝4或x 1＋x 2＝－3.∵x 1＋x 2＝2(m ＋1)，∴2(m ＋1)＝4或2(m ＋1)＝－3. ∴m 1＝1，m 2＝－52.方法二：4(m ＋1)2－2(m ＋1)－12＝0，化简得：2m 2＋3m －5＝0. 解得：x 1＝1，x 2＝－52.【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。

九年级数学第21章知识点数学一直是让人们感到困惑和恐惧的学科之一。

然而，在九年级数学的第21章，我们将遇到一些有趣且有挑战性的知识点。

本文将介绍这些知识点，并帮助读者了解如何应用它们来解决问题。

1. 平方根与立方根平方根和立方根是我们在初中时学习的基本概念。

平方根表示一个数的平方，而立方根则表示一个数的立方。

这两个概念的计算方法都非常重要，因为它们广泛应用于各种实际问题。

例如，我们可以利用平方根和立方根来计算物体的体积、面积和长度。

2. 平方与立方平方和立方是指一个数自乘一次和两次。

在九年级的数学中，我们将学习如何计算任意数字的平方和立方。

这些计算可以帮助我们解决各种问题，比如计算一个正方形的面积或者一个立方体的体积。

3. 百分比百分比是一个非常常见且实用的数学概念。

它表示一个数相对于整体的百分比。

在九年级数学的第21章，我们将学习如何计算百分比，以及如何应用百分比解决实际问题。

百分比在商业和金融领域中使用非常普遍，对我们日常生活也有很大影响。

4. 速度、时间和距离这些是我们生活中常见的概念，也非常重要。

在九年级数学的第21章，我们将学习如何通过已知的速度、时间和距离来计算另一个未知的值。

这个概念对于解决关于运动和旅行的问题非常有用，可以帮助我们预测到达目的地所需的时间，或者计算两个物体相遇所需的时间。

5. 方程与不等式方程和不等式是九年级数学中一个非常重要的概念。

方程是一个等式，其中包含一个未知数，我们的目标就是找到这个未知数的值。

不等式则用于比较不同数值之间的关系。

通过解方程和不等式，我们可以解决各种实际问题，如解决代数方程、计算两个数的关系以及找到线性方程的斜率。

通过学习九年级数学第21章的知识点，我们可以发现数学并不是一个难以理解的学科。

相反，它是一个有趣且实用的学科，可以帮助我们理解和解决实际问题。

这些知识点的掌握将有助于我们在日常生活和职业生涯中更好地应用数学，从而取得更大的成功。

希望本文可以帮助读者更好地理解九年级数学第21章的知识点，并能够灵活应用于实际问题中。

初中数学中考知识点聚焦第二十一章作图与设计第二十一章《作图与设计》是初中数学中考的重要章节之一，主要内容涉及平面图形的基本作图、设计中的应用、几何体的展开图等知识点。

下面将详细介绍这一章节的考点。

1.平面图形的作图平面图形的作图是初中数学中考的基础知识点之一，主要包括正方形、长方形、直角三角形和等边三角形等常见图形的作图方法。

比如，根据已知条件，通过画正方形的对角线、画直角三角形的斜边等方法，进行作图。

2.特殊图形的应用特殊图形的应用是初中数学中考的重点之一，主要包括使用特殊图形解决实际问题的能力。

例如，利用矩形的性质解决面积最大或周长最小的问题；利用相似三角形的性质计算高度、距离等问题。

3.图形的设计与创新图形的设计与创新是初中数学中考的综合性知识点之一，要求学生能够根据设计要求，自由发挥创新，设计符合要求的图形。

在设计中，需要考虑到图形的形状、大小、比例等因素，并合理运用几何知识进行设计。

4.几何体的展开图几何体的展开图是初中数学中考的难点之一，主要考察学生对几何体的构造和展开图形的理解。

比如，给出一个正方体或长方体的展开图，学生需要根据展开图恢复几何体的形状，并计算其面积、体积等参数。

总结起来，作图与设计是初中数学中考的一个重要章节，主要考察学生的作图能力、问题解决能力及几何形体的理解能力。

对于该章节的掌握，学生需要熟练掌握各种图形的作图方法，能够灵活运用几何知识解决实际问题，并具备一定的创新思维能力。

在备考过程中，建议学生多做相关的试题，加强对各种图形的认识和应用，通过练习提高解题的能力和速度。