2.7 弧长及扇形的面积-苏科版九年级数学上册习题课件(共20张PPT)

360
例2: 已知扇形AOB的半径为12cm,∠AOB=120o,求AB的长(结果 精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2)
解：AB的长 = 120 π 12 25.1 cm 180
S扇形
= 120 π 12因此，AB的长约为25.1 cm ，
l n 2R nR
360 180
开心练一练：
R
（1）1o的弧长是 180
。半径为10厘米
5
的圆中，60o的圆心角所对的弧长是 3
（2）如图同心圆中，大圆半径OA、OB交小圆与C、D，且
OC∶OA=1∶2，则弧CD与弧AB长度之比为（ B）
（A）1∶1 （B）1∶2 （C）2∶1 （D）1∶4
解 因为太阳光线可看作平行的，所以圆心角∠AOS=α=7.2°. 设地球的周长（即⊙O的周长）为C，则
C 360 50 AS 7.2
∴C=50 AS =50×5000 =250000（希腊里） ≈39625（km）. 答：地球的周长约为39625 km.
1. 一个扇形的圆心角为90o，半径为2，
弧长及扇形的面积
我们上体育课掷铅球练习时，要在指定 的圆圈内进行，这个圆的直径是2.135m。 这个圆的周长与面积是多少呢？（结果 精确到0.01）
周长约是6.70m，面积约是3.58㎡
（1）已知⊙O的半径为R，⊙O的周长是多少？⊙O的面 积是多少？
C=2πR，S⊙O＝πR2 （2）什么叫圆心角？
则弧长= π
，扇形面积= 2π .
2. 一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πc㎡，则该扇形
的圆心角为 300o
.
3. 已知扇形的元宵节为120o，半径为6，则扇形的弧长是 （ B ）

这两个公式有何共性？有何不同？
1 S扇 2 lR
1.已知一扇形的半径为1cm，其面积为 2 cm2 ，
3
则这个扇形的弧长=
4 cm 3
。
2.一个弧长与面积都是 2 的扇形， 3
它的半径R= 2 。
练一练
3.扇形的圆心角为60°，半径为5cm,则这个
扇形的弧长为__5___c__m, 这个扇形的面积为
2_6_5___c_m. 2
3
4.已知扇形的圆心角为120°,弧长为20π，扇形 的面积为 300π ．
例1如图，△ABC是⊙O的内接三角形，
∠BAC=60°，设⊙O的半径为2． （1）求弧BC的长； （2）求弦BC的长； （2）求劣弧BC与弦BC围成的图形面积（结果 保留π）
例2：如图，折扇完全打开后，OA、OB的 夹角为120°，OA的长为30cm，AC的长 为20cm，求图中阴影部分的面积S．
1°的弧
l
n R 180
注:公式中的n表示的是1°的圆心角的倍数
点拨提升
l
n R
180
60°30＇的 圆心角
例1.已知圆的半径R=10cm，求60°的圆心角
所对的弧长 l
l 601010 （cm)
180 3
30°的 圆周角
求弧长的关键是确定这条弧长所在圆的半径和它 所对的圆心角的度数
合作研学
检测反馈 1、2、3、4题，
练一练 1.如图,矩形ABCD的边长AB=1,AD= 3 ,若 矩
形ABCD以B为中心,按顺时针方向旋转到 A1B1C1D1(点A1落在对角线BD上),则对角线 BD所扫过的面积为__2_____ .
3
D
C D1
A1

（三）拓展升华
2、求不规则阴影面积（弓形）
1：如图，水平放置的圆柱形排水管道的截 面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面 上有水部分的面积。（精确到0.01m）
分析：弓形面积 = S扇- S△
解：过O点作OC垂直于AB，交⊙O 于点C ∵OC=0.6,DC=0.3 ∴OD=OC-DC=0.3 又∵OA=0.6,OD⊥AB ∴∠OAB=30°,AD= ∴AB= ∵OA=OB ∴∠AOB=180°－2×30°=120° ∴有水部分的面积S=S扇形OAB－S△OAB ≈0.22(m2)
（五）当堂检测
1.已知扇形面积为 1 ，圆心角为60°， 则这个扇形的半径R=3____．
2.一扇形的弧长是 20cm，面积为 240cm2
那么扇形的圆心角为
.
3.如图，A是半径为1的圆O外一点，且OA=2
，AB是⊙O的切线，BC//OA，连结AC，则阴
影部分面积等于
。
（六） 布置作业设计
C
A1
按钮 按钮 按钮
B2 图
（二）探究 巩固
活动二：探究扇形面积公式
1.扇形定义
如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角
所对的弧围成的图形是扇形。
B
弧 圆心角 O
A
B
扇形 O
A
（二）探究 巩固
活动二：探究扇形面积公式
2.扇形面积公式
圆心角是10的扇形面积与圆的面积有何关系？
圆心角是10的扇形面积是圆面积的3 NhomakorabeaA
B C′ l
（二）探究 巩固
活动一：探究弧长计算公式
走进中考
1:⊙A, ⊙B, ⊙C两两不相交,且半 径都是1cm,则图中的三个扇形的面 积之和为多少?弧长的和为多少? （12年北京）

2.7 弧长及扇形的面积
1、在半径为R的圆中,周长 C= 2πR;
2、在半径为R的圆中,
180°所对的弧长L= πR;
90°所对的弧长 L=
R 2
;
1°所对的弧长L=
2R 360
=
R 180
;
n°所对的弧长 L=
nR 180
;
n 1
R
2.7 弧长及扇形的面积
1、在半径为18的圆中,120°的
2.7 弧长及扇形的面积
如图、扇形半径都是1cm，求图中阴 影部分的面积（或面积和）
A o 60°
B
C
2.7 弧长及扇形的面积
如图、扇形半径都是1cm，求图中阴 影部分的面积（或面积和）
A
A
B
C
B
C
2.7 弧长及扇形的面积
如图、扇形半径都是1cm，求图中阴 影部分的面积（或面积和）
A
A
B
C
B
C
1、已知扇形的半径为3cm,
圆心角为 120°，则扇形的面
积为
cm2（结果保留π）
2.7 弧长及扇形的面积
2.如图，A、B、C三点 A
是⊙O上的点，若扇形OBC
O
的面积为6π,∠BAC=30°，
则半径为
。
B
C
3、已知扇形Βιβλιοθήκη 半径为6，弧长为2π，则扇形的面积是
。
2.7 弧长及扇形的面积
扇形面积的另一计算公式：
(1)求∠AOC 的度数； (2)若弦 BC＝6 cm，求图中阴影部分的面积．
2.7 弧长及扇形的面积
[归纳总结] 由弦及弦所对的弧组成的图形叫做弓形，弓形的面积可 以看作是扇形面积和三角形面积的分解或组合，实际应用时，可根 据具体图形选用下列公式： (1)如图 2－7－6①，弓形 AmB 的面积小于圆面积的一半，这时 S 弓形＝S 扇形 OAB－S△OAB； (2)如图 2－7－6②，弓形 AmB 的面积大于圆面积的一半，这时 S 弓形＝S 扇形 OACB＋S△OAB； (3)如图 2－7－6③，弓形 AmB 的面积等于圆面积的一半，这时 S 弓形＝12S 圆．

×
∵S扇形OAB=

=
×
S扇形OCD=




∴ S= −
=



=



拓展与延伸
如图2-61，半圆的直径
C
D
AB=40，C、D是半圆的3等
分点，求弦AC、AD与弧
CD围成的阴影部分的面积
●
A
O
B
如图所示,连接 CD,OC,OD.
习题
1.已知75°的圆心角所对的弧长为5，求这条弧所在圆
的半径。

解:由弧长公式l= ,知


5π=

解得 R=12
习题
2.已知扇形的面积为6 ，半径为4，求这个扇形的弧长。
解:由扇形的面积计算公式

6π= l×4,解得l=3


S= lR

知，
习题
3.如图，OA、OB是⊙O的

间有如下关系:S扇形= πR2

思考与探索
这个公式揭示了S与n、R之间的数量关系。试探索S与l、
R之间的数量关系.


2
由S扇形= πR l=



可得S扇形= ·
·R，


于是S扇形=

·l·R
例1
A
如图2-59，△ABC是⊙O的
内接三角形，∠BAC=60°
设⊙O的半径为2，求弧BC
两条半径，以OA为直径的
O
⊙O交OB于吗?为什么?
●
B
O1
A
习题
解:弧AB与弧AC的长相等
连接 O1C(图略).设⊙O1的半径为r，∠BOA=n°，

9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。22.5.622.5.6F riday, May 06, 2022
10、低头要有勇气，抬头要有低气。09:09:5209:09:5209:095/6/2022 9:09:52 AM
11、人总是珍惜为得到。22.5.609:09:5209:09May-226-May-22
15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2022年5月 上午9时9分22.5.609:09May 6, 2022
16、业余生活要有意义，不要越轨。2022年5月6日 星期五9时9分52秒09:09:526 May 2022
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。上 午9时9分52秒 上午9时 9分09:09:5222.5.6
谢谢收看
9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。22.5.622.5.6F riday, May 06, 2022
10、低头要有勇气，抬头要有低气。09:09:5209:09:5209:095/6/2022 9:09:52 AM
11、人总是珍惜为得到。22.5.609:09:5209:09May-226-May-22
15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2022年5月 上午9时9分22.5.609:09May 6, 2022
16、业余生活要有意义，不要越轨。2022年5月6日 星期五9时9分52秒09:09:526 May 2022
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。上 午9时9分52秒 上午9时 9分09:09:5222.5.6
12、人乱于心，不宽余请。09:09:5209:09:5209:09Fri day, May 06, 2022
13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。22.5.622.5.609:09:5209:09:52May 6, 2022

弧长、扇形面积公式
l n r , s n r2
180 360
比较两个公式，说出它们的相同点和不同点？
比较扇形面积计算公式与弧长计算公式,你能用 弧长和半径来表示扇形的面积吗？请与同学交流.
S扇＝
1 2
lR
练习
①已知圆弧的半径为3cm，所对的圆心角为60°，它的 弧长为＿π＿＿＿ 。
②已知一弧长为12πcm，此弧所对的圆心角为240°， 则此弧所在圆的半径为＿9＿。
课堂反馈
例2、如图，正三角形ABC的边长为a，分别以A、 BO、2、CO为3，圆求心O︵，1O2a2、为 O︵2O半3、径O︵的3O1圆围两成两的相图切形于的点面O积1、S （图中阴影部分）。
A
O1
O3
B
O2 C
课堂反馈 例3、如图，半圆的直径AB=40,C、D是这个 半圆的三等分点.求AC、AD和C︵D围成的图 形的面积.
之间的关系：
l n 2πR nπR
360
180
活学活用一
1．已知⊙O的半径为2，则周长为___4_π_____，1°圆心角所对的
π
π
弧长是____9_0____，30°圆心角所对的弧长是______3_____。
2．已知⊙O的半径为10，则周长为_2_0_π___，1°圆心角所对的弧
长是
π 18
2.7 弧长及扇形的面积
探究活动一
在半径为R的圆中 1.圆周长为___2_π_R___；
2. 1800 的圆心角所对的弧长为__π_R_； 3. 600 的圆心角所对的弧长为 13πR；
4. 10 的圆心角所对的弧长为＿181＿0π；R 5. n0 的圆心角所对的弧长为＿18n0＿π。R

360
180
记住
练1:已知圆弧的半径为30厘米,圆心 角为1200, 此圆弧的长度为_____.
(2)弧长是4π,半径为10的圆弧所对的 圆心角是___．
（3）已知⊙O1⊙O2外切于点P,过点P的 直⊙B⌒PO线的1分与长别⊙度交O之2⊙的比O半.1于径点之A比,交为⊙4:O3,2试于求点A⌒BP,若与
• 圆心角的单位必须化为“度”
• 题中没有标明精确度，结果用π 表示
例1：
已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°， 求此圆弧的长度。
解：
n R 60 • 50
l
180
180
=
50 (cm)
3
答：此圆弧的长度为 50 cm
3
在半径为r的圆中,n0的圆心角所对的
弧长l 为： l 2r n nr
如图，有一把折扇和一把团扇。已知折扇的 骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽度
是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120 °， 问哪一把扇子扇面的面积大？
若求由优弧ACB和弦AB组成 的阴影部分的面积，则
C
s阴 影 ？ O
A
B
• 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形
S弓形= S扇形-S△AOB
S弓形= S扇形+S△AOB
圆中的计算问题
5.8 弧长与扇形的面积
知识回顾
Or
圆的周长： 圆的面积：
C=2πr S=πr2
练:如图,⊙A,⊙B,⊙C,⊙D相互外离, 它们的半径都是1,顺次连接四个圆心 得到四边形ABCD,则图形中四个扇 形(阴影部分)的面积之和是___.
●
● ●
●
弧长的大小和哪些因素有关？
∵3600的圆心角所对的弧长是: 2πr ∴10的圆心角所对的弧长是： r

B
n°的扇形的面积
O
n R 2
S扇形 = 360
注意 ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不 带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
12/10/2021
类比学习
问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
A
B
O
O
l n R 180
S扇形
=
n R 2
360
n R R 1 n R
C=2R
问题2 下图中各圆心角所对的弧长 分别是圆周长的几分之几?
R
180
°O
R 90°
R
45 °
O
O
12/10/2021
R
O
n°
R
O
(1) 圆心角是180°，占整个周角的 1 8 0 ，因此它所对的弧长
180
360
是圆周长的__3_6 _0 ______.
90
(2)
圆心角是90°，占整个周角的
90
与扇形面积相关的计算
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是
扇形.
B B
弧 圆心角 O
A
扇形 O
A
12/10/2021
判一判
下列图形是扇形吗？
12/10/2021
想一想
问题1 半径为R的圆,面积是多少？
S= R2
R
O
问题2 下图中各扇形面积分别是圆
面积的几分之几?
R
180
°O
12/10/2021
(3) 圆心角是45°，占整个周角的 4 5 ，因此圆心角是45°
45
360
的扇形面积是圆面积的____3 _6 _0 ____.

水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm）
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讨论•：第(•1二)第截级三面级上有水部分的面积是指图
上哪一部分？• 第四级 • 第五级
O.
A
B
阴影部分.
C (1)
2019/8/31
16
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(2)水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应
C
• 第四级 • 第五级
B
A
D
2019/8/31
22
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4.（例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面
半• 径单是击0.此6cm处，编其辑中母水版面文高0本.9c样m式，求截面上有水部分的面积.
解：S•弓第形•=二第S级扇三形级 S△OAB
240•第0四•.6级第2 五级1 0.3 0.6
• 第三90级
90 360
，因此它所对的弧长
是圆周长的_• _36第_0_四_级_____.
• 第五级
(3) 圆心角是45°，占整个周角的 45 ，因此它所对的弧长
45
360
是圆周长的__36_0_______.
(4) 圆心角是n°，占整个周角的 n ，因此它所对的弧长是
n
360
圆周长的___3_6_0_____.
A1
A.
7 3
7 8
C.
3
B．
4 3


7 8
3
D. 4 3 3
H
A
O
C
O1 H1
B
C1
2019/8/31
21
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