高考数学总复习精品资料--三角函数篇[三角函数图像与性质]

第07讲 三角函数图像与性质【考点梳理】一、 三角函数的图象与性质1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 R R{x |x ∈R ，且 x ≠k π＋π2}值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数偶函数奇函数递增区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2递减区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π] 无对称中心(k π，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0对称轴方程 x ＝k π＋π2x ＝k π 无二、 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质1.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.x －φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω 2π－φωωx ＋φ 0 π2π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅 周期 频率 相位 初相A T ＝2πω f ＝1T ＝ω2πωx ＋φ φ3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径4.三角函数应用(1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波(音叉发出的纯音)，交变电流.(2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 中的待定系数.(3)把实际问题翻译为函数f (x )的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案.【解题方法和技巧】1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t (或y ＝cos t )的性质.3.数形结合是本节的重要数学思想.4.五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化. 5.由图象确定函数解析式解决由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A ，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点.【考点剖析】【考点1】正切函数一、单选题1．（2021·上海·闵行中学高三期中）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（ ） A ．sin y x = B ．tan y x =C ．e x y =D ．32y x x =+【答案】D【分析】根据基本初等函数的单调性以及单调性的性质、函数奇偶性的定义逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】对于A ：sin y x =为奇函数，在定义域上有增有减，不是增函数，故选项A 不正确；对于B ：tan y x =为奇函数，在πππ,π22k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上单调递增，但在定义域上不是增函数，故选项B不正确；对于C ：e x y =既不是奇函数也不是偶函数，故选项C 不正确；对于D ：()()()3322f x x x x x f x -=--=-+=-，所以32y x x =+是奇函数，因为3y x =和2y x =都是R 上的增函数，所以32y x x =+在定义域上是增函数，故选项D 正确； 故选：D.2．（2021·上海市进才中学高三期中）下列函数中，值域为()0,∞+的是（ ） A ．4x y =B ．32y x =C ．tan y x =D ．cos y x =【答案】A 【分析】逐一进行验证，可判断结果. 【详解】对A ，函数4x y =的值域为()0,∞+；对B ，函数32y x =的值域为[)0,+∞； 对C ，函数tan y x =的值域为R ； 对D ，函数cos y x =的值域为[]1,1- 故选：A3．（2022·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系中，角θ（32ππθ<<）的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过函数()2x f x =-与12()log ()g x x =--的交点，角(0,)4πα∈，则（ ）A ．1cot()θα-<+<B ．1tan()θα-<+<C ．1cos()θα-<+<D ．1sin()θα-<+<【答案】D【分析】首先函数特征判断函数()f x 和()g x 互为反函数，所以可判断54πθ=，再计算53,42ππθα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，再判断函数值的范围，判断选项.【详解】因为122()2()log ()log (),xf xg x x x =-=--=-互为反函数，其交点在y x =上，又32ππθ<<，所以54πθ=，而0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以53,42ππθα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()()tan()1,,cot()0,1,sin()1,θαθαθα⎛+∈+∞+∈+∈- ⎝⎭. 故选:D.【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质与三角函数的综合应用，本题的关键是判断函数()f x 和()g x 互为反函数，从而确定角θ的大小. 二、填空题4．（2022·上海·高三专题练习）若函数()y f x =在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x 都有()()()12121n n x x x f x f x f x f n n ++⋅⋅⋅+⎛⎫++⋅⋅⋅+≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，若函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则在△ABC 中，sin sin sin A B C ++的最大值是______.【分析】根据题设凸函数的性质可得1(sin sin sin )sin()33A B CA B C ++++≤即可求最大值，注意等号成立条件.【详解】由题设知：1(sin sin sin )sin()sin 333A B C A B C π++++≤==∴sin sin sin A B C ++≤3A B C π===时等号成立.5．（2022·上海·高三专题练习）函数πtan 2y x =的最小正周期为___________. 【答案】2【分析】根据正切函数的周期性进行求解即可.【详解】解：πtan 2y x =的周期为π2π2T ==，故答案为：26．（2022·上海·高三专题练习）已知函数tan 6y x πω⎛⎫ ⎪⎝+⎭=的图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，且1ω≤，则实数ω的值为___________. 【答案】12-或1【分析】根据正切函数的性质，代入点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，求解参数ω的值.【详解】∵函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且1ω≤，∴36k ππωπ⨯+=，k ∈Z ，或362k πππωπ⨯+=+，k ∈Z则令0k =，可得实数12ω=-或1ω=，故答案为：12-或1.【考点2】三角函数图像与性质一、单选题1．（2022·上海市实验学校模拟预测）已知以4为周期的函数()(](]1,1cos ,1,32x f x xx π⎧∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，其中0m >.若方程()3xf x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ） A．8)3 B． C ．48(,)33D．4(3【答案】B【分析】作出函数()f x 和3x y =的图象，要想使方程()3xf x =恰有5个实数解，则需直线3x y =处在函数()f x 在(3,4)内的曲线切线和()8f 之间．【详解】解：作出函数()f x 和()3xy g x ==的图象如图：若方程()3x f x =恰有5个实数解， 则直线3xy =处在函数()f x 在(3,4)内的曲线切线和()8f 之间． 函数()f x 是周期为4的周期函数， ∴()()80f f m ==，此时8()3g x =．()61f =，()()626g f =>，∴此时两个函数不相交．当(3x ∈，5]时，4(1x -∈-，1]，2()(4)1(4)f x f x m x ∴=-=--(3x ∈，5]．由21(4)3x m x --，得22222(91)721350m x m x m +-+=， 则由0∆=，得22222(72)4(91)1350m m m --+⨯=， 整理得213515819m ==，解得15m = 当(7x ∈，9]时，8(1x -∈-，1]，2()(8)1(8)f x f x m x ∴=-=--(7x ∈，9]． 即2221(8)y x m --=，将3x y =代入整理得222(8)19x x m -+=，即221(1)166309x x m+-+=， 由判别式221164(1)6309m ∆=-+⨯<得7m <∴要使方程()3x f x =恰有5个实数解，则1573m <<， 即m 的取值范围为15,73⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故选：B ．2．（2021·上海·模拟预测）函数()()sin2cos f x x x θ=-+在()0,2π上的零点个数记为()g θ，若π02θ≤≤，则()g θ的最大值与最小值之和为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】A【分析】函数()()sin2cos f x x x θ=-+在()0,2π上的零点个数即为函数sin 2y θ=与()cos y x θ=+的交点个数，()cos y x θ=+是由cos y x =向左平移θ个单位得到的， 可得当0θ=时，()g θ最大；当π2θ=时，()g θ最小，即可求解. 【详解】令()()sin 2cos 0f x x x θ=-+=，解得()sin 2cos x x θ=+，()f x 的零点个数可看成sin 2y θ=与()cos y x θ=+的交点个数，()cos y x θ=+是由cos y x =向左平移θ个单位得到的，因为π02θ≤≤，所以当0θ=时，交点个数最多，由sin 2cos x x =， 即2sin cos cos x x x =，所以cos 0x =或1sin 2x =， 解得：1π2x =，23π2x =，3π6x =，45π6x =， 所以()()max 04g g θ==，当π2θ=时，交点个数最少，πsin 2cos sin 2x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，即2sin cos sin x x x =-，所以1cos 2x =-或sin 0x =，解得：5πx =，62π3x =，74π3x =， 所以()min π32g g θ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()g θ的最大值与最小值之和为437+=，故选：A.3．（2022·上海·模拟预测）已知函数()sin cos f x a x b x =-（a 、b 为常数0a ≠，x ∈R ）在π4x =处取得最小值，则函数3π()4f x -是（ ） A ．偶函数，且图象关于点(π,0)对称 B ．偶函数，且图象关于点3π(,0)2对称 C ．奇函数，且图象关于点3π(,0)2对称 D ．奇函数，且图象关于点(π,0)对称【答案】D【分析】由题意先求出()f x 的最简形式，再根据三角函数性质对选项逐一判断 【详解】22()sin cos )f x a x b x a b x ϕ=-++，若()f x 在4x π=处取得最小值，则πsin()14ϕ+=-，ϕ5π2π,Z 4k k =+∈，225π())4f x a b x =++，2222)3π3π()445π)4f b x a x x a b --++=+-， 可得函数3π()4f x -是奇函数，且图象关于点(π,0)对称． 故选：D4．（2021·上海市七宝中学模拟预测）函数()()30,0y x ωϕωϕπ=+><<为奇函数，A 、B 分别为函数图象上相邻的最高点与最低点，且AB 4=，则该函数的一条对称轴为（ ） A ．1x = B ．2x =C ．2x π=D ．2x π=【答案】A【分析】由函数()f x 的基本性质可求得ϕ、ω的值，再利用正弦型函数的对称性可求得该函数的对称轴方程，即可得出合适的选项.【详解】因为函数()()0,0y x ωϕωϕπ+><<为奇函数，且0ϕπ<<，则2ϕπ=，所以，2y x x πωω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为A 、B 分别为函数图象上相邻的最高点与最低点，且AB 4=，则(2216AB πω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，因为0>ω，可得2πω=，则()2x f x π=，由()Z 22xk k πππ=+∈，可得()21Z x k k =+∈，所以，该函数的一条对称轴为直线1x =. 故选：A.5．（2021·上海市建平中学高三期中）设函数()sin cos f x a x x =+（a 为常数），则“0a =”是“()f x 为偶函数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件【答案】C【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断. 【详解】解：当0a = 时，()sin cos cos f x x x x a =+=, 所以()f x 为偶函数； 当()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，∴()sin()cos()sin +cos a f x x x a x x -=-+-=-，即sin cos sin +cos x x x x a a +=- ，得sin 0a x =对任意的x 恒成立，从而0a =.从而“0a =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件. 故选：C.6．（2020·上海·高三专题练习）已知函数tan y x ω=在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是严格减函数，则ω的取值范围是（ ）A ．01ω<B ．10ω-<C ．1ωD ．1ω-【答案】B【分析】根据正切函数的图象与性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为函数tan y x ω=存在减区间，则0ω<由,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得,22x ωπωπω⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，由题意函数tan y x ω=在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是严格减函数，可得0ω<且满足2222ωππωππ⎧≥-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得10ω-<.故选：B.7．（2022·上海·高三专题练习）已知()tan f x x =，x ∈Z ，则下列说法中正确的是（ ） A ．函数()f x 不为奇函数 B ．函数()f x 存在反函数 C ．函数()f x 具有周期性 D ．函数()f x 的值域为R【答案】B【解析】根据()tan f x x =，x ∈Z 图象与性质，逐一分析选项，即可得答案.【详解】对于A ：()f x 的定义域关于原点对称，且()tan()tan ()f x x x f x -=-=-=-，x ∈Z ，故()f x 为奇函数，故A 错误；对于B ：()tan y f x x ==，x ∈Z 在定义域内一一对应，所以arctan =x y ，即()f x 的反函数为arctan y x =，故B 正确；对于C ：因为()tan f x x =，x ∈Z ，故()f x 图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以()f x 不具有周期性，故C 错误；对于D ：因为()tan f x x =，x ∈Z ，所以()f x 图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以()f x 的值域为一些点构成的集合，不是R ，故D 错误.故选：B8．（2022·上海浦东新·二模）将函数()sin2f x x =的图像向左平移4π个单位后，得到函数()g x 的图像，设,,A B C 为以上两个函数图像不共线的三个交点，则ABC 的面积不可能为（ ）A． BCD【答案】D【分析】先求得()g x 的解析式，在同一坐标系内作出()()f x g x 、图像，不妨取x 轴正半轴第一个交点为A ，第二个交点为B ，分别求得当C 位于不同位置时，ABC 的面积，根据规律，分析即可得答案.【详解】由题意得()sin 2sin 2cos 242g x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，在同一坐标系内作出()()f x g x 、图像，如下图所示令sin 2cos2x x =，解得,82k x k Z ππ=+∈， 不妨取x 轴正半轴第一个交点为A ，第二个交点为B ， 所以252,,88A B ππ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭若C 点位于192,82C π⎛ ⎝⎭时，ABC 的面积1922288S ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，故C 正确 当C 点位于2132,8C π⎛ ⎝⎭时，ABC 的面积113522288S ππ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭， 当C 点位于31728C π⎛ ⎝⎭时，ABC 的面积11722288S πππ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭，故B 正确， 因为312AC AC =，此时3ABC △为1ABC 面积的2倍， 以此类推，当C 位于不同位置时，ABC 2的整数倍，故A 正确，D 错误， 故选：D二、填空题9．（2021·上海崇明·一模）设函数()5sin 0,2f x x m x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的零点为123,,x x x ，若123,,x x x 成等比数列，则m =_______. 2【分析】将函数()5sin 0,2f x x m x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的零点转化为sin ,y x y m ==的交点横坐标，结合函数图像，列方程求出零点，进而可得m 的值. 【详解】令sin 0x m -=，得sin x m =则函数()5sin 0,2f x x m x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的零点即为sin ,y x y m ==的交点横坐标，如图：由图可知122321323x x x x x x x ππ+=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，解得123143494x x x πππ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩2sin4m π∴==210．（2021·上海·曹杨二中高三期中）设0>ω.若函数sin y x ω=在区间[],2ππ上恰有两个零点，则ω的取值范围是___________. 【答案】1ω=或322ω≤<或522ω<<. 【分析】由sin 0x ω=得,x k ωπ=则满足2,Z k k ωω≤≤∈的k 恰有两解，即求.【详解】由sin 0x ω=得,x k ωπ=即,Z k x k πω=∈，∵函数sin y x ω=在区间[],2ππ上恰有两个零点， ∴2,Z k k πππω≤≤∈，即满足2,Z k k ωω≤≤∈的k 恰有两解，又0>ω，所以k 取1,2或2,3或3,4，当k 取1,2时，01ω<≤且223ω≤<，即1ω=； 当k 取2,3时，12ω<≤且324ω≤<，即322ω≤<，当k 取3,4时，23ω<≤且425ω≤<，即522ω<<， 所以ω的取值范围是1ω=或322ω≤<或522ω<<. 故答案为：1ω=或322ω≤<或522ω<<.11．（2022·上海·高三专题练习）设函数()cos20y x x =≥和函数()cos100y x x =≥的图象的公共点的横坐标从小到大依次为1x ，2x ，…，n x ，若()34tan cos x x α-=，则sin 2α=___________.【答案】35【分析】利用余弦方程，解出x 的值，然后得到3π4x =，4π3x =，代入()34tan cos x x α-=，利用正切的两角差公式求出tan α的值，然后再利用二倍角公式以及“1”的代换，结合“弦化切”的方法，求解即可. 【详解】因为()cos2cos100x x x =≥，则有1022πx x k =+或1022πx x n +=，k ，n ∈N ， 解得1π4x k =或π6n x =，k ，n ∈N ， 又函数()cos20y x x =≥和函数()cos100y x x =≥的图象的公共点的横坐标从小到大依次为1x ，2x ，…，n x ， 所以0x =，π6，π4，π3，π2，2π3，…，故3π4x =，4π3x =， 所以()34tan cos x x α-=，即ππtan cos 43α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则1tan 11tan 2αα-=+，解得1tan 3α=， 故2222sin cos 2tan 3sin 22sin cos sin cos tan 15ααααααααα====++.故答案为：35. 12．（2022·上海·模拟预测）给定曲线族()()24sin 2cos 68sin cos 10x y θθθθ-+-++=，θ为参数，则这些曲线在直线2y x =上所截得的弦长的最大值是_____【答案】【分析】联立求得交点的横坐标，利用弦长公式得到弦长，根据三角函数的有界性得到不等关系，求出82x -≤≤，从而求出弦长最大值.【详解】联立方程()()24sin 2cos 68sin cos 102x y y x θθθθ⎧-+-++=⎨=⎩，解得：0x =或8sin cos 12sin cos 3x θθθθ++=-+，所以弦长12d x =-=，由8sin cos 1,2sin cos 3x θθθθ++=-+得：(28)sin (1)cos 13x x x θθ--+=-，由辅助)13,x θϕ+=-13x ∴-26160x x +-≤，解得：82x -≤≤，所以8,x d ≤=≤即弦长的最大值是85 故答案为：8513．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）已知0>ω，()()2sin 0f x x x πωω⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，()2,0A ，()2,1B ，()1,1C ，()1,2D ，()0,2E ，O 位坐标原点，()y f x =图像上的点都在折线OABCDEO 所围成的区域（包括边界）内，则ω的最小值为___________. 【答案】56π【分析】由函数图象在折线OABCDEO ，围成区域内，要使得ω最小，即周期最大，因此点(1,1)C 在函数图象上，代入求解即可得．【详解】要使得ω最小，即周期最大，因此点(1,1)C 在函数图象上，所以2sin 1ω=，1sin 2ω=， 又最大值是2，最高点在线段AD 上，因此点(1,1)C 在函数的递减区间上，所以56πω=． 故答案为：56π．14．（2022·上海·复旦附中模拟预测）如果存在正整数ω和实数ϕ使得函数()()2cos =+f x x ωϕ（ω，ϕ为常数）的图像如图所示（图像经过点()1,0），那么ω的值为______．【答案】2【分析】函数式降幂化为余弦的一次式，由(1)0f =得2k πωϕπ+=+，再由图象得周期T 满足423T <<，得出324ππω<<，结合*ω∈N ，可得ω的值． 【详解】21cos(22)()cos ()2x f x x ωϕωϕ++=+=，由图象可得1cos(22)(1)02f ωϕ++==，222k ωϕππ+=+，2k πωϕπ+=+①，3142TT ⎧>⎪⎨⎪<⎩，423T <<，42232πω<<，324ππω<<②． *ω∈N ，所以2ω=．故答案为：2．15．（2022·上海交大附中高三开学考试）在数列{}n a 中，11a =，n S 为{}n a 的前n 项和，关于x 的方程21cos 10n n x a x a +-++=有唯一解，若不等式()291nn n S ka +≥-，对任意的*N n ∈恒成立，则实数k 的取值范围为______ 【答案】297,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】设()21cos 1n n f x x a x a +=-++，分析可得()1010n n f a a +=+-=，求得n a n =，()12n n n S +=，对n分奇数和偶数两种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数k 的取值范围.【详解】设函数()21cos 1n n f x x a x a +=-++，该函数的定义域为R ，因为()()()()2211cos 1cos 1n n n n f x x a x a x a x a f x ++-=---++=-++=，则函数()f x 为偶函数，因为方程()0f x =有唯一解，则()1010n n f a a +=+-=，所以，11n n a a +-=且11a =，故数列{}n a 是以1为公差和首项的等差数列， 故11n a n n =+-=，()12n n n S +=，由题意可得()291nn n kn ++≥-.若n 为奇数，则91k n n -≤++，因为9117n n ++≥=，当且仅当3n =时，等号成立， 所以，7k -≤，可得7k ≥-； 若n 为偶数，则91k n n ≤++，令91n b n n=++，则2152b =，4294b =，当4n ≥时，()()299991821122222n n b b n n n n n n n n +-=+++---=+-=-+++,()()221802n n n n +-=>+， 且数列{}n b 中的偶数项从4b 开始单调递增，因为42b b <，此时294k ≤. 综上所述，2974k -≤≤. 故答案为：297,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.16．（2022·上海市光明中学模拟预测）设角数列{}n α的通项为()*21N n n n kπαϕ=-+∈，，其中k 为常数且02πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．若存在整数[]340k ∈，，使{}n α的前k 项中存在()i j i j αα≠，满足cos cos i j αα=，则ϕ的最大值为__________． 【答案】1939π【分析】由cos cos i j αα=确定i j αα，之间的关系，结合,i j 的范围求ϕ的最大值. 【详解】因为cos cos i j αα=，不妨设1,Z i j k i j ≤<≤∈，， 所以)=2(Z j i t t ααπ∈-或)=2(Z j i t t ααπ∈+， 所以()()22112j i t k k ππϕϕπ-+---=或()()22112j i t k kππϕϕπ-++-+=， 所以j i tk -=或()2j i t kπϕπ+-+=因为1i j k ≤<≤，Z t ∈，所以j i tk -≠， 所以()2j i t kπϕπ+-+=，因为1i j k ≤<≤，所以1223i j k ≤+-≤-所以1232i j k k k +-≤≤-，又02πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，Z t ∈ 所以12t ≤≤ 所以()22j i t j i t k k πϕππ+-⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭，又02πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 若1t =，k 为偶数时，要使ϕ最大，则2i j +-最小，又02πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以122i j k +->，2Z i j +-∈所以当1212i j k +-=+时ϕ取最大值，最大值为2111912240k k k ϕπππ+⎛⎫⎛⎫=-=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若1t =，k 为奇数时，要使ϕ最大，则2i j +-最小，又02πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以122i j k +->，2Z i j +-∈所以当11222i j k +-=+时ϕ取最大值，ϕ最大值为11119122239k k k ϕπππ+⎛⎫⎛⎫=-=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理可得若2t =，k 为偶数时，则ϕ的最大值为32111922240k k k ϕπππ+⎛⎫⎛⎫=-=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若2t =，k 为奇数时，则ϕ的最大值为311119222239k k k ϕπππ+⎛⎫⎛⎫=-=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又19193940ππ≥， 所以ϕ的最大值为1939π， 故答案为：1939π. 三、解答题17．（2021·上海市七宝中学模拟预测）已知函数()1sin 2212g x x x =+，函数()f x 与函数()g x 的图象关于原点对称. (1)求()y f x =的解析式；(2)求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间.【答案】(1)()sin 213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(2)单调递增区间是0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）设点(),x y 是函数()y f x =的图象上任意一点，所以，点(),x y --在()y g x =的图象上，将点(),x y --的坐标代入函数()y g x =的解析式，可得出函数()y f x =的解析式；（2）化简函数解析式为()sin 213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的单调性可求得函数()f x 在R 上的单调递增区间A ，将区间A 与区间[]0,π取交集可得结果.(1)解：设点(),x y 是函数()y f x =的图象上任意一点， 由题意可知，点(),x y --在()y g x =的图象上，于是有()()1sin 2212y x x -=--+，所以，()1πsin 221sin 2123f x x x x ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭. (2)解：由（1）可知，()sin 213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，[]0,x π∈，记[0,]D π=，由()222Z 232k x k k πππππ-≤+≤+∈，解得()5Z 1212k x k k ππππ-≤≤+∈，记()5,Z 1212A k k k ππππ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦，则70,,1212A D πππ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 于是，函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间是0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18．（2022·上海市实验学校模拟预测）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()10sin 1212f t t t =-，[0,24)t ∈. (1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11C ︒，则在哪段时间实验室需要降温？ 【答案】(1)4C ︒(2)在10时至18时实验室需要降温【分析】（1）先把解析式化简，得到()102sin()123f t t ππ=-+，利用三角函数的性质求出()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8，即可求得；（2）依题意列不等式()11f t >，直接解得. (1)因为1()10sin )102sin()12212123f t t t t ππππ=-+=-+， 又024t ≤<，所以731233t ππππ≤+<，1sin()1123ππ-≤+≤t ，当2t =时，sin()1123t ππ+=；当14t =时，sin()1123t ππ+=-；于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12C ︒，最低温度为8C ︒，最大温差为4C ︒(2)依题意，当()11f t >时实验室需要降温.由（1）得()102sin()123f t t ππ=-+，所以102sin()11123t ππ-+>，即1sin()1232t ππ+<-，又024t ≤<，因此71161236t ππππ<+<，即1018t <<， 故在10时至18时实验室需要降温.19．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）已知平面向量()()()sin π2,1,3,cos2a x b x =-=，函数()f x a b =⋅．(1)写出函数f （x ）的单调递减区间；(2)设π()lim (02π)πnn nn g x x x ∞→+=<<+，求函数()y f x =与()y g x =图象的所有交点坐标．【答案】(1)减区间为π2ππ,π,Z 63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；(2)π17π23π,1,,0,,031212⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合辅助角公式、正弦型函数的单调性进行求解即可；（2）根据极限的运算性质，结合特殊角的正弦值进行求解即可. (1)()π3sin(π2)cos 22cos 22sin(2)6f x a b x x x x x =⋅=-+=+=+，当ππ3π2π22π(Z)262k x k k +≤+≤+∈时，函数单调递减， 解得：π2πππ(Z)63k x k k +≤+≤+∈， 因此函数f （x ）的单调递减区间为π2ππ,π,Z 63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；(2)当0πx <<时，π1()lim lim 1π1()πn n n n n ng x x x ∞∞→+→+===++，即()ππ5ππ2sin(2)126663f x x x x =+=⇒+=⇒=，所以交点的坐标为π,13⎛⎫⎪⎝⎭； 当πx =时，π1()limππ2n n n n g x ∞→+==+，即()π12sin(2π)62f x =+=，方程无实根； 当π2πx <<时，1()lim1()πn n g x x ∞→+==+，即()ππ2sin(2)023π66f x x x =+=⇒+=，或π24π6x +=，解得17π12x =或23π12x =，即交点坐标为17π23π,0,,01212⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上所述：交点坐标为π17π23π,1,,0,,031212⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 20．（2022·上海交大附中模拟预测）已知函数()()1cos 2f x x g x f x ωϕ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，，其中[]0,2πϕ∈(1)若12ω=且直线π2x =是()g x 的一条对称轴，求()g x 的递减区间和周期；(2)若21π3ωϕ==，，求函数()()()h x f x g x =-在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的最小值； 【答案】(1)3ππ4π,4π,22k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；4π，(2)14-【分析】（1）根据题设中的对称轴可得π2π,2k k Z ϕ=-∈，根据其范围可求其值，再根据公式和整体法可求周期及减区间.（2）利用三角变换和整体法可求函数的最小值.(1)可知11()cos 22g x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为直线π2x =是()g x 图象的一条对称轴，故1π1π,222k k Z ϕ⨯+=∈，解得π2π,2k k Z ϕ=-∈，而[]0,2πϕ∈，故3π2ϕ=，则13()cos π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则周期2π4πT ω==，再令13π[2π,π2π],24x k k k Z +∈+∈，则3ππ4π,4π,22x k k k Z ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦，故()g x 的递减区间为3ππ4π,4π,22k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.(2)可知π()cos 3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ()cos()cos cos cos 3 3h x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211cos cos cos cos 22x x x x x x ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭11cos 2222x x +=⋅1π1sin 2264x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故ππ5π2,666x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则在ππ262x -=即π3x =取()h x 最小值，其最小值为111244-+=-.【考点3】三角函数综合应用一、填空题1．（2022·上海闵行·二模）若函数cos y x x =+的图像向右平移ϕ个单位后是一个奇函数的图像，则正数ϕ的最小值为___________；【答案】π6【分析】先用辅助角公式得到πcos 2sin 6y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，求出平移后的解析式，根据奇偶性得到16k <，从而当0k =时，求出ϕ的最小值.【详解】πcos 2sin 6y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，向右平移ϕ个单位后解析式为()π2sin 6f x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则要想使得()π2sin 6f x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为奇函数，只需ππ,6k k Z ϕ-+=∈，解得：ππ,6k k Z ϕ=-∈， 因为0ϕ>，所以ππ>06k -，k Z ∈，解得：16k <，k Z ∈，当0k =时，正数ϕ取得最小值，所以π6ϕ=. 故答案为：π62．（2020·上海·高三专题练习）方程2cot 1x =的解集是_________．【答案】,4x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭【分析】化简得到cot 1x =±，分别计算cot 1x =和cot 1x =-得到答案. 【详解】2cot 1x =，则cot 1x =±， 当cot 1x =时，4x k ππ=+，k Z ∈；当cot 1x =-时，4x k ππ=-，k Z ∈；故4x k ππ=±，k Z ∈.故答案为：,4x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查了解三角方程，意在考查学生的计算能力，漏解是容易发生的错误. 3．（2021·上海·南洋中学高三阶段练习）将函数()sin 2y x ϕ=+的图象向左平移4π个单位后得到得到函数图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，那么ϕ的最小值为__________．【答案】6π【分析】首先确定平移后函数的解析式，然后结合三角函数的特征整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知平移之后的函数解析式为：()sin 22cos 24y x x πϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，则：()4232k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 整理可得：()136k k Z πϕπ=-∈， 则当2k =时，ϕ有最小值6π. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的对称中心及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 二、解答题4．（2020·上海·高三专题练习）已知函数2()2cos sin 3sin sin cos 3⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭f x x x x x x π（1）求函数()f x 的最小值及取得最小值时相应的x 的值；（2）若当7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的反函数为1()f x -，求1(1)f -的值【答案】（1）当512πx k π=-，则()f x 的最小值为2-；（2）4π.【解析】（1）根据和差公式，二倍角公式，化简函数的解析式，再根据三角函数的性质即可得出答案；（2）利用互为反函数的性质，可得出()11f -的值.【详解】()2212cos sin 3sin cos 3 =2cos sin cos cos sin 3sin cos 33 =2sin cos 322sin 23f x x x x x xx x x x x x x x x x ππππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（）当()2232x k k Z πππ+=-∈时，即()512x k k Z ππ=-∈，()f x 取得最小值2-. （2）令72sin 21,,31212x x πππ⎛⎫⎡⎤+=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦32,322x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，则52364x x πππ+=⇒=故()114f π-=.【点睛】（1）三角恒等变换主要是考查对和差公式，二倍角公式，降幂公式的综合应用，一般是将函数的解析式化简为()sin()f x A ωx φB =++形式,再研究该函数的性质.（2）求反函数的y 值时，易错点为容易忽略,x y 的范围.5．（2020·上海市杨浦高级中学高三阶段练习）函数2())6sin cos 2cos 14f x x x x x π=-+-+，x ∈R .（1）把()f x 的解析式改写为()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω)的形式；（2）求()f x 的最小正周期并求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值；（3）把()y f x =图像上所有的点的横坐标变为原来的2倍得到函数()y g x =的图像，再把函数()y g x =图像上所有的点向左平移4π个单位长度，得到函数()y h x =的图像，若函数()y h x =[0,]m 上至少有20个零点，求m 的最小值.【答案】（1）())4f x x π=-；（2）T π=，最大值2-；（3）1136π.【解析】（1）由三角恒等变换的公式，即可化简函数()f x 的解析式为())4f x x π=-；（2）由（1）知())4f x x π=-，求得()f x 的最小正周期为22T ππ==，结合三角函数的性质，即可求得函数的最大值和最小值；（3）根据三角函数的图象变换，求得函数()h x x =，得到y x =令0y =，求得26x k ππ=+或52,6ππ=+∈x k k Z ，结合函数()y h x =[0,]m 上至少有20个零点，求得1136m π≥，即可得到实数m 的最小值.【详解】（1）由题意，函数2())6sin cos 2cos 14f x x x x x π=-+-+22)3sin 2(2cos 1)x x x x =+--2sin 22cos 2)4πx x x =-=-.即()f x 的解析式为())4f x x π=-.（2）由（1）知())4f x x π=-，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 因为[0,]2x π∈，则2[,]444x ππ3π-∈-，所以当244x ππ-=-，即0x =时，函数取得最小值，最小值为())24f x π=-=-；当242x ππ-=，即38x π=时，函数取得最大值，最大值为()sin()2f x π==即函数的最小值为2-，最大值为（3）把()y f x =图像上的点的横坐标变为原来的2倍，得到函数())4g x x π=-，再把函数()y g x =图像上所有的点向左平移4π个单位长度，可得()h x x =，则函数()y h x x ==，令0y =，即0x =，即1sin 2x =，解得26x k ππ=+或52,6ππ=+∈x k k Z ，要使得函数()y h x =[0,]m 上至少有20个零点， 则满足51132966m πππ≥+⨯=，即实数m 的最小值为1136π. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的化简的综合应用，同时考查了函数与方程的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.6．（2020·上海市浦东中学高三期中）已知函数()2cos 2sin f x x x x =-．⑴若角α的终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，求()f α的值；⑵当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的单调递增区间和值域．⑵单调递增区间是,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,值域是[]2,1-． 【分析】⑴ 利用定义即可求解()f α的值；⑵ 利用三角恒等式公式化简，结合三角函数的性质即可求解，当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求解内层函数，从而求解值域．【详解】解：()1角α的终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，43sin ,cos 55αα∴==，()22434cos 2sin 2555f αααα⎛⎫=-=⨯-⨯ ⎪⎝⎭⑵由()2cos 2sin cos212sin 216f x x x x x x x π⎛⎫=-=+-=+- ⎪⎝⎭；由222262k x k πππππ-≤+≤+，得，36k x k ππππ-≤≤+，又,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 的单调递增区间是,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，52666x πππ∴-≤+≤，1sin 2126x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭， 故得()f x 的值域是[]2,1-．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键． 7．（2020·上海·高三专题练习）已知2221tan tan αβ＝＋ ，求证：2221sin sin βα＝－ . 试题分析：方法一由2221tan tan αβ＝＋ ⇒222tan 1tan tan2sin221tan αββββ-+＝＝.⇒2222222222222sin tan 11tan 1sin cos cos 2sin22s 1tan 1sin tan 1sin cos 112cos in ααααααβααααααα-----++++＝＝＝＝＝－；方法二：由已知可得2212(1)tan tan αβ＋＝＋⇒222sin cos 2cos ααα+＝·22222sin cos 12cos cos cos βββαβ+＝⇒222cos cos βα＝ ，⇒2212(1)sin sin βα－＝－⇒2221sin sin βα＝－ .试题解析：方法一 ∵2221tan tan αβ＝＋ ，∴2tan 1tan22αβ-＝. ∵2222sin sin tan2cos 1sin βββββ-＝＝，∴22tan sin21tan βββ+＝. ∴22222222sin tan 11tan 1cos 2sin2tan 1sin tan 1112cos ααααβαααα----+++＝＝＝22222sin cos 2s 1sin cos in ααααα-+＝＝－. 方法二 ∵2221tan tan αβ＝＋ ，∴2212(1)tan tan αβ＋＝＋ ， 即222sin cos 2cos ααα+＝·222sin cos cos βββ+，即2212cos cos αβ＝， 即222cos cos βα＝ ，即2212(1)sin sin βα－＝－ ， ∴2221sin sin βα＝－ .【真题模拟题专练】一、单选题1．（2022·上海青浦·二模）已知函数()sin cos f x x x =+的定义域为[],a b ，值域为2⎡-⎣，则b a -的取值范围是（ ）A ．3ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】根据正弦函数的图像特征和性质，结合定义域和值域，即可求解.【详解】π()sin cos )4f x x x =+=+，因为[],x a b ∈，所以πππ,444x a b ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，因为π1)4x -≤+≤πsin()14x ≤+≤.正弦函数sin y x =在一个周期π3π,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内，要满足上式，则ππ5π,444x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以()()max min 5ππ3π5ππ3π--=,-=442424b a b a ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以b a -的取值范围是3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：D2．（2022·上海松江·二模）设函数()sin()(05)6f x x πωω=+<<图像的一条对称轴方程为12x π=，若1x 、2x 是函数()f x 的两个不同的零点，则12||x x -的最小值为（ ） A ．6πB ．4π C ．2π D ．π【答案】B【分析】根据对称轴和ω的范围可得ω的值，从而可得周期，然后由题意可知12||x x -的最小值为2T可得. 【详解】由题知,1262k k πππωπ+=+∈Z ，则124,k k ω=+∈Z ，因为05ω<<，所以4ω= 所以22T ππω==易知12||x x -的最小值为24T π=. 故选：B3．（2021·上海金山·一模）下列函数中，以2π为周期且在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增的是（ ） A ．()cos2f x x =B ．()sin 2f x x =C ．()sin 4f x x =D ．()cos2f x x =【答案】A 【分析】分别计算出ABCD 的周期，再判断是否在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增即可．【详解】A: ()cos2f x x =，周期为2π，在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故A 正确；B: ()sin 2f x x =,周期为2π，在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，排除；C: ()sin 4f x x =,周期为2π,在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不具有单调性，排除； D: ()cos2f x x =,周期为π,排除. 故选：A.4．（2020·上海黄浦·一模）将函数y ＝sin （4x 3π+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移3π个单位，得到的函数图象的一条对称轴的方程为（ ） A ．x 12π=-B ．x 16π=C ．x 4π=D ．x 2π=【答案】A【解析】先求出变换后的解析式，再根据解析式求解函数的对称轴. 【详解】将函数y ＝sin （4x 3π+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移3π个单位，得到的函数为sin(2)3y x π=-，令232x k ππ-=π+，k Z ∈，解得212k x π5π=+， 由1k =-可得12x π=-.故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及性质，注意x 的系数对结果的影响，侧重考查数学运算的核心素养.5．（2021·上海黄浦·一模）为了得到函数()sin y x x x R =∈的图像，可以将函数()2sin y x x R =∈的图像（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向左平移3π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位【答案】C【分析】将函数转化为2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后根据三角函数图象变换的知识判断出正确选项.【详解】函数sin 2sin 3y x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以将函数2sin y x =的图象向右平移3π个单位，即可得到2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，即得到函数sin y x x =的图象.故选：C. 二、多选题6．（2021·上海交大附中模拟预测）为了得到函数sin 22y x x =的图象，可以将函数2cos 2y x x =-的图象作怎样的平移变换得到（ ）A ．向左平移34π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向右平移34π个单位 D ．向右平移4π个单位 【答案】BC【分析】由函数解析式应用辅助角公式化简，结合左加右减的原则，即可判断平移变换的过程.【详解】sin 222(sin 2coscos 2sin )2sin[2()]336y x x x x x πππ==+=+，[sin 2cos()cos 2sin()]2sin 2cos 22[2()]6612x x x y x x πππ-+-=-=-=，∴2cos 2y x x =-向左平移4π个单位或向右平移34π个单位得到sin 22y x x =.故选：BC 三、填空题7．（2022·上海金山·二模）设()sin f x a x =+，若存在125,,,,36n x x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()()()121n n f x f x f x f x -+++=成立的最大正整数n 为9，则实数a 的取值范围是__________.【答案】151773,,1416167⎡⎫⎛⎤--⋃--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦##151773|1416167a a a ⎧⎫-≤≤--<≤-⎨⎬⎩⎭或【分析】依题意()()()()min maxmin max 89f x f x f x f x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩，分类讨论作出函数简图，求得最值解不等式组即可【详解】536x ππ≤≤1sin 12x ⇒≤≤1sin 12a a x a ⇒+≤+≤+ 依题意()()()()min maxmin max 89f x f x f x f x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩（1）当12a >-时, 函数草图如下图所示,此时, ()()min max 1,12f x a f x a =+=+,则8419912a a a a +≤+⎧⎪⎨+>+⎪⎩⇒73167a -<≤- 满足条件; （2）当 112a -<≤-时, 函数草图如下图所示,此时,()()min max 50,max ,26f x f x ff ππ⎧⎫⎛⎫⎛⎫==⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭, 则()()()()min max min max 89f x f x f x f x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩无解（3）当1a =-时, 函数草图如下图此时, ()min 0f x =,()max 12f x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,则102102a a ⎧⎛⎫≤-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪>-+ ⎪⎪⎝⎭⎩, 无解; （4）当1a <-时, 函数草图如下图所示,此时, ()()min 1f x a =-+, ()max 12f x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,则 ()()18121912a a a a ⎧⎛⎫-+≤-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-+>-+ ⎪⎪⎝⎭⎩解得 15171416a -≤<-, 满足条件故答案为：151773,,1416167⎡⎫⎛⎤--⋃--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦8．（2021·上海松江·一模）已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>，若()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___________.【答案】43【分析】化简()f x ，由()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭可得24f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得到48,3ωk k Z =+∈即可求解.【详解】()cos 2sin()6f x x x x =+=+πωωω，且()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭，()2sin 2446πππf ω⎛⎫∴=⨯+= ⎪⎝⎭，2,462πππωk πk Z ∴⨯+=+∈,483ωk ∴=+,k Z ∈ min 43ω∴=故答案为：439．（2021·上海杨浦·一模）在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -､(0,3)B ，E ､F 为圆224x y +=上两个动点，且||4EF =，则AE BF ⋅的最大值为___________.【答案】4【分析】依题意E 、F 为直径的两个端点，设()2cos ,2sin E θθ，则()2cos ,2sin F θθ--，即可表示出AE ，BF ，再根据平面向量数量积的坐标运算及辅助角公式计算可得；【详解】解：因为E 、F 为圆224x y +=上两个动点，且||4EF =，所以E 、F 为直径的两个端点，设()2cos ,2sin E θθ，则()2cos ,2sin F θθ--，因为(1,0)A -､(0,3)B ，所以()2cos 1,2sin AE θθ+=，()2cos ,2sin 3BF θθ=---，所以()()()222cos 2cos 1sin 2sin 34cos sin 2cos 26sin AE BF θθθθθθθθ+--=-⋅=-++--42cos 6sin θθ=--- ()4θϕ=--+，其中1tan 3ϕ=；所以当()sin 1θϕ+=-时()max4AE BF⋅=故答案为：410．（2021·上海奉贤·一模）函数3cos y x a x =+是奇函数，则实数=a __________. 【答案】0【分析】根据给定条件利用奇函数的定义计算作答.【详解】因函数3()cos y f x x a x ==+是奇函数，其定义域为R ，则对R x ∀∈，()()f x f x -=-，即33()cos()(cos )x a x x a x -+-=-+，整理得：2cos 0a x =，。