《高等代数》试题1 重理工资料库

高等代数考试题库及答案一、单项选择题（每题2分，共10题，共20分）1. 以下哪个选项是矩阵的秩？A. 矩阵中非零行的数量B. 矩阵中非零列的数量C. 矩阵中最大的线性无关行（或列）的数量D. 矩阵的行列式值答案：C2. 线性方程组有解的充分必要条件是什么？A. 系数矩阵的行列式非零B. 增广矩阵的行列式非零C. 系数矩阵与增广矩阵的秩相等D. 系数矩阵与增广矩阵的秩不相等答案：C3. 对于一个n阶方阵A，下列哪个选项是正确的？A. A的行列式为0，则A可逆B. A的行列式不为0，则A可逆C. A的行列式为0，则A不可逆D. A的行列式不为0，则A不可逆答案：C4. 矩阵A和B相乘，下列哪个选项是正确的？A. AB=BAB. AB=0当且仅当A=0或B=0C. AB=0当且仅当A和B中至少有一个为零矩阵D. AB=0当且仅当A和B的行列式都为0答案：C5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是？A. 由这些向量构成的矩阵的行列式非零B. 由这些向量构成的矩阵的秩等于向量的个数C. 由这些向量构成的矩阵的行列式为0D. 由这些向量构成的矩阵的秩小于向量的个数答案：B6. 向量组α1，α2，…，αn线性相关的充分必要条件是？A. 由这些向量构成的矩阵的行列式非零B. 由这些向量构成的矩阵的秩小于向量的个数C. 由这些向量构成的矩阵的行列式为0D. 由这些向量构成的矩阵的秩等于向量的个数答案：B7. 矩阵A的特征值是指？A. 满足|A-λI|=0的λB. 满足|A+λI|=0的λC. 满足|A-λE|=0的λD. 满足|A+λE|=0的λ答案：A8. 矩阵A的特征向量是指？A. 满足Ax=0的非零向量xB. 满足Ax=λx的非零向量xC. 满足Ax=0的向量xD. 满足Ax=λx的向量x答案：B9. 矩阵A和B相似的充分必要条件是？A. A和B的行列式相等B. A和B的秩相等C. 存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=BD. A和B的迹相等答案：C10. 矩阵A和B合同的充分必要条件是？A. A和B的行列式相等B. A和B的秩相等C. 存在一个可逆矩阵P，使得P^TAP=BD. A和B的迹相等答案：C二、填空题（每题2分，共5题，共10分）1. 若矩阵A的行列式为3，则矩阵A的逆矩阵的行列式为______。

高等代数（一）考试试卷一、单选题（每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中。

错选、多选、不选均不给分，6小题，每小题4分，共24分）1. 以下乘积中（ ）是4阶行列式ij D a =展开式中取负号的项.A 、11223344a a a a .B 、14233142a a a a .C 、12233144a a a a .D 、23413214a a a a .2．行列式13402324a --中元素a 的代数余子式是（ ）.A 、0324-. B 、0324--. C 、1403-. D 、1403. 3．设,A B 都是n 阶矩阵，若AB O =，则正确的是（ ）. A 、()()r A r B n +≤. B 、0A =. C 、A O =或B O =. D 、0A ≠.4．下列向量组中，线性无关的是（ ）.A 、{}0.B 、{},,αβ0.C 、{}12,,,r ααα，其中12m αα=.D 、{}12,,,r ααα，其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合.5．设A 是n 阶矩阵且()r A r n =<，则A 中（ ）.A 、必有r 个行向量线性无关.B 、任意r 个行向量线性无关.C 、任意r 个行向量构成一个极大线性无关组.D 、任意一个行向量都能被其它r 个行向量线性表出.6．n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）条件. A 、充要. B 、充分非必要. C 、必要非充分. D 、非充分非必要. 二、判断题（正确的打√，错误的打×，5小题，每小题2分，共10分）.1．若A 为n 阶矩阵，k 为非零常数，则kA k A =. （ ） 2．若两个向量组等价，则它们包含的向量个数相同. （ ） 3．对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变. （ ） 4．正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵. （ ） 5．任何数域都包含有理数域. （ ） 三、填空题（每空4分，共24分）.1．行列式000100200100D n n==- . 2．已知5(1,0,1)3(1,0,2)(1,3,1),(4,2,1)αβ---=--=-，则α= ，(,)αβ= .3．矩阵12311211022584311112A ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦，则()r A = . 4．设线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解，其系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩分别为s 和t ，则s 与t 的大小关系是 .5．设111123111,124111051A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，则1A B -= .四、计算题（4小题，共42分）1．计算行列式（1）111111111111a a a a；（2）111116541362516121612564.（每小题6分，共12分）2．用基础解系表出线性方程组123451234512345123452321236222223517105x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+--+=⎩的全部解.（10分）3．求与向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)ααα==-=-等价的正交单位向量组.（10分）4．求矩阵211020413A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征根和特征向量.（10分）一、单选题（每题4分，共24分）二、判断题（每题2分，共10分）三、填空题（每空4分，共24分）1．(1)2(1)!n n n --⋅； 2．（1 （2）0；3．3； 4．s t =；5.351222312212112-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 四、计算题（共42分）1．（12分，每小题各6分） (1)解：11131111111111311111(3)111311111111311111a a a a a a a a a a a aa a a++==+++ ..............（3分）31111010(3)(3)(1)001001a a a a a a -=+=+--- ...................（3分）注：中间步骤形式多样，可酌情加分(2)解：222233331111111116541654136251616541216125641654=，此行列式为范德蒙行列式 ......（3分）进而2222333311111654=(61)(51)(41)(56)(46)(45)12016541654=------=-原式 .......（3分） 2．（10分）解：用初等变换把增广矩阵化为阶梯形1213211213211213212111360317740115411122220115410317742351710501711630171163---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎣⎦⎣⎦⎣⎦1213211213210115410115410317740048510171163000000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦..................（3分） 得同解方程组12345234534523215414851x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=-⎨⎪+-=-⎩取45,x x 为自由未知量，得方程的一般解为12345234534521321544185x x x x x x x x x x x x++=+-⎧⎪-=+-⎨⎪=--+⎩（其中45,x x 为自由未知量） 将450,0x x ==代入得特解01551(,,,0,0)444γ=--. ................（3分）用同样初等变换，得到与导出组同解的方程组12345234534523205404850x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩仍取45,x x 为自由未知量，得一般解12345234534523254485x x x x x x x x x x x x++=-⎧⎪-=-⎨⎪=-+⎩，将451,0x x ==和450,4x x ==分别代入得到一个基础解系：12(1,3,2,1,0),(9,11,5,0,4)ηη=--=- ...............（3分）所以，原方程组的全部解为01122k k γηη++，12,k k 为数域P 中任意数。

科目名称：《高等代数》姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌一、填空题（每小题5分，共25分）1、 在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。

2、 向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。

3、 （维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。

4、 假设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别为 。

5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为二、是非题（每小题2分，共20分）1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。

（ ）2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。

（ ）3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。

（ ）4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。

（ ）5、 令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。

其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。

（ ）6、 矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。

（ ）7、 若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。

（ ） 8、 n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。

（ ）9、 在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是)(2R M 的子空间。

（ ）10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。

高等代数考试题和答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 向量空间中，线性无关的定义是（）。

A. 向量空间中的任意向量不能表示为其他向量的线性组合B. 向量空间中的任意向量可以表示为其他向量的线性组合C. 向量空间中的所有向量可以表示为其他向量的线性组合D. 向量空间中的部分向量可以表示为其他向量的线性组合答案：A2. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A（）。

A. 可逆B. 不可逆C. 可逆或不可逆D. 不能确定答案：B3. 对于实数域上的多项式f(x)，其根的个数（）。

A. 等于其次数B. 小于其次数C. 大于其次数D. 不确定答案：D4. 线性变换T:V→W，若对于V中的任意向量v，都有T(v)=0，则称T为（）。

A. 可逆变换B. 非奇异变换C. 零变换D. 恒等变换答案：C5. 矩阵A与矩阵B相似，则（）。

A. A和B具有相同的秩B. A和B具有相同的行列式C. A和B具有相同的特征值D. A和B具有相同的迹答案：C6. 向量组α1, α2, ..., αs在向量空间V中张成V，则称向量组（）。

A. 线性相关B. 线性无关C. 基D. 零向量组答案：C7. 矩阵A的转置记作（）。

A. A'B. A^TC. A^HD. A*答案：B8. 矩阵A的特征多项式为f(λ)=det(A-λI)，则f(λ)的根称为矩阵A的（）。

A. 特征值B. 特征向量C. 特征多项式D. 特征函数答案：A9. 向量空间V的维数等于V的任意一组基的向量个数，这称为（）。

A. 基定理B. 维数定理C. 线性空间定理D. 向量空间定理答案：B10. 矩阵A和B可以进行矩阵乘法，则（）。

A. A的列数等于B的行数B. A的行数等于B的列数C. A的行数等于B的行数D. A的列数等于B的列数答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 矩阵A的秩是指矩阵A中线性无关的行（或列）向量的最大个数，记作rank(A)。

12. 矩阵A和B的乘积记作AB，其中A的列数必须等于B的行数。

《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。

A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。

A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ ）。

A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。

A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。

A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。

A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。

A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。

《高等代数》（上）题库第一章多项式填空题(1.7)1、设用x-1除f(x)余数为5，用x+1除f(x)余数为7，则用x2-1除f(x)余数是。

(1.5)2、当p(x)是多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。

(1.4)3、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。

(1.5)4、设f(x)=x3+3x2+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= b。

(1.7)5、设f(x)=x4+3x2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。

(1.7)6、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b，则a= b= 。

(1.7)7、如果f(x)=x3-3x+k有重根，那么k= 。

(1.8)8、以l为二重根，2，1+i为单根的次数最低的实系数多项式为f(x)= 。

(1.8)9、已知1-i是f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2的一个根，则f(x)的全部根是。

(1.4)10、如果（f(x),g(x)）=1，（h(x),g(x)）=1 则。

(1.5)11、设p(x)是不可约多项式，p(x)|f(x)g(x),则。

(1.3)12、如果f(x)|g(x),g(x)|h(x)，则。

(1.5)13、设p(x)是不可约多项式，f(x)是任一多项式，则。

(1.3)14、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)，则。

(1.3)15、若f(x)|g(x),f(x)| h(x)，则。

(1.4)16、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，且(g(x),h(x))=1，则。

(1.5)17、若p(x) |g(x)h(x),且则p(x)|g(x)或p(x)|h(x)。

(1.4)18、若f(x)|g(x)+h(x)且f(x)|g(x)-h(x),则。

(1.7)19、α是f(x)的根的充分必要条件是。

(1.7)20、f(x)没有重根的充分必要条件是。

《高等代数》试卷A 第1页（共4页）河南理工大学2009—2010 学年第 1 学期《高等代数》试卷考试方式：闭卷 本试卷考试分数占学生总评成绩的 80%一、填空：（每小题4分，共24分）1．设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且r (A ) = n －1则Ax = 0 的通解为___________ 2．用ax b -除()f x ，所得余式为_________3.每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成 的乘积；每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成 的乘积。

4.设B A ,为可逆矩阵，则1O A B O -⎛⎫⎪⎝⎭=_________5．设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且2A =，则*(=1-1A)-5A 26．设有四阶行列式1030123414916182764，ij A 是其()j i ,元的代数余子式，则11121314A A A A +++=___________二、 选择题：（每小题5分，共30分）1．下列命题正确的是（ ）(A) 若AB AC =，则B C = (B) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (C) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (D) 若AB AC =，且0,0B C ≠≠，则B C =2．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，则有（ ）(A)ACB E = (B)BAC E = (C)BCA E = (D) CBA E = 3.已知向量组12,,,m ααα线性相关，则命题（ ）成立。

(A)12,,,m ααα中至少有一个含有零向量；(B) 对任意一组不全为零的常数12,,,m k k k 有1120m m m k k k ααα+++=；(C)12,,,m ααα中任意一个向量均可由其余m －1个向量线性表示；(D) 秩12(,,,)m m ααα<4．向量组321,,βββ线性无关，324,,βββ线性相关，则有（ ） (A)4β可由23,ββ线性表示； (B)3β可由24,ββ线性表示； (C)2β可由34,ββ线性表示； (D)1β可由324,,βββ线性表示.5．设1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====专业班级： 姓名： 学号：…………………………密………………………………封………………………………线…………………………《高等代数》试卷A 第2页（共4页）则它的极大无关组为（ ） (A) 12,αα(B) 123,, ααα(C) 124,,ααα(D) 1234,, ,αααα6．设b Ax =为非齐次线性方程组,其有唯一解的充要条件是（ ）（A ）向量b 能由A 的列向量组线性表示，（B ）矩阵A 的列向量组是矩阵),(b A 的列向量组的极大无关组 （C ）0=Ax 有唯一解(D))(),(A R b A R =三、计算与证明：（共46分）1．（8分）设((),())1f x g x =，((),())1f x h x =，证明：((),()())1f x g x h x =。

高等代数考试题库及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)B. \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)C. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)D. \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)答案：C2. 行列式的性质中，以下哪个描述是错误的？A. 交换两行，行列式的值不变。

B. 将一行乘以一个常数，行列式的值也乘以该常数。

C. 将一行加到另一行，行列式的值不变。

D. 将两行交换，行列式的值取反。

答案：A3. 以下哪个矩阵的特征值是1？A. \(\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\)B. \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)C. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)D. \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)答案：C4. 向量\(\alpha = (1, 2, 3)\)和\(\beta = (4, 5, 6)\)是否线性相关？A. 是B. 否答案：A5. 以下哪个不是初等矩阵？A. 单位矩阵B. 将一行乘以非零常数得到的矩阵C. 将一行加到另一行得到的矩阵D. 将两行交换得到的矩阵答案：A6. 矩阵\(A\)和\(B\)的乘积\(AB\)等于\(BA\)的条件是什么？A. \(A\)和\(B\)都是方阵B. \(A\)和\(B\)都是对角矩阵C. \(A\)和\(B\)都是对称矩阵D. \(A\)和\(B\)都是正交矩阵答案：D7. 以下哪个矩阵是正交矩阵？A. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)B. \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)C. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)D. \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)答案：A8. 矩阵的秩是指什么？A. 矩阵中非零元素的个数B. 矩阵中最大的非零子式C. 矩阵中线性无关的行或列的最大个数D. 矩阵的行列式值答案：C9. 以下哪个矩阵是对称矩阵？A. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)B. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\)C. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)D. \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)答案：C10. 矩阵\(A\)的特征多项式是\(\lambda^2 - 2\lambda + 1\)，则\(A\)的特征值是什么？A. 1, 1B. 1, 2C. 1, 3D. 2, 2答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 矩阵\(A\)的行列式为0，则矩阵\(A\)是不可逆的。

高等代数试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵的行列式|adj(A)|等于多少？A. 2B. 4C. 8D. 16答案：D2. 线性方程组有唯一解的充分必要条件是系数矩阵的什么？A. 行列式不为零B. 秩等于未知数的个数C. 行阶梯形矩阵D. 增广矩阵答案：B3. 若向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则下列哪个向量组也线性无关？A. α1+α2, α2+α3, ..., αn-1+αnB. kα1, kα2, ..., kαn（k为非零常数）C. α1-α2, α2-α3, ..., αn-1-αnD. α1, α2, ..., αn-1, αn+α1答案：D4. 给定一个线性变换T: V → W，若V的一组基{v1, v2, ..., vn}在T下的像{T(v1), T(v2), ..., T(vn)}线性无关，则T是：A. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆的答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设A是n阶方阵，若A^2=A，则称A为______矩阵。

答案：幂等2. 若矩阵A的秩为r，则A的行向量组和列向量组最多可以有______个线性无关的向量。

答案：r3. 设A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，若AB=0，则称矩阵B是矩阵A的______。

答案：零化子4. 线性空间V的一组基中包含的向量个数称为该基的______。

答案：阶数三、解答题（每题10分，共60分）1. 证明：若线性空间V上的线性变换T满足T^2=T，则T是幂等变换。

证明：由题意知T满足T^2=T。

设v∈V，则有T(T(v))=T^2(v)=T(v)。

因此，对于任意v∈V，都有T(T(v))=T(v)，即T是幂等变换。

2. 已知矩阵A=\[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\]，求A的特征值和特征向量。