1.4.2微积分基本定理

1.4.2微积分基本定理【教学目标】1.通过实例直观了解微积分基本定理的含义，会求简单的定积分，体会微积分定理的优越性；2.体会导数与定积分的关系，感受极限的思想；3.渗透“质量互变、对立统一”的观点.【教学重点】定理的应用 【教学难点】定理的推导 一、课前预习：（阅读教材40—41页）微积分定理：如果 ，且)(x f 在],[b a 上可积，则⎰=badx x f )( .其中)(x F 叫做)(x f 的一个 .一般地，原函数在],[b a 上的改变量)()(a F b F -简记作 ，因此，微积分定理可以写成形式：⎰=badx x f )(二、课上学习：（※参照教材42页完成下列例题） 例1.求值： （1）⎰πsin xdx （2）⎰π20sin xdx思考：曲线x y sin =与x 轴在区间],0[π，]2,0[π上所围成的图形面积分别是多少？ ※几种典型的曲边梯形面积的求法：1.()[,]()0y f x a b f x =≥若在上有， 曲边梯形的面积为：2. ()[,]()0y f x a b f x =≤若在上有，曲边梯形的面积为：3.(),()[,]()()y f x y g x a b f x g x ==≥若在上有，阴影部分的面积为： 例2.计算（1）dx x⎰912 （2）⎰+212)1(dx x运用微积分定理说明：dx x f dx x f ba⎰⎰=a b)(-)( ； ⎰=badx x f )(⎰⎰+bccadx x f dx x f )()(（b c a <<） 三、课后练习：1.[2013·北京] 直线l 过抛物线C ：y x 42=的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于 2.[2013·湖南] 若902=⎰dx x T则常数T 的值为________．3.[2013·江西] 若⎰=2121dx x s ，⎰=2121dx xs ，⎰=213dx e s x ，则321,,s s s 的大小关系为 .4.[2012年福建]如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取 一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为5.[2012年高考（江西理）]计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________.。

1.4.2 微积分基本定理新知初探入门答辩已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x ， 问题1：f (x ) 和F ′(x )有何关系？问题2：利用定积分的几何意义求⎠⎛02(2x ＋1)d x 的值．问题3：求F (2)－F (0)的值．问题4：⎠⎛02(2x ＋1)d x 与F (2)－F (0)有什么关系？ 新知自解1．微积分基本定理如果F ′(x )＝f (x )，且f (x )在[a ，b ]上可积，则⎠⎛a bf (x )d x ＝ ，其中F (x )叫做f (x )的一个原函数，由于[F (x )＋c ]′＝f (x )， 也是f (x )的原函数，其中c 为常数． 2．微积分基本定理的表示形式一般地，原函数在[a ，b ]上的改变量 简记作F (x )|b a ，因此，微积分基本定理可以写成形式：⎠⎛a bf (x )d x ＝ ＝ .题型探究题型一 定积分的计算 [例1] 求下列定积分： (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ； (2)⎠⎛-π0(cos x －e x )d x ；(3)⎠⎛02πsin 2x 2d x . [一点通]由微积分基本定理求定积分的步骤当被积函数为两个函数的乘积时，一般要转化为和的形式，便于求得函数F (x )，再计算定积分，具体步骤如下．第一步：求被积函数f (x )的一个函数F (x )； 第二步：计算函数的增量F (b )－F (a )． 跟踪训练1.⎠⎛241x d x 等于( )A ．－2ln 2B ．2ln 2C ．－ln 2D ．ln 22．计算下列定积分： (1)⎠⎛01(x 3－2x )d x ； (2)⎠⎛02π(x ＋cos x )d x ；(3)⎠⎛121x (x ＋1)d x .3．计算定积分⎠⎛03|x 2－1|d x .4．已知f (x )＝⎩⎨⎧4x －2π，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，cos x ，x ∈⎝⎛⎦⎤π2，π.求定积分⎠⎛0πf (x )d x .题型二 利用定积分求平面图形的面积[例2] 求抛物线y 2＝2x 和直线y ＝－x ＋4所围成的图形的面积．[一点通] 利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤： (1)画出图形．(2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上限和积分下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素：①被积函数的原函数易求；②较少的分割区域；③积分上限和积分下限比较简单． (4)写出平面图形的面积的定积分表达式．(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积． 跟踪训练5．求曲线y ＝e x ，y ＝e －x 及直线x ＝1所围成的图形的面积．6．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围成图形的面积．题型三 微积分基本定理的综合问题[例3] 已知f (x )是二次函数，其图像过点(1,0)，且f ′(0)＝2，⎠⎛01f (x )d x ＝0，求f (x )的解析式． [一点通]含有参数的定积分问题的处理办法(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念． 跟踪训练7．若⎠⎛0Tx 2d x ＝9，则常数T 的值为________．8．设f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为________．9．已知f (x )＝⎠⎛-a x (12t ＋4a )d t ，F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值．课堂小结1．求定积分的一些常用技巧： (1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分．2．在利用定积分求平面图形的面积时，要注意f (x )≥0的条件．当恒有f (x )＜0时，定积分⎠⎛a b f (x )d x 为负值，从而曲边梯形的面积为⎠⎛a bf (x )d x 的相反数．当堂检测1．(陕西高考)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －12．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x ，x ＜0，则⎠⎛-11f (x )d x 的值是( )A. ⎠⎛-11x 2d xB. ⎠⎛-112x d x C. ⎠⎛-10x 2d x ＋⎠⎛012x d xD. ⎠⎛-102x d x ＋⎠⎛01x 2d x3．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．22 B ．42 C ．2D ．44．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x dx ＝3＋ln 2，则a 的值是( ) A ．6 B ．4 C ．3D ．25．计算定积分⎠⎛-11(x 2＋sin x )d x ＝________.6．由y ＝x 2，y ＝14x 2及x ＝1围成的图形的面积S ＝________.7．计算下列定积分：(1)⎠⎛－2－1(2＋x 2)2d x ；(2)3ππ⎰cos ⎝⎛⎭⎫x －π6d x ； (3) ⎠⎛-41|x ＋3|d x .8．在曲线y ＝x 2(x ≥0)上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围图形的面积为112.求切点A 的坐标以及切线方程．参考答案新知初探入门答辩问题1：提示：F ′(x )＝f (x )． 问题2：提示：⎠⎛02(2x ＋1)d x ＝6. 问题3：提示：F (2)－F (0)＝4＋2＝6. 问题4：提示：⎠⎛02 f (x )d x ＝F (2)－F (0)． 新知自解1．微积分基本定理 F (b )－F (a ) F (x )＋c 2．微积分基本定理的表示形式 F (b )－F (a ) F (x )|b a F (b )－F (a )题型探究题型一 定积分的计算[例1] [解] (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＋⎠⎛123d x ＝x 33|21＋x 2|21＋3x |21＝253. (2)⎠⎛-π0(cos x －e x )d x ＝⎠⎛-π0cos x d x －⎠⎛-π0e x d x ＝sin x |0－π－e x |0－π＝1eπ－1. (3)sin 2x 2＝1－cos x 2，而⎝⎛⎭⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ， ∴⎠⎛02πsin 2x 2d x ＝⎠⎛02π⎝⎛⎭⎫12－12cos x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x 02π＝π4－12＝π－24. 跟踪训练 1. D【解析】⎠⎛241x d x ＝(ln x )|42＝ln 4－ln 2＝ln 2. 2．解：(1)⎠⎛01(x 3－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫14x 4－x 2|10＝－34. (2)⎠⎛02π(x ＋cos x )d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋sin x 02π＝π28＋1. (3)f (x )＝1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1，取F (x )＝ln x －ln (x ＋1)＝lnx x ＋1，则F ′(x )＝1x －1x ＋1，所以⎠⎛121x (x ＋1)d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫1x －1x ＋1d x ＝lnx x ＋1|21＝ln 43. 3．解：⎠⎛03|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛13(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3|10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x |31＝223. 4．解：⎠⎛0πf (x )d x ＝⎠⎛02πf (x )d x ＋⎠⎛2ππf (x )d x ， 又(2x 2－2πx )′＝4x －2π，(sin x )′＝cos x ，所以⎠⎛02π(4x －2π)d x ＋⎠⎛2ππcos x d x ＝(2x 2－2πx )02π＋sin x2ππ＝π22－π2－0＋0－1＝－π22－1. ∴⎠⎛0πf (x )d x ＝－π22－1. 题型二 利用定积分求平面图形的面积[例2] [解] 先求抛物线和直线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝－x ＋4，求出交点坐标为A (2,2)和B (8，－4)．法一：选x 为积分变量，变化区间为[0,8]，将图形分割成两部分(如图1)，则面积为 S ＝S 1＋S 2＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x ＝423x 32|20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫223x 32－12x 2＋4x |82 ＝18.图1 图2法二：选y 作积分变量，则y 的变化区间为[－4,2]，如图2所求的面积为S ＝⎠⎛-42⎝⎛⎭⎫4－y －y 22d y ＝⎝⎛⎭⎫4y －12y 2－16y 3|2－4 ＝18. 跟踪训练5． 解：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x ，y ＝e －x ，解得交点为(0,1)，所求面积为S ＝⎠⎛01(e x －e －x )d x ＝(e x ＋e －x )|10＝e ＋1e－2. 6．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，解得x ＝0或x ＝3.如图．从而所求图形的面积S ＝⎠⎛03(x ＋3)d x －⎠⎛03(x 2－2x ＋3)d x ＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2 x ＋3)]d x ＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 2⎪⎪⎪30＝92. 题型三 微积分基本定理的综合问题[例3] [解] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∴a ＋b ＋c ＝0.① ∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝2.②∵⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx |10＝13a ＋12b ＋c ＝0.③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝2，c ＝－12，∴f (x )＝－32x 2＋2x －12.跟踪训练 7．3【解析】∵⎠⎛0T x 2d x ＝13T 3＝9，T >0，∴T ＝3. 8．f (x )＝4x ＋3【解析】设f (x )＝kx ＋b ，⎠⎛01f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫k 2x 2＋bx |10＝⎝⎛⎭⎫k 2＋b －0＝k 2＋b ， ⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01(kx 2＋bx )d x ＝⎝⎛⎭⎫k 3x 3＋b 2x 2|10＝k 3＋b 2.∴⎩⎨⎧k2＋b ＝5，k 3＋b 2＝176，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4，b ＝3.∴f (x )＝4x ＋3. 9．解：∵f (x )＝⎠⎛-a x(12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )|x －a ＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2， ∴F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)d x ＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )|10 ＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1， ∴当a ＝－1时，F (a )最小值＝1.当堂检测1．C【解析】⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )10＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e ，因此选C. 2．D【解析】⎠⎛-11f (x )d x ＝⎠⎛-102x d x ＋⎠⎛01x 2d x . 3．D【解析】由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4|20＝4. 4．D【解析】⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a 1＝(a 2＋ln a )－(1＋ln 1)＝(a 2－1)＋ln a ＝3＋ln 2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝3，a ＞1，a ＝2，∴a ＝2.5．23【解析】⎠⎛-11 (x 2＋sin x )d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33－cos x |1－1＝23. 6．14【解析】图形如图所示：S ＝⎠⎛01x 2d x －⎠⎛0114x 2d x ＝⎠⎛0134x 2d x ＝14x 3|10＝14.7．解：(1)因为(2＋x 2)2＝4＋4x 2＋x 4， 又⎝⎛⎭⎫4x ＋43x 3＋15x 5′＝4＋4x 2＋x 4， 所以⎠⎛－2－1(2＋x 2)2d x ＝⎠⎛－2－1(4＋4x 2＋x 4)d x ＝⎝⎛⎭⎫4x ＋43x 3＋15x 5|－1－2＝⎝⎛⎭⎫－4－43－15－⎝⎛⎭⎫－8－323－325 ＝29315. (2)因为cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝32cos x ＋12sin x ， 所以3ππ⎰cos ⎝⎛⎭⎫x －π6d x ＝3ππ⎰⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x d x ＝323ππ⎰cos x d x ＋123ππ⎰sin x d x ＝32sin x 3ππ－12cos x 3ππ＝－32sin π3－12⎝⎛⎭⎫cos π－cos π3＝－34＋12＋14＝0. (3)因为f (x )＝|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x <－3，x ＋3，x ≥－3，所以⎠⎛-40|x ＋3|d x ＝⎠⎛－4－3(－x －3)d x ＋⎠⎛-30(x ＋3) d x ＝⎝⎛⎭⎫－12x 2－3x －－34＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋3x |0－3＝5. 8．解：由题意可设切点A 的坐标为(x 0，x 20)， 则切线方程为y ＝2x 0x －x 20，可得切线与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫x 02，0.画出草图，可得曲线y ＝x 2，直线y ＝2x 0x －x 20与x 轴所围图形如图所示． 故S ＝S 1＋S 2＝020x ⎰x 2d x ＋[02x x ⎰x 2d x －02x x ⎰ (2x 0x －x 20)d x ]＝13x 3020x ＋13x 3002x x －(x 0x 2－x 20x )02x x ＝x 3012＝112， 解得x 0＝1，所以切点坐标为A (1,1)， 所求切线方程为y ＝2x －1.。

微积分基本定理与积分变换微积分是数学的重要分支之一，其核心概念之一就是微积分基本定理和积分变换。

本文将详细介绍微积分基本定理的原理和应用，并探讨积分变换在实际问题中的作用。

1. 微积分基本定理微积分基本定理是微积分的核心概念之一，由牛顿与莱布尼茨在17世纪分别独立发现。

其表述如下：定理1：对于连续函数f(x)，如果F(x)是f(x)的一个原函数，则有∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。

这个定理实际上是积分与求导的逆运算，意味着我们可以通过求导的方式来确定函数的不定积分。

基于微积分基本定理，我们可以解决各类函数的积分计算问题。

2. 第一类微积分基本定理第一类微积分基本定理是微积分基本定理的一个重要应用，也被称为牛顿-莱布尼茨公式。

它给出了确定函数F(x)的定积分的方法。

定理2：若f(x)是连续函数，则∫[a,b]f'(x)dx = F(b) - F(a)。

这个定理意味着我们可以通过求函数的原函数来确定其定积分。

这对于解决各类实际问题具有重要意义，比如计算曲线下的面积、求解物体的质量和重心等。

3. 第二类微积分基本定理第二类微积分基本定理是微积分基本定理的另一个重要应用。

它将定积分与不定积分联系在一起，可以用于积分计算和函数的性质分析。

定理3：对于连续函数f(x)，设F(x)是f(x)的一个原函数，则∫[a,b]f(x)dx = F(x)|[a,b] = F(x)|[a,b] - F(x)|[a,b]。

这个定理将定积分转化为函数的不定积分，并通过原函数在区间[a,b]两端求值的差来确定。

利用这个定理，我们可以对函数在特定区间上的积分性质进行研究，比如函数值的大小、连续性等。

4. 积分变换积分变换是微积分的一个重要应用领域，它通过对函数进行积分的方式转换函数本身或者函数的性质，从而简化问题或者获得更有用的信息。

常见的积分变换包括拉普拉斯变换和傅里叶变换。

拉普拉斯变换将函数从时域转换到频域，广泛应用于信号与系统分析、控制系统等领域。

微积分基本定理解读微积分基本定理的内容微积分基本定理包括两个部分：第一部分是定积分的存在性和唯一性定理，第二部分是不定积分和定积分的关系定理。

1. 定积分的存在性和唯一性定理定积分的存在性和唯一性定理是微积分基本定理的第一部分。

它表明，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上是有界的，那么f(x)在[a, b]上一定可积。

这意味着，只要函数在闭区间上是有界的，就可以计算这个函数在该闭区间上的定积分，并且定积分的值是唯一的。

2.不定积分和定积分的关系定理微积分基本定理的第二部分是关于不定积分和定积分之间的关系定理。

它表明，如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，那么f(x)在[a, b]上的定积分等于原函数F(x)在区间[a, b]上的值之差，即∫(a to b) f(x) dx = F(b) - F(a)。

这个定理给出了求定积分的一种便利方法，即通过找到原函数，并计算原函数在区间端点上的值之差来得到定积分的值。

微积分基本定理的证明微积分基本定理的证明主要依赖于黎曼积分的性质和牛顿-莱布尼茨公式。

其中，黎曼积分的性质包括黎曼可积的充要条件和黎曼积分的线性性质等；牛顿-莱布尼茨公式则是微积分基本定理的重要应用之一，通过该公式可以将原函数和定积分的关系进行定量的表示和计算。

这些都是微积分基本定理得以成立的重要理论基础。

微积分基本定理的历史背景微积分基本定理的发现和应用是微积分学发展历程中的一个重要节点。

其历史可以追溯到17世纪，当时牛顿和莱布尼茨独立地发现了微积分学的基本概念和方法，并分别建立了微积分学的理论体系。

牛顿和莱布尼茨也因此而被誉为微积分学的创始人。

微积分基本定理的发现和应用，意味着微积分学从此进入了一个崭新的阶段，定积分与不定积分的关系得到了深刻的理解，为微积分学的进一步发展奠定了重要基础。

微积分基本定理的相关知识点微积分基本定理是微积分学中的一个重要知识点，它与微积分学的其他概念和方法密切相关。

课堂探究1探究一 利用微积分差不多定理求简单的定积分1．微积分差不多定理是求定积分的一种差不多方法，其关键是求出被积函数的原函数，专门注意y ＝1x 的原函数是y ＝ln x ．差不多过程分为两步：①求f(x)的原函数F(x)；②运算F(b)－F(a)的值．2．求定积分时要注意积分变量，有时在被积函数中含有参数，但它不一定是积分变量，例如在定积分∫m 1(x2－t)dx 中，积分变量是x ，m 和t 是常数．【典型例题1】 运算下列定积分：(1)∫20xdx ；(2)∫1－2(1－t3)dt ；(3)∫211x dx ；(4)∫0－π(cos x ＋ex)dx ；(5)∫1－2(x ＋1)2dx ；(6)∫43t2dx.思路分析：求原函数时要和求导数运算联系起来，充分借助导数公式和导数运算法则．解：(1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2′＝x ， ∴∫20xdx ＝12x2|20＝2－0＝2.(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫t －14t4′＝1－t3， ∴∫1－2(1－t3)dt ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －14t4|1－2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－14－24＝274. (3)∵(ln x)′＝1x ，∴∫211x dx ＝ln x |21＝ln 2－ln 1＝ln 2.(4)∵(sin x ＋ex)′＝cos x ＋ex ，∴∫0－π(cos x ＋ex)dx ＝(sin x ＋ex)|0－π＝(0＋1)－(0＋e －π)＝1－e －π.(5)∵(x ＋1)2＝x2＋2x ＋1，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x3＋x2＋x ′＝x2＋2x ＋1， ∴∫1－2(x ＋1)2dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x3＋x2＋x |1－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝13.(6)∵(t2x)′＝t2，∴∫43t2dx ＝t2x |43＝t2.探究二 利用微积分差不多定理和定积分的性,质求定积分1．求复杂函数定积分要依据定积分的性质．(1)有限个函数代数和(差)的积分，等于各个函数积分的代数和(差)，即 ⎠⎛a b [f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx ＝⎠⎛a b f1(x)dx ±⎠⎛a b f2(x)dx ±…±⎠⎛a b fn(x)dx.(2)常数因子可提到积分符号别处，即⎠⎛a b kf(x)dx ＝k ⎠⎛a b f(x)dx.(3)当积分上限与下限交换时，积分值一定要反号，即⎠⎛a b f(x)dx ＝－⎠⎛b a f(x)dx.(4)定积分对区间的可加性，若c ∈[a ，b]，则有⎠⎛a b f(x)dx ＝⎠⎛a c f(x)dx ＋⎠⎛c b f(x)dx.2．对被积函数是分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．3．关于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．4．当被积函数的原函数是一个复合函数时，要专门注意原函数的求解，与复合函数的求导区分开来．例如：关于被积函数y ＝sin 3x ，其原函数应为y ＝－13cos 3x ，而其导数应为y ′＝3cos 3x ，再如：被积函数y ＝e2x 时，其原函数是y ＝12e2x ，而其导数是y ′＝2e2x.【典型例题2】 运算下列定积分： (1)∫1－1f(x)dx ，其中f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x2，－1≤x ≤0，4，0<x ≤1； (2)∫62|x －4|dx ； (3)20π⎰ 0sin2xdx ；(4)∫20e2xdx ； (5)20π⎰1－sin 2xdx.思路分析：第一对被积函数进行恰当的化简、变形，然后再求定积分．解：(1)∫1－1f(x)dx ＝∫0－1x2dx ＋∫104dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x3|0－1＋4x |10 ＝13＋4＝133；(2)∫62|x －4|dx ＝∫42(4－x)dx ＋∫64(x －4)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －12x2|42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2－4x |64＝2＋2＝4；(3)20π⎰sin2xdx ＝20π⎰1－cos 2x 2dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －14sin 2x 20|π ＝π4－0＝π4；(4)∫20e2xdx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12e2x |20＝12e4－12； (5) 20π⎰1－sin 2xdx ＝20π⎰sin x －cos x 2dx ＝20π⎰|sin x －cos x|dx ＝40π⎰|sin x －cos x|dx ＋24ππ⎰|sin x －cos x|dx ＝40π⎰(cos x －sin x)dx ＋24ππ⎰(sin x －cos x)dx ＝(sin x ＋cos x)40|π－(cos x ＋sin x)24|ππ＝22－2. 探究三 利用定积分求平面图形的面积1．利用定积分求平面图形的面积时，一样步骤是：①画草图；②求曲线的交点定出积分上、下限；③确定被积函数，但要保证求出的面积是非负的；④写出定积分并运算．2．求由一条曲线y ＝f(x)和直线x ＝a ，x ＝b(a ＜b)及y ＝0所围成平面图形的面积S.图①中，f(x)＞0，∫b a f(x)dx ＞0，因此面积S ＝∫b a f(x)dx ；图②中，f(x)＜0，∫b a f(x)dx ＜0，因此面积S ＝||∫ba f x dx ＝－∫b a f(x)dx ；图③中，当a ≤x ≤c 时，f(x)＜0，当c ≤x ≤b 时，f(x)＞0，因此面积S ＝∫b a |f(x)|dx ＝∫c a (－f(x))dx ＋∫b c f(x)dx.3．求由两条曲线f(x)和g(x)，直线x ＝a ，x ＝b(a ＜b)所围成平面图形的面积S.图④中，f(x)＞g(x)＞0，面积S ＝∫b a [f(x)－g(x)]dx ；图⑤中，f(x)＞0，g(x)＜0，面积S ＝∫b a f(x)dx ＋∫b a |g(x)|dx ＝∫b a [f(x)－g(x)]dx.【典型例题3】 (1)求抛物线y ＝x2－x 与x 轴所围成图形的面积；(2)求曲线y ＝cos x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤3π2与两坐标轴所围成图形的面积； (3)求直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x2围成图形的面积．思路分析：画出图形，结合图形分析定积分的积分区间，同时注意面积与积分的关系．解：(1)由图形可知，所求面积为S ＝∫10|x2－x|dx ＝∫10(x －x2)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x2－13x3|10＝16. (2)画出曲线y ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤3π2， 由于当0≤x ≤π2时，cos x ≥0，π2＜x ≤3π2时，cos x ≤0，故图形的面积为 320π⎰|cos x|dx ＝20π⎰cos xdx ＋322ππ⎰(－cos x)dx ＝sin x 20|π－sin x 322|ππ＝3. (3)如图，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x2，y ＝2x ＋3求得两曲线的交点为(－1,1)和(3,9)，因此阴影部分的面积为S ＝∫3－1[(2x ＋3)－x2]dx ＝∫3－1(－x2＋2x ＋3)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x3＋x2＋3x |3－1＝323.。

【学习目标】了解微积分基本定理，学会应用微积分基本定理求定积分；一、 知识梳理： 1.微积分基本定理如果'()(),F x f x =且()f x 在[a,b]上可积，则 ，其中()F x 叫做()f x 的一个原函数..一般地，原函数在[a,b ]上的改变量()()F b F a -简记为()|b aF x ，因此，微积分的基本定理可以写成形式 .注意：（1）若'()(),F x f x =则()F x 叫做()f x 的一个原函数.但是[()]'()F x C f x +=，所以()F x C +都是()f x 的原函数.（2）探究一：求积分的关键是（3）探究二：利用公式求平面图形面积的步骤：（4）探究三：判断下列式子是否成立 ①()()bbaaCf x dx C f x dx =⎰⎰；其中C 为常数；②设(),()f x g x 可积，则[]()()()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰；③()()baabf x dx f x dx =-⎰⎰；④()()()()bcbaacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰二、典例分析例1、（1）求sin y x = 在[0,]π 上阴影部分的面积S 。

（2）求曲线sin y x = 与x 轴在区间[0,2]π 上所围成阴影部分的面积S 。

例2、求下列定积分.(1)⎠⎜⎜⎛12(x 2＋2x ＋3)dx ；(2)⎠⎜⎜⎛－π0(cos x －e x )dx ； (3)⎠⎜⎜⎛122x 2＋x ＋1x dx ；(4)∫0π2sin 2x 2dx. A.⎠⎜⎜⎛02(x 2－1)dxB.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎠⎜⎜⎛02（x 2－1）dx C.⎠⎜⎜⎛02|x 2－1|dx D.⎠⎜⎜⎛01(x 2－1)dx －⎠⎜⎜⎛12(x 2－1)dx 计算下列定积分．(1)f(x)＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧sin x ，0≤x<π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎜⎜⎛04f(x)dx ； (2)⎠⎜⎜⎛02|x 2－1|dx.三、巩固练习：1.22(sin cos )x x dx ππ-+⎰的值是（ ）A.0B.4πC.2D.4 2.曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴所围成的面积是（ ） A.2 B.3 C.52D.4 3、若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123S S S 的大小关系为（ ）A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<4.直线l 过抛物线C : x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）A ．43B ．2C ．83D．35.1(2)xex dx +⎰ 等于（ ）.1A .1B e - .C e .1D e +6.若209,Tx dx T =⎰则常数的值为_________.7、计算下列定积分 （1）302xdx =⎰； （2）0=⎰;（3）211dx x=⎰； （4）2211dx x =⎰ ；8.求曲线y =4,0x y ==所围成的曲边梯形的面积.9、求曲线2y x = 与直线2y x = 所围图形的面积。