九年级数学上册小专题一矩形中的折叠问题新版北师大版含答案

专题训练(一) 矩形中的折叠问题(本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做)1．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为()A．12 B．10 C．8 D．62．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＝60°.现沿直线GE将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则图中与∠BEG相等的角的个数为()A．5个B．4个C．3个D．2个3．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数等于________．4．把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB ＝3 cm，BC＝5 cm，则重叠部分△DEF的面积是________cm2.5．如图，折叠矩形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC＝10 cm，AB＝8 cm，求：(1)FC的长；(2)EF的长．6．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF，且AB＝10 cm，AD＝8 cm，DE＝6 cm.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)求BF的长；(3)求折痕AF长．7．将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m＞0)，点D(m，1)在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B 的对应点为点E.(1)当m＝3时，求点B的坐标和点E的坐标；(自己重新画图)(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．8．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10.(1)求矩形ABCD的周长；(2)E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处．①求DE的长；②点P是线段CB延长线上的点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的长．(3)M是AD上的动点，在DC上存在点N，使△MDN沿折痕MN折叠，点D落在BC边上点T处，求线段CT长度的最大值与最小值之和．参考答案1.B2.A3.56°4.5.15.(1)由题意可得AF＝AD＝10 cm，在Rt△ABF中，AB＝8 cm，AF＝10 cm，∴BF＝6 cm.∴FC＝BC－BF＝10－6＝4(cm)．（2）由题意可得EF＝DE，可设EF的长为x，则在Rt△EFC中，(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5，即EF的长为5 cm.6.(1)证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，∴AE＝AB＝10，AE2＝102＝100.又∵AD2＋DE2＝82＋62＝100，∴AD2＋DE2＝AE2.∴△ADE是直角三角形，且∠D＝90°.又∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．（2）设BF＝x，则EF＝BF＝x，EC＝CD－DE＝10－6＝4(cm)，FC＝BC－BF＝8－x，在Rt△EFC中，EC2＋FC2＝EF2，即42＋(8－x)2＝x2.解得x＝5.故BF＝5 cm.(3)在Rt△ABF中，由勾股定理得AB2＋BF2＝AF2，∵AB＝10 cm，BF＝5 cm，∴AF＝102＋52＝55(cm)．7．(1)如图，点B的坐标为(3，4)．∵AB＝BD＝3，∴△ABD是等腰直角三角形．∴∠BAD＝45°.∴∠DAE＝∠BAD＝45°.∴E在y轴上．AE＝AB＝BD＝3，∴四边形ABDE是正方形，OE＝1.∴点E的坐标为(0，1)．（2）点E能恰好落在x轴上．理由如下：∵四边形OABC为矩形，∴BC＝OA＝4，∠AOC＝∠DCO＝90°.由折叠的性质可得：DE＝BD＝OA－CD＝4－1＝3，AE＝AB＝OC＝m. 假设点E恰好落在x轴上，在Rt△CDE中，由勾股定理可得EC＝DE2－CD2＝32－12＝2 2.则有OE＝OC－CE＝m－2 2.在Rt△AOE中，OA2＋OE2＝AE2.即42＋(m－22)2＝m2.解得m＝3 2.8.(1)周长为2×(10＋8)＝36.(2)①∵四边形ABCD是矩形，由折叠对称性得AF＝AD＝10，FE＝DE.在Rt△ABF中，由勾股定理得BF＝6，∴FC ＝4.在Rt △ECF 中，42＋(8－DE)2＝EF 2，解得DE ＝5.②分三种情形讨论：若AP ＝AF ，∵AB ⊥PF ，∴PB ＝BF ＝6；若PF ＝AF ，则PB ＋6＝10.解得PB ＝4；若AP ＝PF ，在Rt △APB 中，AP 2＝PB 2＋AB 2，设PB ＝x ，则(x ＋6)2－x 2＝82.解得x ＝73. ∴PB ＝73. 综合得PB ＝6或4或73. （3）当点N 与C 重合时，CT 取最大值是8，当点M 与A 重合时，CT 取最小值为4，所以线段CT 长度的最大值与最小值之和为12.。

专题01特殊平行四边形中的折叠问题全梳理目录【方法归纳】 (1)【考法一、三角形翻折问题】 (1)【考法二、四边形翻折问题】 (16)【课后练习】 (28)【方法归纳】1.折叠的基本性质：翻折前后对应的边与角相等；2.对于翻折都不确定的情况，注意分类讨论，避免漏掉解；3.方程思想：灵活设未知数，通过勾股定理建立方程，解出答案4.综合性：把折叠性质与四边形性质相结合，建立边角之间的关系。

【考法一、矩形翻折问题】例．如图，在矩形OABC 中8AB =，4BC =，点D 为对角线OB 中点，点E 在OC 所在的直线上运动，连结DE ，把ODE 沿DE 翻折，点O 的对应点为点F ，连结BF ．(1)当点F 在OC 下方时（如图1），求证：DE BF ∥．(2)当点F 落在矩形的对称轴上时，求EF 的长．(3)是否存在点E ，使得以D ，E ，F ，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求OE 的长；若不存在，请说明理由．当四边形△中，在Rt ABO222=+=OB AB AO8BC OC⊥∴∥，且D为OBDM BC中位线，DM∴为OCBOE EF BD DO ∴==，，25OE OD ∴==；如图，当四边形DEBF 为平行四边形时，DF OD BE ∴=，25BE ∴=，在Rt BEC △中，EC =826OE ∴=-=；DF OD BD DF == ，25BE OD ∴==，在Rt BCE 中，2CE BE =-在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，现将纸片折叠，点D 的对应点记为点P ，折痕为EF （点E 、F 是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．【初步思考】（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）当点P与点A重合时，DEF∠=_____︒，当点E与点A重合时，DEF∠=______︒；【深入探究】（2）若点P落在矩形ABCD的内部（如图②），且点E、F分别在AD、DC边上，AP的最小值是______；【拓展延伸】（3）若点F与点C重合，点E在AD上，射线BA与射线FP交于点M（如图③）在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段AM与线段DE的长度相等？若存在，请求出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）90；45（2）2（3）存在某一情况，使得线段AM与线段DE的长度相等，线段AE的长度为65或4211【分析】（1）当点P与点A重合时，画出图形可得结论；当点E与点A重合时，则EF平分DAB∠，即可得出答案；（2）当F与C重合，点P在对角线AC上时，AP有最小值，根据折叠的性质求8CD PC==，由勾股定理求10AC=，即可得出结果；（3）分两种情况根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【详解】解：（1）四边形ABCD是矩形，90DAB D∴∠=∠=︒，当点P与点A重合时，EF是AD的中垂线，90DEF∴∠=︒，当点E与点A重合时，如图，则EF平分DAB∠，==，则AF=设DF PF x当A，P，F在一直线上时，当x最大为8时，AP最小值为四边形ABCD是矩形，A ADC B∴∠=∠=∠=90∠由折叠的性质得：EPM ，AM DE=∴=，AM EP四边形ABCD是矩形，∴∠=∠=∠=︒，DAM ADC B90∠=∠由折叠的性质得：EPC ADC ∴∠=∠=︒，GAM GPE90变式2．【问题情境】折纸操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘，下面是折纸过程．【动手操作】步骤1：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，展平纸片；步骤2：点M 为边AD 上任意一点（与点A ，D 不重合），ABM 沿BM 折叠得到A BM '△，折痕BM 交EF 于点N ．【问题探究】（1）如图1，当点A 的对称点A '落在EF 上时，连接AN ．求证：四边形ANA M '为菱形；（2）已知2BC AB =，继续对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合，折痕GH 与EF 交于点O ．将ABM 沿BM 折叠，连接MO ，若点A 的对称点A '恰好落在线段MO 上，此时2AM =．①尺规作图：请在图2中用直尺和圆规，作点A 的对称点A '（保留作图痕迹，不写作法）；②求AB 的长度；【拓展迁移】如图3，在矩形纸片ABCD 的边AB 上取一点P ，折叠纸片，使P ，B 两点重合，展平纸片，得到折痕EF ；点B '为EF 上任意一点（与点E ，F 不重合），折叠纸片使B ，B '两点重合，得到折痕l 及点P 的对应点P '，折痕l 交EF 于点K ，展平纸片，连接BP '，KP '．（3）猜想P B K ∠'与BC P '∠的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②6AB =；（3）3P BC BP K ''∠∠＝，理由见解析【分析】（1）根据折叠可得出NA NA '=，MA MA '=，AMB A MB '∠=∠，，证明AD EF ∥，利用平行线的性质得出AMB MNA '∠=∠，则A MB MNA ''∠=∠，利用等角对等边得出MA NA ''=，即可得证；（2）①以M 为圆心，MA 为半径画弧交MO 于A '即可；②利用折叠的性质，矩形的判定与性质可得出2BH AB A B AG OG '====，证明()HL OA B OHB ' ≌，得出OA OH OG '==，在Rt MGO △中，根据勾股定理，可求出OG ，进而求出AB ；（3）连接PK ，BK ，延长BK 交P B ''于点M ，可证明EB B MBB ''≌ ，得出BE B M '=，90FEB BMB '∠=∠=︒，由折叠可得BK PK P K B K ''===，利用等边对等角和三线合一的性质可得出P BK BP K ''∠=∠，KBB KB B ''∠=∠，MB MP ''=，利用线段垂直平分线的性质BP BB ''=，利用三线合一性质可得出P BK KBB ''∠=∠，则P BK BP K KBB KB B ''''∠=∠=∠=∠，由（1）中BC EF ∥，可得出B BC KB B ''∠=∠，即可得证．【详解】（1）证明：连接AA '，∵ABM 沿BM 折叠，得到A BM '△，∴BM 垂直平分AA '，∴NA NA '=，MA MA '=，AMB A MB '∠=∠，由折叠可知：AEF BEF ∠=∠，∵180AEF BEF ∠+∠=︒，∴90BEF ∠=︒，∵四边形ABCD 为矩形，∴90DAB ∠=︒，∴90BEF DAB ∠=∠=︒，∴AD EF ∥，∴AMB MNA '∠=∠，∴A MB MNA ''∠=∠，∴MA NA ''=，∴MA NA NA MA ''===，∴四边形ANA M '为菱形；点A'即为所求，解：连接BO，由折叠可知：AB A B'=，MA 由（1）得90∠=∠=︒GHB HGA∵l为折痕，∴P B B PBB'''∠=∠，BP B P''=，l ∴KP KP'=，=，KB KB'∴KBB KB B''∠=∠，∵B B BB''=，∴BE B M '=，90FEB BMB '∠=∠=︒，由折叠可知：KP KB =，EP EB =，90FEB ∠=︒，∴KP KB '=，KP KB ''=∴P BK BP K ''∠=∠，MB MP ''=∴BP BB ''=，∴P BK BP K KBB KB B ''''∠=∠=∠=∠，由（1）可知BC EF ∥，∴B BC KB B ''∠=∠，∴3P BC BP K ''∠=∠．【点睛】本题考查了矩形与折叠，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．变式3．如图1，在矩形ABCD 中，点E 是边AB 上的一点，连接DE ．(1)若DE 平分ADC ∠，点G 是CD 上的一点，连接EC ，EG ，且EC EG =．过点C 作CQ EG⊥于Q ，CQ 延长线交ED 于H ，过点H 作HP CD ⊥于P ，如图．①填空：AED △的形状是______三角形；②求证：PHC BEC△△≌(2)将图1的矩形ABCD 画在纸上，若DE 平分ADC ∠，沿过点E 的直线折叠，点C 恰好落在AD 上的点C '处，点B 落在点B '处，得到折痕EF ，B C ''交AB 于点M ，如图．求证：MC ME '=．(3)如图，延长DE 交CB 的延长线于点K 使得AB BK =，此时恰好BE BC =，连接AC 交DK 于点J ，连接BJ ．请证明：KJ AJ BJ >+．【答案】(1)①等腰直角；②见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）①根据矩形的性质和角平分线的性质可得45AED ADE ∠=∠=︒，进而得出结果；②可证得BCE PCH ∠=∠，EC HC =，90HPC B ︒∠=∠=，进而得出结论；（2）连接C E '，可证得Rt Rt EC A C EB ''' ≌，可得C EA EC B '''∠=∠，根据等角对等边即可得出结论；（3）在线段EK 上取点I ，使得KI AJ =，连接BI ，可证KBE ABC ≌△△，得BKE BAC ∠=∠，在证KBI ABJ ≌△△，得KBI ABJ ∠=∠，90IBJ KBA ︒∠=∠=，得出IJ BJ >，进一步得出结论．【详解】（1）① 四边形ABCD 是矩形，∴90A ADC ∠=∠=︒，DE 平分ADC ∠，∴1452ADE ADC ∠=∠=︒，∴9045AED ADE ∠=︒-∠=︒，∴AED ADE ∠=∠，∴AE DE =，∴AED △等腰直角三角形，故答案为：等腰直角②证明：如图，过点E 作EW CD ⊥于W ．EC EG = ，EGC ECG ∴∠=∠，CH EG ⊥ ，90HCP EGC ∴∠+∠=︒，90BCE ECG ∠︒∠+= ，BCE PCH ∴∠=∠，45EDW DEW ∠︒∠== ，45EHC EDW PCH PCH ∴∠=∠︒+∠=+∠，DEC DEW CEW ∠=∠+∠，EW BC ∥，BCE CEW PCH ∴∠=∠=∠，DEC EHC ∴∠=∠，EC HC ∴=，90HPC B ∠=∠=︒PHC BEC ∴△△≌．（2）证明：如图，连接C E '，由（1）知，AED △为等腰直角三角形，AD AE ∴=，四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴=，90EAC B '∠=∠=︒，由折叠知，B C BC ''=，B B '∠=∠，AE B C ''∴=，EAC B ''∠=∠，又EC C E ''=，在Rt EC A '△和Rt C EB ''△中，EC C E ''=，AE B C ''=，∴Rt Rt EC A C EB ''' ≌，C EA EC B '''∴∠=∠，MC ME '∴=．（3）如图，在线段EK 上取点I ，使得KI AJ =，连接BI ，在AJB 与KIB △中，BK AB =，ABC ABK ∠=∠，BE BC =，KBE ABC ∴△△≌，BKE BAC ∴∠=∠．KI AJ = ，BK AB =，BKE BAC ∠=∠，KBI ABJ ∴△△≌，KBI ABJ ∴∠=∠，90IBJ IBA ABJ IBA KBI KBA ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，IBJ ∴△为直角三角形，IJ BJ ∴>，KJ AJ BJ ∴>+．【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，准确添加常用辅助线，构造特殊三角形和证明全等三角形是解本题的关键。

小专题(一) 矩形中的折叠问题【例】(连云港中考)在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E.将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F.(1)求证：四边形BFDE为平行四边形；(2)若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．【思路点拨】(1)证△ABE≌△CDF，推出AE＝CF，求出DE＝BF，DE∥BF，根据平行四边形判定推出即可；(2)求出∠ABE＝30°，根据直角三角形性质求出AE、BE，即可求出答案．【方法归纳】解决有关矩形的折叠问题时，通常方法是利用根据矩形的性质、折叠的对称性及勾股定理求解．1．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为( )A．12 B．10 C．8 D．62．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＝60°.现沿直线GE将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则图中与∠BEG相等的角的个数为( )A．5个 B．4个 C．3个 D．2个3．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数等于________．4．把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB＝3 cm，BC＝5 cm，则重叠部分△DEF的面积是________cm2.5．如图，折叠矩形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC＝10 cm，AB＝8 cm，求：(1)FC的长；(2)EF的长．6．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF，且AB＝10 cm，AD＝8 cm，DE＝6 cm.(1)求证：平行四边形ABCD是矩形；(2)求BF的长；(3)求折痕AF长．7．将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m＞0)，点D(m，1)在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E.(1)当m＝3时，求点B的坐标和点E的坐标；(自己重新画图)(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．8．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10.(1)求矩形ABCD的周长；(2)E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处．①求DE的长；②点P是线段CB延长线上的点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的长．(3)M是AD上的动点，在DC上存在点N，使△MDN沿折痕MN折叠，点D落在BC边上点T处，求线段CT长度的最大值与最小值之和．参考答案【例】(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝CD ，AB ∥CD. ∴∠ABD ＝∠CDB.由折叠的性质可得：∠ABE ＝∠EBD ＝12∠ABD ，∠CDF ＝12∠CDB ，∴∠ABE ＝∠CDF.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠C ，AB ＝CD ，∠ABE ＝∠CDF ，∴△ABE ≌△CDF(ASA)．∴AE ＝CF.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC. ∴DE ＝BF ，DE ∥BF ，∴四边形BFDE 为平行四边形． （2）∵四边形BFDE 为菱形， ∴BE ＝ED ，∠EBD ＝∠FBD ＝∠ABE. ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC ，∠ABC ＝90°. ∴∠ABE ＝30°.∵∠A ＝90°，AB ＝2，设AE ＝x ，BE ＝2x. 根据勾股定理得AB ＝3x. ∴x ＝233，即AE ＝233.BE ＝433.∴BC ＝AD ＝AE ＋ED ＝AE ＋BE ＝233＋433＝2 3.针对训练1.B2.A3.56°4.5.15.(1)由题意可得AF ＝AD ＝10 cm ， 在Rt △ABF 中，AB ＝8 cm ， ∴BF ＝6 cm.∴FC ＝BC －BF ＝10－6＝4(cm)．（2）由题意可得EF ＝DE ，可设DE 的长为x ，则在Rt △EFC 中，(8－x)2＋42＝x 2， 解得x ＝5，即EF 的长为5 cm.6.(1)证明：∵把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边上，∴AE ＝AB ＝10，AE 2＝102＝100.又∵AD 2＋DE 2＝82＋62＝100，∴AD 2＋DE 2＝AE 2.∴△ADE 是直角三角形，且∠D ＝90°. 又∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴平行四边形ABCD 是矩形．（2）设BF ＝x ，则EF ＝BF ＝x ，EC ＝CD －DE ＝10－6＝4(cm)，FC ＝BC －BF ＝8－x ，在Rt △EFC 中，EC 2＋FC 2＝EF 2，即42＋(8－x)2＝x 2， 解得x ＝5. 故BF ＝5 cm.（3）在Rt △ABF 中，由勾股定理得AB 2＋BF 2＝AF 2. ∵AB ＝10 cm ，BF ＝5 cm ，∴AF ＝102＋52＝55(cm)．7.（1）如图，点B 的坐标为(3，4)．∵AB ＝BD ＝3，∴△ABD 是等腰直角三角形．∴∠BAD ＝45°.则∠DAE ＝∠BAD ＝45°.则E 在y 轴上．AE ＝AB ＝BD ＝3， ∴四边形ABDE 是正方形，OE ＝1.则点E 的坐标为(0，1)． （2）点E 能恰好落在x 轴上．理由如下：∵四边形OABC 为矩形，∴BC ＝OA ＝4，∠AOC ＝∠DCE ＝90°. 由折叠的性质可得：DE ＝BD ＝OA －CD ＝4－1＝3，AE ＝AB ＝OC ＝m. 假设点E 恰好落在x 轴上，在Rt △CDE 中，由勾股定理可得EC ＝DE 2－CD 2＝32－12＝2 2. 则有OE ＝OC －CE ＝m －2 2.在Rt △AOE 中，OA 2＋OE 2＝AE 2.即42＋(m －22)2＝m 2，解得m ＝3 2. 8.(1)周长为2×(10＋8)＝36.(2)①∵四边形ABCD 是矩形，由折叠对称性得AF ＝AD ＝10，FE ＝DE. 在Rt △ABF 中，由勾股定理得BF ＝6，∴FC ＝4.在Rt △ECF 中，42＋(8－DE)2＝EF 2，解得DE ＝5.②分三种情形讨论：若AP ＝AF ，∵AB ⊥PF ，∴PB ＝BF ＝6； 若PF ＝AF ，则PB ＋6＝10，解得PB ＝4；若AP ＝PF ，在Rt △APB 中，AP 2＝PB 2＋AB 2，解得PB ＝73.综合得PB ＝6或4或73.（3）当点N 与C 重合时，CT 取最大值是8， 当点M 与A 重合时，CT 取最小值为4，所以线段CT 长度的最大值与最小值之和为12.。

第一章特殊平行四边形特殊平行四边形的折叠问题▶类型一菱形中的折叠问题1.对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图1-ZT-1所示,O为对角线的交点,过点O折叠菱形,使B,B'两点重合,MN是折痕.若B'M=1,则CN的长为()图1-ZT-1A.7B.6C.5D.42.如图1-ZT-2,将菱形ABCD折叠,使点B落在AD边上的点F处,折痕为CE.若∠D=70°,则∠AEF=°.图1-ZT-23.如图1-ZT-3,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,将菱形折叠,使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与点B,D重合),折痕为EF,若DG=2,BG=6,则BE的长为.图1-ZT-3▶类型二矩形中的折叠问题4.[2020·枣庄]如图1-ZT-4,在矩形纸片ABCD中,AB=3,点E在边BC上,将△ABE沿直线AE 折叠,点B恰好落在对角线AC上的点F处,若∠EAC=∠ECA,则AC的长是()图1-ZT-4A.3√3B.4C.5D.65.[2020·青岛]如图1-ZT-5,将矩形ABCD折叠,使点C和点A重合,折痕为EF,EF与AC交于点O.若AE=5,BF=3,则AO的长为()图1-ZT-5A.√5B.32√5C.2√5D.4√56.[2020·衢州]如图1-ZT-6,把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠,得到等腰直角三角形BEF,若BC=1,则AB的长度为()图1-ZT-6A.√2B.√2+12C.√5+12D.437.如图1-ZT-7,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,E为AD的中点,F为AB上一点,将△AEF沿EF 折叠后,点A恰好落到CF上的点G处,求折痕EF的长.图1-ZT-7▶类型三正方形中的折叠问题8.[2020·广东]如图1-ZT-8,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在边AB,CD上,∠EFD=60°.若将四边形EBCF沿EF折叠,点B恰好落在AD边上的点B'处,则BE的长度为()图1-ZT-8A.1B.√2C.√3D.29.如图1-ZT-9,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点A的坐标为(0,2),E是线段BC上一点,且∠AEB=67.5°,沿AE折叠正方形后点B落在点F处,那么点F的坐标为.图1-ZT-9参考答案1.D [解析] 连接AC ,BD ,如图.∵O 为菱形ABCD 对角线的交点,∴OC=12AC=3,OB=OD=12BD=4,∠COD=90°.在Rt △COD 中,CD=√32+42=5. ∵AB ∥CD ,∴∠MBO=∠NDO. 又∵∠BOM=∠DON ,OB=OD , ∴△OBM ≌△ODN ,∴DN=BM.∵过点O 折叠菱形ABCD ,使B ,B'两点重合,MN 是折痕, ∴BM=B'M=1,∴DN=1, ∴CN=CD-DN=5-1=4.故选D .2.30 [解析] ∵四边形ABCD 是菱形,∠D=70°, ∴∠B=70°,∠A=110°.∵将菱形ABCD 折叠,使点B 落在AD 边上的点F 处, ∴∠B=∠EFC=70°,CF=BC=CD , 则∠CFD=∠D=70°, ∴∠AFE=180°-70°-70°=40°,∴∠AEF=180°-∠A-∠AFE=30°.故答案为30. 3.2.8[解析] 如图,过点E 作EH ⊥BD 于点H.由折叠的性质可知EG=EA. 由题意得BD=DG+BG=8. ∵四边形ABCD 是菱形,∴AD=AB ,∠ABD=∠CBD=12∠ABC=60°,∴△ABD 为等边三角形,∠BEH=30°, ∴AB=BD=8.设BE=x ,则EG=AE=8-x.在Rt △EHB 中,BH=12x ,EH=√BE 2-BH 2=√32x.在Rt △EHG 中,EG 2=EH 2+GH 2, 即(8-x )2=(√32x )2+(6-12x )2,解得x=2.8,即BE=2.8. 故答案为2.8.4.D [解析] ∵将△ABE 沿直线AE 折叠,点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处, ∴AF=AB ,∠AFE=∠B=90°,∴EF ⊥AC , ∵∠EAC=∠ECA ,∴AE=CE ,∴AF=CF , ∴AC=2AB=6. 故选D .5.C [解析] ∵四边形ABCD 是矩形,∴AD ∥BC ,∴∠EFC=∠AEF . 由折叠得∠EFC=∠AFE ,∴∠AFE=∠AEF ,∴AE=AF=5. 由折叠得FC=AF ,OA=OC ,∴BC=3+5=8. 在Rt △ABF 中,AB=√AF 2-BF 2=√52-32=4. 在Rt △ABC 中,AC=√AB 2+BC 2=√42+82=4√5, ∴OA=OC=2√5.故选C .6.A [解析] 由折叠补全图形如图所示.∵四边形ABCD 是矩形,∴∠ADC=∠A=90°,AD=BC=1,CD=AB. 由第一次折叠得∠ADE=12∠ADC=45°, ∴∠AED=∠ADE=45°, ∴AE=AD=1.在Rt △ADE 中,根据勾股定理,得DE=√2AD=√2. 由第二次折叠知CD=DE=√2, ∴AB=√2. 故选A .7.解:∵四边形ABCD 是矩形,∴AB=CD=6,BC=AD=8,∠A=∠D=90°.如图,连接CE.∵E 为AD 的中点, ∴AE=DE=4.由折叠可得AE=GE ,∠EGF=∠A=90°, ∴DE=GE.又∵∠D=90°,∴∠EGC=∠D=90°. 又∵CE=CE.∴Rt △CDE ≌Rt △CGE (HL), ∴CD=CG=6.设AF=x ,则GF=x ,BF=6-x ,则CF=6+x. 在Rt △BCF 中,BF 2+BC 2=CF 2, 即(6-x )2+82=(6+x )2,解得x=83,∴AF=83.在Rt △AEF 中,EF=√AE 2+AF 2=√42+(83) 2=43√13. 8.D [解析] ∵四边形ABCD 是正方形, ∴AB ∥CD ,∠A=90°, ∴∠EFD=∠BEF=60°.∵将四边形EBCF 沿EF 折叠,点B 恰好落在AD 边上, ∴∠BEF=∠FEB'=60°,BE=B'E , ∴∠AEB'=180°-∠BEF-∠FEB'=60°, ∴∠AB'E=30°,∴B'E=2AE. 设BE=x ,则B'E=x ,AE=3-x ,∴2(3-x)=x,解得x=2.故选D.9.(-√2,2-√2)[解析] 如图,过点F作FD⊥CO于点D,FG⊥AO于点G.∵∠AEB=67.5°,沿AE折叠后点B落在点F处,∴∠BAE=∠EAF=22.5°,AF=AB=2,∴∠F AG=45°,∴FG=AG=√2,∴GO=2-√2,∴点F的坐标为(-√2,2-√2).故答案为(-√2,2-√2).。

北师版数学九年级上册 勾股定理巧解矩形问题勾股定理是一位多才多艺的艺术大师，应矩形王子的邀请，今天这位大师将在矩形折叠梦工厂献艺，请粉丝们抓紧到场观看，演出现在开始了：第一曲：折叠矩形一边到矩形的一条对角线上，且重合点是矩形对角线的中点，探求折痕的长例1 如图1，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3，则折痕CE 的长为( ) A.23 B. 233 C. 3 D.6解析：因为沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，所以△ＢＣＥ≌△ＯＣＥ，所以ＢＣ＝ＯＣ，ＢＥ＝ＯＥ，∠ＣＢＥ＝∠ＣＯＥ＝９０°.因为点O 是矩形ABCD 的中心，ＢＣ＝３，所以ＡＣ＝２ＯＡ＝２ＯＣ＝２ＢＣ＝６．在直角三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝222236-=-BC AC ＝３3.设ＢＥ＝ＯＥ＝ｘ，则ＡＥ＝３3－ｘ，在直角三角形ＡＯＥ中，由勾股定理得：222OE AO AE +=，所以2223)33(+=-x x ，解得ｘ＝3，所以在直角三角形ＢＣＥ中，由勾股定理得：ＣＥ＝22223)3(+=+BE BC ＝23，所以选择Ａ．第二曲：折叠矩形一边到矩形的一条对角线上，探求矩形的另一边长例２如图２，矩形纸 片ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF=3，则AB 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6解析：因为折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF=3，所以△ＡＢＥ≌△ＡＦＥ，所以ＢＥ＝ＥＦ＝３，ＡＢ＝ＡＦ，∠ＡＢＥ＝∠ＡＦＥ＝９０°.因为ＡＤ＝８＝ＢＣ，所以ＥＣ＝５．在直角三角形ＥＦＣ中，ＦＣ＝222235-=-EF EC ＝４.设ＡＢ＝ＡＦ＝ｘ，则ＡＣ＝４+ｘ，在直角三角形ＡＢＣ中，由勾股定理得：222BC AB AC +=，所以2228)4(+=+x x ，解得ｘ＝６，所以选择Ｄ．第三曲：折叠矩形一边到矩形的一条对角线上，探求矩形的对角线长例３ 如图３，矩形纸片ABCD 中，AB ＝2cm ，点E 在BC 上，且AE ＝EC.若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好与AC 上的点'B 重合，则AC ＝ cm.解析：因为沿AE 折叠，点B 恰好与AC 上的点'B 重合，所以△ＡＢＥ≌△Ａ'B Ｅ，所以ＡＢ＝Ａ'B ，∠ＡＢＥ＝∠Ａ'B Ｅ＝９０°.在直角三角形Ａ'B Ｅ中，Ａ'B ＝22B E AE '-.在直角三角形Ｅ'B Ｃ中，由勾股定理得：Ｃ'B ＝22B E EC '-.因为AE ＝EC ，所以Ａ'B ＝Ｃ'B ＝ＡＢ＝２，所以ＡＣ＝２Ａ'B ＝４.所以应该填４．第四曲：折叠矩形让对角线的顶点重合，探求折痕的长例４ 如图４，将长8cm ，宽4m 的矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与C 重合，则折痕EF 的长为_____cm.解析：因为将长8cm ，宽4m 的矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与C 重合，由折叠的性质知道：ＤＦ＝ＦD '，ＡＤ＝D 'Ｃ，∠ＡＤＦ＝∠ＦD 'Ｃ＝９０°.在直角三角形ＦD 'Ｃ中，由勾股定理得：222C D D F FC '+'=，设ＤＦ＝ＦD '＝ｘ，所以2224)8(+=-x x ，解得ｘ＝３.所以ＦＣ＝５．我们易证ＦＣ＝ＥＣ＝５.过点Ｅ作ＥＧ⊥ＦＣ，垂足Ｇ，则ＥＧ＝ＢＣ＝４，在直角三角形ＥＧＣ中，由勾股定理得：ＣＧ＝222245-=-EG EC ＝３. 所以ＦＧ＝ＦＣ－ＣＧ＝５－３＝２.在直角三角形ＥＦＧ中，由勾股定理得：ＥＦ＝222242+=+EG FG ＝２5.所以应该填２5．勾股定理的精彩献艺到此结束．希望同学们真心掌握好勾股定理与矩形联手的折叠问题．它一直是中考的小热点．要重视．。

北师大版九上第一章《矩形》题型全解讲义题型解读2-3 矩形典型题型：折叠问题【知识梳理】1.折叠问题总体解题方法：折叠性质+方程思想+勾股定理；2.折叠问题的三种题型①折叠后点的位置确定：不涉及分类讨论，只是几何证明与计算；（例1） ②折叠后点的位置不确定：涉及分类讨论；（例2）③折叠后的特殊图形的边或角位置不确定，涉及分类讨论；（例3）3.折叠问题中常见的数学典型模型---“角平分线+平行线=等腰△”；（例4、例5）由折叠性质“折叠前后的角相等”则知：折痕是角平分线，矩形对边会平行，所以在矩形中的折叠问题，常常出现这个数学典型模型的运用。

如图：4.折叠问题常见的添辅助线方法：连接对应点，则折痕垂直平分对应点的边线；（例5）【典型例题】例1.如图， 矩形ABCD 中，AB =8，BC =6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ， PE 与CD 相交于点O ，且OE =OD ，则AP 的长为__________.【思路分析】由折叠性质易证ODP ≌△OEG ，则在直角三角形BCG 中，运用方程思想及勾股定理，即可求出AP 的长； 【解题过程】∵四边形ABCD 是矩形,∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，由折叠性质得：∴EP=AP ，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，由折叠性质可得AC 是∠ECB 的角平分线，∠1=∠2；由AD//EC 可得∠1=∠3，∴∠2=∠3，AB=BC ，ABC 是等腰三角形；C BA123ED 连接对应点BD ，则折痕AC 垂直平分BDC BADP GOBCDE A在△ODP 和△OEG 中，∵∠D=∠E ，OD=OE ，∠DOP=∠EOG ，∴△ODP ≌△OEG,∴OP=OG ，PD=GE ，∴DG=EP,设AP=EP=x ，则PD=GE=6－x ，DG=x ，∴CG=8－x ，BG=8－（6－x ）=2+x,根据勾股定理得：BC 2+CG 2=BG 2 即：62+（8－x ）2=（x+2）2,解得：x=4.8∴AP=4.8.例2.如图，在矩形ABCD 中，AD=5,AB=8,点E 为射线DC 上一个动点，把△ADE 沿直线AE 折叠，当点D 的对应点F 恰好落在线段AB 的垂直平分线上时，则DE 的长为________.【思路分析】由于D 点折叠后的对应点F ，题目只交待在直线MN 上，并没告之具体位置，有可能在线段MN 上，也可能在N 的上方或在M 点的上方，故需要分情况讨论，画图便知点F 不可能在M 点的上方，所以分两种情况进行论证计算；【解题过程】分两种情况：①如图1，当点F 在矩形内部时，由题易知：AD=AF=5,AN=4,FN=3,FM=2,设DE =EF =a,EM =4−a,在Rt △EFM 中，a 2=(4−a)2+22，解得a =52；②如图2，当F 在矩形外部时，由题易知：AD=AF=5,AN=4,FN=3,FM=8,设DE =EF =b,EM =b −4,在Rt △EFM 中，b 2=(b −4)2+82，解得b =10；综上所述，DE 的长为52 或10.例3.如图，在△ABC 中，∠A=90°,AB=AC=2,将△ABC 折叠，使点B 落在边AC 上点D(不与点A 重合)处，折痕为PQ,当重叠部分△PQD 为等腰三角形时，则AD 的长为___________【思路分析】折叠时由于Q 、D 点的位置不确定性，所以△PQD 各边长度的不确定性，故当△PQD 为等腰三角形时，需分三种情况进行分类讨论； 【解题过程】分三种情况：①PD=DQ 时，则BP=PD=DQ=BQ,四边形BQDP 是菱形，PD//BC,BP//DQ,易得△APD 、△CDQ 是等腰直角三角形，则PD=DQ=CD=√2AD ，则AC=AD+CD=AD+√2AD=2,∴AD=2√2-2；②DQ=PQ 时，BQ=PQ,∴∠BPQ=∠B=45°,△BPQ 是等腰直角三角形，此时点B 与点C 重合，∴AD=AC=2； ③PD=PQ 时，PQ=BP,∴∠BQP=∠B=45°,△BPQ 是等腰直角三角形，此时点B 与点A 重合，不符题意，舍去；图2图1N MACBDEFA CB DEFFEM DB N CA综上所述，AD 的长为2或2√2-2.例4.现有一张矩形纸片 ABCD （如图），其中 AB=4cm ，BC=6cm ，点E 是BC 的中点．将纸片沿直线AE 折叠，点B 落在四边形AECD 内，记为点E ′，连接E ′C ，则线段 E ′C=____．【思路分析】由于A 、B 、E 的位置是确定的，故点E`的位置也是确定的，所以不存在分类讨论，只需要运用几何知识进行证明与计算得出B`C 的长即可。

北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形专题训练矩形与折叠选择题如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE与AD相交于点F，∠EDF＝38°，则∠DBE的度数是()A. 25°B. 26°C. 27°D. 38°【答案】B【解析】由折叠的性质易得∠E=∠C=90°，∠EBD=∠CBD，由AD∥BC可得∠FDB=∠CBD，由此可得∠EBD=∠FDB，由∠EDF=38°可得∠EFD=52°，这样结合∠EFD=∠EBD+∠FBD，即可得到∠DBE=26°.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠C=90°，∴∠FDB=∠CBD，∵△EBD是由△CBD沿着BD折叠形成的，∴∠E=∠C=90°，∠EBD=∠CBD，∴∠EFD=180°-90°-∠EDF=90°-38°=52°，∠EBD=∠FDB，又∵∠EFD=∠EBD+∠FDB，∴∠EBD=∠EFD=26°.故选B.填空题将一矩形纸条按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2=____°．【答案】110．【解析】试题分析：∵AB∥CD，∴∠3=∠1=40°，∠2+∠4=180°，∵∠4=∠5，∴∠4=∠5==70°，∴∠2=110°，故答案为：110°．选择题如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，E是AB的中点，F 是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的最小值是()A. 5B. 6C.D. －1【答案】D【解析】如下图，连接CE，由已知易得BE=AE=1，BC=AD=3，由此在Rt △BCE中易得CE=，由折叠的性质可知A′E=AE=1，这样由三角形三边间的关系可知，当A′落在CE上时，A′C最短，此时A′C=.如下图，连接CE，∵点E是AB的中点，AB=2，∴BE=AE=1，∵在矩形ABCD中，∠B=90°，BC=AD=3，∴CE=，∵点A′是由点A沿EF折叠得到的，∴A′E=AE=1，∴由三角形三边间的关系可知：当点A′刚好落在CE上时，A′C最短，∴A′C最短=CE-A′E=.故选D.选择题如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是（）A. 12厘米B. 16厘米C. 20厘米D. 28厘米【答案】C【解析】∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=90°，∴∠HEF=90°，同理四边形EFGH的其它内角都是90°，∴四边形EFGH是矩形．∴EH=FG（矩形的对边相等）；又∵∠1+∠4=90°，∠4+∠5=90°，∴∠1=∠5（等量代换），同理∠5=∠7=∠8，∴∠1=∠8，∴Rt△AHE≌Rt△CFG，∴AH=CF=FN，又∵HD=HN，∴AD=HF，在Rt△HEF中，EH=3，EF=4，根据勾股定理得HF=，∴HF=20，∴AD=20，故选C填空题如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当△为直角三角形时，BE的长为.【答案】3或。