向量证明四点共面

试题研究２０２４年１月上半月㊀㊀㊀四点共面,链接教材,变式拓展以一道高考题为例◉江苏省张家港市沙洲中学㊀陶㊀贤㊀㊀空间中的四点共面的判断与证明是空间向量与立体几何部分的一个基本知识点,也是一大难点,历年高考数学试题中较少涉及,没有引起大家的高度重视．而在２０２０年高考数学全国卷Ⅲ的文科和理科试题中,都出现了空间四点共面的证明问题,也充分说明了该部分知识的基础性与重要性．借助空间中四点共面的判断与证明,很好地考查考生的数形结合思想㊁空间想象能力与推理论证能力,以及直观想象㊁逻辑推理等数学核心素养．１真题呈现图１高考真题㊀(２０２０年高考数学全国卷Ⅲ理科第１９题)如图１,在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,点E ,F 分别在棱D D １,B B １上,且２D E ＝E D １,B F ＝２F B １．(１)证明:点C １在平面A E F 内．(２)若A B ＝２,A D ＝１,A A １＝３,求二面角A ＧE F ＧA １的正弦值．此题以长方体为问题背景,通过相应线段的长度关系,证明点在平面内(其实就是证明四点共面)以及求解二面角的平面角的正弦值,改变以往传统的证明直线与平面之间的平行或垂直关系,令人耳目一新．图２２问题破解(Ⅰ)第(１)问的证法如下:证法１:几何法．如图２,在棱C C １上取点G ,使得C １G ＝１２C G ,连接D G ,F G ,C １E ,C １F ．在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,A D ʊBC 且AD ＝B C ,B B １ʊC C １且B B １＝C C １．由C １G ＝１２C G ,B F ＝２F B １,可得C G ＝２３C C １＝２３B B １＝B F ,所以四边形B C G F 为平行四边形,则G F ʊB C 且G F ＝B C ．又B C ʊA D 且B C ＝A D ,所以A D ʊG F 且A D ＝G F ,即四边形A F D G 是平行四边形,则A F ʊD G 且A F ＝D G ．同理可证,四边形D E C １G 为平行四边形,则C １E ʊD G 且C １E ＝D G ．所以C １E ʊA F 且C １E ＝A F ,则四边形A E C １F为平行四边形．因此,点C １在平面A E F 内．证法２:基底法１共面向量定理．在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,B B １ʊC C １ʊD D １且B B １＝C C １＝D D １,结合２DE ＝E D １,BF ＝２F B １,可得E D １＝B F ．由A C １ң＝A C ң＋C C １ң＝A B ң＋A D ң＋D E ң＋E D １ң＝A B ң＋A D ң＋D E ң＋B F ң＝(A B ң＋B F ң)＋(A D ң＋D E ң)＝A F ң＋A E ң,知A ,E ,F ,C １四点共面,所以点C １在平面A E F 内．证法３:基底法２共面向量定理的推论．设D １A １ң＝a ,D １C １ң＝b ,D １D ң＝c ,则D １A ң＝a ＋c ,D １E ң＝２３c ,可得c ＝３２D １E ң,于是a ＝D １A ң－３２D １E ң．由D １F ң＝D １A １ң＋A １B １ң＋B １F ң＝D １A １ң＋D １C １ң＋１３B １B ң＝D １A １ң＋D １C １ң＋１３D １D ң＝a ＋b ＋１３c ＝(D １A ң－３２D １E ң)＋D １C １ң＋１３ˑ３２D １E ң＝D １A ң＋D １C １ң－D １E ң(其中１＋１－１＝１),知A ,E ,F ,C １四点共面,所以点C １在平面A E F 内．图３证法４:坐标法．设A B ＝a ,A D ＝b ,A A １＝c ,如图３所示,以C １为坐标原点,C １D １ң的方向为x 轴正方向,建立空间直角坐标系C １Ｇx yz ．连接C １F ,则C １(０,０,０),A (a ,b ,c ),E (a ,０,２３c ),F (０,b ,１３c ),于８６２０２４年１月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀是E A ң＝(０,b ,１３c ),C １F ң＝(０,b ,１３c ),可得E A ң＝C １F ң,因此E A ʊC １F ,即A ,E ,F ,C １四点共面,所以点C １在平面A E F 内．点评:证明空间中的四点共面问题,常见的证明方法就是以上三大类 (１)利用空间几何图形的特征,借助几何法的推理与论证,通过空间问题平面化来证明;(２)利用共面向量定理或推论,借助空间向量的基底法,通过向量的线性运算与转化来证明;(３)利用空间直角坐标系的建立,借助坐标法的运算,通过向量的平行判断与转化来证明等．特别地,对于共面向量定理及其推论,是立体几何中的一个重要的定理,可以用来处理一些与之相关的问题,往往可以使问题处理得更加简捷㊁巧妙．(Ⅱ)第(２)问的解法如下:解:以C １为坐标原点,C １D １ң的方向为x 轴正方向,建立空间直角坐标系C １Ｇx yz ,则由已知可得A (２,１,３),E (２,０,２),F (０,１,１),A １(２,１,０),则A E ң＝(０,－１,－１),A F ң＝(－２,０,－２),A １E ң＝(０,－１,２),A １F ң＝(－２,０,１)．设平面A E F 的法向量为m ＝(x １,y １,z １)．由m A E ң＝０,m A F ң＝０,{得－y １－z １＝０,－２x １－２z １＝０,{取z １＝－１,得x １＝y １＝１,则m ＝(１,１,－１)．设平面A １E F 的法向量为n ＝(x ２,y ２,z ２)．由n A １E ң＝０,n A １F ң＝０,{得－y ２＋２z ２＝０,－２x ２＋z ２＝０,{取z ２＝２,得x ２＝１,y ２＝４,则n ＝(１,４,２)．所以c o s ‹m ,n ›＝m n |m ||n |＝１＋４－２３ˑ２１＝７７．设二面角A ＧE F ＧA １的平面角为θ,则|c o s θ|＝７７,可得s i n θ＝１－c o s ２θ＝４２７．因此,二面角A ＧE F ＧA １的正弦值为４２７．点评:坐标法是求解二面角的平面角的三角函数值问题中一个比较常见的方法,借助空间直角坐标系的建立,以及对应的点㊁向量的坐标的表示,结合相应两半平面的法向量的设置与确定,结合向量的数量积公式的转化与应用来确定相应的二面角的平面角问题．坐标法实现了用代数方法处理立体几何问题中的四点共面㊁线面位置关系㊁空间角㊁距离等几何推理与求解问题．３链接教材以上基于向量的四点共面的判断,其对应的共面向量定理及其推论是数学教材中的一个基本知识点,来源于教材,又服务于证明,可以很好地证明或求解与四点共面有关的数学问题．普通高中课程标准实验教科书«数学 选修２－１»(人教A 版)第８７页:结论１:共面向量定理．空间一点P 位于平面A B C 内的充要条件是存在有序实数对(x ,y ),使A P ң＝xA B ң＋y A C ң．普通高中课程标准实验教科书«数学 选修２－１»(人教A 版)第８８页思考 :结论２:共面向量定理的推论．空间任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C 满足向量关系式O P ң＝xO A ң＋y O B ң＋zO C ң(x ＋y ＋z ＝１)的点P 与点A ,B ,C 共面．共面向量定理是共线向量定理在空间中的推广与拓展,共线向量定理用来证明三点共线,共面向量定理用来证明四点共面．４变式拓展图４高考真题㊀(２０２０年高考数学全国卷Ⅲ文科第１９题)如图４,在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,点E ,F分别在棱D D １,B B １上,且２D E ＝E D １,BF ＝２F B １．证明:(１)当A B ＝B C 时,E F ʅA C ;(２)点C １在平面A E F 内．证明:(１)连接B D ,B １D １．因为A B ＝B C ,所以四边形A B C D 为正方形,故A C ʅB D ．又因为B B １ʅ平面A B C D ,于是B B １ʅA C ,而B D ,B B １Ì平面B B １D １D ,所以A C ʅ平面B B １D １D ．因为E F ÌB B １D １D ,所以E F ʅA C ．(２)可以参照上述理科真题第(１)问的证明方法．５解后反思新一轮课程改革的核心就是培育学生的核心素养,发展学生的综合能力．承载着 立德树人㊁服务选才和引导教学 功能的数学高考,应借助试题 情境 的变革,夯实基础,以教材为本并超越教材,着眼于基础知识㊁基本技能㊁基本方法的考查,特别重视对数学思想方法㊁关键能力和学科素养的考查．因而在平时的数学教学与复习中,教师应在拓展延伸中紧扣课本,链接教材,注重归类迁移能力培养,聚焦思维品质,培养关键能力,从而有效实现学生数学素养的渐进式提升．Z９６。

向量证明四点共面的方法要证明四点共面，可以使用向量的方法来证明。

假设四个点为A、B、C、D，其位置矢量分别为a、b、c、d。

首先，计算向量AB、AC和AD：AB = B - AAC = C - AAD = D - A接下来，计算向量AC和AD的叉积：n = AC × AD如果n的模长为0，即|n| = 0，则说明向量AC和AD共线，从而四点A、C、D共面。

因为共线的向量的叉积等于0。

如果n的模长不为0，即|n| ≠ 0，则说明向量AC和AD不共线，四点A、C、D不共面。

所以，通过计算向量的叉积可以判断四点是否共面。

另一种使用向量证明四点共面的方法是通过判断四个向量AB、AC、AD所张成的平行六面体的体积是否为0。

首先，计算向量AB、AC和AD，如上所述。

然后，计算向量AC和AD的叉积：n = AC × AD接下来，计算平行六面体的体积V，其中三个边向量为AB、AC和AD：V = |AB · n|其中，·表示内积运算，|AB · n| 表示向量AB与n的内积的模长。

若平行六面体的体积V等于0，则说明四点A、B、C、D共面。

因为共面的四点所张成的平行六面体的体积为0。

反之，若V不等于0，则四点A、B、C、D不共面。

另一种判断四点共面的方法是使用行列式的性质。

将四个向量AB、AC、AD组成一个矩阵：M = [AB AC AD]如果矩阵M的行列式为0，即det(M) = 0，则说明四点A、B、C、D共面，因为行列式为0表示矩阵的列向量线性相关，即存在一组非零系数使得它们的线性组合为零向量。

通过以上两种向量的方法，我们可以判断四点是否共面。

这些方法利用了向量的性质和行列式的特性，能够简便地证明四点共面的问题。

证明四点共面的方法方法一：向量法对于四点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)，D(x4,y4,z4)，若它们共面，则它们所在向量的线性组合为0向量，即λ1 * AB + λ2 * AC + λ3 * AD = 0其中，AB表示B减去A所得向量，AC表示C减去A所得向量，AD表示D减去A所得向量，λ1、λ2、λ3为实数。

将向量分量展开，得到一个由12个未知数和3个未知量构成的线性方程组，通过高斯消元法求解，若有非零解，则四点共面，否则不共面。

方法二：行列式法对于四点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)，D(x4,y4,z4)，若它们共面，则它们所在的三维空间中存在三个向量AB、AC、AD，它们的行列式为0，即x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1 = 0x4 - x1 y4 - y1 z4 - z1其中， A 表示矩阵A的行列式，即其所在行与列的元素乘积之和。

将行列式展开，得到一个以x1、y1、z1为变量的三元二次方程，求解之后判断其解的个数，若为1，则四点共面，否则不共面。

方法三：向量叉积法对于四点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)，D(x4,y4,z4)，若它们共面，则向量AB和AC的叉积与向量AD共线，即AB ×AC 与AD 共垂，或者AB ×AD 与AC 共垂，或者AC ×AD 与AB 共垂其中，×表示向量叉积，结果为另一个向量，其大小为两个向量所构成的平行四边形的面积，方向遵循右手定则（即右手四指伸直，从第一个向量转向第二个向量，则大拇指所指方向即为结果所在方向）。

将向量分量展开，得到一个由9个未知数和3个未知量构成的线性方程组，通过高斯消元法求解，若有非零解，则四点共面，否则不共面。

用向量证明四点共面用向量证明四点共面由n+m+t=1 , 得t=1-n-m ,代入op=nox+ moy +toz，得OP=n OX +mOY +(1-n-m)OZ, 整理，得OP-OZ =n(OX-OZ) +m(OY-OZ)即ZP =nZX +mZY即P、X、Y、Z 四点共面。

以上是充要条件。

2如和通过四点外的一点(空间中)与四点之间的关系来判断折四点共面A,B,C,D,4个点,与另外一点O,若OA=xOB+yOC+zOD,x+y+z=1,四点就共面3设一向量的坐标为(x,y,z)。

另外一向量的坐标为(a,b,c)。

如果(x/a)=(y/b)=(z/c)=常数，则两向量平行如果ax+by+cz=0，则两向量垂直。

答案补充三点一定共面,证第四点在该平面内用向量,另取一点O 如向量OA=ax向量OB+bx向量OC+cx向量OD，且a+b+c=1 则有四点共面答案补充方法已经很详细了呀。

4线平行线: 两条线的方向向量矢量积为0，且两条线没交点面平行线：是线平行面吧，线的方向向量和平面法向量垂直，即线的方向向量和平面法向量数量积为0 ，且线不在平面内三点共面：三点肯定是共面的，我猜你说的是三点共线吧，比如ABC 三点，证明共线，证明AB与BC的方向向量矢量积为0四点共面：比如ABCD三点证明AB,AC,AD三者满足先求AB,AC的矢量积a，再a和AD数量积为03怎样证明空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，向量OP=x向量OA+y向量OB+z向量OC且x＋y＋z＝1，则P，A，B，C四点共面简明地证明，网上的不具体，不要复制!证明：由x+y+z=1→x向量OC + y向量OC + z向量OC=向量OC，且：x向量OA+y向量OB+z向量OC=向量OP将上边两式相减得：向量OP-向量OC=x(向量OA-向量OC)+y(向量OB-向量OC)即：向量CP=x向量CA+y向量CB由x向量CA+y向量CB所表示的向量必在平面ABC内→P点必在平面ABC内。

四点共面系数和为1的定理
假设有四个点P1(x1, y1, z1)，P2(x2, y2, z2)，P3(x3, y3, z3)，P4(x4, y4, z4)。

它们共面的条件可以通过以下方式来验证：
1. 构造向量，将P1P2、P1P3和P1P4分别表示为向量A、B和C。

2. 计算混合积，计算向量A、B和C的混合积，即A·(B×C)。

3. 判断共面性，如果混合积为零，即A·(B×C) = 0，那么这
四个点P1、P2、P3和P4共面。

当这四个点共面时，可以通过平面方程来表示它们所在的平面。

平面方程的一般形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D
为平面方程的系数。

根据四点共面系数和为1的定理，如果四个点P1、P2、P3和
P4共面，那么它们所构成的平面方程的系数满足以下关系，A + B
+ C = 1。

这个定理的证明可以通过向量和线性代数的知识进行推导。

具
体证明过程较为复杂，在此不做详细展开。

需要注意的是，这个定理只适用于三维空间中的四点共面情况。

对于更高维度的情况，类似的定理可能不再成立。

总结起来，四点共面系数和为1的定理是一个几何学中的基本
定理，它表明四个点共面时，它们所构成的平面方程的系数和为1。

这个定理在计算和推导三维空间中的几何问题时具有重要的应用价值。

四点共面向量系数和为1证明
（原创版）
目录
1.引言
2.四点共面向量概念介绍
3.四点共面向量系数和为 1 的证明
4.结论
正文
1.引言
在空间几何中，四点共面向量是一个重要的概念，它是指四个空间向量共面的充分必要条件。

在解决一些几何问题时，判断四点是否共面有着重要的意义。

而四点共面向量系数和为 1 是四点共面向量的一个重要特性，本文将介绍这一特性并证明其正确性。

2.四点共面向量概念介绍
四点共面向量是指在空间几何中，四个向量 a、b、c、d 满足如下条件：其中至少有三个向量共面，即存在不全为零的实数 k1、k2、k3，使得 k1a+k2b+k3c=d。

这里需要注意的是，当四个向量中有三个向量共线时，四点共面向量系数和为 1 成立。

3.四点共面向量系数和为 1 的证明
为了证明四点共面向量系数和为 1，我们可以采用反证法。

假设四点共面向量系数和不为 1，即存在不全为零的实数 k1、k2、k3，使得
k1+k2+k3≠1。

由于 a、b、c 三个向量共面，可以找到一个向量与其中两个向量共线，不妨设为向量 a 与向量 b 共线，那么存在实数λ、μ，使得 a=λb。

将此代入 k1a+k2b+k3c=d 中，得到 k1λb+k2b+k3c=d，即 (k1λ+k2)b+k3c=d。

由于 b 与 c 不共线，所以 k1λ+k2=0，这与 k1、k2 不
全为零矛盾。

所以假设不成立，即四点共面向量系数和为 1。

4.结论
通过以上证明，我们得出结论：四点共面向量系数和为 1 成立。

证明四点共面的例题
给定四个点A、B、C、D，如何证明它们共面？
解法一：
我们可以先任意选取其中三个点A、B、C，建立它们所在平面P1，然后再判断第四个点D是否在这个平面上。

具体方法如下：
1.计算向量AB和向量AC，它们在平面P1内，因此它们的叉积AB×AC也在P1内。

2.计算向量AD，若它与AB×AC垂直，则说明D在P1上；反之，则说明D不在P1上。

解法二：
我们可以利用行列式的性质来判断四个点是否共面。

具体方法如下：
1.将四个点的坐标组成一个矩阵，如下所示：
$begin{pmatrix} x_{A} & y_{A} & z_{A} & 1 x_{B} & y_{B} & z_{B} & 1 x_{C} & y_{C} & z_{C} & 1 x_{D} & y_{D} & z_{D} & 1 end{pmatrix}$
2.计算该矩阵的行列式值，若该值为0，则说明四个点共面；反之，则说明它们不共面。

总结：
以上两种方法都能够判断四个点是否共面，但是在实际应用中，我们可以根据具体情况选择不同的方法。

若给定的四个点不在同一个
平面上，则第一种方法更为直观简便；若需要对大量的点进行共面性判断，则第二种方法更为高效。

空间中四点共面的充要条件四点共面的条件是如果有三点共线，并且第四点在这条线上，则四点共线，也一定是共面的。

四点共面纯几何证法：①要是四个点分别连成两条直线相交了，那必然共面。

②有位置关系，比如两两连成直线以后，出现了这两条直线垂直、平行等现象。

解析几何证法：假设这四个点是A、B、C、D。

（任意两点不重合）利用向量方法。

设OABC是不共面的四点，则对空间任意一点，都存在唯一的有序实数组(x,y,z)。

使得OP=xOA+yOB+zOC {OP,OA,OB,OC均表示向量}说明：若x+y+z=1，则PABC四点共面（但PABC四点共面的时候，若O在平面ABP内，则x+y+z不一定等于1，即x+y+z=1 是P.A.B.C四点共面的充分不必要条件）。

证明：1）唯一性：设另有一组实数x',y',z' 使得OP=x'OA+y'OB+z'OC。

则有xOA+yOB+zOC=x'OA+y'OB+z'OC。

∴(x-x')OA+(y-y')OB+(z-z')OC=0。

∵OA、OB、OC不共面。

∴x-x'=y-y'=z-z'=0即x=x'、y=y'、z=z'。

故实数x,y,z是唯一的。

2）若x+y+z=1 则PABC四点共面：假设OP=xOA+yOB+zOC且x+y+z=1 且PABC不共面。

那么z=1-x-y 则OP=xOA+yOB+OC-xOC-yOC。

OP=OC+xCA+yCB(CP=xCA+yCB)。

点P位于平面ABC内，与假设中的条件矛盾，故原命题成立。

要证明四点共面，可以使用以下几何方法之一：
1. 平面法向量法：
-对于给定的四个点，可以计算出它们所在平面的法向量。

-如果这四个点在同一个平面上，则它们所在平面的法向量应该相等或成比例。

-因此，通过计算并比较这四个点所在平面的法向量，可以确定它们是否共面。

2. 三角形法：
-选择任意三个点，并构建以这三个点为顶点的三角形。

-然后，将第四个点与这个三角形的三个顶点连接起来，形成一个新的三角形。

-如果这个新的三角形是一个平面内的三角形（即没有形成扭曲或重叠），则可以得出结论这四个点共面。

3. 向量法：
-将每个点表示为一个坐标向量。

-选择其中三个点，构建两个向量分别连接这三个点。

-计算这两个向量的叉乘。

-如果这两个向量的叉乘为零向量（长度为零），则可以推断这四个点共面。

以上方法中的任何一个都可以用于证明四个点是否共面。

若要确保结果的准确性，请根据具体情况选择合适的方法并进行计算。

空间向量四点共面定理公式证明
空间向量四点共面定理是指在空间中取四个点A, B, C, D，如果它们共面，那么向量AB, AC, AD是线性相关的。

接下来我们来证明这个定理。

假设四个点A, B, C, D共面，它们可以构成一个平面。

设这个平面上的一点为O，那么向量OA, OB, OC, OD可以构成一个平面的向量组。

假设向量OA, OB, OC, OD线性无关，那么它们构成一个基。

任意一个在这个平面上的向量可以由这四个向量线性表示：
任意向量 OM = x OA + y OB + z OC + w OD.
其中，x, y, z, w为实数。

现在我们来考虑向量 OM = 0：
0 = x OA + y OB + z OC + w OD.
如果这个方程只有零解，那么向量OA, OB, OC, OD线性无关。

但是因为A, B, C, D共面，所以存在不全为零的实数x, y, z, w，使得x OA + y OB + z OC + w OD = 0。

这与向量OA, OB, OC, OD线性无关矛盾。

因此，向量OA, OB, OC, OD线性相关。

证毕。

这就是空间向量四点共面定理的证明过程。

这个定理在空间几
何中有着重要的应用，可以帮助我们理解空间中的向量关系。