人教A版必修5数学 精品导学案：3.3.12元一次不等式(组)与平面区域(2)

3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域(第2课时)学习目标1.巩固用二元一次不等式和二元一次不等式组表示平面区域的方法.2.能从实际情境中抽象出二元一次不等式组.合作学习一、设计问题,创设情境问题:北京2008年奥运会主体育场“鸟巢”的外形结构是由许多巨大的钢架构成的,在当时为了按期完工,每天至少需要50根高质量钢柱,已知只有两个厂有能力生产这种钢柱,一号钢厂和二号钢厂每间车间的日生产量分别是10根和8根,但是每个厂每天总共能投入生产的车间至多6间,那么两个钢厂每天各提供多少车间才能满足每天的需求呢?二、信息交流,揭示规律师生交流1:探究2中的数学关系式能准确描述这个问题吗?这样完善后,问题解决了吗?如何解决呢? x一定能取到0到6之间的每一个值吗?那么如何使得我们的工作更有效呢?师生交流2:两种探究方案有没有共同特征?这两种探究方案中,哪个应用价值更高?那么再碰到类似的问题时,应该如何求解呢?三、运用规律,解决问题【例题】要将两种大小不同的钢板截成A,B,C三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:今需A,B,C三种规格的成品至少分别为15,18,27块,用数学关系式和图形表示上述要求.师生交流3:A,B,C三种规格的成品的数量由哪些量决定?A,B,C三种规格的成品数量的表达式是什么?整个问题可以用几个变量来描述?师生交流4:这类问题求解的一般步骤有哪些?四、变式训练,深化提高变式训练:一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t;生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t.现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t,在此基础上生产两种混合肥料。

列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域.师生交流:有的同学画出的图形比较准确、美观,而有的同学在作图过程中不怎么顺利,作出的图形也很模糊,什么原因导致的呢?五、反思小结,观点提炼1.这节课我们主要学习了什么内容?这类问题在解答时的关键步骤是什么?一般有哪些数量关系?这里的等量关系也可以看成什么关系?2.用平面区域表示实际问题中的数量关系有什么好处?这体现了什么数学思想?参考答案一、设计问题,创设情境学生探究1:用特殊值的办法代入验证,可以得到一号钢厂与二号钢厂各投入车间的方案有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,0),(5,1),(6,0).学生探究2:设一号钢厂、二号钢厂分别投入x个车间和y个车间,则x,y应满足二、信息交流,揭示规律1.不能.因为车间数为自然数,所以应该是没有;给x或y取0到6之间的特殊值,代入后得出满足约束条件的另一个变量的值.不一定;可以画出不等式组表示的平面区域,得出x的范围后,再代入求解.由解得点A的坐标为(1,5),所以1≤x≤6.分别令x=1,2,3,4,5,6代入不等式组后可以得到y的值,并得出可行的方案有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,0),(5,1),(6,0).2.有,探究1实质上也是利用问题中的不等关系求得可行方案;第二种,只有当平面区域中的点有有限个且较少时,第一种才简洁.设出变量—列出关系式—画出平面区域—利用平面区域求解.三、运用规律,解决问题3.第一、二两种钢板的数量.A的数量=第一种钢板数量×2+第二种钢板数量×1;B的数量=第一种钢板数量×1+第二种钢板数量×2;C的数量=第一种钢板数量×1+第二种钢板数量×3;两个,即第一、二两种钢板的数量.【例题】解:设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张,则用图形表示以上限制条件,得到如图所示的平面区域(阴影部分).4.(1)分析问题中的量以及量与量之间的关系(等量关系与不等关系);(2)设出合理的变量x,y表示问题中的不等关系,列出不等式组;(3)用平面区域表示不等式组.四、变式训练,深化提高变式训练:解:设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数,于是满足以下条件:在直角坐标系中可表示成如图的平面区域(阴影部分).师生交流:画图前没有分析不等式对应的直线方程的特征,刻度单位选取的不合理导致的.五、反思小结,观点提炼1.用不等式组和平面区域描述实际问题;分析问题中的数量关系;等量关系和不等关系;函数关系.2.直观;数形结合思想.。

§3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域学习目标1.理解二元一次不等式(组)的解、解集的概念.2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域.3.能把平面区域用不等式(组)表示．知识点一二元一次不等式(组)的概念1．含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式．2．由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．3．满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)称为二元一次不等式(组)的一个解．4．所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．知识点二二元一次不等式表示的平面区域1．在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．2．对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得值的符号都相同．3．在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C>0(或<0)表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．知识点三二元一次不等式组表示的平面区域1．二元一次不等式组的解集为组中各不等式解集的交集，其表示的平面区域是组中各不等式表示区域的公共部分．2．画二元一次不等式组表示的平面区域的步骤：(1)画线——画出不等式组中各不等式所对应的方程表示的直线(如果原不等式中带等号，则画成实线，否则画成虚线)；(2)定侧——将某个区域内的一个特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧；(3)求交——在确定了各个不等式所表示的平面区域后，再求这些平面区域的公共部分，这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域，“直线定界，特殊点定域”的方法仍然适用．1．点(1,2)是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＞0，x ＋y <2的解．( × )2．x >1也可理解为二元一次不等式，其表示的平面区域位于直线x ＝1右侧．( √ ) 3．点(1,2)不在2x ＋y －1>0表示的平面区域内．( × )4.⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0表示的平面区域为第一象限．( √ )题型一 二元一次不等式解的几何意义例1 已知点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则a 的取值范围是 ． 答案 (－7,24)解析 点(3,1)和(－4,6)必有一个是3x －2y ＋a ＞0的解，另一个点是3x －2y ＋a <0的解．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3×3－2×1＋a ＞0，3×(－4)－2×6＋a <0或⎩⎪⎨⎪⎧3×3－2×1＋a <0，3×(－4)－2×6＋a ＞0，即(3×3－2×1＋a )[3×(－4)－2×6＋a ]<0， (a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.反思感悟 对于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0两侧的点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，若Ax 1＋By 1＋C ＞0，则Ax 2＋By 2＋C <0，即同侧同号，异侧异号．跟踪训练1 经过点P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围． 解 由题意知直线l 的斜率存在，设为k . 则可设直线l 的方程为kx －y －1＝0，由题意知A ，B 两点在直线l 上或在直线l 的两侧，所以有(k ＋1)(2k －2)≤0，所以－1≤k ≤1.题型二 二元一次不等式表示的平面区域命题角度1 由不等式画平面区域例2 画出不等式x ＋4y <4表示的平面区域． 解 先作出边界x ＋4y ＝4，因为这条线上的点都不满足x ＋4y <4， 所以画成虚线．取原点(0,0)，代入x ＋4y －4， 因为0＋4×0－4＝－4<0，所以原点(0,0)在x ＋4y －4<0表示的平面区域内，所以不等式x ＋4y <4表示的平面区域在直线x ＋4y ＝4的左下方． 所以x ＋4y <4表示的平面区域如图阴影部分所示．反思感悟 画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．特别是当C ≠0时，常把原点(0,0)作为测试点，当C ＝0时，常把(0,1)或(1,0)作为测试点． 跟踪训练2 不等式x －2y ＋6>0表示的平面区域在直线x －2y ＋6＝0的( ) A ．右上方 B ．右下方 C ．左上方 D ．左下方 答案 B解析 在平面直角坐标系中画出直线x －2y ＋6＝0，观察图象(图略)知原点在直线的右下方，将原点(0,0)代入x －2y ＋6，得0－0＋6＝6>0，所以原点(0,0)在不等式x －2y ＋6>0表示的平面区域内，故选B. 命题角度2 给不等式组画平面区域 例3 画出下列不等式组所表示的平面区域． (1)⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≤3，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x －y <2，2x ＋y ≥1，x ＋y <2.解 (1)x －2y ≤3，即x －2y －3≤0，表示直线x －2y －3＝0上及左上方的区域；x ＋y ≤3，即x ＋y －3≤0，表示直线x ＋y －3＝0上及左下方的区域；x ≥0表示y 轴及其右边区域；y ≥0表示x 轴及其上方区域．综上可知，不等式组(1)表示的区域如图阴影部分(含边界)所示．(2)x －y <2，即x －y －2<0，表示直线x －y －2＝0左上方的区域； 2x ＋y ≥1，即2x ＋y －1≥0，表示直线2x ＋y －1＝0上及右上方的区域； x ＋y <2表示直线x ＋y ＝2左下方的区域．综上可知，不等式组(2)表示的区域如图阴影部分所示．反思感悟 在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．但要注意是否包含边界．跟踪训练3 用平面区域表示不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <－3x ＋12，x <2y 的解集．考点 二元一次不等式(组)表示的平面区域题点 二元一次不等式(组)表示的平面区域的画法解 不等式y <－3x ＋12，即3x ＋y －12<0，表示的平面区域在直线3x ＋y －12＝0的左下方；不等式x <2y ，即x －2y <0，表示的是直线x －2y ＝0左上方的区域．取两区域重叠的部分，如图中的阴影部分就表示原不等式组的解集．题型三 二元一次不等式组表示平面区域的应用 例4 已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．0或1 答案 A解析 条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，要使约束条件表示直角三角形区域，直线kx－y＝0要么垂直于直线x＝1，要么垂直于直线x＋y－4＝0，∴k＝0或k＝1.当k＝0时，直线kx－y＝0，即y＝0，交直线x＝1，x＋y－4＝0于点B(1,0)，C(4,0)．此时约束条件表示△ABC及其内部，其面积S△ABC＝12·|BC|·|AB|＝12×3×3＝92≠1.同理可验证当k＝1时符合题意．反思感悟平面区域面积问题的解题思路(1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解，再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解．跟踪训练4 已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx ＋1将区域D 分成面积相等的两部分，则实数k 的值是 ． 答案 13解析 由题意可得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)． 则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域为△ABC 及其内部．直线y ＝kx ＋1过点A .要把△ABC 分成面积相等的两部分，需过BC 中点M ⎝⎛⎭⎫32，32. 此时k ＝32－132－0＝1232＝13.数形结合的魅力典例我们可以验证点(1,2)是不等式x－y<6的一个解．怎么证明直线x－y＝6左上方半平面(不包括边界)上所有点均是x－y<6的解？证明设点A(x0，y0)位于直线x－y＝6左上方区域，则过点A作直线AB∥y轴，交直线x－y＝6于点B.设B(x0，y1)，则有y0＞y1.∵B在直线x－y＝6上，∴x0－y1＝6.由y0＞y1，得－y0<－y1，x0－y0<x0－y1＝6.即点(x0，y0)满足不等式x－y<6.∴x －y ＝6左上方半平面区域任一点均是x －y <6的解．[素养评析] 提升学生的数形结合能力，是培养直观想象核心素养的一大具体任务，本例证明任务是代数问题：不等式的解的问题．在证明过程中，我们把“直线左上方区域”这一几何条件，转化成数：y 0＞y 1，再借助代数手段：不等式性质，严谨证明了一个初看无从下手的问题，完善诠释了数形结合的魅力.1．不在不等式3x ＋2y <6表示的平面区域内的一个点是( )A ．(0,0)B ．(1,1)C ．(0,2)D ．(2,0) 答案 D解析 将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2,0)代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x ＋2y <6表示的平面区域内，故选D.2．已知点(－1,2)和点(3，－3)在直线3x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( )A ．(－1,6)B ．(－6,1)C ．(－∞，－1)∪(6，＋∞)D ．(－∞，－6)∪(1，＋∞) 答案 A解析 由题意知，(－3＋2－a )(9－3－a )<0，即(a ＋1)(a －6)<0，∴－1<a <6.3．(1)画出⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，y ＞2x 表示的平面区域；(2)画出(y－2x)(x－2y＋4)≥0表示的平面区域．解1．二元一次不等式(组)的一个解对应一个坐标点，解集对应点集一般形成一个平面区域．2．画边界直线．画出不等式所对应的方程表示的直线，若此区域包括边界，则直线画成实线；若不包括边界，则画成虚线(即看不等式能否取到等号)．3．特殊点定域．确定边界后，只需在直线的某一侧取一特殊点(原点不在边界上时，常取原点，在边界上时，取坐标轴上的点)验证其坐标是否满足二元一次不等式，若满足不等式，则区域为特殊点所在一侧，不满足，则为另一侧．简记为“直线定界，特殊点定域”．。

第2课时二元一次不等式(组)表示平面区域的应用1．复习巩固二元一次不等式(组)表示的平面区域．2．掌握二元一次不等式(组)表示的平面区域在求最值和实际背景中的应用．1．二元一次不等式及其表示的平面区域(1)定义：含有两个未知数，并且未知数的次数是__的不等式叫做二元一次不等式．由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．满足二元一次不等式(组)的和y的取值构成________(，y)，所有这样的有序数对(，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．[。

](2)画二元一次不等式表示平面区域的步骤：①画线——画出不等式所对应的方程所表示的直线(如果原不等式的不等号中带等号，则画成实线，否则，画成虚线)．②定侧——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧，常用的特殊点为(0,0)，(1,0)，(0,1)．【做一做1】画出二元一次不等式y＞2表示的平面区域．2．二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组表示的平面区域是各个二元一次不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的____部分．注意平面区域是否包括边界，包括边界时边界直线为实线，不包括边界时边界直线为虚线．【做一做2】 画出不等式组错误!表示的平面区域．答案：1．(1)1 有序数对【做一做1】 解：画直线y ＝2，且画成虚线．当＝0，y ＝1时，y ＞2成立，则点(0,1)在y ＞2表示的平面区域一侧，则所求作平面区域，如图中的阴影部分所示．2．公共【做一做2】 解：画出直线－y －1＝0(虚线)，不等式－y －1＜0表示直线－y －1＝0左上方的平面区域．画出直线2－y －3＝0(实线)，不等式2－y －3≥0表示直线2－y －3＝0上及右下方的平面区域．所以不等式组错误!表示的平面区域是如图所示的阴影部分．判定二元一次不等式表示的平面区域剖析：(1)B ＞0时，A ＋By ＋＞0可转化为y ＞－A B －B，表示直线A ＋By ＋＝0上方的区域；B ＜0时，A ＋By ＋＜0可转化为y ＞－A B－B ，表示直线A ＋By ＋＝0上方的区域．(2)B ＞0时，A ＋By ＋＜0可转化为y ＜－A B －B，表示直线A ＋By ＋＝0下方的区域；B ＜0时，A ＋By ＋＞0可转化为y ＜－A B －B ，表示直线A ＋By ＋＝0下方的区域．[]题型一 最值问题【例题1】 如果实数，y 满足不等式组错误!则2＋y 2的最小值为__________．反思：已知，y 满足二元一次不等式(组)，求形如(－a )2＋(y －b )2，y －n －的最值时，通常利用数形结合解决，其步骤是：(1)画出二元一次不等式(组)表示的平面区域；(2)令P (，y )是平面区域内任意一点，则(－a )2＋(y －b )2＝|PM |，其中M (a ，b )，y －n －＝PN ，其中N (，n )；(3)借助于平面区域找出|PM |，PN 的最值．题型二 实际应用问题【例题2】 某厂使用两种零件A ，B 装配甲，乙两种产品，该厂的生产能力是每月生产甲产品最多2 500件，每月生产乙产品最多1 200件，而且装一件甲产品需要4个A,6个B ，装一件乙产品需要6个A,8个B2008年1月，该厂能用的A 最多有14 000个，B 最多有12 000个，用不等式将甲，乙两种产品产量之间的关系表示出，并画出相应的平面区域．分析：分别设出两种产品的产量，由题目中的条件列出不等式组．[]反思：解决此类题目的关键是列出不等式组，用字母表示变量，找出表示不等关系的关键词，列出不等式组即可．本题中表示不等关系的关键词是“A最多有14 000个，B最多有12 000个”．本题易错写为不等式组错误!其原因是忽视了变量的实际意义，其避免方法是实际问题中要优先考虑实际意义．答案：【例题1】 5 设M(，y)为满足不等式组表示的平面区域内一点，则2＋y2＝[(－0)2＋(y－0)2]2＝|OM|2画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示．[]由错误!得A(1,2)．当M与点A(1,2)重合时，|OM|取最小值5，所以2＋y2的最小值为5【例题2】解：设每月生产甲产品件，每月生产乙产品y件，则，y满足错误!即错误!在平面直角坐标系中，画出上述不等式组表示的平面区域，如下图的阴影部分所示．1如果点P 在平面区域220,210,20x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≤≤上，点Q 在曲线2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为( )A1 B1．1 D12若，y 满足条件1,1,30,x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤则2y x 的取值范围是__________． 3(2011北京朝阳二模，文14)已知区域D ：2,20,10,y x y x y ⎧⎪+-⎨⎪--⎩≥≥≤则2＋y 2的最小值是__________．4某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h 和2 h ，漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h 和1 h ．又木工、漆工每天工作分别不得超过8 h 和9 h ．请列出满足生产条件的数关系式，并画出相应的平面区域．5有粮食和石油两种货物，可用轮船和飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输量如下表：石油，试用代数和几何两种方法表示运输工具和运输数量满足的关系．答案：1．A 2[1,4] 344．解：设家具厂每天生产甲、乙型号的桌子的张数分别为和y ，它们满足的数关系式为28,39,0,,0,.x y x y x x y y +⎧⎪+⎪⎨∈⎪⎪∈⎩N N ≤≤≥≥ 分别画出不等式组中各不等式表示的平面区域，然后取交集，如图中的阴影部分所示，生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件．5．解：设需要艘轮船，y 架飞机，代数关系式和几何描述(如图)分别为6340,5230,0,0.x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≥≥≥≥。

3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域（导学案）使用说明：1.课前认真预习课本，完成本学案；2.课上认真和同学讨论交流，积极回答问题、板演，认真听老师点评；3.课下复习整理.★学习目标了解二元一次不等式的几何意义，会根据二元一次不等式去画它所表示的平面区域.能用平面区域表示二元一次不等式组，能把若干直线围成的平面区域用二元一次不等式组表示.一、问题引入某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h, 每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件,按每天工作8小时计算. 该厂所有可能的日生产安排是什么？设甲、乙两种产品分别生产y x ,件,（1）用不等式组表示问题中的限制条件：（2）你能画出所列不等式组所表示的平面区域吗？二、课前预习、自主探究1. 二元一次不等式（组）的概念（1） 含有_________未知数，并且未知数的次数是________的不等式叫做二元一次不等式。

由几个二元一次不等式组成的不等式组叫做二元一次不等式组。

（2） 满足______________________________________构成有序数对(),x y ，所有这样的有序数对(),x y 构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。

2. 二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式0Ax By C ++>表示直线___________________某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成_______以表示区域不包括边界。

不等式0Ax By C ++≥表示的平面区域包括边界，把边界画成__________.3. 二元一次不等式表示平面区域的确定（1） 直线0Ax By C ++=同一侧的所有点把它的坐标(),x y 代入Ax By C ++，所得的符号都__________.（2） 在直线0Ax By C ++=的一侧取某个特殊点()00,x y 作为测试点（当0C ≠时，常取()0,0；当0C =，常取()1,0或()0,1），由_____________的符号可以断定0Ax By C ++>表示的是直线0Ax By C ++=哪一侧的平面区域.三、例题与练习：例：在平面直角坐标系中画出下列不等式（组）表示的平面区域.（要求尺规作图）（1）4312x y -≤ ; （2）1x ≥ ;（3）x y 2>; （4）102x y y -+≥⎧⎨≥-⎩.练习:1、不等式062>+-y x 表示的区域在直线062=+-y x 的（）（A ）右上方 （B ）右下方 （C ）左上方 （D ）左下方2、不等式0623≤-+y x 表示的平面区域是（ ）3、不等式组⎩⎨⎧<+-≥+-02063y x y x 表示的平面区域是（ ）。

3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域一、学习目标 了解二元一次不等式(组)的概念；会从实际情境中抽象出二元一次不等式(组);理解二元一次不等式(组)的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式(组)。

二、关键点 “直线定界，特殊点定域”，数形结合——点的坐标与点和直线的位置关系三、问题导学 （阅读课文第82页到第85页）1、问题1： 什么是二元一次不等式(组)？2、问题2：有序数对（x ，y ）可以表示二元一次不等式（组）的解，那么，用有序数对（x ，y ）在几何上还可以表示什么？3、问题3：平面直角坐标系内的点被直线60x y --=分为哪三类（或三部分）？以60x y -->的解为坐标的点分布在哪个区域？直线左上方的平面区域如何表示？右下方的平面区域呢？4、问题4： 0≥++C y Ax B 表示的平面区域与0>++C y Ax B 表示的平面区域有何不同？如何体现这种区别？5、问题5：如何判断0>++C y Ax B 表示直线0=++C y Ax B 哪一侧平面区域？四、预习检测1、画出不等式x y 23>表示的平面区域；2．下列平面区域所对应的二元一次不等式(组)分别为：(1)(2) (3)反思整理：变式1：画出下列不等式(组)所表示的平面区域，并求出该平面区域的面积。

(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤1，x －y ≤1，－x ＋y ≤1，－x －y ≤1(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，y >0，x ＋y －3<0(3)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.．变式2、如图所示，表示满足不等式(x －y )(x ＋2y －2)>0的点(x ，y )所在的平面区域为 ( )变式3：画出不等式()21(3)0x y x y +--+>表示的平面区域五、深入讨论1、(1)已知点(－1,2)和点(3,－3)在直线3x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是 ；(2)原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x －y ＋a >0表示的平面区域内，则a 的取值范围为________．2. 在平面直角坐标系中，若不等式组101010x yxax y+-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为。

3.3.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域三维目标1．通过本节探究，使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；能画出二元一次不等式(组)所表示的平面区域．2．通过学生的亲身体验，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．3．通过本节学习，着重培养学生深刻理解“数形结合”的数学思想．尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力；培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生大胆探索，勇于创新的科学精神．重点难点教学重点：会画出二元一次不等式(组)所表示的平面区域．教学难点：二元一次不等式表示的平面区域的确定及怎样确定不等式Ax ＋By ＋C ＞0(或＜0)表示Ax ＋By ＋C ＝0的哪一侧区域．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接引入)让学生阅读教材，自己得出二元一次不等式(组)的概念，教师结合多媒体点出本节所要解决的问题，由此展开新课的进一步探究．思路2.(类比导入)可采用与一元一次、一元二次不等式的类比引出，借助“类比”思想，通过与熟悉的一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)比较，引出二元一次不等式(或组)的概念．由此展开新课． 推进新课新知探究提出问题123Ax ＋By ＋C>0表示的是直线Ax ＋By ＋C ＝0哪一侧的平面区域？4Ax ＋By ＋C ＝0将平面内的点分成了哪几类？活动：教师引导学生得出二元一次不等式(组)的概念后，借助多媒体课件进一步探究二元一次不等式解集的几何意义，以及如何求二元一次不等式在直角坐标平面上表示的区域，以直线l：x＋y－1＝0为例．如图．由直线方程的意义可知，直线l上的点的坐标都满足l的方程，并且直线l外的点的坐标都不满足l的方程．事实上，在平面直角坐标系中，所有的点被直线x＋y－1＝0分为三类：在直线x＋y－1＝0上；在直线x＋y－1＝0右上方的平面区域内；在直线x＋y－1＝0左下方的平面区域内．如(0,2)、(1,3)、(0,5)、(2,2)点的坐标代入x＋y－1中，有x＋y－1＞0，(0,2)、(1,3)、(0,5)、(2,2)点在直线x＋y－1＝0的右上方．(－1,2)点的坐标代入x＋y－1中，有x＋y－1＝0，(－1,2)点在直线x＋y－1＝0上．(－1,0)、(0,0)、(0，－2)、(1，－1)点的坐标代入x＋y－1中，有x＋y－1＜0，(－1,0)、(0,0)、(0，－2)、(1，－1)点在直线x＋y－1＝0的左下方．如图．因此，我们猜想，对直线x＋y－1＝0右上方的点(x，y)，x＋y－1＞0成立；对直线x＋y－1＝0左下方的点(x，y)，x＋y－1＜0成立．这个结论不仅对这个具体的例子成立，而且对坐标平面内的任一条直线都成立．一般地，直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分．直线l的同一侧的点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有相同的符号，并且两侧的点的坐标使Ax＋By＋C的值的符号相反，一侧都大于0，另一侧都小于0.由于对在直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数Ax＋By＋C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的正、负就可判断Ax＋By＋C＞0表示直线哪一侧的平面区域．当C≠0时，我们常把原点作为这个特殊点去进行判断．如把(0,0)代入x＋y－1中，x＋y－1＜0.这说明x＋y－1＜0表示直线x＋y－1＝0左下方原点所在的区域，就是说不等式所表示的区域与原点在直线x＋y－1＝0的同一侧．如果C＝0，直线过原点，原点坐标代入无法进行判断，则可另选一个易计算的点去进行判断．讨论结果：(1)含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式称为二元一次不等式．构成的不等式组称为二元一次不等式组．(2)二元一次不等式解集的几何意义为：不等式表示的区域或不等式的图象．(3)取点验证．(4)将平面内的点分成了三类：在直线上，在直线左右两侧．应用示例例1(教材本节例1)活动：通过本例要教给学生如何画出二元一次不等式所表示的区域．要严格要求学生按规定画图，并且画图时要细致、正确．注意开区域和闭区域边界的画法．教师要给出示范．直线画成虚线表示不包括边界，画成实线表示包括边界．点评：本例的关键是正确画出直线2x－y－3＝0和3x＋2y－6＝0.阴影部分用短线表示，且短线要画得均匀美观.变式训练画出以下不等式表示的平面区域．(1)x－y＋1＜0；(2)2x＋3y－6＞0；(3)2x＋5y－10≥0; (4)4x－3y≤12.解：(1) (2)(3) (4)例2画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域．活动：教师引导学生正确画出边界直线，注意虚线、实线，同时根据给出的不等式判断出所表示的平面区域，将平面区域的公共部分用阴影表示出来．解：x ＋3y ＋6≥0表示直线上及其右上方的点的集合．x －y ＋2＜0表示直线左上方一侧不包括边界的点的集合．如下图阴影部分．点评：在确定这两个点集的交集时，要特别注意其边界线是实线还是虚线，还有两直线的交点处是实点还是空点. 变式训练 1．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域．解：不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0右下方的平面区域，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0右上方的平面区域，x ≤3表示直线x ＝3左方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如下图中的阴影部分．点评：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．引导学生观察所画出的图形是个封闭图形，三条直线两两相交的交点是个实点．2．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．答案：74解析：在平面直角坐标系内画出不等式组所表示的平面区域，以及直线x ＋y ＝a 从a ＝－2到1连续变化时，动直线扫过A 中的那部分区域．可以看出，该区域是四边形OC DE(如图)，且C(－2,0)，D(－12，32)，E(0,1)．因此所求区域的面积为12×2×2－12×1×12＝74.例3画出不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)＜0表示的平面区域．活动：教师引导学生将题中不等式转化为两个不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1<0，x －y ＋4>0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＋1>0，x －y ＋4<0. 然后由学生自己操作，教师指导学生严格按要求画图． 解：不等式可转化为不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＋1>0，x －y ＋4<0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＋1<0，x －y ＋4>0表示的区域，如下图．点评：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 变式训练 1．在平面直角坐标系中，由满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －8≤0，x ≥y ，x ＋y ≥0的点组成的图形为F ，则A(4,4)、B(5,0)、C(2，－1)三点中，在F 内(含边界)的所有点是________．答案：A 、C解析：由题意，如图，A(4,4)、C(2，－1)在区域内，B(5,0)不在区域内(也可将点的坐标代入不等式组验证)．2．已知点A(0,0)、B(1,1)、C(2,0)、D(0,2)，其中不在不等式2x ＋y ＜4所表示的平面区域内的点是________．答案：C(2,0)解析：不等式可变形为2x＋y－4＜0，对应的直线为2x＋y－4＝0.A点是坐标原点，代入2x＋y－4得－4＜0，即原点A在不等式所表示的区域内．把B、C、D点坐标依次代入2x＋y－4，由所得值的正负来判断点是否与A点位于直线2x＋y－4＝0的同侧或异侧．可判断出C(2,0)符合条件．(或将点代入验证)点评：此类型的题的解法，就是将点的坐标代入二元一次不等式，若不等式成立，则可得点在二元一次不等式所表示的区域内，否则就不在二元一次不等式所表示的区域内.例4(教材本节例3)活动：教材安排本例的目的是分散难点．首先让学生了解恰当地运用字母表示实际问题中的变量，就可以将复杂的实际问题中的变量关系转化为二元一次不等式组，然后利用下一节知识解决．教学时教师引导学生将题中的数量关系用不等式组表示出来．由于变量x、y题已经给出，学生仅是将文字语言转换为数学语言，难度不大，可由学生自己完成.课堂小结1．由学生自己回顾本节课的探究过程，整合二元一次不等式组与平面区域的关系，注意如何表示边界的虚与实，明确不等式Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0的某一侧的平面区域(不包括边界直线)．2．教师画龙点睛．比较是最好的学习方法，通过两个不等式的比较，寻找出共同的规律，进而发现二元一次不等式表示平面区域的主要性质及结论．画图是我们的弱点，而准确画图是学好这部分内容的关键，要有意识地加强这方面的训练．作业习题3—5A组1、2；习题3—5B组1.。

3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域 一、二元一次不等式(组)表示的平面区域例1 画出下列不等式(组)表示的平面区域．(1)2x －y －6≥0； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.总结 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分，但要注意是否包含边界．变式训练1 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x <32y ≥x3x ＋2y ≥63y <x ＋9表示的区域．二、平面区域的面积问题例2 在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1 C.12 D.14变式训练2 若A 为不等式组表示的平面区域，则当a 从-2连续变化到1时，动直线x +y =a 扫过A 中的那部分区域的面积为______________. 三、平面区域内的整点个数问题例3 利用平面区域求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3y ≥26x ＋7y ≤50的整数解．总结 求某个平面区域内的整点，一般采用代入验证法来求，要做到不漏掉任何一个整点． 变式训练3 画出2x -3<y ≤3表示的平面区域，并求出所有的正整数解．四、巩固练习1．已知点(－1,2)和(3，－3)在直线3x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( )A ．a ∈(－1,6)B ．a ∈(－6,1)C ．a ∈(－∞，－1)∪(6，＋∞)D ．a ∈(－∞，－6)∪(1，＋∞) 2．如图所示，表示满足不等式(x －y )(x ＋2y －2)>0的点(x ，y )所在的区域为( )3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ≤12，x －y >－1，y ≥0表示的平面区域内整点的个数是( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 4．若平面区域D 的点(x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2＋y 2≤1x －y ≤0x ＋y ≤0，则平面区域D 的面积是( )A.12＋π2 B ．1＋π2 C.12＋π4 D ．1＋π45．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a (a 为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为( )A ．32＋2B ．－32＋2C ．－5D ．16．△ABC 的三个顶点坐标为A (3，－1)，B (－1,1)，C (1,3)，则△ABC 的内部及边界所对应的二元一次不等式组是________________． 7．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于________．8．已知点A (53，5)，过点A 的直线l ：x ＝my ＋n (n >0)，若可行域⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n ，x －3y ≥0，y ≥0的外接圆的直径为20，则实数n ＝________. 9．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0，2x ＋y －5≤0，y ≤x ＋2所表示的平面区域并求其面积．10．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋2y ＋3＞0，5x ＋3y －5≤0表示的平面区域，并求其中的整数解(x ，y )．五、课堂小结：1．二元一次不等式(组)的解集对应着坐标平面的一个区域，该区域内每一个点的坐标均满足不等式(组)．常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分．2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．3．求平面区域内的整点个数时，要有一个明确的思路不可马虎大意，常先确定x 的范围，再逐一代入不等式组，求出y 的范围最后确定整数解的个数．参考答案一、二元一次不等式(组)表示的平面区域例1 解：(1)如图1，先画出直线2x －y －6＝0，取原点O (0,0)代入2x －y －6中，因为2×0－1×0－6＝－6<0，所以在直线2x －y －6＝0左上方的所有点(x ，y )都满足2x －y －6<0，故直线2x －y －6＝0右下方的区域就是2x －y －6>0，因此2x －y －6≥0表示直线右下方的区域(包含边界)；(2)先画出直线x －y ＋5＝0(画成实线)，如图2取原点O (0，0)，代入x －y ＋5，因为0－0＋5＝5>0，所以原点在x －y ＋5>0表示的平面区域内，即x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集合，同理可得，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合． 变式训练1 解：不等式x <3表示直线x =3左侧点的集合；不等式2y ≥x 即x -2y ≤0表示直线x -2y =0上及左上方点的集合；不等式3x +2y ≥6，即3x +2y -6≥0表示直线3x +2y -6=0上及右上方点的集合；不等式3y <x +9，即x -3y +9>0表示直线x -3y +9=0右下方点的集合．综上可得，不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分．二、平面区域的面积问题例2 B. 【解析】 记,,x y m x y n -=-= 则,22m n m nx y +-== 1220,0,m n m nm n m n +-⎧+≤⎪⎪+≥⎨⎪-≥⎪⎩即1,0,0m m n m n ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩ 作出可行域可知面积为1. 变式训练274【解析】如图所示，区域A表示的平面区域为△OBC内部及其边界组成的图形，当a从-2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域．又D(0,1)，B(0,2)，E13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，C(-2,0)．S四边形ODEC=S△OBC-S△BDE=74.三、平面区域内的整点个数问题例3【解析】先画出平面区域，再用代入法逐个验证．解：把x=3代入6x+7y≤50，得y≤447，又∵y≥2，∴整点有：(3,2)(3,3)(3,4)；把x=4代入6x+7y≤50，得y≤537，∴整点有：(4,2)(4,3)．把x=5代入6x+7y≤50，得y≤627，∴整点有：(5,2)；把x=6代入6x+7y≤50，得y≤2，整点有(6,2)；把x=7代入6x+7y≤50，得y≤87，与y≥2不符．∴整数解共有7个为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)．变式训练3画出2x-3<y≤3表示的平面区域，并求出所有的正整数解．解：由于2x -3<y ≤3⇔23,3,x y y -<⎧⎨≤⎩平面区域如图所示：而其中的正整数解为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)，共5组． 四、巩固练习 1．A 2．B【解析】不等式(x －y )(x ＋2y －2)>0等价于不等式组(Ⅰ)⎩⎪⎨⎪⎧ x －y >0，x ＋2y －2>0或不等式组(Ⅱ)⎩⎪⎨⎪⎧x －y <0，x ＋2y －2<0.分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B . 3．C【解析】画出可行域后，可按x ＝0，x ＝1，x ＝2，x ＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)共6个． 4．B【解析】画出平面区域，如图，阴影部分面积S =1+2π. 5．D【解析】区域如图，易求得A (-2,2)，B (a ，a +4)，C (a ，-a )．S △ABC =1/2|BC |·|a +2|=(a +2)2=9，得a =1.6． ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0x －y ＋2≥02x ＋y －5≤0【解析】如图直线AB 的方程为x +2y -1=0(可用两点式或点斜式写出) 直线AC 的方程为2x +y -5=0 直线BC 的方程为x -y +2=0 把(0,0)代入2x +y -5=-5<0 ∴AC 左下方的区域为2x ＋y －5<0.∴同理可得△ABC 区域(含边界)为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0x －y ＋2≥02x ＋y －5≤0.7． 43【解析】平面区域如图． 解 34,34,x y x y +=⎧⎨+=⎩得 ()1,1A易得()40,4,0,3B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭48433BC =-= 1841233ABC S ∆∴=⨯⨯=8．10 3【解析】可行域如图所示，设直线l ：x =my +n 的倾斜角为α，则10,220,sin()OA OA R πα===-11sin ,tan 23m α∴==±=m ∴=又Q 点 ()A 在直线 ,x my n =+上m ∴=时，5,m n =+0,n ∴=又n >0, m ∴=当m =5,m n =+n ∴= 9． 解：如图所示，其中的阴影部分便是欲表示的平面区域．由 20,250,x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得()1,3A ,同理得 ()()1,1,3,1B C --AC ∴==而点B 到直线250,x y +-=距离为d ==11622ABC S AC d ∆∴=⋅=⨯= 10． 解：作出平面区域，如图所示．可求得顶点坐标36,55⎛⎫--⎪⎝⎭5101920,,111177⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故,x y 的范围是35-<197，207-<1011， 其中整数是 0,1,2;0,1,2,x y ==-- 结合图形并经检验可得整数解有(0,0)，(0，- 1)，(1,0)，(1，- 1)，(2， -2)．。

3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题材拓展1．二元一次不等式(组)表示平面区域(1)直角坐标平面内的一条直线Ax ＋By ＋C ＝0把整个坐标平面分成三部分，即直线两侧的点集和直线上的点集．(2)若点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的同侧(或异侧)，则Ax 1＋By 1＋C 与Ax 2＋By 2＋C 同号(或异号)．(3)二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．画二元一次不等式表示的平面区域常 采用“直线定界，特殊点定域”的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，应把直线画成虚线；含有等号，把直线画成实线． (2)特殊点定域，即在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的区域就是包括这个点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点．当C ＝0时，常把点(1,0)或点(0,1)作为测试点．3．补充判定二元一次不等式表示的区域 的一种方法先证一个结论已知点P (x 1，y 1)不在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0 (B ≠0)上，证明： (1)P 在l 上方的充要条件是B (Ax 1＋By 1＋C )>0； (2)P 在l 下方的充要条件是B (Ax 1＋By 1＋C )<0. 证明 (1)∵B ≠0，∴直线方程化为y ＝－A B x －CB，∵P (x 1，y 1)在直线上方，∴对同一个横坐标x 1，直线上点的纵坐标小于y 1，即y 1>－A B x 1－CB.(*)∵B 2>0，∴两端乘以B 2，(*)等价于B 2y 1>(－Ax 1－C )B ， 即B (Ax 1＋By 1＋C )>0.(2)同理，由点P 在l 下方，可得y 1<－A B x 1－CB，从而得B 2y 1<(－Ax 1－C )B ，移项整理为B (Ax 1＋By 1＋C )<0. ∵上述解答过程可逆，∴P 在l 上方⇔B (Ax 1＋By 1＋C )>0， P 在l 下方⇔B (Ax 1＋By 1＋C )<0. 从而得出下列结论：(1)B >0时，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的平面区域(不包括直线)，而Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的平面区域(不包括直线)．(2)B <0时，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的区域(不包括直线)，而二元一次不等式Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的平面区域(不包括直线)．(3)B ＝0且A >0时，Ax ＋C >0表示直线Ax ＋C ＝0右方的平面区域(不包括直线)，Ax ＋C <0表示直线Ax ＋C ＝0左方的平面区域(不包括直线)．(4)B ＝0且A <0时，Ax ＋C >0表示直线Ax ＋C ＝0左方的平面区域(不包括直线)，Ax ＋C <0表示直线Ax ＋C ＝0右方的平面区域(不包括直线)．法突破一、二元一次不等式组表示的平面区域方法链接：只要准确找出每个不等式所表示的平面区域，然后取出它们的重叠部分，就可以得到二元一次不等式组所表示的平面区域．例1 在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1 C.12 D.14 解析答案 B二、平面区域所表示的二元一次不等式(组)方法链接：由平面区域确定不等式时，我们可以选用特殊点进行判断，把特殊点代入直线方程Ax ＋By ＋C ＝0，根据代数式Ax ＋By ＋C 的符号写出对应的不等式，根据是否包含边界来调整符号．例2 如图所示，四条直线x ＋y －2＝0，x －y －1＝0，x ＋2y ＋2＝0,3x －y ＋3＝0围成一个四边形，则这个四边形的内部区域(不包括边界)可用不等式组____________表示．解析 (0,0)点在平面区域内，(0,0)点和平面区域在直线x ＋y －2＝0的同侧，把(0,0)代入到x ＋y －2，得0＋0－2<0，所以直线x ＋y －2＝0对应的不等式为x ＋y －2<0，同理可得到其他三个相应的不等式为x ＋2y ＋2>0,3x －y ＋3>0，x －y －1<0， 则可得所求不等式组为三、和平面区域有关的非线性问题方法链接：若目标函数为线性时，目标函数的几何意义与直线的截距有关．若目标函数为形如z ＝y －bx －a，可考虑(a ，b )与(x ，y )两点连线的斜率．若目标函数为形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，可考虑(x ，y )与(a ，b )两点距离的平方． 例3 (2009·山东济宁模拟)已知点P (x ，y )满足点Q (x ，y )在圆(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1上，则|PQ |的最大值与最小值为( )A ．6,3B ．6,2C ．5,3D ．5,2解析可行域如图阴影部分，设|PQ |＝d ，则由图中圆心C (－2，－2)到直线4x ＋3y －1＝0的距离最小，则到点A 距离最大．由得(－2,3)． ∴d max ＝|CA |＋1＝5＋1＝6，d min ＝|－8－6－1|5－1＝2.答案 B四、简单的线性规划问题方法链接：线性规划问题最后都能转化为求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．例4 某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？解 依题意设每星期生产x 把椅子，y 张书桌， 那么利润p ＝15x ＋20y .其中x ，y 满足限制条件{ 4x ＋8y ≤x ＋y ≤x ≥0，x ∈N *y ≥0，y ∈N *. 即点(x ，y )的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x ＋8y ＝8 000(即AB )，2x ＋y ＝1 300(即BC )，x ＝0(即OA )和y ＝0(即OC )．对于某一个确定的p ＝p 0满足p 0＝15x ＋20y ，且点(x ，y )属于阴影部分的解x ，y 就是一个能获得p 0元利润的生产方案．对于不同的p ，p ＝15x ＋20y 表示一组斜率为－34的平行线，且p 越大，相应的直线位置越高；p 越小，相应的直线位置越低．按题意，要求p 的最大值，需把直线p ＝15x ＋20y 尽量地往上平移，又考虑到x ，y 的允许范围，当直线通过B 点时，处在这组平行线的最高位置，此时p 取最大值．由{ 4x ＋8y ＝8 00x ＋y ＝1 300，得B (200,900)， 当x ＝200，y ＝900时，p 取最大值， 即p max ＝15×200＋20×900＝21 000，即生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21 000元．区突破1．忽略截距与目标函数值的关系而致错 例1 设E 为平面上以A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z ＝4x －3y 的最大值与最小值．[错解]把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z .根据条件画出图形如图所示，当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最小值．∴z min ＝4×(－1)－3×(－6)＝14； z max ＝4×(－3)－3×2＝－18.[点拨] 直线y ＝43x －13z 的截距是－13z ，当截距－13z 最大即过点C 时，目标函数值z 最小；而当截距－13z 最小即过点B 时，目标函数值z 最大．此处容易出错．[正解] 把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z .当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最小值．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14； z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.2．最优整数解判断不准而致错 例2 设变量x ，y 满足条件求S ＝5x ＋4y 的最大值．[错解] 依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑x 、y 为整数的条件，则当直线5x ＋4y ＝S 过点A ⎝⎛⎭⎫95，2310时，S ＝5x ＋4y 取最大值，S max ＝18 15.因为x 、y 为整数，所以当直线5x ＋4y ＝t 平行移动时，从点A 起通过的可行域中的整点是C (1,2)，此时S max ＝13.[点拨] 上述错误是把C (1,2)作为可行域内唯一整点，其实还有一个整点B (2,1)，此时S ＝14才是最大值．[正解] 依据已知条件作出图形如图所示，因为B (2，1)也是可行域内的整点，由此得S B ＝2×5＋1×4＝14，由于14>13，故S max ＝14.温馨点评 求最优整数解时，要结合可行域，对所有可能的整数解逐一检验，不要漏掉解.题多解例 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有() A．5种B．6种C．7种D．8种解析方法一由题意知，按买磁盘盒数多少可分三类：买4盒磁盘时，只有1种选购方式；买3盒磁盘时，有买3片或4片软件两种选购方式；买2盒磁盘时，可买3片、4片、5片或6片软件，有4种选购方式，故共有1＋2＋4＝7(种)不同的选购方式．方法二先买软件3片，磁盘2盒，共需320元，还有180元可用，按不再买磁盘，再买1盒磁盘、再买两盒磁盘三类，仿方法一可知选C.方法三设购买软件x片，磁盘y盒．则，画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示．落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共7个整点．答案 C题赏析1．(2011·浙江)设实数x，y满足不等式组{x＋2y－5>0，x＋y－7>0，x≥0，y≥0，且x，y为整数，则3x＋4y的最小值是()A．14 B．16C．17 D．19解析作出可行域，如图中阴影部分所示，点(3,1)不在可行域内，利用网格易得点(4,1)符合条件，故3x＋4y的最小值是3×4＋4×1＝16.答案 B2．(2009·烟台调研)若x，y满足约束条件{x＋y≥x－y≥－x－y≤2，目标函数z ＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是()A．(－1,2) B．(－4,2) C．(－4,0] D．(－2,4)解析作出可行域如图所示，直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，即－4<a <2. 答案 B赏析 本题考查线性规划的基本知识，要利用好数形结合．。

第二课时 二元一次不等式(组)与平面区域 （二）一、教学目标（1）知识与技能：懂得将实际问题转化为线性规划问题（2）过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第二节课，学生已经学会了如何画出一元二次不等式(组)所表示的平面区域.这节课主要是通过实际生活中的例子提供给学生应用数学的实践机会。

教师要善于引导学生思维,调动学习兴趣,让他们乐学并巧学,真切体会到数学在生活中的妙用.针对本堂课的特点,采用多媒体教学可更好地促进教学双赢（3）情感与价值：培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力，加强学生之间的合作互助精神,并从数形结合中得到辨证唯物主义的思想教育二、教学重点、教学难点教学重点：探讨如何将实际问题转化为线性规划问题教学难点：如何将实际问题转化为线性规划问题三、教学过程（一）复习引入画出下列不等式组2124y x x y ≤+⎧⎨+>⎩所表示的平面区域： 解：不等式21y x ≤+表示直线21y x =+及其下方的平面区域；不等式24x y +>表示直线24x y +=上方的平面区域；因此，这两个平面区域的公共部分就是原不等式组所表示的平面区域（二）探究新知例1、某人准备投资1200万元兴办一所完全学校，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）分别用数学关系式来表示上述限制条件学段班级学生数配备教师数硬件建设(万元)教师年薪(万元)初中45226/班2/人高中40354/班2/人解：设开设初中班x 个，高中班y 个，根据题意，总共招生班数应限制在20到30之间，所以有2030x y ≤+≤考虑到所投资金的限制，得到265422231200,x y x y ++⨯+⨯≤ 即 240x y +≤另外，开设的班数不能为负，则 0,0x y ≥≥2030,240,0,0x y x y x y ≤+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩根据限制条件画出图形 （略）例2、教材P85面例3例3、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t 、硝酸盐18 t ；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t 、硝酸盐15 t 。

二元一次不等式（组）与平面区域（教师版）．新课引入一家银行的信贷部计划年投入万用于企业和个人贷款，希望这笔钱至少带来万元的收益，其中从企业贷款中收益，从个人贷款中收益，设用于企业贷款资金为万元，用于个人贷款资金为万元，则．怎么得到上述二元一次不等式组的解呢？．二元一次不等式（组）与平面区域我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是的不等式称为二元一次不等式．我们把几个二元一次不等式组成的不等式组叫做二元一次不等式组．满足二元一次不等式组的和的取值构成有序实数对，所有这样的有序实数对构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集，有序实数对可以看昨成直角坐标平面内点的坐标。

于是二元一次不等式组的解集就可以看成直角坐标系内点构成的集合。

思考：在平面直角坐标系中，直线将平面分成几部分呢？答：分成三部分:（）点在直线上；（）点在直线的右上方；（）点在直线的左下方思考：不等式对应平面内哪部分的点呢？直线上的点的坐标满足，那么直线两侧的点的坐标代入中，也等于吗？先完成上表，再观察有何规律呢？规律：同侧同号，异侧异号（）点集表示直线右上方的平面区域；（）点集表示直线左下方的平面区域．（）直线叫做这两个区域的边界．方法总结：判定二元一次不等式组表示的平面区域的方法是以线定界，以点(原点)定域(以＋＋>为例)．()“以线定界”，即画二元一次方程＋＋＝表示的直线定边界，其中要注意实线或虚线．()“以点定域”，由于在直线＋＋＝同侧的点，实数＋＋的值的符号都相同，故为了确定＋＋的符号，可采用取特殊点法，如取原点、坐标轴上的点等．()“交定区”．※典型例题界．()画出直线－＝(画成虚线)．∵－×＝－<，∴－>(即>)表示的区域为不含()的一侧，因此所求为如图阴影所示的区域，不包括边界.考点．二元一次不等式组表示的平面区域【例】画出不等式组(\\(－＋≥，＋≥，≤))表示的平面区域，并指出，的取值范围．分析：→→→。