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较复杂的行程问题例1：小轿车、面包车和大客车的速度分别为60千米/时、48千米/时和42千米/时，小轿车和大客车从甲地、面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿车后30分钟又遇到大客车。
问：甲、乙两地相距多远？例2：两条公路成十字交叉，甲从十字路口南1800米处向北直行，乙从十字路口处向东直行。
甲、乙同时出发12分钟后，两人与十字路口的距离相等；出发后75分钟，两人与十字路口的距离再次相遇。
此时他们距十字路口多少米？例3：猎狗追赶前方30米处的野兔。
猎狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子动作快，猎狗跑3步的时间兔子能跑4步。
猎狗至少跑出多远才能追上野兔？例4：小刚在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是2米/秒，这时迎面开来一列火车，从车头到车尾经过他身旁共用18秒。
已知火车全长342米，求火车的速度。
例5: 铁路线旁边有一条沿铁路方向的公路，公路上一辆拖拉机正以20千米/时的速度行驶。
这时，一列火车以56千米/时的速度从后面开过来，火车从车头到车尾经过拖拉机身旁用了37秒。
求火车的全长。
例6: 张三、李四、王五骑自行车都从甲地到乙地，上午8时张三、李四两人一起先从甲地出发，张三每小时行9千米，李四每小时行8千米，王五上午9时才从甲地出发，中午12时张三与王五同时到达乙地；那么王五追上李四的时间(时刻)是？例7: 小君在360米长的环形跑道上跑一圈。
已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米。
那么小君后一半路程用了多少秒？例8：沿着某单位围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形，甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。
已知甲每分钟走90米，乙每分钟走70米。
问：至少经过多长时间甲才能看到乙？例9：小刘从A地翻过山顶到B地一共行了6千米，用了2.4小时。
他上山速度为2千米每小时，下山速度为3千米每小时。
用不变的上山、下山速度由B地返回A地要用多少小时？例10：体育课上小快和小慢进行100米赛跑，当小快跑完100米时，小慢离终点10米；第二次，他们以原来的速度重新来过，并且小快后退10米，问谁先到达终点，为什么？应用与拓展1.甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，它们相遇时距A，B两地中心处8千米。
五年级奥数行程问题列方程解行程问题xx年xx月xx日•行程问题概述•相遇问题•追及问题目录•环行跑道问题•过桥问题•复杂行程问题综合分析01行程问题概述行程问题是指在运动过程中，涉及速度、时间、距离之间相互关系的问题。
在行程问题中，通常会涉及到两个或多个物体或人在同一条路线上相对或同向运动。
1 2 3物体或人在同一直线上运动，涉及相遇、追及、超越等问题。
直线型行程问题物体或人在圆形、椭圆形等曲线上运动，涉及最短路径、周长等问题。
曲线型行程问题结合直线和曲线型行程问题，涉及更复杂的运动关系和条件。
综合型行程问题明确题目中涉及的物体或人，以及他们之间的运动关系。
确定研究对象根据题目描述，建立行程问题的方程或不等式模型。
建立数学模型通过数学计算，求解方程或不等式的解，得到所需的结果。
解方程或不等式行程问题的解题思路02相遇问题相遇问题是指两个或多个物体（通常为运动物体）从不同的地点同时出发，在某一点相遇的数学问题。
相遇问题的基本要素包括：物体的数量、出发的时间、地点、速度、相遇的地点等。
相遇问题的定义1相遇问题的解题思路23确定物体的数量和它们的运动性质（同时同向或同时反向）。
确定物体出发的时间和地点，以及相遇的地点。
运用速度、时间、距离之间的关系，列出方程并求解。
相遇问题的实例解析•问题：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，经过4小时后相遇。
甲的速度是10千米/小时，乙的速度是8千米/小时。
求A、B两地的距离。
•分析：甲和乙两人同时出发，相向而行，所以他们的相对速度是两者速度之和，即10千米/小时 + 8千米/小时 = 18千米/小时。
经过4小时后相遇，所以A、B两地的距离就是甲和乙两人相对速度乘以相遇时间。
•解法•设A、B两地的距离为x千米。
•根据题意，甲和乙两人相对速度为18千米/小时，相遇时间为4小时。
•则有方程：x = 18 × 4•解得：x = 72千米•答案：A、B两地的距离为72千米。
小学高部奥数行程问题讲解及训练一、弄清思路行程问题是小学奥数题的重要组成部分，那么如何学好行程问题？下面由多年从教经验的老师来回答这个问题：因为行程的复杂，所以很多同学一开始就会有畏难心理。
因此，学习行程一定要循序渐进，不要贪多，力争学一个知识点就要能吃透它。
我们要知道，学习奥数有四种境界：第一种：课堂理解。
就是说能够听懂老师讲解的题目；第二种：能够解题。
就是说同学听懂了还能做出作业。
第三种：能够讲题。
就是不仅自己会做，还要能够讲给家长或同学听。
第四种：能够编题。
就是自己领悟这个知识了，自己能够根据例题出题目，并且解出来。
这也是解决向数题的最高境界了。
其实大部分同学学习奥数都只停留在第一种境界，有的甚至还达不到，能够达到第三种境界的同学考取重点中学实验班基本上没有什么问题了。
而要想在行程上一点问题没有，则要求同学达到第四种境界。
即系统学习，还要能深刻理解，刻苦钻研。
而这四种境界则是学习行程的四个阶段或者说好的方法。
二、基本公式1、一般行程问题公式平均速度×时间=路程；路程÷时间=平均速度；路程÷平均速度=时间。
2、列车过桥问题公式（桥长+列车长）÷速度=过桥时间；（桥长+列车长）÷过桥时间=速度；速度×过桥时间=桥、车长度之和。
3、同向行程问题公式追及（拉开）路程÷（速度差）=追及（拉开）时间；追及（拉开）路程÷追及（拉开）时间=速度差；（速度差）×追及（拉开）时间=追及（拉开）路程。
4、反向行程问题公式反向行程问题可以分为“相遇问题”（二人从两地出发，相向而行）和“相离问题”（两人背向而行）两种。
这两种题，都可用下面的公式解答：（速度和）×相遇（离）时间=相遇（离）路程；相遇（离）路程÷（速度和）=相遇（离）时间；相遇（离）路程÷相遇（离）时间=速度和。
5、行船问题公式（1）一般公式：静水速度（船速）+水流速度（水速）=顺水速度；船速-水速=逆水速度；（顺水速度+逆水速度）÷2=船速；（顺水速度-逆水速度）÷2=水速。
行程问题五年级奥数题
及答案
work Information Technology Company.2020YEAR
行程问题
甲、乙二人沿铁路相向而行，速度相同，一列火车从甲身边开过用了8秒钟，离甲后5分钟又遇乙，从乙身边开过，只用了7秒钟，问从乙与火车相遇开始再过几分钟甲乙二人相遇？
解：要求过几分钟甲、乙二人相遇，就必须求出甲、乙二人这时的距离与他们速度的关系，而与此相关联的是火车的运动，只有通过火车的运动才能求出甲、乙二人的距离.火车的运行时间是已知的，因此必须求出其速度，至少应求出它和甲、乙二人的速度的比例关系.由于本问题较难，故分步详解如下：
①求出火车速度V车与甲、乙二人速度V人的关系，设火车车长为l，则：
（i）火车开过甲身边用8秒钟，这个过程为追及问题：故l＝（V车-V人）×8；（1）
（ii）火车开过乙身边用7秒钟，这个过程为相遇问题：故l=（V车+V人）×7.（2）
由（1）、（2）可得：8（V车-V人）＝7（V车+V 人），
所以，V车=l5V人。
②火车头遇到甲处与火车头遇到乙处之间的距离是：
（8+5×6O）×（V车+V人）=308×16V人=4928V人。
③求火车头遇到乙时甲、乙二人之间的距离。
火车头遇甲后，又经过（8+5×60）秒后，火车头才遇乙，所以，火车头遇到乙时，甲、乙二人之间的距离为：4928V人-2（8＋5×60）V人=4312V人。
④求甲、乙二人过几分钟相遇？。
五年级下册复杂行程问题在我们五年级下册的数学学习中，行程问题可是一个相当重要的部分。
它不仅考验着我们对数学知识的掌握，还锻炼着我们的逻辑思维和解决实际问题的能力。
今天，就让我们一起来深入探讨一下那些复杂的行程问题。
首先，我们要明确行程问题中几个关键的概念。
速度，就是单位时间内所走的路程；时间，就是行走所花费的时长；路程，则是在一定速度下经过一定时间所走过的距离。
这三者之间有着紧密的联系，速度×时间＝路程。
比如说，有一辆汽车以每小时 60 千米的速度行驶了 3 小时，那么它行驶的路程就是 60×3 ＝ 180 千米。
理解了这些基本概念，我们才能更好地解决复杂的行程问题。
接下来，让我们看一些具体的复杂行程问题类型。
相遇问题是常见的一种。
假设甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，经过一段时间后相遇。
这时候，我们要知道，他们走过的路程之和等于 A、B 两地之间的距离。
比如，甲的速度是每小时 40 千米，乙的速度是每小时 50 千米，他们同时出发，经过 2 小时相遇。
那么 A、B 两地的距离就是（40 ＋ 50）×2 ＝ 180 千米。
追及问题也很有趣。
比如甲在乙前面一定距离，乙的速度比甲快，经过一段时间乙追上了甲。
这时候，乙走过的路程减去甲走过的路程就等于他们最初的距离差。
假设甲的速度是每小时 30 千米，乙的速度是每小时 45 千米，甲先走 1 小时，然后乙出发去追甲，经过 3 小时追上。
那么最初甲先走的路程是 30×1 ＝ 30 千米，在这 3 小时里，甲走的路程是 30×3 ＝ 90 千米，乙走的路程是 45×3 ＝ 135 千米，所以最初他们的距离差就是 135 90 ＝ 45 千米，正好等于甲先走的 30 千米。
还有环形跑道问题。
如果两人在环形跑道上同时同地同向出发，跑得快的人会不断追上跑得慢的人，每次追上就多跑一圈；如果是同时同地反向出发，两人相遇时走过的路程之和就是跑道的一圈。
五年级数学常考的行程问题练习（附答案）1.两个城市相距500千米，一列客车和一列货车同时从两个城市相对开出，客车平均速度是每小时55千米，货车平均速度是每小时45千米。
两车开出后几小时相遇?2.两辆汽车同时从甲乙两地相对开出，一辆汽车每小时行56千米，另一辆汽车每小时行63千米，经4小时相遇。
甲乙两地相距多少千米?3.客车与货车分别从相距275千米的两站同时相向开出，2.5小时在途中相遇。
已知客车每小时行60千米，货车每小时行多少千米?4.两辆汽车同时从相距465千米的两地相对开出，4.5小时后两车还相距120千米。
一辆汽车每小时行37千米，另一辆汽车每小时行多少千米?5.丙列火车同时从甲乙两城相对开出。
一列火车每小时行60千米，另一列火车每小时行80千米。
4小时后还相距210千米，求两城距离。
6.甲乙两队合挖一条水渠，甲队从东往西挖，乙队从西往东挖，甲队每天挖75米，比乙队每天多挖2.5米。
两队合作8天后还差52米这条水渠全长多少米?7.甲乙两地相距484千米，一辆汽车从甲地开往乙地，1.5小时后，一辆摩托车从乙地开往甲地，4小时与迎面开来的汽车相遇。
已知汽车每小时行40千米，求摩托车每小时行多少千米?8.甲镇与乙镇相距138千米，张王二人骑自行车分别从两镇同时出发相向而行。
张每小时行13千米，王每小时行12千米，王在行时中因修车耽误1小时，然后继续行进。
求从出发到相遇经过几小时?9.甲乙两城相距240千米。
客车从甲城开往乙城，每小时行50千米，货车从乙城开往甲城，每小时行30千米。
两车同时出发，2小时后还相距多少千米?10.甲、乙二人从相距31.2千米的两村相对起来，甲每小时行4千米，乙每小时行4.8千米。
两人相遇时乙行14.4千米，甲比乙先出发几小时?【参考答案】1.500/(55+45)=5(小时)2.(56+63)×4=476(千米)3.276/2.5-60=50(千米)4.(465-120)/4.5=39.7(千米)5.(60+80)×4+210=770(千米)6.(75=75-2.5)×8+52=1232(米)7.(484-40×1.5)/4-40=66(千米)8.(138-13)/(13+12)+1=6(小时)9.240-(50+30)×2=80(千米)10.(31.2-14.4)/4-14.4/4.8=1.2(小时)。
复杂流水行船电梯知识要点一、扶梯问题说明扶梯问题与流水行船问题十分相像，区别只在与这里的速度并不是我们常见的“千米每小时”，或者“米每秒”，而是“每分钟走多少个台阶”，或是“每秒钟走多少个台阶”。
从而在扶梯问题中“总路程”并不是求扶梯有多少“千米”或者多少“米”，而是求扶梯的“静止时可见台阶总数”。
二、扶梯问题解题关键1、当人顺着扶梯的运动方向走台阶时，相当与流水行船中的“顺水行驶”，这里的水速就是扶梯自身的台阶运行速度。
有：人的速度+扶梯速度=人在扶梯上的实际速度扶梯静止可见台阶总数=时间×人速+时间×扶梯速=人走的台阶数+扶梯自动运行的台阶数2、当人沿着扶梯逆行时，有：人的速度-扶梯速度=人在扶梯上的实际速度扶梯静止可见台阶总数=时间×人速-时间×扶梯速=人走的台阶数-扶梯自动运行的台阶数。
1．对扶梯问题中顺(逆)扶梯速度、扶梯速度、人的速度的理解。
2．在扶梯的相遇与追及问题中引入消元思想。
3．解决行程问题时画线段图可以帮助解题。
一、参考系速度通常我们所接触的行程问题可以称作为“参考系速度为0”的行程问题，例如当我们研究甲乙两人在一段公路上行走相遇时，这里的参考系便是公路，而公路本身是没有速度的，所以我们只需要考虑人本身的速度即可。
二参考系速度——“水速”但是在流水行船问题中，我们的参考系将不再是速度为0的参考系，因为水本身也是在流动的，所以这里我们必须考虑水流速度对船只速度的影响，具体为：①水速度=船速+水速；②逆水速度=船速-水速。
（可理解为和差问题）由上述两个式子我们不难得出一个有用的结论：船速=(顺水速度+逆水速度)÷2；水速=(顺水速度-逆水速度)÷2此外，对于河流中的漂浮物，我们还会经常用到一个常识性性质，即：漂浮物速度=流水速度。
三、流水行船问题中的相遇与追及①两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速②同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关.甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速.说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速没有关系.常见流水行船和电梯问题【例 1】小明站着不动乘电动扶梯上楼需30秒，如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需12秒，那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒？【例 2】在商场里，小明从正在向上移动的自动楼梯顶部下120级台阶到达底部，然后从底部上90级台阶回到顶部．自动楼梯从底部到顶部的台阶数是不变的，假设小明单位时间内下的台阶数是他上的台阶数的2倍．则该自动楼梯从底到顶的台阶数为．【例 3】在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶到达地面．从站台到地面有级台阶．【例 4】小志与小刚两个孩在电梯上的行走速度分别为每秒2个台阶和每秒3个台阶，电梯运行后，他俩沿电梯运行方向的相同方向从一楼走上二楼，分别用时28秒和20秒，那么如果小志攀登静止的电梯需要用时多少秒？【例 5】小淘气乘正在下降的自动扶梯下楼，如果他一级一级的走下去，从扶梯的上端走到下端需要走36级．如果小淘气沿原自动扶梯从下端走到上端(很危险哦，不要效仿!)，需要用下楼时5倍的速度走60级才能走到上端．请问这个自动扶梯在静止不动时有多少级?【例 6】自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩每分走20级，女孩每分走15级，结果男孩用了5分到达楼上，女孩用了6分到达楼上．问该扶梯露在外面的部分共有多少级？【例 7】（2008年台湾小学数学竞赛选拔赛决赛）小丁在捷运站搭一座电扶梯下楼．如果他向下走14阶，则需时30秒即可由电扶梯顶到达底部；如果他向下走28阶，则需时18秒即可由电扶梯顶到达底部．请问这座电扶梯有几阶？【例 8】甲在商场中乘自动扶梯从一层到二层，并在顺扶梯运行方向向上走，同时乙站在速度相等的并排扶梯从二层到一层．当甲乙处于同一高度时，甲反身向下走，结果他走了60级到达一层．如果他到了顶端再从“上行扶梯”返回，则要往下走80级．那么，自动扶梯不动时甲从下到上要走【例 9】两个码头相距352千米，一船顺流而下，行完全程需要11小时.逆流而上，行完全程需要16小时，求这条河水流速度。
五年级奥数讲义第九讲行程问题一、学法指导有关距离、速度、时间三个量之间的关系问题称为行程问题，即有：距离=速度×时间1.相遇问题相遇距离=速度和×相遇时间2.追及问题追及距离=速度差×追及时间二、例题：例1、甲乙两人分别驾车从A、B两地相向而行，第一次相遇时甲行了全程的五分之三，相遇后两人继续前进。
甲和乙分别到达B、A两地后立即又以原速返回。
第二次相遇地点和第一次相遇地点相距120千米，到第二次相遇时甲驾车一共走了几千米？例2、两条船分别从长江南北两岸相对开出，在离岸260米处相遇后继续前进，各自到达对岸后立即返回，又在离岸200米处相遇，问大江有多宽？例3、小华在8点到9点之间开始解一道题，当时时针、分针正好成一直线。
解完题时两针正好第一次重合。
问：小华解这道题用了多长时间？例4、从甲城到乙城的铁路线上每隔10千米有一个小车站，一列慢车上午9点整以每小时45千米的速度由甲开往乙，另一列快车上午9点30分以每小时60千米的速度也由甲开往乙，铁路部门规定，同方向的两列火车前进时相距不能小于8千米，问这列慢车最迟应在离甲城多远的小车站停车，让快车超过？例5、甲、乙自A地同时出发，同向而行，甲骑自行车，乙骑三轮车。
15分钟后丙发现甲忘带钱，于是骑车从A地出发去追甲，丙追上并把钱交给甲后立即按原速沿原路返回，掉头行了3千米时又遇到乙。
已知乙的速度是每小时6千米，而丙的速度是乙的2倍。
求甲的速度。
例6、甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米、乙每分钟走50米、丙每分钟走40米。
甲从A地，乙和丙从B地同时出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟与丙相遇，求A、B 两地间的距离。
例7、甲、乙两人沿铁路相向而行，速度相同。
一列火车从甲身边开过用了8秒钟，离甲后5分钟又遇乙，从乙身边开过，只用了7秒钟，问从乙与火车相遇开始再过几分钟甲、乙两人相遇？三、练习A卷、基本能力训练1.晶晶每天早上从家步行去学校，如果每分钟走60米，则要迟到5分钟，如果每分钟走75米，则可提前2分钟到校。
《行程问题》练习题（含答案）行程问题是一类常见的重要应用题，在历次数学竞赛中经常出现．行程问题包括：相遇问题、追及问题、流水行船问题、环形行程问题等等，思维灵活性大，辐射面广，但万变不离根本，就是距离、速度、时间三个基本量之间的关系，即：距离=速度×时间 .在这三个量中，已知两个，可求出第三个未知量．这一讲就是通过例题加深对这三个基本数量关系的理解.解决行程问题时，画图分析是一个非常有效的方法，我们一定要养成画图解决问题的好习惯！【复习1】甲、乙两辆汽车从东、西两地同时相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在离中点32千米处相遇.求东、西两地间的距离是多少千米?分析：画图分析.相遇时甲车比乙车多行：32×2=64(千米)，甲车每小时比乙车多行：56-48=8(千米)，甲、乙两车从同时出发到相遇要：64÷8=8(小时)，东、西两地间的距离是：(56+48)×8=832(千米).【复习2】如右图，A，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇。
已知C离A有80米，D离B有60米，求这个圆的周长.分析：从A点出发到第一次相遇，两人共走了0.5圈；从A点出发到第二次相遇，两人共走了1.5圈。
因为1.5÷0.5＝3，所以第二相遇时甲走的路程是第一次相遇时的3倍，即弧ACD=AC×3=240（米），则弧AB=240—BD=180（米），圆周长为180×2=360（米）【复习3】两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑. 甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？分析：在封闭的环形道上同向运动属追及问题，反向运动属相遇问题.同地出发，其实追及路程或相隔距离就是环形道一周的长.这道题的解题关键就是先求出环形道一周的长度. 环形道一周的长度：（250-200）×45=2250（米）.反向出发的相遇时间：2250÷（250+200）=5（分钟）.【例1】汽车往返于A，B两地，去时速度为40千米／时，要想来回的平均速度为48千米／时，回来时的速度应为多少？分析：假设AB两地之间的距离为480÷2=240千米，那么总时间=480÷48=10（小时），回来时的速度=240÷（10-240÷40）=60（千米/时）.【前铺】汽车上山以30千米／时的速度，到达山顶后立即以60千米／时的速度下山.求该车的平均速度.分析：注意平均速度=总路程÷总时间，我们可以把上山的路程看作“1”，那么就有：（1+1）÷（113060）=40（千米／时），在这里我们使用的是特殊值代入法，当然可以选择其他方便计算的数值，比如上山路程可以看作60千米，总时间=（60÷30）+（60÷60）=3，总路程=60×2=120，平均速度=120÷3=40（千米/时）.【例2】一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周. 在三条边上它每分钟分别爬行50cm，20cm，40cm（如右图）.它爬行一周平均每分钟爬行多少厘米？分析：假设每条边长为200厘米，则总时间=200÷50+200÷20+200÷40=4+10+5=19（分钟），爬行一周的平均速度=200×3÷19=113119（厘米/分钟）.【例3】老王开汽车从A到B为平地（见右图），车速是30千米／时；从B到C为上山路，车速是22.5千米／时；从C到D为下山路，车速是36千米／时. 已知下山路是上山路的2倍，从A到D全程为72千米，老王开车从A到D共需要多少时间？分析：设上山路为x千米，下山路为2x千米，则上下山的平均速度是：（x+2x）÷（x÷22.5+2x ÷36）=30（千米/时），正好是平地的速度，所以行AD总路程的平均速度就是30千米/时，与平地路程的长短无关.因此共需要72÷30＝2.4（时）.【例4】小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行. 每隔9分钟就有辆公共汽车从后面超过他，每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车. 问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车?公共汽车的速度是小明步行速度的几倍?分析：假设小明在路上向前行走了63（7、9的最小公倍数）分钟后，立即回头再走63分钟，回到原地.这时在前63分钟他迎面遇到63÷7=9（辆）车，后63分钟有63÷9=7（辆）车追上他，那么在两个63分钟里他共遇到朝同一方向开来的16辆车，所以发车的时间间隔为：63×2÷（9+7）=778（分）.公共汽车的发车时间以及速度都是不变的，所以车与车之间的间隔也是固定不变的. 根据每隔9分钟就有辆公共汽车从后面超过他，我们可以得到：间隔=9×（车速-步速）；每隔7分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，我们可以得到：间隔=7×（车速+步速），所以9×（车速-步速）=7×（车速+步速），化简可得：车速=8倍的步速.【巩固】小红放学后沿着公共汽车的线路以4千米／时的速度往家走，一边走一边数来往的公共汽车. 到家时迎面来的公共汽车数了11辆，后面追过的公共汽车数了9辆. 如果公共汽车按相等的时间间隔发车，那么公共汽车的平均速度是多少?分析：我们可以假设小红放学走到家共用99分钟，那么条件就可以转化为：“每隔9分钟就有辆公共汽车迎面开来，每隔11分钟就有辆公共汽车从后面超过他”.根据汽车间隔一定，可得：间隔=11×（车速-步速）=9×（车速+步速），化简可得：车速=10倍的步速.所以车速为40千米/时.【例5】一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟. 有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站. 他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站. 在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车。
2014年暑期人教版新五年级预习讲义（九）——复杂方程温故知新——课前测试1.选择。
（1）下面的式子中，（ C）是方程。
A．7x+8 B.5x-6<20C．5x+3=18 D.8+10=18（2）下面的式子中，（ D）不是方程。
A．18-5x=6 B.5x+6x=88C．8x-2=5x+3 D.8（x-5）+62.解方程。
（1）÷x=15.9 x=13厚积薄发——知识储备1．方程的意义与性质方程：含有未知数的等式。
方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。
解方程：求方程解的过程。
方程一定是等式，等式不一定是方程。
等式的两边同时加上或减去相同的数，同时乘或除以相同的数（0除外），等式左右两边仍然相等。
2.解方程的步骤1、解方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化未知数系数为1。
2、移项变号：根据等式的基本性质可以把方程的某一项从等号的一边移到另一边，但一定要注意改变原来的符号。
我们常说“移项变号”。
3、移项的目的：是为了把含有x的未知项和数字项分别放在等号的两端，使“未知项=数字项”，从而求出方程的解。
4、怎样检验方程的解的正确性？判断一个数是不是方程的解，就要把这个数代入原方程，看方程两边结果是否相同。
小试牛刀——例题精讲【例1】求解x（1）5x+6=36 6（2）4x+6=30 6（3）3x-7=8 5（4）9x-12+7=31 4【练习】（1）4x+7=358（2）7x-6=9915（3）13x+16-9=987【例2】求解x（1）3x+5×6=9321（2）4x-3×7=2712（1）6x+19×3=12312（2）5x=129-2×3711【例3】求解x（1）4x+6=3x+82（2）6x-14=4x+5（3）12-4x=3x-22【练习】（1）20+4x=32-2x2（2）12-3x=7x-183（3）15-3x=19-4x4【例4】求解x（1）6(3+x)=7810（2）3(2x-1)=4(3-x)（1）2(x+3)=3(x+1)3（2）12-(3x-4)=x4【例5】求解x（1）4(x+1)-3(x-1)=2x+3 4【练习】（1）5(x+3)-3(x-2)=43-2x真枪实战——课后练习求解x（1）6x+9=9314（2）17x-13=896（3）8x-3×7=519（4）11x-3×6=83+4×511（5）13x+8=14x+35（6）12-3x=5x+41（7）115-18x=24-11x13（8）1+2(3-x)=x+7（9）2+3(x-26)=92-x42（10）13-2x+6(3-x)=12(x-3)-3国家与数学（9）尼尔斯·亨利克·阿贝尔，1802年-1829年，十九世纪挪威最伟大的数学家。
如图，A 、B 是一条道路的两端点，亮亮在A 点，明明在B 点，两人同时出发，相向而行。
他们在离A 点100米的C 点第一次相遇。
亮亮到达B 点后返回A 点，明明到达A 点后返回B 点，两人在离B 点80米的D 点第二次相遇。
整个过程中，两人各自的速度都保持不变。
求A 、B 间的距离。
知识概述特殊行程类型1. 多次相遇问题2. 猎狗追兔问题3. 发车间隔问题4. 其他问题特殊行程问题行程问题思维灵活性大，辐射面广，但根本在于路程、速度和时间三个基本量之间的关系，掌握这三个数量关系式，是解决行程问题的关键。
在解答行程问题时，经常采取画图分析的方法，根据题意画出线段图，来帮助我们分析、理解题意，从而解决问题。
名师点题【解析】第一次相遇，两人共走了1个全程，其中亮亮走了100米；从开始到第二次相遇，两人共走了3个全程，则亮亮走了100×3=300（米），亮亮共走的路程是一个全程多80米，所以A、B间的距离是：300-80=220（米）亮亮骑着自行车，以每分钟400米的速度，从46路汽车的始发站，沿46路车的线路前进，当他骑出1400米时，一辆46路车从始发站开出，已知这辆车每分钟行600米，每4分钟到达一站并停车1分钟，那么汽车开出（）分钟后能追上亮亮。
【解析】以5分钟为1个周期：在这段时间内，亮亮骑了400×5=2000（米），46路车行驶了600×4=2400（米），两者的距离减少了2400-2000=400（米）。
两个周期后，两者的距离是1400-400×2=600（米），600÷（600-400）=3（分钟），所以，在第三个周期内，汽车追上了亮亮，共用时5×2+3=13（分钟）。
注：因为1400÷400=3……200，所以这里可能犯的错误是认为汽车要在第四个周期才追上亮亮。
但是，注意到1个周期内两者的距离是先拉近后拉大，两者的距离最多能够减少（600-400）×4=800（米），所以实际上汽车在第三个周期内就能追上亮亮了。
A、B两地是电车的两个起点站，每隔12分钟发一辆车，电车每小时行25千米，请问：如果小明从A地坐电车到B地，那么他每隔多长时间会看见一辆电车迎面开来？【解析】同一方向行驶的相邻两辆车的间隔是（12÷60）×25=5（千米），小明和电车迎面相遇属于相遇问题，从迎面遇到第1辆电车到遇到第2辆电车，相遇的路程是相邻两辆车的间隔300千米，速度和是小明的速度（电车速度）和电车的速度和，相遇时间即为迎面遇到电车的间隔时间。
（12÷60）×25÷（25+25）×60=6（分钟）【巩固拓展】1.乙两人分别从A、B两地同时相向而行，第一次相遇离A地80千米。
两人又继续各自向前行，分别到达B、A两地后，立即返回（不停留），到第二次相遇离A地60千米。
那么，A、B两地相距（）千米。
【解析】第一次相遇时，甲乙合走1个全程，甲走了80千米；第二次相遇时，甲乙合走3个全程，甲走了80×3=240（千米），第二次相遇离A地60千米，所以甲乙两地的距离为（80×3+60）÷2=150（千米）2.A、B两地是电车的两个起点站，每隔12分钟发一辆车，电车每小时行25千米，请问：如果小明从B地步行走向A地，每小时行5千米，那么他每隔多长时间会看见一辆电车迎面开来？每隔多长时间会有一辆电车从后面超过他？【解析】 小明的速度变了，但迎面相遇的情景仍和例3相似，后面超过的过程属于追及问题，从后面面第1辆电车超过小明到第2辆电车超过，第2辆电车追及的路程是相邻两辆车的间隔5千米，速度差就是电车的速度与小明的速度差，追及时间即为电车超过小明的间隔时间。
迎面：（12÷60）×25÷（5+25）×60=10（分钟） 后面：（12÷60）×25÷（25-5）×60=15（分钟）甲、乙、丙三人，甲每分钟行80米，乙每分钟行70米，丙每分钟行60米。
如果甲从A 地，乙、丙从B 地，三人同时出发相向而行，途中甲与乙先相遇，后再经过5分钟甲、丙相遇。
那么，A 、B 之间的距离是多少米？【解析】 甲和乙相遇后再经过5分钟甲、丙相遇，说明甲和乙相遇时，乙比丙多行的路程：（80+60）×5=700（米）甲与乙从出发到相遇的时间：700÷（70-60）=70（分钟） A 、B 之间的距离：（80+70）×70=10500（米） 答：A 、B 之间的路程是10500米。
【巩固拓展】甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。
甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米。
在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。
这个花圃的周长是多少米？【解析】 甲先与乙相遇。
在甲、乙相遇这段时间里，乙、丙所行的路程差正是甲、丙在3分钟内相向而行的路程之和：（40+36）×3=228（米）从出发到甲、乙相遇所用的时间为：228÷（38-36）=114（分） 所以，花圃的周长为：（40+38）×114=8892（米）（第三届小机灵杯邀请赛试题）甲、乙分别自A 、B 两地同时相向步行，2小时后在中途相遇。
相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/时。
当甲到达B 地后立刻按原路向A 地返行，当乙到达A 地后也立刻按原路向B 地返行。
甲、乙二人在第一次相遇后3小时36分又再次相遇。
A 、B 两地的距离是（ ）千米。
【解析】 第一次相遇时，甲乙合走1个全程，用时2小时；从第一次相遇到第二次相遇时，甲乙合走2个全程，用时3小时36分，即3.6小时，说明速度提高后，甲乙合走1个全程，用时3.6÷2=1.8小时；甲乙原来的速度和：1.8×（1+1）÷（2-0.8）=18（千米/时） A 、B 距离：18×2=36（千米/时）快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿着同一条公路追赶前面的一个骑车人。
已知这三辆车分别是每小时54千米、22千米、12千米，快车和中车分别用2小时、6小时追上了骑车人。
那么慢车要用多少时间追上骑车人？【解析】 快车从开始追到追上骑车人用了2小时，快车2小时行驶的路程等于“原来最初车与人的距离+骑车人2小时行驶的路程”，中车从开始追到追上骑车人用了6小时，中车6小时行驶的路程等于“原来最初车与人的距离+骑车人6小时行驶的路程”，所以骑车人4小时行驶的路程等于“中车6小时行驶的路程-快车2小时行驶的路程”。
骑车人的速度：（22×6 – 54×2）÷（6-2）=6（千米/时） 原来最初车与人的距离：54×2-6×2=96（千米） 96÷（12-6）=16（小时）答：慢车要用16小时追上骑车人。
（第六届中环杯初赛试题）某人骑自行车在路上前行，每隔12分钟有一辆电车从后面超过他，每隔4分钟有一辆电车迎面向他驶来。
此人与电车的速度均保持不变，且不计电车停车的时间和上、下车乘客所用的时间。
那么每隔（ ）分钟，从起点站发出一辆电车。
【解析】 “车距不变”是求解发车间隔问题的关键。
设骑自行车的速度为1，车速为x ，得 （x+1）×4=（x-1）×12 8x=16x=2 车距：（2＋1）×4=12 发车间隔：12÷2=6（分钟）【巩固拓展】（第六届小机灵杯邀请赛试题）小明步行，小英骑车，小英的速度是小明的3倍，他们同时同向沿100路公交车同向而行，每隔12分钟有一辆100路公交车超过小明，每隔24分钟有一辆超过小英，已知100路公交车每隔同样的时间发一辆，那么100路公交车间隔（ ）分钟发一辆车。
【解析】 设小明的速度为1，则小英的速度为3，公交车速为x ，依题意得（x-1）×12=（x-3）×24 12x=60 x=5 车距：（5-1）×12=48 发车间隔：48÷5=9.6（分钟）一只猎狗追赶前方20米处的兔子。
已知狗一跳前进3米，兔子一跳前进2.1米，狗跳3次的时间兔子可以跳4次。
那么兔子跑出多远后将被猎狗追上？【解析】 以狗跳3次的时间为一个时间单位，在一个单位时间里，狗跑3×3=9（米），兔子跑4×2.1=8.4（米），所以兔子跑的距离为： 20÷（9-8.4）×8.4=280（米）。
答：兔子跑出280米后将被猎狗追上。
【巩固拓展】野兔逃出80步后猎狗才开始追，野兔跑7步的路程猎狗只需跑3步，野兔跑9步的时间猎狗只能跑5步。
问：猎狗要跑多少步才能追上野兔？【解析】 本题要注意兔子的1步和猎狗的1步是不一样的长度。
“野兔跑7步的路程猎狗只需跑3步，野兔跑9步的时间猎狗只能跑5步”可以转化为“野兔跑35步的路程猎狗只需跑15步，野兔跑27步的时间猎狗只能跑15步”。
在猎狗跑15步的时间里，猎狗跑了35个兔步，而野兔只跑了27个兔步，以猎狗跑15步的时间为单位时间，狗追上兔需要：80÷（35-27）=10个单位时间，猎狗跑了10×15=150（步）答：猎狗要跑150步才能追上野兔。
（第八届中环杯初赛试题）小明在河的东岸，小刚在河的西岸，他们分别向河对岸直线游去。
两人第一次在河中相遇时距西岸80米，相遇后各自继续向对岸游去，当游抵对岸后又立即返回。
他俩在河中第二次相遇时距东岸60米，相遇后再继续往前游，到达对岸后又立即返回。
当他俩在河中第三次相遇时，距东岸（ ）米，距西岸（ ）米。
【解析】 从出发到第1次相遇，小明和小刚一共游了1个全程，小刚游了80米；从出发到第2次相遇，小明和小刚一共游了3个全程，小刚游了80×3=240（米）；所以东西两岸的距离是：240-60=180（米）；从出发到第3次相遇，小明和小刚一共游了5个全程，小刚游了80×5=400（米）；400÷180=2 (40)这时候小刚距离西岸40米，距离东岸180-40=140（米）（第十二届中环杯初赛试题）甲、乙两人在一条圆形跑道上同时同地同向出发，绕圆形跑道跑步。
已知两人在跑步过程中速度均保持不变，且甲跑得比乙快。
甲第一次追上乙时，乙离开出发点250米。
当甲第二次追上乙时，乙离开出发点50米。
求跑道长。
【解析】因为两人始终保持匀速，所以从出发开始，甲第二次追上乙所用的总时间是第一次追上乙所用时间的2倍，两人各自所走的路程也是第一次的2倍。
