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质点系的功能原理和机械能守恒定律

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2-5质点系的功能原理 机械能守恒定律

2-5质点系的功能原理 机械能守恒定律

系统的功能原理：当系统从状态1变化到状态2 系统的功能原理 ：当系统从状态1 变化到状态2时， 它的机械能的增量等于外力的功与非保守内力的功的 总和，这个结论叫做系统的功能原理。 总和，这个结论叫做系统的功能原理。
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例题2 一汽车的速度v 例题2-16 一汽车的速度 0=36 km/h,驶至一斜率为 , 0.010的斜坡时，关闭油门。设车与路面间的摩擦阻 的斜坡时， 的斜坡时 关闭油门。 力为车重G的0.05倍，问汽车能冲上斜坡多远？ 力为车重 的 倍 问汽车能冲上斜坡多远？ 解法一，根据动能定理，取汽车为研究对象， 解： 解法一，根据动能定理，取汽车为研究对象， FN 受力如图所示。 受力如图所示。 1 2 −F ⋅ s − Gs sinα = 0 − mv0 （1） G2 ） f 2 s 上式说明， 上式说明，汽车上坡 Ff 时，动能一部分消耗于反 α 抗摩擦力作功， 抗摩擦力作功，一部分消 G G1 耗于反抗重力作功。 耗于反抗重力作功。因 Ff=µFN= µG1,所以 1 2 （2） ） µG1s + Gssinα = mv0 2
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（2）参看图(b)，以加力 时为初态，撤去力 而 参看图 ，以加力F 时为初态，撤去力F 弹簧伸长最大时为末态， 弹簧伸长最大时为末态，则 初态 末态
Ek1 = 0
Ek2 = 0
x x0 x O
1 2 Ep1 = kx1 2 1 2 Ep2 = kx2 2
F x2 x1
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重 Ep1 = mgh
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所以， 所以，系统在这位置的总机械能为
1 1 2 2 E1＝Ek1＋Ep1＋Ep1 = mv0 + kx0 + mgh 2 2 在物体下降到最低位置时， =0， 在物体下降到最低位置时，物体的动能Ek2=0， 系统的弹性势能应为 1 弹 Ep2 = k(x0 + h)2 2

机械能守恒

机械能守恒

碰撞前 碰撞后
5/15/2011 11:41 AM
r v1'
r v2'
16
3.7 碰撞 如果在两物体碰撞之后， 如果在两物体碰撞之后，由于非保守内力作功 将动能转化为其它形式的能量（如热能，光能）， 将动能转化为其它形式的能量（如热能，光能）， 它们的动能之和将减少，这类碰撞称作非弹性碰撞 非弹性碰撞。 它们的动能之和将减少，这类碰撞称作非弹性碰撞。 如果两物体作非弹性碰撞后以同一速度运动， 如果两物体作非弹性碰撞后以同一速度运动，这类 碰撞称作完全非弹性碰撞 完全非弹性碰撞。 碰撞称作完全非弹性碰撞。
5/15/2011 11:41 AM
Wint,cons = −∆Ep Wint = Wint,n−cons − ∆Ep
2
3.6 功能原理 机械能守恒
1 1 2 2 Wext +Wint = ∑ mi vi − ∑ mi vio =∆Ek 2 2
Wext +Wint,n−cons − ∆Ep = ∆Ek
mmS 1 2 mv'3 −G =0 2 RS
v' = v'3 −vE
5/15/2011 11:41 AM
12
3.6 功能原理 机械能守恒 抛体在脱离了地球的束缚后， 抛体在脱离了地球的束缚后，要再脱离太阳的束 缚，相对于地球参照系的速度不能小于
v' = v'3 −vE =
(
GmS 2 −1 RS
问题 如果两物体作完全非弹性碰撞， 如果两物体作完全非弹性碰撞，损失的 动能到哪去了? 动能到哪去了?
5/15/2011 11:41 AM 17
3.7 碰撞 小球作完全弹性对心碰撞，取速度方向为 轴正向 轴正向， 小球作完全弹性对心碰撞，取速度方向为x轴正向， 沿x轴方向系统的动量和动能守恒 轴方向系统的动量和动能守恒

功能原理 机械能守恒定律

功能原理 机械能守恒定律
h
``````
2GmE RE
2
2 gRE
E 0
第二宇宙速度
11.2km/s
4 – 5
功能原理
机械能守恒定律
3） 飞出太阳系 第三宇宙速度 第三宇宙速度 v3 ，是抛体脱离太阳引力所需的 最小发射速度 .
h
v
设
地球质量 mE , 抛体质量 m , 地球半径 RE , 太阳质量 mS , 抛体与太阳相距 RS .
2. 公式推导：
由质点系动能定理：
A外 A内 EK EK 0＝EK
4 – 5
功能原理
机械能守恒定律
由质点系动能定理：
A外 A内 EK EK A内保＋A内非
则 又
A外＋A内保＋A内非＝EK－EK 0＝EK
A内保 E p
即保守内力作的功等于质点系势能增量的负值.
3、功能原理与动能定理并无本质的区别。它们的区别
仅在于功能原理中引入了势能而无需考虑保守内力的功，这正 是功能原理的优点；因为计算势能增量常比直接计算功方便。
4 – 5
二
功能原理
机械能守恒定律
机械能守恒定律 (law of conservation of mechanical energy) 由质点系的功能原理

4 – 5
功能原理
机械能守恒定律

作 业：
4.5.1 ， 4.5.3.
4 – 5
四 宇宙速度
功能原理
机械能守恒定律
牛顿的《自然哲学的数学原理》插图，抛体 的运动轨迹取决于抛体的初速度
4 – 5
功能原理
机械能守恒定律
1） 人造地球卫星 第一宇宙速度 第一宇宙速度 v1，是在地面上发射人造地球卫星 所需的最小速度 . 设 地球质量

3-5功能原理机械能守恒定律

3-5功能原理机械能守恒定律

3-5 功能原理 机械能守恒定律一、 质点系的动能定理设一系统内有n 个质点，作用于各个质点的力所作的功分别为：1W 、2W 、3W 、…，使各质点由初动能10k E 、20k E 、30k E …改变为末动能1k E、2k E 、3k E …，由质点的动能定理式（3-9），可得10k 1k 1E E W -= 20k 2k 2E E W -= 30k 3k 3E E W -=………………以上各式相加，有∑∑∑===-=ni ni ni E E W 1ki01ki 1i （3-16）式中∑=ni i E 1k 是系统内n 个质点的初动能之和，∑=ni iE 1k 是这些质点的末动能之和，∑=ni iW 1则是作用在n 个质点上的力所作的功之和。

因此，上式的物理意义是:作用于质点系的力所作之功，等于该质点系的动能增量。

这也叫做质点系的动能定理。

正如前面所说，系统内的质点所受的力，既有来自系统外的力，也有来自系统内各质点间相互作用的内力，因此，作用于质点系的力所作的功∑iW ，应是一切外力对质点系所作的功∑=ex ex W W i 与质点系内一切内力所作的功∑=inin i W W 之和，即∑∑∑===+=+=n i ni i ni ii W W W W W 1in ex1in 1ex这样式(3-16)亦可写成∑∑==-=+ni i0n i i E E WW1k 1k inex（3-17）这是质点系动能定理的另一数学表达式，它表明，质点系的动能的增量等于作用于质点系的一切外力作的功与一切内力作的功之和。

二、质点系的功能原理前面已经指出，如果按力的特点来区分，作用于质点系的力，有保守力与非保守力之分。

无论是外力或者是内力都可以是保守力或非保守力。

因此，如以in cW 表示质点系内各保守内力作功之和，innc W 表示质点系内各非保守内力作功之和，那么，质点系内一切内力所作的功则应为inncin c in W W W +=此外，从式(3-15)已知，系统内保守力作的功等于势能增量的负值，因此，质点系内各内力的保守力所作的功应为)(10p 1p in c∑∑==--=ni i n i i E E W考虑了以上两点，式(3-17)可写为)()(10p 10k 1p 1k in ncex∑∑∑∑====+-+=+ni i n i i n i i n i i E E E E WW（3-18）在力学中，动能和势能统称为机械能。

功和能3

功和能3

通常，要应用实验方法测出四个未知数中的一个(即测出 恢复系数)，才能求出其余三个。 如果碰撞是非弹性的，那么只有关于动量守恒的两 个标量方程，未知量有四个，所以必须用实验方法测出
四个未知数中的两个，这样才能求出其余两个。
两个微观粒子相对运动而互相靠近，由于它们之间 的静电力或其它力的作用而发生偏转。这类问题也视为 碰撞问题来处理，在物理学中称之为散射。比如著名的 粒子散射(涉及到角动量守恒)。
相碰等都属于这类完全弹性碰撞。
3. m1 >> m2 ，且 v20=0 这相当于用质量很大的球去碰静止的质量很小的球。因为 m1 >> m2 ，有 这表明质量很大的球几乎以原速前进，而静止的质量很 小的球则以二倍于质量大的球的速率前进。
§4.6 非对心碰撞 如果两球相碰之前的速度不沿它们的中心连线，这种 碰撞叫做球的非对心碰撞 (斜碰撞)。在一般情况下，斜碰 为三维问题，碰撞后的速度 v1、 v2 不一定在 v10 与 v20 所
m1 G1
m2 g F m1 g x0 x1 x2 k k k 1 1 2 2 k ( x0 x1 ) kx2 m2 g ( x0 x1 x2 ) 2 2 F (m1 m2 ) g
碰 撞
§4.5 对心碰撞
碰撞有两个特点：首先，碰撞的短暂时间内相互作
用很强，可不考虑外界影响；其次，碰撞前后状态变化 突然且明显，力的具体情况难以确定，碰撞的细节难以 测量和记录，使得碰撞的中间过程很难讨论，但适合用 守恒定律研究运动状态的变化。
m2 接过m1的速度前进。在这种情况下，m1的动能完全转
变为 m2 的动能。 2. m1<<m2 ，且v20=0 这相当于用质量很小的球去碰撞质量很大的静止的球。因

4.4 功能原理 机械能守恒定律

4.4 功能原理 机械能守恒定律

30° A o
B
Ep = 0
20
4.4 功能原理 机械能守恒定律 第4章 功和能 功能原理
例：如图所示，轻质弹簧劲度系数为k，两端各固定一 质量均为M的物块A和B，放在水平光滑桌面上静止。 今有一质量为m的子弹沿弹簧的轴线方向以速度υ0射入 A 物块而不复出。求：此后弹簧的最大压缩长度。
解：第一阶段： 子弹射入到相对静止
第4章 功和能 功能原理
人们在总结各种自然过程中发现：
如果一个系统是孤立的、与外界无能量交换，系 统内部各种形式的能量可以相互转换，或由一个物体 传递给另一个物体。但是不论如何转换，这些能量的 总和却保持不变。能量既不能消灭，也不能创造。这 一结论叫做能量守恒定律。
例如：利用水位差推动水轮机转动，能使发电机发 电，将机械能转换为电能。
例：有一轻弹簧, 其一端系在铅直放置的圆环的顶点 P， 另一端系一质量为m 的小球，小球穿过圆环并在 圆环上运动(不计摩擦)。开始小球静止于点 A，弹簧处 于自然状态，其长度为圆环半径R； 当小球运动到圆 环的底端点B时，小球对圆环没有压力。
求：弹簧的劲度系数。
P
解 以弹簧、小球和地球为一系统，
R
Q A → B 只有保守内力做功 ∴系统机械能守恒 EB = EA
υ0
mA
B
于物块中。
由于时间极短，可认为物块还没有移动，
应用动量守恒定律，求得物块A的速度υA
mυ0 = ( M + m )υA
∴ υA
=
m (M +
m)
υ0
21
4.4 功能原理 机械能守恒定律 第4章 功和能 功能原理
第二阶段：A移动，直到当A 和B有相同的速度时，弹簧 压缩最大。应用动量守恒定

功能原理和机械能守恒定律


【例3-6】如下图所示，劲度系数为k的轻弹簧下端固定 ，沿斜面放置，斜面倾角为θ。质量为m的物体从与弹簧上端 相距为a的位置以初速度v0沿斜面下滑，并使弹簧最多压缩b ，求物体与斜面之间的摩擦因数μ。
【解】将物体、弹簧和地球视为一个系统。物体的重力、 物体与弹簧间的弹力为系统的保守内力；斜面对物体的支持力 为外力，它与物体的位移垂直，不做功；斜面与物体间的摩擦 力为外力，做功。
W外 W保内 W非保内 Ek Ek 0
由于保守力做功等于系统势能增量的负值，即W保内＝Ep0 －Ep，则上式可写为（功能原理）：
W外 W非保内 (Ek E p ) (Ek0 E p0 ) E E0 ΔE
1.2 机械能守恒定律
根据功能原理可知，如果质点系所受的外力和非保守内力 不做功或做功之和始终等于零，即W外＋W非保内＝0，则有：
1.3 能量守恒定律
由功能原理可知，外力与非保守内力做功的代数和不为 零时，质点系的机械能将发生变化，这实际上是其他形式的 能量与机械能之间的转化。例如，电动绞车提升重物时，电 流做正功，电能转化为机械能；运动员举杠铃时，肌肉作用 力做正功，人体内部的化学能转化为机械能等。
在大量能量转移和转化的过程中，人们总结出一条重要 的结论：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从 一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个 物体，在转化或转移的过程中其总量不变。这一规律称为能 量守恒定律，它是自然界中最普遍的规律之一，机械能守恒 定律只是这条定律在力学领域的特例。
物理学
功能原理和机械能守恒定律
1.1 功能原理
系统的动能与势能之和称为机械能，用E表示，即
E Ek Ep 力具有保守力与非保守力之分，对一个质点系而言，其内 力也可分为保守内力和非保守内力。相应地，内力的功W内也 可分为保守内力的功W保内和非保守内力的功W非保内，即W 内＝W保内＋W非保内。因此，质点系的动能定理式可写为：

第4章2 机械能守恒 质心


dz v 2 g (l z ) , dt
z
dvc d zv v 2 z dv 质心加速度为 ac ( ) . dt dt l l l dt
z zg 3zg 2 g (1 ) 2g l l l
设地板对绳子的作用力为 f, 对整根绳子应用质心 运动定理, 则有: f
例4 在一较大的无摩擦的平均半径为Ｒ的水平圆槽内，放有两个小 球，质量分别为ｍ和Ｍ，两球可在圆槽内自由滑动．现将一不计其 长度的压缩的轻弹簧置于两球之间，如图所示．1.将压缩弹簧释放 后，两球沿相反方向被射出，而弹簧本身仍留在原处不动，问小球 将在槽内何处发生碰撞？２.设压缩弹簧具有弹性势能Ｅ 0，问小球 射出后，经多少时间发生碰撞？ 解：（1）由于小球在运动过程中系统的 外力矩为零，系统动量矩守恒 设m质点的角速度为 1 M质点的角速度为 2
S
k
v
o
S’
v0
m
那么，在一个惯性参考系中动能定理、功能原理 成立，在另一个惯性参考系中是否也成立？
4.5 质心
讨论质点系运动时常常引入质量中心（简称质心）概念， 它是与质点系质量分布有关的一个代表点，它的位置在 平均意义上代表质量分布的中心。 设质点系各质点质量分别为 m1 , m2 , mi , mN . 各质点对某一坐标原点的位矢分别为 r , r2 , ri , rN . 1 则质点系质心的位矢为
A外力 A非保守内 Ep Ep0 Ek Ek 0
A外力 A非保守内 (Ek Ek0 ) (Ep Ep0 ) ( Ek Ep ) (Ek0 Ep0 )
定义：机械能
E Ek Ep

功之和。
A外力 A非保守内 E E0

2-5 质点系的功能原理 机械能守恒定律


O
T
k(x2 - x0)=m2g，
G
且有： kx1=F, kx0=m1g，
代入解得： F = ( m 1 + m 2 ) g .
这就是说 F≥（m1+m2)g 时，下板就能被拉起 。
24/32
中国矿业大学（北京）
例题2-17 （课后自学）
例题2-17 讨论宇宙航行所需要的三种宇宙速度。
解：第一宇宙速度（环绕速度）
m相对地的速度为:
G v
=
(v'
sinθ
−V
)iˆ
+
(v'
cosθ
)
ˆj ,
Ｖ
ｖ’ y
以地面为参考系， 选 m+M为研究系统，水平方向
不受外力，故水平方向动量守恒。
0 = m(v' sinθ −V ) − MV (1)
30/32
中国矿业大学（北京）
补充例题2
选 M,m,地球 为研究 系统，系统机械能守恒.
设在地球表面外某一高度的P
点发射飞行器，发射速度为v1，方 向和地面平行。当v1的值使机械能 E<0时，飞行器做椭圆运动。当v1 足够大时，使它能沿圆周Ⅱ运行，
这个速度就是第一宇宙速度。
飞行器以v1的环绕地球运动，所需向心力由万有引
力提供，亦即 G mEm = mv12
由此得
v1
r2 =G
mE r
r
x
弹簧原长
x0
m1
x
O
m2
如图，取上板的平衡位置为x 轴的原点O，并设弹簧
为原长时上板处在x0位置。
20/32
中国矿业大学（北京）
例题2-16

功能原理 机械能守恒定律

A B υa
第二章 守恒定律
5
物理 （工）
2-3
功能原理
机械能守恒定律
例 2-11 如图，一质量为m的木块与一劲度 系数为k的轻弹簧相连，木块以初速度v0从 弹簧平衡位置处向右运动，木块与水平面 之间的摩擦因数为µ ，求木块能够达到的最 远距离.
第二章 守恒定律
6
物理 （工）
2-3
功能原理
机械能守恒定律
物理 （工）
2-3
功能原理
机械能守恒定律
一
质点系的动能定理
对第 i 个质点，有
m1
ex Fi
Wi Wi Eki Eki 0
ex in
in m i m2 Fi
外力功 内力功
对质点系，有
W
i
ex
i
Wi Eki Eki 0 Ek Ek 0
in i i
ex
例 2-12 如图，在高h=20m处以初速度 v0=18m/s倾斜地抛出质量m=50g的小石块。 （1 落地时速率变成v=20m/s，求空气阻力所做 v m 的功。
0
h v
第二章 守恒定律
7
物理 （工）
2-3
功能原理
机械能守恒定律
例 2-13 当人造地球卫星有足够的速度时， 就可以在地球引力的作用下在稳定的轨道上 绕地球作圆周运动。求人造地球卫星的动能、 势能和机械能。卫星的机械能是否守恒？
第二章 守恒定律
8
物理 （工）
2-3
功能原理
机械能守恒定律
2010.07 31.如题31图所示，一劲度系数为k的轻弹簧一端固定，另一 端与一质量为M的木块相连.初时弹簧无形变，木块静止在 水平桌面上.现有一质量为m的泥团沿水平方向飞来，粘在 木块上.已知粘上泥团后，木块开始运动的速率为v. 求：(1)泥团粘上木块的过程中，泥团与木块组成的系统动 量是否守恒?泥团初速度的大小v0为多少? (2)如果不考虑桌面与木块之间的摩擦，求弹簧的最大压缩 量x1； (3)如果考虑桌面与木块之间的摩擦，且已知弹簧的最大压 缩量为x2，则木块与弹簧之间的动摩擦因数μ为多少?
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【保守力场】存在保守力的空间区域。如：重力场。
对保守力，必有：
C
B
LF dr 0
A•
C'
保守力沿任意闭合路径所做的功为零。
一、保守内力 势能
若
F
dr
0
则
F
为非保守力
L
如：摩擦力沿任意闭合路径的功
L
0
一对摩擦力：机械能耗散为热能的途径和量度。
一般地，若
F
dr
0
则F
为耗散力
L
一、保守内力 势能
3、重力的功
重力：
A(0, hA ,0)
WAB mg (hA hB )
y hA
mg j
hB
O
z
B(0, hB ,0)
x
重力做功只与始末相对位置有关!
一、保守内力 势能
小结
1、引力的功
2、弹性力的功
1、重力的功
一、保守内力 势能
【保守力】做功只与始末位置有关，而与质点所经历路径无 关的力。如：重力、引力、弹性力。
亦即：当系统中只有保守内力做功
则其机械能
（常量）
（1）机械能守恒条件： 系统在某一过程中始终只有保守内力做功！ 而不能只考虑始末两状态的
（2）适用于惯性系，且与惯性系的选择有关； （3）机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在力学
问题中的体现。
三、机械能守恒定律
例：用弹簧连接两个木板m1 、m2，弹簧压缩x0
W外 W非保内 ( Ek E p ) E
二、质点系的功能原理
W外 W非保内 ( Ek E p ) E
意义：质点系机械能的增量等于所有的外力和 所有非 保守内力做功的代数和。
说明
（1）与动能定理无本质区别，但功能原理用相应势 能增量的负值代替保守内力的功。
（2）引入重力势能，原则上应计及地球动能的变化。 （3）功与机械能的数值均与参考系有关，但功能原
求：至少给m2上加多大的压力，使m1 恰能离开桌面？
E p弹 0
E p重 0
自然 位置
提示： 整个过程只有保守力作功，机械能守恒
y
A(0, hA ,0) hA
一般地：
E p (h) mg (h h0 )
hB
O
h0：势能零点处高度
z
若 h0 0，则有 E p (h) mgh
参考重力 势能零点
B(0, hB ,0)
x
一、保守内力 势能
引力势能
一般地：
r0：势能零点到坐标原点的距离
若 r0 ，则有
O
m2
参考重力 势能零点
理所揭示的关系适用于所有惯性系。
三、机械能守恒定律
由质点系功能原理： W外 W非保内 ( Ek E p ) E
考虑系统所经历的任意瞬态过程，有
dW外 dW非 保 内 dE
dt
dt
dt
若
dW外 dt
0
; dW非 保 内 0 dt
dE 0 dt
（常量）
三、机械能守恒定律
若系统的所有外力与非保守内力均不做功,
功能原理与机械能守恒定律
一、保守内力 势能
1、引力的功
A
rA
F
dr
B
rB
引力：
dW F • dr
一、保守内力 势能
1、引力的功
A B
rB
引力做功只与始末相对位置有关!
一、保守内力 势能
2、弹性力的功
设弹簧的自然长度为
lB
Bm
m
M
lA A
弹性力做功只与始末相对位置有关!
一、保守内力 势能
4、势能
保守力的功只决定于质点始、末相对位置 功是能量转换的度量
保守力场中的质点具有只取决于其位置的能量 •重力场中：与重力相关的势能——重力势能。 •引力场中：与引力相关的势能——引力势能。 •弹性系统中：与弹性力相关的势能——弹性势能。
一、保守内力 势能
保守力做正功
质点在保守力场中的势能降低
定 义
B
rB
rA
m1 A
一、保守内力 势能
弹性势能
E pA WAB
一般地：
E p(l)
1 2
k (l )2
1 2
k(l0 )2
l0 :势能零点处的伸长量
参考弹性 势能零点
B
lB
若 l0 0，则有
Ｏ
lA
A
一、保守内力 势能
5、由势能函数求保守力
由
dW
dE p
E p x
dx
E p y
dy
E p z
势 能 零 点
【势能定义式】 E pA A
F保 dr
说明
(1) 势能是质点与保守力场所构成的系统共有的。
(2) 某点势能的大小与势能零点的选取有关，
但两确定点间的势能差与势能零点选取无关。
E pA E pB
B
A F保 dr
（只取决于A、B的相对位置）
一、保守内力 势能
重力势能
E pA W AB mg (hA hB )
dz
及
dW Fxdx Fydy Fzdz
Fx
E p ; x

Fy
E p ; y
Fz
E p z
即：
保守力沿势能下降最快的方向
质点在保守力场中某点所受的保守力 等于该点势能梯度矢量的负值。
二、质点系的功能原理 由质点系动能定理：
W外 W内 Ek W内 W保内 W非保内
W外 W保内 W非保内 Ek W保内 －E p
质点在保守力场中从A运动到B的过程中，保守
力 对其所做的功等于相应势能增量的负值。
B
A F保
dr
[EP (B) B
EP ( A)]
EP ( A) EP (B) A F保 dr
B
rB
取B点为参考势能零点： EP (B) 0
势 能 零 点
E pA A
F保 dr m1
m2
rA
A
一、保守内力 势能