必修二第四章圆与方程复习学案

第四章直线与圆的方程复习三维目标1．能建构本章的知识框架；2.掌握直线与圆知识的综合应用；3.经过圆的几何性质的运用，领会代数问题与几何问题的联系，及数形联合思想.___________________________________________________________________________目标三导学做思 1问题 1. 达成本章知识构造.(1)圆的方程是什么？（ 2）点与圆的地点关系判断方法为？【思虑】①圆外一点 B ，圆上一动点 P ，议论 PB 的最值为？.②圆内一点 A ，圆上一动点 P ，议论 PA 的最值？（ 3）直线与圆的地点关系的判断方法？【思虑】①直线 l 与圆 C 相切意味着什么？②对于切线的常有题型有哪些？③直线与圆订交时的弦长公式为？（ 4）圆与圆的地点关系判断方法为？【思虑】两圆公共弦所在直线方程为？（ 5）对称问题、最值问题、求轨迹方程等问题的解决方法为？。

【学做思 2】1.依据以下条件求圆的方程：（ 1）圆心在直线l1 : 5x 3y 0 上，而且圆与直线l2 : x 6y 100 相切于点P（4， -1）；（ 2）圆过点 P（-2,4）， Q（ 3， -1）而且在x轴上截得的弦长等于6；（ 3）求与圆x2y 2 5 外切于点 P( 1,2) ，且半径为 2 5 的圆的方程.【思虑】求圆的方程要注意什么?*2. 已知圆 A ：x2＋y2－ 2x－ 2y－ 2＝ 0.(1)若直线 l ：ax＋ by－ 4＝ 0 均分圆 A 的周长，求原点 O 到直线 l 的距离的最大值；(2)若圆 B 均分圆 A 的周长，圆心 B 在直线 y＝ 2x 上，求切合条件且半径最小的圆 B 的方程．达标检测1. 已知点P(0，3)及圆C：2y28x 2 y 8 0，过P的最短弦所在的直线方程为（）xA 、 x＋ 2y＋ 3＝ 0B 、 x－2y＋ 3＝0C、 2x－ y＋ 3＝ 0 D 、2x＋ y－3＝ 02. 在空间直角坐标系中，点P(1， 2，3) ，过点P作平面 xOy 的垂线 PQ ，则 Q 的坐标为（）Ａ． (0， 2，0)Ｂ．(0，2，3)Ｃ．(10，，3)Ｄ．(1，2，0)3.当点 P 在圆 x2＋ y2＝ 1 上改动时，它与定点Q(3,0)连线段 PQ 中点的轨迹方程是 ()A ． (x＋3) 2＋ y2＝ 4B ． (x－ 3)2＋ y2＝ 1C． (2x－3) 2＋4y2＝1 D ． (2x＋3) 2＋4y2＝14.已知三角形的三个极点 A(2， 1，4) ， B(3，2， 6) ， C (5，0，2) ．则（ 1）过（ 2）过A 点的中线长为B 点的中线长为；；（ 3）过C 点的中线长为．*5.已知圆C：x2＋(y－2)2＝5，直线l：mx－y＋1＝0.(1)求证：对 m∈ R，直线 l 与圆 C 总有两个不一样交点；(2)若圆 C 与直线 l 订交于 A ， B 两点，求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程．。

高中数学第4章圆与方程章末复习课学案新人教A版必修2求圆的方程【例1】 求圆心在圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＋y 2＝2上，且与x 轴和直线x ＝－12都相切的圆的方程．[解] 设圆心坐标为(a ，b )，半径为r ，因为圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2在直线x ＝－12的右侧，且所求的圆与x 轴和直线x ＝－12都相切，所以a ＞－12.所以r ＝a ＋12，r ＝|b |.又圆心(a ，b )在圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2上， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＋b 2＝2，联立⎩⎪⎨⎪⎧r ＝a ＋12，r ＝|b |，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＋b 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝12，r＝1，b＝±1.所以所求圆的方程是⎝⎛⎭⎪⎫x－122＋(y－1)2＝1，或⎝⎛⎭⎪⎫x－122＋(y＋1)2＝1.1．求圆的方程的方法求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．2．采用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选择圆的方程的某一形式．(2)由题意得a, b, r(或D, E, F)的方程(组)．(3)解出a, b, r(或D, E, F)．(4)代入圆的方程．1．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数且与直线4x＋3y－29＝0相切，求圆的方程．[解]设圆心为M(m，0)(m∈Z)，由于圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且半径为5，所以|4m－29|5＝5，即|4m－29|＝25，因为m为整数，故m＝1，故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝25.直线与圆的位置关系(1)m∈R时，证明l与C总相交；(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长．[解](1)直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，由点斜式可知，直线过点P(4, －3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．(2)如图，当圆心C (3, －6)到直线l 的距离最大时，线段AB 的长度最短．此时PC ⊥l ，所以直线l 的斜率为－13，所以m ＝－16.在△APC 中，|PC |＝10，|AC |＝r ＝5， 所以|AP |2＝|AC |2－|PC |2＝25－10＝15， 所以|AP |＝15，所以|AB |＝215， 即最短弦长为215.直线与圆位置关系的判断：直线与圆位置关系的判断方法主要有代数法和几何法. 一般常用几何法，而不用代数法，因为代数法计算复杂，书写量大，易出错，而几何法较简单．2．已知圆C 关于直线x ＋y ＋2＝0对称，且过点P (－2, 2)和原点O . (1)求圆C 的方程；(2)相互垂直的两条直线l 1，l 2都过点A (－1, 0)，若l 1，l 2被圆C 所截得弦长相等，求此时直线l 1的方程．[解] (1)由题意知，直线x ＋y ＋2＝0过圆C 的圆心，设圆心C (a , －a －2)． 由题意，得(a ＋2)2＋(－a －2－2)2＝a 2＋(－a －2)2，解得a ＝－2. 因为圆心C (－2，0)，半径r ＝2， 所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝4.(2)由题意知，直线l 1，l 2的斜率存在且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k，所以l 1：y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0，l 2：y ＝－1k(x ＋1)，即x ＋ky ＋1＝0.由题意，得圆心C 到直线l 1，l 2的距离相等， 所以|－2k ＋k |k 2＋1＝|－2＋1|k 2＋1，解得k ＝±1，所以直线l 1的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.圆与圆的位置关系C 1x 2y 2x y C 2x 2y 2x y (1)证明圆C 1与圆C 2相切，并求过切点的两圆公切线的方程； (2)求过点(2, 3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．[解] (1)把圆C 1与圆C 2都化为标准方程形式，得(x ＋2)2＋(y －2)2＝13，(x －4)2＋(y ＋2)2＝13.圆心与半径长分别为C 1(－2，2)，r 1＝13；C 2(4，－2)，r 2＝13.因为|C 1C 2|＝（－2－4）2＋（2＋2）2＝213＝r 1＋r 2， 所以圆C 1与圆C 2相切．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0，x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0，得12x －8y －12＝0， 即3x －2y －3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程． (2)由圆系方程，可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋λ(3x －2y －3)＝0.点(2, 3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝43.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋43(3x －2y －3)＝0，即x 2＋y 2＋8x －203y －9＝0.判断两圆位置关系的两种比较方法：(1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较，得到两圆位置关系．(2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，转化为方程组解的组数问题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系，而不能象几何法一样，能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系．3．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A , B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________．x ＋y －3＝0 [AB 的中垂线即为圆C 1、圆C 2的连心线C 1C 2. 又C 1(3，0)，C 2(0，3)，所以C 1C 2所在直线的方程为x ＋y －3＝0.]空间中点的坐标及距离公式的应用【例4】 如图，已知正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，M 为BD ′的中点，点N 在A ′C ′上，且|A ′N |＝3|NC ′|，试求|MN |的长．[解] 由题意应先建立坐标系，以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B (a ，a ，0)，A ′(a ，0，a )，C ′(0，a ，a )，D ′(0，0，a )．由于M 为BD ′的中点，取A ′C ′的中点O ′，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，a . 因为|A ′N |＝3|NC ′|，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，3a 4，a .根据空间两点间的距离公式， 可得|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－3a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＝64a .求空间中坐标及两点间距离方法及注意点：(1)求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．(2)确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．4．如图所示，直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度．[解]以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由中点坐标公式可得，D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，∴|DE|＝（ 1－0）2＋（1－1）2＋（0－2）2＝5，|EF|＝（0－1）2＋（1－0）2＋（2－0）2＝ 6.。

高一数学必修二第四章圆与方程复习(学案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN必修二第四章 圓與方程小結與復習【知識歸類】1．圓の兩種方程：（1）圓の標準方程222()()x a y b r -+-=，表示________________________．（2）圓の一般方程 022=++++F Ey Dx y x ．①當D 2＋E 2－4F ＞0時，方程 ② 表示（1）當0422>-+F E D 時，表示_______________； ②當0422=-+F E D 時，方程只有實數解2D x -=，2E y -=，即只表示____________； ③當0422<-+F E D 時，方程___________________________________________．綜上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示の曲線不一定是圓．2．點00(,)M x y 與圓222()()x a y b r -+-=の關係の判斷方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，點在_________；（2）2200()()x a y b -+-=2r ，點在__________；（3）2200()()x a y b -+-<2r ，點在__________．3．直線與圓の位置關係方法一：（幾何法）設直線l ：0=++c by ax ，圓C ：022=++++F Ey Dx y x ，圓の半徑為r ，圓心)2,2(E D --到直線の距離為d ，則判別直線與圓の位置關係の依據有以下幾點： （1）當r d >時，直線l 與圓C ___________；（2）當r d =時，直線l 與圓C _____________；（3）當r d <時，直線l 與圓C ____________．方法二：（代數法）方程組⎩⎨⎧=++=-+-0y )()(222C B Ax r b y a x 消去y （或x ），整理得到關於x （或y ）の一元二次方程，設其判別式為∆，於是有：①當0∆=時，直線l 與圓C ②0∆>時，直線l 與圓C ；③當0∆<時，直線l 與圓C .弦長問題：弦長=222d r -=2121x x k -+（其中d 表示圓心到直線の距離，k 表示弦所在直線斜率）4．圓與圓の位置關係設兩圓の連心線長為l ，則判別圓與圓の位置關係の依據有以下幾點：（1）當21r r l +>時，圓1C 與圓2C _______； （2）當21r r l +=時，圓1C 與圓2C ______；（3）當<-||21r r 21r r l +<時，圓1C 與圓2C ____； （4）當||21r r l -=時，圓1C 與圓2C ___；（5）當||21r r l -<時，圓1C 與圓2C ______．5.圓の切線方程：先判斷點與圓の位置⑴點在圓上：①過圓222r y x =+上一點),(00y x P の切線方程為200r y y x x =+②若點(x 0 ,y 0)在圓222)()(r b y a x =-+-上，則圓の切線方程為(x –a)(x 0–a)+(y –b)(y 0–b)=r 2⑵點在圓外：用點斜式設切線方程()00x x k y y -=-，然後化成一般式方程，再利用圓心到直線の距離等於半徑求得k 。

4.1.1圆的标准方程[学习目标] 1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点.2.会根据已知条件求圆的标准方程.3.能准确判断点与圆的位置关系.知识点一圆的定义及圆的标准方程1.圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径.2.圆的标准方程思考方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆吗？答不一定.当m＝0时表示点(a，b)，当m≠0时，表示圆.知识点二点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：(1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：若|CM|＝r，则点M在圆上；若|CM|>r，则点M在圆外；若|CM|<r，则点M在圆内.(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定：点M(m，n)在圆C上⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2；点M (m ，n )在圆C 外⇔(m －a )2＋(n －b )2>r 2； 点M (m ，n )在圆C 内⇔(m －a )2＋(n －b )2<r 2. 思考 确定点与圆的位置关系的关键是什么？ 答 关键是点与圆心的距离与半径的大小比较.题型一 求圆的标准方程例1 已知圆过两点A (3,1)，B (－1,3)，且它的圆心在直线3x －y －2＝0上，求此圆的标准方程.解 方法一 设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )2＋(1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(3－b )2＝r 2，3a －b －2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－6a －2b ＝r 2－10，a 2＋b 2＋2a －6b ＝r 2－10，3a －b －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4，r 2＝10.故所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝10. 方法二 直线AB 的斜率k ＝3－1－1－3＝－12，所以线段AB 的垂直平分线m 的斜率为2.线段AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为x ＝3－12＝1，y ＝1＋32＝2，因此直线m 的方程为y －2＝2(x －1)， 即2x －y ＝0.又因为圆心在直线3x －y －2＝0上， 所以圆心是这两条直线的交点.联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，3x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.设圆心为C ，所以圆心坐标为(2,4). 又因为半径r ＝|CA |＝10，所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝10. 方法三 设圆心为C .因为圆心在直线3x －y －2＝0上，所以可设圆心C 的坐标为(a,3a －2). 又因为|CA |＝|CB |，所以(a －3)2＋(3a －2－1)2＝(a ＋1)2＋(3a －2－3)2， 解得a ＝2.所以圆心为(2,4)，半径长r ＝|CA |＝10. 故所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝10.跟踪训练1 △ABC 的三个顶点分别为A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)，求其外接圆的标准方程.解 方法一 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 因为A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)都在圆上， 所以它们的坐标都满足圆的方程，于是有 ⎩⎪⎨⎪⎧ (0－a )2＋(5－b )2＝r 2，(1－a )2＋(－2－b )2＝r 2，(－3－a )2＋(－4－b )2＝r 2.解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1，r 2＝25.故所求外接圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25. 方法二 因为A (0,5)，B (1，－2)， 所以线段AB 的中点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，32， 直线AB 的斜率k AB ＝－2－51－0＝－7. 所以线段AB 的垂直平分线的方程是 y －32＝17⎝⎛⎭⎫x －12， 即x －7y ＋10＝0，同理，线段BC 的垂直平分线的方程是2x ＋y ＋5＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －7y ＋10＝0，2x ＋y ＋5＝0，得圆心的坐标为(－3,1).又因为圆的半径长r ＝(－3－0)2＋(1－5)2＝5， 所以所求外接圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25. 题型二 点与圆的位置关系的判断例2 已知点A (1,2)不在圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2的内部，求实数a 的取值范围.解 由题意，得点A 在圆C 上或圆C 的外部， ∴(1－a )2＋(2＋a )2≥2a 2， ∴2a ＋5≥0，∴a ≥－52，又a ≠0，∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－52，0∪(0，＋∞). 反思与感悟 判断点P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系有几何法与代数法两种，对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小.对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下： ①当(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2时，点在圆内， ②当(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2时，点在圆上， ③当(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2时，点在圆外.跟踪训练2 若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则a 的取值范围是( ) A.－1＜a ＜1 B.0＜a ＜1 C.a ＜－1或a ＞1 D.－1＜a ＜0答案 A解析 直接利用点与圆的位置关系来判断.∵点(1,1)在圆的内部，∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4.解得－1＜a ＜1. 题型三 圆的方程的综合应用例3 已知圆心在x 轴上的圆C 与x 轴交于两点A (1,0)，B (5,0)， (1)求此圆的标准方程；(2)设P (x ，y )为圆C 上任意一点，求P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值和最小值. 解 (1)由已知，得C (3,0)，r ＝|AB |2＝2，∴所求方程为(x －3)2＋y 2＝4. (2)圆心C 到直线x －y ＋1＝0的距离 d ＝|3－0＋1|12＋(－1)2＝2 2.∴P 到直线的最大距离为2＋22，最小距离为22－2.反思与感悟 解答此类题目经常应用圆的性质，解题过程中用数形结合的思想能有效地找到解题的捷径，即过圆心作已知直线的垂线，便于求解.跟踪训练3 已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (0，－1)，B (0,1)，设P 是圆C 上的动点，令d ＝|P A |2＋|PB |2，求d 的最大值及最小值. 解 设P (x ，y )，则d ＝|P A |2＋|PB |2＝2(x 2＋y 2)＋2.∵|CO|2＝32＋42＝25，∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.即16≤x2＋y2≤36.∴d的最小值为2×16＋2＝34.最大值为2×36＋2＝74.求圆的标准方程例4已知圆的圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得的线段长为8，求该圆的标准方程.分析由圆心在x轴上，即圆心的纵坐标为0，半径长为5，结合在y轴上截得的线段长为8，可构造直角三角形求解，也可设出圆的方程，利用待定系数法求解.解方法一如图，由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，所以|AO|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝|AC|2－|AO|2＝52－42＝3.设点C的坐标为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3.所以a＝±3.所以所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.方法二由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25.因为圆截y轴所得线段长为8，所以圆过点A(0,4).代入方程，得a2＋16＝25.所以a＝±3.所以所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.解后反思此题在求解圆的标准方程时，方法一注意不要漏掉圆心在x轴负半轴上的情况，借助图形解决数学问题直观但缺乏精细.若采用计算推理，则两种情况都可求得.1.圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1的圆心坐标是()A.(1，3)B.(－1，3)C.(1，－3)D.(－1，－3)答案C解析由圆的标准方程(x－1)2＋(y＋3)2＝1，得圆心坐标为(1，－3).2.圆心是O(－3,4)，半径长为5的圆的方程为()A.(x－3)2＋(y＋4)2＝5B.(x－3)2＋(y＋4)2＝25C.(x＋3)2＋(y－4)2＝5D.(x＋3)2＋(y－4)2＝25答案D解析将O(－3,4)，r＝5代入圆的标准方程可得.3.经过点(2,2)，圆心为C(1,1)的圆的方程是()A.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B.(x－1)2＋(y－1)2＝2C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D.(x－1)2＋(y－1)2＝2答案B解析圆的半径长r＝(2－1)2＋(2－1)2＝2，故圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.4.点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为()A.|a|＜1B.a＜113 C.|a|＜15 D.|a|＞113答案D解析由已知，得(5a＋1－1)2＋(12a)2＞1，即169a2＞1，故|a|＞1 13.5.若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________________.答案x2＋(y－1)2＝1解析由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率.2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷.一、选择题1.若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案D解析圆的圆心为(－a，－b).∵直线经过一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，即－a＞0，－b ＜0，∴圆心在第四象限.2.已知圆x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(0＜a＜1)，则原点O在()A.圆内B.圆外C.圆上D.圆上或圆外答案B解析先将圆化成标准方程，得(x－a)2＋(y－1)2＝2a，∴圆心为(a,1)，则原点与圆心的距离为a2＋1.∵0＜a＜1，∴a2＋1＞2a＝r.即原点在圆外.3.过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4C.(x－1)2＋(y－1)2＝4D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4答案C解析根据圆心在直线x＋y－2＝0上可排除B、D，再把点代入A、C选项中，可得C正确.4.圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的标准方程为()A.(x－2)2＋y2＝5B.x2＋(y－2)2＝5C.(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D.x2＋(y＋2)2＝5答案A解析圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2,0)，则圆心关于原点(0,0)对称的点为(2,0)，则所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝5.5.以点(2，－1)为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的标准方程为()A.(x－2)2＋(y＋1)2＝3B.(x＋2)2＋(y－1)2＝3C.(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D.(x ＋2)2＋(y －1)2＝9 答案 C解析 由已知，得圆的半径长r ＝|3×2＋4×1＋5|32＋(－4)2＝155＝3，故所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.6.已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则圆的方程是( ) A.(x ＋2)2＋(y －3)2＝13 B.(x －2)2＋(y ＋3)2＝13 C.(x －2)2＋(y ＋3)2＝52 D.(x ＋2)2＋(y －3)2＝52答案 B解析 如图，结合圆的性质可知，圆的半径r ＝(2－0)2＋(－3－0)2＝13. 故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.7.若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为( ) A.2 B.1 C. 3 D.2 答案 B解析 由几何意义可知最小值为14－52＋122＝1. 二、填空题8.已知A (－1,4)，B (5，－4)，则以AB 为直径的圆的标准方程是________. 答案 (x －2)2＋y 2＝25解析 |AB |＝(5＋1)2＋(－4－4)2＝10，则r ＝5，AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫－1＋52，4－42，即(2,0).故所求圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝25.9.与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16有公共圆心，且过点P (－1,1)的圆的标准方程是________. 答案 (x －2)2＋(y ＋3)2＝25解析 圆心为(2，－3)，设所求圆的半径长为r ，则(x －2)2＋(y ＋3)2＝r 2.又因为过点P (－1,1)，所以r 2＝(－1－2)2＋(1＋3)2＝25.10.圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是________. 答案2＋1解析 圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为C (1,1)，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|12＋(－1)2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值为2＋1. 11.已知实数x ，y 满足y ＝9－x 2，则t ＝y ＋3x ＋1的取值范围是________.答案 t ≤－32或t ≥34解析 y ＝9－x 2表示上半圆，t 可以看作动点(x ，y )与定点(－1，－3)连线的斜率.如图：A (－1，－3)，B (3,0)，C (－3,0)， 则k AB ＝34，k AC ＝－32，∴t ≤－32或t ≥34.三、解答题12.一个等腰三角形ABC 底边上的高等于4，底边两端点的坐标分别是B (－3,0)和C (3,0)，求它的外接圆的方程.解 (1)当点A 的坐标是(0,4)时(如图①)，k AB ＝43，线段AB 的中点坐标是⎝⎛⎭⎫－32，2，线段AB 的垂直平分线的方程是y －2＝－34⎝⎛⎭⎫x ＋32，即y ＝－34x ＋78. 令x ＝0，则y ＝78.所以圆心的坐标是⎝⎛⎭⎫0，78，半径长为4－78＝258， 此时所求外接圆的方程是x 2＋⎝⎛⎭⎫y －782＝62564.(2)当点A 的坐标是(0，－4)时(如图②)，k AB ＝－43，线段AB 的中点坐标是⎝⎛⎭⎫－32，－2，线段AB 的垂直平分线的方程是y ＋2＝34⎝⎛⎭⎫x ＋32，即y ＝34x －78. 令x ＝0，则y ＝－78.所以圆心的坐标是⎝⎛⎭⎫0，－78，半径长为－78－(－4)＝258，此时所求外接圆的方程是x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋782＝62564. 综上可知，所求外接圆的方程是x 2＋⎝⎛⎭⎫y －782＝62564或x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋782＝62564. 13.已知圆C 的圆心坐标为C (x 0，x 0)，且过定点P (4,2). (1)求圆C 的方程(用含x 0的方程表示)；(2)当x 0为何值时，圆C 的面积最小？并求出此时圆C 的标准方程. 解 (1)由题意，设圆C 的方程为(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝r 2(r ≠0).因为圆C过定点P(4,2)，所以(4－x0)2＋(2－x0)2＝r2(r≠0).所以r2＝2x20－12x0＋20.所以圆C的方程为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x20－12x0＋20. (2)因为(x－x0)2＋(y－x0)2＝2x20－12x0＋20＝2(x0－3)2＋2，所以当x0＝3时，圆C的半径最小，即面积最小.此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.。

章末复习学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活、熟练运用待定系数法求解圆的方程，能解决直线与圆的综合问题，并学会运用数形结合的数学思想．1．圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．2．点和圆的位置关系设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P在圆外．(2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P在圆内．(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P在圆上．3．直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d>r⇒相离；d＝r⇒相切；d<r⇒相交．4．圆与圆的位置关系设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则5.求圆的方程时常用的四个几何性质6．与圆有关的最值问题的常见类型(1)形如μ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值问题．7．计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法运用根与系数的关系及弦长公式|AB |＝1＋k 2|x A －x B |＝(1＋k 2)[(x A ＋x B )2－4x A x B ].注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．8．空间中两点的距离公式空间中点P 1(x 1，y 1，z 1)，点P 2(x 2，y 2，z 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2.类型一 求圆的方程例1 一个圆和已知圆x 2＋y 2－2x ＝0外切，并与直线l ：x ＋3y ＝0相切于M (3，－3)点，求该圆的方程．考点 求圆的方程题点 求圆的方程解 ∵圆C 与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切，故两个圆心之间的距离等于半径的和，又∵圆C 与直线l ：x ＋3y ＝0相切于M (3，－3)点，可得圆心与点M (3，－3)的连线与直线x ＋3y ＝0垂直，其斜率为 3.设圆C 的圆心坐标为(a ，b )，则⎩⎨⎧ b ＋3a －3＝3，(a －1)2＋b 2＝1＋|a ＋3b |2，解得a ＝4，b ＝0，r ＝2或a ＝0，b ＝－43，r ＝6，∴圆C的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋43)2＝36.反思与感悟求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤：第一步：选择圆的方程的某一形式．第二步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)．第三步：解出a，b，r(或D，E，F)．第四步：代入圆的方程．注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等．跟踪训练1(1)如图所示，圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为________．考点求圆的方程题点求圆的方程答案(x－1)2＋(y－2)2＝2解析取AB的中点D，连接CD，AC，则CD⊥AB.由题意知，|AD|＝|CD|＝1，故|AC|＝|CD|2＋|AD|2＝2，即圆C的半径为 2.又因为圆C与x轴相切于点T(1，0)，所以圆心C(1，2)，故圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2. (2)求半径为10，圆心在直线y＝2x上，被直线x－y＝0截得的弦长为42的圆的方程．考点求圆的方程题点求圆的方程解设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心坐标为(a，b)，半径r＝10，圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －b |2， 由半弦长，弦心距，半径组成的直角三角形得，d 2＋⎝⎛⎭⎫4222＝r 2， 即(a －b )22＋8＝10， ∴(a －b )2＝4，又∵b ＝2a ，∴a ＝2，b ＝4或a ＝－2，b ＝－4，故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.类型二 直线与圆的位置关系例2 已知点M (3，1)，直线ax －y ＋4＝0及圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值；(3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值． 考点 直线和圆的位置关系题点 直线和圆的位置关系解 (1)圆心C (1，2)，半径为r ＝2.①当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3.由圆心C (1，2)到直线x ＝3的距离为d ＝3－1＝2＝r 知，此时直线与圆相切．②当直线的斜率存在时，设直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0. 由题意知，|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝34. ∴方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0. 故过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0.(2)由题意有|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝43. (3)∵圆心到直线ax －y ＋4＝0的距离为|a ＋2|a 2＋1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|a ＋2|a 2＋12＋⎝⎛⎭⎫2322＝4，解得a ＝－34. 反思与感悟 当直线与圆相交时，常涉及到弦长问题，弦长的计算有以下两种思路(1)代数方法：将直线和圆的方程联立得方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式Δ>0的前提下，可利用根与系数的关系求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d ，圆半径为r ，则弦长为l ＝2r 2－d 2.解决直线与圆相交问题时，常利用几何方法，即构造直角三角形，利用勾股定理，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，圆心和切点的连线垂直于切线．跟踪训练2已知点P(0，5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直线l过点P，且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；(2)求过点P的圆C的弦的中点的轨迹方程．考点直线和圆的位置关系题点直线和圆的位置关系解(1)如图所示，|AB|＝43，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，∴|AD|＝23，|AC|＝4.在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到直线AB的距离为|－2k－6＋5|k2＋1＝2，得k＝34，此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.又∵当直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0，∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.(2)设过点P的圆C的弦的中点为E(x，y)，则CE⊥PE，所以k CE·k PE＝－1，即y－6x＋2·y－5x＝－1，化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.类型三圆与圆的位置关系例3已知一个圆的圆心坐标为A(2，1)，且与圆x2＋y2－3x＝0相交于P1，P2两点，若点A 到直线P1P2的距离为5，求这个圆的方程．考点圆与圆的位置关系题点已知圆与圆的位置关系，求参数的值或范围解设圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x 2＋y 2－4x －2y ＋5－r 2＝0，所以直线P 1P 2的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0. 由已知得|2＋2×1＋r 2－5|5＝5， 解得r 2＝6.故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝6.反思与感悟 (1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.(2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．跟踪训练3 已知两圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝r 2和(x －2)2＋(y ＋2)2＝R 2相交于P ，Q 两点，若点P 的坐标为(1，2)，则点Q 的坐标为________．考点 圆与圆的位置关系题点 已知圆与圆的位置关系，求参数的值或范围答案 (－2，－1)解析 两圆的圆心坐标分别为O 1(－1，1)和O 2(2，－2)，由平面几何知，直线O 1O 2垂直平分线段PQ ，则12·PQ O O k k ＝k PQ ·1－(－2)－1－2＝－1，∴k PQ ＝1. ∴直线PQ 的方程为y －2＝x －1，即y ＝x ＋1.由点P (1，2)在圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝r 2上，可得r ＝5，联立⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2＋(y －1)2＝5，y ＝x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.∴Q (－2，－1)．类型四 圆中的最值问题例4 圆x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2－1＝0与x 2＋y 2＋2bx ＋2by ＋2b 2－2＝0的公共弦长的最大值为( )A ．2 2B ．2 C. 2D ．1 考点 与圆有关的最值问题题点 与圆的几何性质有关的最值答案 B解析 由题意得，两圆的标准方程分别为(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1和(x ＋b )2＋(y ＋b )2＝2，两圆的圆心坐标分别为(－a ，－a )，(－b ，－b )，半径分别为1，2，则当公共弦为圆(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1的直径时，公共弦长最大，最大值为2.反思与感悟 与圆有关的最值问题包括(1)求圆O 上一点到圆外一点P 的最大距离、最小距离：d max ＝|OP |＋r ，d min ＝||OP |－r |.(2)求圆上的点到某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m ，则d max ＝m ＋r ，d min ＝|m －r |.(3)已知点的运动轨迹是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，求①y x ；②y －m x －n；③x 2＋y 2等式子的最值，一般是运用几何法求解．跟踪训练4 已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 的面积的最小值为________． 考点 与圆有关的最值问题题点 与面积有关的最值答案 2 2解析 圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心为C (1，1)，半径为1，由题意知，当圆心C 到点P 的距离最小，即为圆心到直线的距离最小时，四边形的面积最小，由圆心到直线的距离d ＝|3＋4＋8|32＋42＝3， ∴|P A |＝|PB |＝d 2－r 2＝22，∴S 四边形P ACB ＝2×12|P A |r ＝2 2.1．以点(－3，4)为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝16B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝16C ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝9D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝9考点 圆的标准方程题点 求与某直线相切的圆的标准方程答案 B2．若过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A ．0°＜α≤30°B ．0°＜α≤60°C ．0°≤α≤30°D ．0°≤α≤60°考点 直线与圆的位置关系题点 已知直线与圆的位置关系，求参数的值或范围答案 D解析 设l ：y ＋1＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0，圆心(0，0)到直线l 的距离为d ＝|3k －1|k 2＋1≤1， 解得0≤k ≤3，即0≤tan α≤3，∴0°≤α≤60°.3．两圆x 2＋y 2－6x ＋16y －48＝0与x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0的公切线的条数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1考点 圆与圆的位置关系题点 两圆的位置关系与其公切线答案 C解析 两圆的标准方程分别为(x －3)2＋(y ＋8)2＝121；(x ＋2)2＋(y －4)2＝64，则两圆的圆心与半径分别为C 1(3，－8)，r 1＝11；C 2(－2，4)，r 2＝8.圆心距为|C 1C 2|＝(3＋2)2＋(－8－4)2＝13.∵r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2，∴两圆相交，则公切线共2条．4．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________． 考点 圆的方程的综合应用题点 与圆有关的对称问题答案 x 2＋(y －1)2＝1解析 由圆C 的圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，得圆C 的圆心为(0,1)．又因为圆C 的半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.5．已知直线x －my ＋3＝0和圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0.(1)当直线与圆相切时，求实数m 的值；(2)当直线与圆相交，且所得弦长为2105时，求实数m 的值． 考点 直线和圆的位置关系题点 直线和圆的位置关系解 (1)因为圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为(3，0)． 因为直线x －my ＋3＝0与圆相切， 所以|3＋3|1＋(－m )2＝2， 解得m ＝±2 2.(2)圆心(3，0)到直线x －my ＋3＝0的距离为d ＝|3＋3|1＋(－m )2.由24－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|3＋3|1＋(－m )22＝2105， 得2＋2m 2＝20m 2－160，即m 2＝9. 故m ＝±3.圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质．那么，经常使用的几何性质有(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等．(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理．(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角．一、选择题1．已知圆C 与直线x －y ＝0和x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 考点 圆的切线问题 题点 求圆的切线方程 答案 B2．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是()A．(－13，13)B．[－13，13]C．(－∞，－13)∪(13，＋∞)D．(－∞，－13]∪[13，＋∞)考点直线与圆的位置关系题点已知直线与圆的位置关系，求参数的值或范围答案 A解析由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0，0)到直线的距离d满足0≤d<1.∵d＝|c|122＋(－5)2＝|c|13，∴0≤|c|<13，即c∈(－13，13)．3．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是()A．{1，－1}B．{3，－3}C．{1，－1,3，－3}D．{5，－5,3，－3}考点圆与圆的位置关系题点已知圆与圆的位置关系求参数的值或范围答案 C解析∵两个圆有且只有一个公共点，∴两个圆内切或外切，当两圆内切时，|a|＝1，当两圆外切时，|a|＝3，∴实数a的取值集合是{1，－1,3，－3}，故选C.4．设A(1，1，－2)，B(3，2，8)，C(0，1，0)，则线段AB的中点P到点C的距离为()A.132 B.534 C.532 D.532考点空间两点间的距离公式题点空间两点间的距离的计算答案 D解析 利用中点坐标公式，得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，32，3，由空间两点间的距离公式，得|PC |＝(2－0)2＋⎝⎛⎭⎫32－12＋(3－0)2＝532. 5．已知圆心为(2，0)的圆C 与直线y ＝x 相切，则切点到原点的距离为( ) A ．1 B. 2 C ．2 D. 3 考点 圆的切线问题 题点 圆的切线长问题 答案 B解析 如图，设圆心为C ，切点为A ，圆的半径为r ＝|2－0|2＝2，|OC |＝2，∴切点到原点的距离为22－(2)2＝ 2.故选B.6．直线3x ＋y －23＝0截圆x 2＋y 2＝4所得的劣弧所对的圆心角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 考点 直线和圆的位置关系 题点 直线和圆的位置关系 答案 C解析 设直线与圆相交于A ，B 两点，过O 作OC ⊥AB ，垂足为点C ， 由圆的方程x 2＋y 2＝4，得圆心O 的坐标为(0，0)，半径为r ＝2. ∵圆心到直线3x ＋y －23＝0的距离为d ＝|OC |＝232＝3， ∴直线被圆截得的弦长为|AB |＝2r 2－d 2＝2，∴△AOB 为等边三角形，即∠AOB ＝60°，∴直线被圆截得的劣弧AB 所对的圆心角为60°，故选C.7．已知直线l ：kx ＋y －2＝0(k ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－6x ＋2y ＋9＝0的对称轴，过点A (0，k )作圆C 的一条切线，切点为B ，则线段AB 的长为( ) A ．2 B ．2 2 C ．3D ．2 3考点 圆的切线问题 题点 圆的切线长问题 答案 D解析 由圆C ：x 2＋y 2－6x ＋2y ＋9＝0，得(x －3)2＋(y ＋1)2＝1， 表示以C (3，－1)为圆心，1为半径的圆．由题意可得直线l ：kx ＋y －2＝0经过圆C 的圆心(3，－1)， 故有3k －1－2＝0，得k ＝1，则点A (0，1)， 即|AC |＝(0－3)2＋(1＋1)2＝13， 则|AB |＝|AC |2－r 2＝(13)2－1＝23，故选D.二、填空题8．以正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为1，则棱CC 1的中点坐标为________． 考点 空间中点的对称问题 题点 中点坐标公式及其应用 答案 ⎝⎛⎭⎫1，1，12 解析 画出图形(图略)即知CC 1的中点坐标为⎝⎛⎭⎫1，1，12. 9．若两圆x 2＋(y ＋1)2＝1和(x ＋1)2＋y 2＝r 2相交，则正数r 的取值范围是________． 考点 圆与圆的位置关系题点 已知圆与圆的位置关系求参数的值或范围 答案 (2－1，2＋1)解析 ∵两圆x 2＋(y ＋1)2＝1和(x ＋1)2＋y 2＝r 2相交， 圆x 2＋(y ＋1)2＝1的半径和圆心分别是1，(0，－1)， 圆(x ＋1)2＋y 2＝r 2的半径和圆心分别是r ，(－1，0)，∴两个圆的圆心的距离大于两个圆的半径之差的绝对值，小于两个圆的半径之和， 即|r －1|＜(0＋1)2＋(－1－0)2＜r ＋1，∴r －1＜2＜r ＋1， ∴r ∈(2－1，2＋1)，即正数r 的取值范围是(2－1，2＋1)．10．已知在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,0)的直线l 与直线x －y ＋1＝0垂直，且l 与圆C ：x 2＋y 2＝－2y ＋3交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为________． 考点 圆的弦长问题题点 直线和圆位置关系的综合问题 答案 1解析 ∵直线l 的方程为y ＝－(x －1)， 即x ＋y －1＝0.又由圆C ：x 2＋y 2＝－2y ＋3，得x 2＋(y ＋1)2＝4， 圆心C (0，－1)到l 的距离为d ＝|－2|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝22，又原点O 到l 的距离为|－1|2＝22，∴S △OAB ＝12×22×22＝1.11．设圆C 同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y ＝x 上；③截y 轴所得的弦长为4，则圆C 的方程是__________________________． 考点 求圆的方程 题点 求圆的方程答案 (x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8 解析 由题意可设圆心C (a ，a )，如图，得22＋22＝2a 2， 解得a ＝±2，r 2＝8.所以圆C 的方程是(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝8或(x －2)2＋(y －2)2＝8. 三、解答题12．如图，已知以点A (－1，2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2，0)的动直线l 与圆A 交于M ，N 两点．(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程． 考点 直线和圆的位置关系 题点 直线和圆的位置关系解 (1)由题意知，A (－1，2)到直线x ＋2y ＋7＝0的距离为圆A 的半径R ， ∴R ＝|－1＋4＋7|5＝25，∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20. (2)设MN 的中点为Q ，连接QA ， 则由垂径定理可知∠MQA ＝90°， 且|MQ |＝19，在Rt △AMQ 中， 由勾股定理知，|AQ |＝AM 2－MQ 2＝1，①当动直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－2，显然符合题意， ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.∴|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34，∴直线l ：3x －4y ＋6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.13．已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0相交于A ，B 两点． (1)求公共弦AB 所在的直线方程；(2)求圆心在直线y ＝－x 上，且经过A ，B 两点的圆的方程； (3)求经过A ，B 两点且面积最小的圆的方程． 考点 与圆有关的最值问题 题点 与面积有关的最值解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得x －2y ＋4＝0.∴圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0的公共弦AB 所在的直线方程为x －2y ＋4＝0.(2)由(1)得x ＝2y －4，代入x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0中，得y 2－2y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即A (－4，0)，B (0，2)．又圆心在直线y ＝－x 上，设圆心为M (x ，－x )， 则|MA |＝|MB |，即(x ＋4)2＋(－x )2＝x 2＋(－x －2)2， 解得x ＝－3.∴圆心M (－3，3)，半径|MA |＝10.∴圆心在直线y ＝－x 上，且经过A ，B 两点的圆的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10. (3)由A (－4，0)，B (0，2)， 得AB 的中点坐标为(－2，1)， 12|AB |＝12(－4－0)2＋(0－2)2＝ 5.∴经过A ，B 两点且面积最小的圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5. 四、探究与拓展14．当曲线y ＝1＋4－x 2与直线kx －y －2k ＋4＝0有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，512 B.⎝⎛⎦⎤13，34 C.⎝⎛⎦⎤512，34D.⎝⎛⎭⎫512，＋∞ 考点 数形结合思想的应用 题点 数形结合思想的应用 答案 C 解析 y ＝1＋4－x 2可化为x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)．直线kx －y －2k ＋4＝0过定点A (2，4)且斜率为k ，故设直线与半圆的切线为AD ，半圆的左端点为B (－2，1)，当直线的斜率k 大于直线AD 的斜率且小于或等于直线AB 的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点．当直线与半圆相切时，有|－1－2k ＋4|1＋k 2＝2，解得k ＝512，即k AD ＝512.又∵直线AB 的斜率k AB ＝4－12＋2＝34，∴直线的斜率k 的取值范围为⎝⎛⎦⎤512，34.15．已知圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝4，直线l ：(m ＋2)x ＋(2m ＋1)y ＝7m ＋8. (1)求证：直线l 与圆C 恒相交；(2)当m ＝1时，过圆C 上点(0，3)作圆的切线l 1交直线l 于点P ，Q 为圆C 上的动点，求|PQ |的取值范围．考点 与圆有关的最值问题 题点 与圆的几何性质有关的最值(1)证明 直线l 的方程可化为m (x ＋2y －7)＋2x ＋y －8＝0，故l 恒过点A (3，2)． ∵(3－2)2＋(2－3)2＝2<4， 即点A 在圆C 内， ∴直线l 与圆C 恒相交．(2)解 由题意知直线l 1的方程为x ＝0. 又当m ＝1时，l ：x ＋y ＝5，∴联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x ＋y ＝5，得交点P (0，5)，∴|PC |＝22，∴|PQ |的取值范围为[22－2，22＋2]．。

高二数学必修二第四章《圆与方程》4.1圆的方程导学案高二数学必修2 第四章圆与方程第四章圆与方程§4.1圆的方程§4.1.1圆的标准方程(1)【学习目标】1.能根据圆心、半径写出圆的标准方程.2.利用圆的标准方程，会判断点与圆的位置关系.【学习重点】求圆的标准方程.【学习难点】根据不同的已知条件，判断点与圆的位置关系.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第118-119页，完成自主学习)1.已知两点(2,5),(6,9)A B -,求它们之间的距离?若已知(3,8),(,)C D x y -,求它们之间的距离.2.图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？3.具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆心和半径分别确定了圆的_______和_______.4.我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,在平面内确定圆的条件是什么?5.在平面直角坐标系中，若一个圆的圆心(,)C a b ,半径为r (其中,,ab r 都是常数, 0r >)，圆的标准方程为__________________________________.6.当圆心在原点时,圆的标准方程是_________________ .思考：圆的标准方程222()()x a y b r -+-=中,只要求出___、___、___,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中____是圆的定位条件,_____是圆的定形条件.二、合作探究例1:写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，判断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上.推广：设点00(,)M x y ，圆的方程为222()()x a y b r -+-=.1，M 在圆上?2200()()x a y b -+- 2r ；2，M 在圆外?2200()()x a y b -+- 2r ；3，M 在圆内?2200()()x a y b -+- 2r ；例2:圆的一条直径的两个端点分别是(2,0),(2,2)A B -，求圆的标准方程,并判断点(0,0),C (2,2)D -与该圆的位置关系推广:已知圆的一条直径的端点分别是1222(,),(,),A x y B x y 求证此圆的方程是1212()()()()0.x x x x y y y y --+--=三、达标检测1.写出下列各圆的标准方程.(1) 圆心在原点，半径是3；(2) 圆心在(3,4)C(3) 经过点(5,1)P ，圆心在点(8,3)C -；2.写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) 22(1)6x y -+= (2) 22(1)(2)9x y ++-= (3) 22(2)(3)3x y -++=3.已知圆心在点(3,4),C --且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点12(,0),(1,1),P P -- 3(3,4)P -和圆的位置关系.四、学习小结1.圆的标准方程 .2.求圆的标准方程的方法有：高二数学必修2 第四章圆与方程§4.1.1圆的标准方程(2)【学习目标】会用待定系数法求圆的标准方程.【学习重点】掌握求圆的标准方程的思路方法.【学习难点】领会用数形结合求圆的标准方程的思想.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第119-120页，完成自主学习)1.圆的定义是什么？2.圆的标准方程是怎样的？3.点M(x 0,y 0)与圆(x -a )2+(y -b )2=r 2的关系的判断方法：(1)当点M(x 0,y 0)在圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上时,点M 的坐标_____方程(x -a )2+(y -b )2=r 2.(2)当点M(x 0,y 0)不在圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上时,点M 的坐标______方程(x -a )2+(y -b )2=r 2.(3)用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为：1°点到圆心的距离大于半径?点在圆外?_________________.2°点到圆心的距离等于半径?点在圆上?_________________.3°点到圆心的距离小于半径?点在圆内?_________________.二、合作探究例1：ABC ?的三个顶点的坐标分别是(5,1),(2,8),(7,3)A B C --,求它的外接圆的方程.例2：求经过点(1,1)A ，(2,2)B -，且圆心在直线:10l x y -+=上的圆的标准方程.三、达标检测1.写出下列各圆的标准方程：(1) 圆心在y 轴上，半径长为1，且过点(1,2)的圆的方程；(2)圆心在x 轴上，半径长为1，且过点(2,1)的圆的方程.2.圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,求圆C 的标准方程.3.求经过两点(1,4),(3,2)A B -且圆心在y 轴上的圆的方程.四、学习小结1.确定圆的方程主要方法是_____________法,即列出关于a 、b 、r 的方程组,求a 、b 、r 或直接求出圆心(a ,b )和半径r ,一般步骤为：1°根据题意,设所求的圆的标准方程________________；2°根据已知条件,建立关于__________________的方程组；3°解方程组,求出___________的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.2.思想方法总结：高二数学必修2 第四章圆与方程§4.1.2圆的一般方程(1)【学习目标】能用圆的一般方程确定圆的圆心、半径.【学习重点】把握圆的一般方程的代数特征,能根据已知条件待定方程中的系数,,D E F .【学习难点】根据已知条件选择待定圆的标准方程或一般方程.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第121-122页，完成自主学习)1.写出圆心为(,)a b ,半径为r 的圆的标准方程_______________________________.2.将以(,)C a b 为圆心, r 为半径的圆的标准方程展开并整理得________________.3.如果2222,2,D a E b F a b r =-=-=+-，得到方程____________________,这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程形式.4.思考：能不能说方程220x y Dx Ey F ++++=所表示的曲线一定是圆呢?二、合作探究1.222()()x a y b r -+-=中0r >时表示___ _；0r =时表示____________；2.把式子220x y Dx Ey F ++++=配方得_________________________________.(ⅰ)当2240D E F +->时,表示以_________为圆心,_____________ _为半径的圆；(ⅱ)当2240D E F +-=时,方程只有实数解x =______y =______,即只表示__________；(ⅲ)当2240D E F +-<时,方程______(有或没有)实数解,因而它_________________.方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线_________（一定或不一定）是圆；但圆的方程都能写成_________________的形式,只有当_____________时,它表示的曲线才是圆. 我们把形如220x y Dx Ey F ++++=表示圆的方程称为圆的_________方程.3.圆的一般方程形式上的特点：(1)x 2和y 2的系数_______且________. (2)没有_________这样的二次项.例1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.(1) 224441290x y x y +-++= (2) 2220x y by ++=例2:求过三点(0,0),(1,1),(4,2)O M N 的圆的一般方程,并求圆的半径长和圆心坐标.三、达标检测1.判断下列方程(1) 2260x y y +-=（2）222460x y x y +-+-=（3）224220200x y mx my m +-++-=能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.2.ABC ?的三个顶点分别为(1,5),(2,2),(5,5)A B C ---，求其外接圆的一般方程.四、学习小结用待定系数法求圆的方程的步骤是：1.____________________________________________2._____________________________________________3._____________________________________________高二数学必修2 第四章圆与方程§4.1.2圆的一般方程(2)【学习目标】掌握圆的一般方程及其特点，会由圆的方程求出圆心、半径会用待定系数法求圆的一般方程.【学习重点】圆的一般方程的特征和求圆的一般方程.【学习难点】用相关点法求轨迹方程.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第122-123页，完成自主学习)1.将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆心坐标和半径：（1）222220(0);(2)22420.x y my m x y ax ++=≠++-=2.圆C ：222440x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离_____d =.二、合作探究例：已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.三、达标检测1.求以(1,1)A -为圆心，且经过点(0,1)B 的圆的一般方程.2.若(5,0),(1,0),(3,3)A B C --三点的外接圆为圆M ,求圆M 的方程，若点(,3)D m 在圆M 上，求m 的值.３.求圆心在直线230x y --=上，且过点(5,2),(3,2)A B -的圆的方程.４.已知点P 在圆的C ：2286210x y x y +--+=上运动，求线段OP 的中点坐标M 的轨迹方程.四、学习小结相关点法求轨迹方程的步骤：1._______________________________________________________;2._______________________________________________________;3._______________________________________________________;4._______________________________________________________;。

高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:圆的标准方程一、学习目标学问与技能：1、驾驭圆的标准方程，能依据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培育学生能用解析法探讨几何问题的实力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，留意培育学生视察问题、发觉问题和解决问题的实力。

情感看法与价值观：通过运用圆的学问解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热忱和爱好。

二、学习重点、难点： 学习重点: 圆的标准方程学习难点: 会依据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

三、运用说明及学法指导:1、先阅读教材118—120页，然后细致审题，细致思索、独立规范作答。

2、不会的，模棱两可的问题标记好。

3、对小班学生要求完成全部问题，试验班完成90℅以上，平行班完成80℅以上 四、学问链接： 1．两点间的距离公式？2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？平面内与肯定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径. 五、学习过程：(自主探究)A 问题1阅读教材118页内容，回答问题已知在平面直角坐标系中，圆心A 的坐标用（a ，b ）来表示，半径用r 来表示，则我们如何写出圆的方程？问题2圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？例1：1写出下列各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在C(3,4)，半径是5 (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)； 2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) (x -1)2 + y 2 = 6 (2) (x +1)2+(y -2)2= 9(3) 222()()x a y a ++=例2：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，推断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。

问题3点M 0(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上、内、外的条件是什么？例3△ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程例4已知圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.注：比较例3、例4可得出△ABC 外接圆的标准方程的两种求法：1.依据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程.2.依据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 六、达标检测1、已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，试推断点M(6，9)、N(3，3)、 Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？2、求圆心C 在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。

圆的方程题型总结一、基础知识1．圆的方程圆的标准方程为___________________；圆心_________，半径________.圆的一般方程为___________ _________ ____；圆心________ ，半径__________.二元二次方程220AxCy Dx Ey F 表示圆的条件为：(1)_______ _______； (2) _______ __ . 2.直线和圆的位置关系：直线0Ax By C ++=，圆222()()x a y b r -+-=，圆心到直线的距离为d. 则：（1）d=_________________；（2）当______________时，直线与圆相离；当______________时，直线与圆相切； 当______________时，直线与圆相交； （3）弦长公式：____________________. 3. 两圆的位置关系圆1C :222111xa yb r ； 圆2C :222222x a y b r则有：两圆相离⇔ __________________； 外切⇔__________________；相交⇔__________________________； 内切⇔_________________； 内含⇔_______________________.二、题型总结：（一）圆的方程☆1.22310x y x y ++--=的圆心坐标 ，半径 . ☆☆2．点(1,2-a a )在圆x 2+y 2－2y －4=0的内部，则a 的取值范围是（ ）A ．－1<a <1B ． 0<a <1C ．–1<a <51 D ．－51<a <1 ☆☆3．若方程22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->所表示的曲线关于直线y x =对称，必有（ ）A ．E F =B ．D F =C ．DE = D ．,,D EF 两两不相等☆☆☆4．圆0322222=++-++a a ay ax y x 的圆心在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限☆5.若直线34120x y 与两坐标轴交点为A,B,则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A. 22430x y x y B. 22430x y x y C. 224340xy x yD. 224380x y x y☆☆6.过圆224x y +=外一点()4,2P 作圆的两条切线,切点为,A B ,则ABP ∆的外接圆方程是（ ）A. 42x y --22()+()=4 B. 2x y -22+()=4 C. 42x y ++22()+()=5 D. 21x y -+22()+()=5 ☆7.过点1,1A ,1,1B且圆心在直线20xy 上的圆的方程（ ）A. 22314xy B.22314x yC. 22111x y D. 22111x y☆☆8．圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是 （ ）A ．22(7)(1)1x y +++=B ．22(7)(2)1x y +++=C ． 22(6)(2)1x y +++= D ．22(6)(2)1x y ++-= ☆9．已知△ABC 的三个项点坐标分别是A （4，1），B （6，－3），C （－3，0），求△ABC 外接圆的方程．☆10．求经过点A(2，－1)，和直线1=+y x 相切，且圆心在直线x y 2-=上的圆的方程．2.求轨迹方程☆11.圆224120x y y +--=上的动点Q ，定点()8,0A ，线段AQ 的中点轨迹方程________________ .☆☆☆12．方程()04122=-+-+y x y x 所表示的图形是（ ） A ．一条直线及一个圆B ．两个点C ．一条射线及一个圆D ．两条射线及一个圆☆☆13．已知动点M 到点A （2，0）的距离是它到点B （8，0）的距离的一半， 求：（1）动点M 的轨迹方程；（2）若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹．3.直线与圆的位置关系 ☆14.圆2211xy 的圆心到直线33yx 的距离是（ ）A.12☆☆15.过点2,1的直线中,被22240x y x y 截得弦长最长的直线方程为（ ）A. 350x yB. 370x yC. 330xy D. 310x y☆☆16.已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（）A. ），（2222-B. ），（22-C.），（4242- D. ），（8181- ☆17.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为( )A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x☆☆18．过点P （2，1）作圆C ：x 2+y 2－ax +2ay +2a +1=0的切线有两条，则a 取值范围是（ ）A ．a ＞－3B ．a ＜－3C ．－3＜a ＜－52D ．－3＜a ＜－52或a ＞2 ☆☆19．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于E 、F 两点，则EOF ∆（O为原点）的面积为（ ）A ．32B ．34C D ☆☆20．过点M （0，4），被圆4)1(22=+-y x 截得弦长为32的直线方程为 __．☆☆☆21．已知圆C :()()252122=-+-y x 及直线()()47112:+=+++m y m x m l .()R m ∈（1）证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交；（2）求直线l 与圆C 所截得的弦长的最短长度及此时直线l 的方程．☆☆☆22．已知圆x 2+y 2+x －6y +m =0和直线x +2y －3=0交于P 、Q 两点，且以PQ 为直径的圆恰过坐标原点，求实数m 的值．4.圆与圆的位置关系☆23.圆2220x y x +-=与圆2240x y y ++=的位置关系为☆24．已知两圆01422:,10:222221=-+++=+y x y x C y x C .求经过两圆交点的公共弦所在的直线方程_______ ____．☆25．两圆x 2+y 2－4x +6y =0和x 2+y 2－6x =0的连心线方程为（ ） A ．x +y +3=0 B ．2x －y －5=0C ．3x －y －9=0D ．4x －3y +7=0☆26．两圆221:2220C x y x y +++-=，222:4210C x y x y +--+=的公切线有且仅有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条☆☆☆27．已知圆1C 的方程为0),(=y x f ，且),(00y x P 在圆1C 外，圆2C 的方程为),(y x f =),(00y x f ，则1C 与圆2C 一定（ ）A ．相离B ．相切C ．同心圆D ．相交☆☆28．求圆心在直线0x y +=上，且过两圆22210240x y x y +-+-=， 22x y +2280x y ++-=交点的圆的方程．5.综合问题☆☆29.点A 在圆222x y y +=上,点B 在直线1y x =-上,则AB 的最小 （ ）1 B 1-☆☆30.若点P 在直线23100x y ++=上,直线,PA PB 分别切圆224x y +=于,A B 两点,则四边形PAOB 面积的最小值为（ ）A 24B 16C 8D 4☆☆31. 直线b x y +=与曲线21y x -=有且只有一个交点，则b 的取值范围是（ ） A ．2=bB ．11≤<-b 且2-=bC ．11≤≤-bD ．以上答案都不对☆☆32.如果实数,x y 满足22410x y x +-+=求:（1）yx的最大值； （2）y x -的最小值；（3）22x y +的最值.☆☆33．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长30 km的圆形区域．已知港口位于台风正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？圆的方程题型总结参考答案1. 3122(-,)2.D ；3.C ；4.D ；5.A ；6.D ；7.C ；8.A ； 9．解：解法一：设所求圆的方程是222()()x a y b r -+-=． ① 因为A （4，1），B （6，－3），C （－3，0）都在圆上， 所以它们的坐标都满足方程①，于是222222222(4)(1),(6)(3),(3)(0).a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪-+--=⎨⎪--+-=⎩可解得21,3,25.a b r =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以△ABC 的外接圆的方程是22(1)(3)25x y -++=．解法二：因为△ABC 外接圆的圆心既在AB 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，所以先求AB 、BC 的垂直平分线方程，求得的交点坐标就是圆心坐标．∵31264AB k --==--，0(3)1363BC k --==---，线段AB 的中点为（5，－1），线段BC 的中点为33(,)22-， ∴AB 的垂直平分线方程为11(5)2y x +=-， ①BC 的垂直平分线方程333()22y x +=-． ②解由①②联立的方程组可得1,3.x y =⎧⎨=-⎩∴△ABC 外接圆的圆心为Ｅ（1，－3），半径||5r AE ===．故△ABC 外接圆的方程是22(1)(3)25x y -++=．10．解：因为圆心在直线x y 2-=上，所以可设圆心坐标为(a ,-2a )，据题意得：2|12|)12()2(22--=+-+-a a a a ， ∴ 222)1(21)21()2(a a a +=-+-， ∴ a =1， ∴ 圆心为(1，－2)，半径为2， ∴所求的圆的方程为2)2()1(22=++-y x .11.41x y --22()+()=4；12.D ；13．解：（1）设动点M （x ，y ）为轨迹上任意一点，则点M 的轨迹就是集合 P 1{|||||}2M MA MB ==． 由两点距离公式，点M 适合的条件可表示为 22221(2)(8)2x y x y -+=-+，平方后再整理，得 2216x y +=． 可以验证，这就是动点M 的轨迹方程．（2）设动点N 的坐标为（x ，y ），M 的坐标是（x 1，y 1）．由于A （2，0），且Ｎ为线段AM 的中点，所以 122x x +=， 102y y +=．所以有122x x =-，12y y = ① 由（1）题知，M 是圆2216x y +=上的点，所以M 坐标（x 1，y 1）满足：221116x y +=②将①代入②整理，得22(1)4x y -+=．所以N 的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆（如图中的虚圆为所求）．14.解法一：如图，在矩形APBQ 中，连结AB ，PQ 交于M ，显然AB OM ⊥，PQ AB =，在直角三角形AOM 中，若设),(y x Q ，则)2,2(by a x M ++． 由222OA AMOM =+，即22222])()[(41)2()2(r b y a x b y a x =-+-++++， 也即)(222222b a r y x +-=+，这便是Q 的轨迹方程．解法二：设),(y x Q 、),(11y x A 、),(22y x B ，则22121r y x =+，22222r y x =+．又22AB PQ =，即)(22)()()()(2121222122122y y x x r y y x x b y a x +-=-+-=-+-．①又AB 与PQ 的中点重合，故21x x a x +=+，21y y b y +=+，即)(22)()(2121222y y x x r b y a x ++=+++ ②①＋②，有)(222222b a r y x +-=+． 这就是所求的轨迹方程．15.A ；16.A ； 17.C ；18.D ； 19.D ；20.C ；21.x =0或15x ＋8y －32=0；22．解:(1)直线方程()()47112:+=+++m y m x m l ,可以改写为()0472=-++-+y x y x m ,所以直线必经过直线04072=-+=-+y x y x 和的交点.由方程组⎩⎨⎧=-+=-+04,072y x y x 解得⎩⎨⎧==1,3y x 即两直线的交点为A )1,3( 又因为点()1,3A 与圆心()2,1C 的距离55<=d ,所以该点在C 内,故不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交.(2)连接AC ,过A 作AC 的垂线,此时的直线与圆C 相交于B 、D .BD 为直线被圆所截得的最短弦长.此时,545252,5,5=-===BD BC AC 所以.即最短弦长为54. 又直线AC 的斜率21-=AC k ,所以直线BD 的斜率为 2.此时直线方程为:().052,321=---=-y x x y 即23．解：由01220503206222=++-⇒⎩⎨⎧=-+=+-++m y y y x m y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧+==+∴51242121m y y y y 又OP ⊥OQ ， ∴x 1x 2+y 1y 2=0,而x 1x 2=9－6(y 1+y 2)+4y 1y 2= 5274-m∴05125274=++-mm 解得m =3. 24.相交； 25.02=-+y x ；26.C ；27.B ； 28.C ；29．解法一：（利用圆心到两交点的距离相等求圆心） 将两圆的方程联立得方程组22222102402280x y x y x y x y ⎧+-+-=⎨+++-=⎩，解这个方程组求得两圆的交点坐标A （－4，0），B （0，2）．因所求圆心在直线0x y +=上，故设所求圆心坐标为(,)x x -，则它到上面的两上交点（－4，0）和（0，2= 即412x =-，∴3x =-，3y x =-=，从而圆心坐标是（－3，3）．又r = 故所求圆的方程为22(3)(3)10x y ++-=．解法二：（利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程） 同解法一求得两交点坐标A （－4，0），B （0，2），弦AB 的中垂线为230x y ++=， 它与直线0x y +=交点（－3，3）就是圆心，又半径r =故所求圆的方程为22(3)(3)10x y ++-=．解法三：（用待定系数法求圆的方程）同解法一求得两交点坐标为A （－4，0），B （0，2）．设所求圆的方程为222()()x a y b r -+-=，因两点在此圆上，且圆心在0x y +=上，所以得方程组 222222(4)(3)0a b r a b r a b ⎧--+=⎪+-=⎨⎪+=⎩，解之得33a b r ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩，故所求圆的方程为22(3)(3)10x y ++-=．解法四：（用“圆系”方法求圆的方程．过后想想为什么？）设所求圆的方程为222221024(228)0x y x y x y x y λ+-+-++++-=(1)λ≠-，即 222(1)2(5)8(3)0111x y x y λλλλλλ-+++-+-=+++． 可知圆心坐标为15(,)11λλλλ-+-++． 因圆心在直线0x y +=上，所以15011λλλλ-+-=++，解得2λ=-．将2λ=-代入所设方程并化简，求圆的方程226680x y x y ++-+=． 30.A ； 31.C ； 32.B ；33.（1（2）2；（3）()22minx y+=；()22max7x y +=+.34解法一：设点P 、Q 的坐标为),(11y x 、),(22y x ．一方面，由OQ OP ⊥，得1-=⋅OQ OP k k ，即12211-=⋅x y x y ，也即：02121=+y y x x ． ① 另一方面，),(11y x 、),(22y x 是方程组⎩⎨⎧=+-++=-+0603222m y x y x y x 的实数解，即1x 、2x 是方程02741052=-++m x x ②的两个根．∴221-=+x x ，527421-=m x x ． ③ 又P 、Q 在直线032=-+y x 上，∴])(39[41)3(21)3(2121212121x x x x x x y y ++-=-⋅-=． 将③代入，得51221+=m y y ． ④将③、④代入①，解得3=m ，代入方程②，检验0>∆成立， ∴3=m ．解法二：由直线方程可得y x 23+=，代入圆的方程0622=+-++m y x y x ，有0)2(9)6)(2(31222=++-+++y x my x y x y x ，整理，得0)274()3(4)12(22=-+-++y m xy m x m ． 由于0≠x ，故可得012)3(4))(274(2=++-+-m xym x y m ．∴OP k ，OQ k 是上述方程两根．故1-=⋅OQ OP k k ．得127412-=-+m m，解得3=m ．经检验可知3=m 为所求．35解：以A 、B 所确定的直线为x 轴，AB 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．∵10=AB ，∴)0,5(-A ，)0,5(B ．设某地P 的坐标为),(y x ，且P 地居民选择A 地购买商品便宜，并设A 地的运费为a 3元/公里，B 地的运费为a 元/公里．因为P 地居民购货总费用满足条件：价格＋A 地运费≤价格＋B 地的运费即：2222)5()5(3y x a y x a +-≤++． ∵0>a ，∴2222)5()5(3y x y x +-≤++化简整理得：222)415()425(≤++y x ∴以点)0,425(-为圆心415为半径的圆是两地购货的分界线． 圆内的居民从A 地购货便宜，圆外的居民从B 地购货便宜，圆上的居民从A 、B 两地购货的总费用相等．因此可随意从A 、B 两地之一购货．说明：实际应用题要明确题意，建议数学模型．。

4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式[学习目标] 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.掌握空间两点间的距离公式.知识点一空间直角坐标系1.空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y 轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.②相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.2.空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z).其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.知识点二空间两点间的距离1.空间两点间的距离公式(1)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|＝x2＋y2＋z2.(2)在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距离|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.2.空间中的中点坐标公式在空间直角坐标系中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则线段AB 的中点坐标是⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.题型一 求空间中点的坐标例1 如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 在线段BC 1上，且|BM |＝2|MC 1|，N 是线段D 1M 的中点，求点M ，N 的坐标. 解 如图，过点M 作MM 1⊥BC 于点M 1，连接DM 1，取DM 1的中点N 1，连接NN 1. 由|BM |＝2|MC 1|， 知|MM 1|＝23|CC 1|＝23，|M 1C |＝13|BC |＝13.因为M 1M ∥DD 1，所以M 1M 与z 轴平行，点M 1与点M 的横坐标、纵坐标相同，点M 的竖坐标为23，所以M ⎝⎛⎭⎫13，1，23. 由N 1为DM 1的中点，知N 1⎝⎛⎭⎫16，12，0. 因为N 1N 与z 轴平行，且|N 1N |＝|M 1M |＋|DD 1|2＝56，所以N ⎝⎛⎭⎫16，12，56.反思与感悟 建立空间直角坐标系的技巧(1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；②充分利用几何图形的对称性.(2)求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标. 跟踪训练1 如图所示，在单位正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，M 是B 1B 的中点，N 是CC 1的中点，AP ＝2P A 1，Q 是OA 反向延长线上的一点，且OA ＝2OQ ，求点B ，C ，A 1，O 1，B 1，C 1，M ，N ，P ，Q 的坐标. 解 由于点B 在xOy 平面内，竖坐标为0， ∴B 点坐标为(1,1,0).C 点在y 轴上且OC ＝1，横坐标、竖坐标均为0，∴C 点坐标为(0,1,0)，A 1点在xOz 平面内，纵坐标为0， ∴A 1点的坐标为(1,0,1)， O 1点在z 轴上，且OO 1＝1， ∴O 1点的坐标为(0,0,1).B 1点所在平面A 1B 1C 1O 1与xOy 平面平行， 竖坐标为1，∴B 1点的坐标为(1,1,1).C 1点在yOz 平面内，横坐标为0，纵坐标为1， ∴C 1点的坐标为(0,1,1). 同理得M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫1，1，12. N 点为CC 1的中点，∴其横坐标为0，竖坐标为12，∴N 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，1，12. 同理可得P 点坐标为⎝⎛⎭⎫1，0，23， Q 点坐标为(－12，0,0).题型二 求空间中对称点的坐标例2 在空间直角坐标系中，点P (－2,1,4). (1)求点P 关于x 轴的对称点的坐标； (2)求点P 关于xOy 平面的对称点的坐标； (3)求点P 关于点M (2，－1，－4)的对称点的坐标.解 (1)由于点P 关于x 轴对称后，它在x 轴的分量不变，在y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P 1(－2，－1，－4).(2)由于点P 关于xOy 平面对称后，它在x 轴、y 轴的分量不变，在z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P 2(－2,1，－4).(3)设对称点为P 3(x ，y ，z )，则点M 为线段PP 3的中点，由中点坐标公式，可得x ＝2×2－(－2)＝6，y ＝2×(－1)－1＝－3，z ＝2×(－4)－4＝－12， 所以P 3(6，－3，－12).反思与感悟 任意一点P (x ，y ，z )，关于原点对称的点是P 1(－x ，－y ，－z )；关于x 轴(横轴)对称的点是P 2(x ，－y ，－z )；关于y 轴(纵轴)对称的点是P 3(－x ，y ，－z )；关于z 轴(竖轴)对称的点是P 4(－x ，－y ，z )；关于xOy 平面对称的点是P 5(x ，y ，－z )；关于yOz 平面对称的点是P 6(－x ，y ，z )；关于xOz 平面对称的点是P 7(x ，－y ，z ).求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆. 跟踪训练2 求点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 及x 轴的对称点的坐标. 解 如图所示，过点A 作AM ⊥坐标平面xOy 交平面于点M ，并延长到点C ，使AM ＝CM ，则点A 与点C 关于坐标平面xOy 对称，且点C (1,2,1). 过点A 作AN ⊥x 轴于点N 并延长到点B ，使AN ＝NB ， 则点A 与B 关于x 轴对称且点B (1，－2,1).∴点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 对称的点为C (1,2,1)； 点A (1,2，－1)关于x 轴对称的点为B (1，－2,1).(本题也可直接利用点关于坐标面、坐标轴对称的规律写出) 题型三 空间中两点之间的距离例3 已知△ABC 的三个顶点A (1,5,2)，B (2,3,4)，C (3,1,5). (1)求△ABC 中最短边的边长； (2)求AC 边上中线的长度. 解 (1)由空间两点间距离公式得 |AB |＝ (1－2)2＋(5－3)2＋(2－4)2＝3， |BC |＝(2－3)2＋(3－1)2＋(4－5)2＝6，|AC |＝(1－3)2＋(5－1)2＋(2－5)2＝29， ∴△ABC 中最短边是|BC |，其长度为 6.(2)由中点坐标公式得，AC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫2，3，72. ∴AC 边上中线的长度为(2－2)2＋(3－3)2＋⎝⎛⎭⎫4－722＝12. 反思与感悟 解决空间中的距离问题就是把点的坐标代入距离公式计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是解题的关键.跟踪训练3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为面A 1B 1C 1D 1的中心，求证：AP ⊥B 1P . 证明 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设棱长为1，则A (1,0,0)，B 1(1,1,1)，P ⎝⎛⎭⎫12，12，1.由空间两点间的距离公式，得 |AP |＝(1－12)2＋(0－12)2＋(0－1)2＝62，|B 1P |＝⎝⎛⎭⎫1－122＋⎝⎛⎭⎫1－122＋(1－1)2＝22， |AB 1|＝(1－1)2＋(0－1)2＋(0－1)2＝ 2. 所以|AP |2＋|B 1P |2＝|AB 1|2，所以AP ⊥B 1P . 转化思想例4 已知正方形ABCD 和正方形ABEF 的边长都是1，并且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动.若|CM |＝|BN |＝a (0＜a ＜2). (1)求MN 的长度；(2)当a 为何值时，MN 的长度最短.分析 因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，BE ⊥AB ，所以BE ⊥平面ABCD ，所以BA ，BC ，BE 两两垂直.因此可以通过建立空间直角坐标系，先利用空间两点间的距离公式把|MN |表示为参数a 的函数，再利用函数求最值.解 取B 为坐标原点，BA ，BE ，BC 所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为|BC |＝1，|CM |＝a ，点M 在坐标平面xBz 内，且在正方形ABCD 的对角线上， 所以M ⎝⎛⎭⎫22a ，0，1－22a .因为点N 在坐标平面xBy 内，且在正方形ABEF 的对角线上，|BN |＝a ，所以N ⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0.(1)由空间两点间的距离公式，得 |MN |＝⎝⎛⎭⎫22a －22a 2＋⎝⎛⎭⎫0－22a 2＋⎝⎛⎭⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1，即MN 的长度为a 2－2a ＋1.(2)由(1)，得|MN |＝a 2－2a ＋1＝ ⎝⎛⎭⎫a －222＋12.当a ＝22(满足0＜a ＜2)时， ⎝⎛⎭⎫a －222＋12取得最小值，即MN 的长度最短，最短为22.解后反思 由于图形中出现了两两垂直的三条直线，因此可建立空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题求解.利用空间两点间的距离公式求得MN 的长度，并利用二次函数求MN长度的最小值.建系选取位置错误例5 已知在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有的棱长都是1，且侧棱AA 1⊥底面ABC ，建立适当的坐标系，并写出各顶点的坐标.分析 由于所有棱长都是1，则△ABC 是等边三角形，而AA 1垂直于底面，因此可选取适当位置建系.解 如图，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.因为三棱柱各棱长均为1，所以|OA |＝|OC |＝|O 1C 1|＝|O 1A 1|＝12，|OB |＝32.因为点A ，B ，C 均在坐标轴上，所以A ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0. 又因为点A 1，C 1，在yOz 平面内， 所以A 1(0，－12，1)，C 1(0，12，1).又因为点B 1在xOy 平面内的射影为点B ，且|BB 1|＝1，所以B 1⎝⎛⎭⎫32，0，1.所以各顶点的坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，A 1⎝⎛⎭⎫0，－12，1，B 1⎝⎛⎭⎫32，0，1，C 1⎝⎛⎭⎫0，12，1. 解后反思 在此题中易出现以点A 作为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立坐标系，由于∠BAC ≠90°，故这种建系的方法是错误的.建系时应该选取从一点出发的三条两两垂直的直线作为坐标轴.1.点P (－2,0,3)位于( )A.y 轴上B.z 轴上C.xOz 平面内D.yOz 平面内 答案 C解析 因为点P 在y 轴上的坐标为0，所以点P 位于xOz 平面内.2.设点P 在x 轴上，它到点P 1(0，2，3)的距离为到点P 2(0,1，－1)的距离的两倍，则点P 的坐标为( ) A.(1,0,0)B.(－1,0,0)C.(1,0,0)或(0，－1,0)D.(1,0,0)或(－1,0,0)答案 D解析 因为点P 在x 轴上， 所以设点P 的坐标为(x,0,0). 由题意，知|PP 1|＝2|PP 2|， 所以(x －0)2＋(0－2)2＋(0－3)2 ＝2(x －0)2＋(0－1)2＋(0＋1)2. 解得x ＝±1.所以所求点为(1,0,0)或(－1,0,0).3.已知A (－1,2,7)，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为( ) A.(－1，－2，－7) B.(－1，－2,7) C.(1，－2，－7) D.(1,2，－7)答案 A解析 点A 关于x 轴对称的点，横坐标不变，纵、竖坐标变为原来的相反数，故选A. 4.已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( ) A.－3或4 B.6或2 C.3或－4 D.6或－2 答案 D解析 由题意得(x －2)2＋(1－3)2＋(2－4)2＝26，解得x ＝－2或x ＝6. 5.已知A (3,2，－4)，B (5，－2,2)，则线段AB 中点的坐标为________. 答案 (4,0，－1)解析 设中点坐标为(x 0，y 0，z 0)，则x 0＝3＋52＝4，y 0＝2－22＝0，z 0＝－4＋22＝－1，∴中点坐标为(4,0，－1).1.结合长方体的长宽高理解点的坐标(x ，y ，z )，培养立体思维，增强空间想象力.2.学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系.3.在导出空间两点间的距离公式中体会转化与化归思想的应用，突出了化空间为平面的解题思想.一、选择题1.点P (2,3,4)关于yOz 平面对称的点的坐标为( ) A.(－2,3,4) B.(－2，－3,4) C.(2，－3，－4) D.(－2,3，－4)答案 A解析 关于yOz 平面对称的点，在y 轴上，z 轴上的坐标不变，在x 轴上的坐标变为原来的相反数，故选A.2.已知A (1,2,3)，B (3,3，m )，C (0，－1,0)，D (2，－1，－1)，则( ) A.|AB |＞|CD | B.|AB |＜|CD | C.|AB |≤|CD | D.|AB |≥|CD |答案 D解析 |AB |＝22＋12＋(m －3)2＝5＋(m －3)2，|CD |＝22＋02＋(－1)2＝ 5.因为(m －3)2≥0， 所以|AB |≥|CD |.3.已知四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则点D 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫72，4，－1 B.(2,3,1) C.(－3,1,5) D.(5,13，－3)答案 D解析 设▱ABCD 的对角线交点为M ，点D 的坐标为(x ，y ，z ).∵A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，∴AC 的中点坐标为M ⎝⎛⎭⎫72，4，－1，BD 的中点坐标为M ⎝⎛⎭⎫2＋x 2，－5＋y 2，1＋z 2， ∴⎝⎛⎭⎫72，4，－1＝⎝⎛⎭⎫2＋x 2，－5＋y 2，1＋z 2，即x ＝5，y ＝13，z ＝－3.∴点D 的坐标为(5,13，－3).4.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1，A 1C 的中点E 到AB 的中点F 的距离为( ) A.2a B.22a C.a D.12a 答案 B解析 由题意得F ⎝⎛⎭⎫a ，a2，0，A 1(a,0，a )，C (0，a,0)，∴E ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2，则|EF |＝⎝⎛⎭⎫a －a 22＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 22＋⎝⎛⎭⎫0－a 22＝22a .5.已知点A (1，a ，－5)，B (2a ，－7，－2)(a ∈R )，则|AB |的最小值是( ) A.3 3 B.3 6 C.2 3 D.26 答案 B解析 |AB |2＝(2a －1)2＋(－7－a )2＋(－2＋5)2 ＝5a 2＋10a ＋59 ＝5(a ＋1)2＋54.∴a ＝－1时，|AB |2的最小值为54. ∴|AB |min ＝54＝3 6.6.△ABC 在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC 边上的中线的长是( )A. 2B.2C. 3D.3 答案 C解析 BC 的中点坐标为M (1,1,0)， 又A (0,0,1)，∴|AM |＝12＋12＋(－1)2＝ 3.7.在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( ) A.62 B. 3 C.32 D.63答案 A解析 设P (x ，y ，z )，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y 2＋z 2＝1，x 2＋z 2＝1，∴x 2＋y 2＋z 2＝32.∴x 2＋y 2＋z 2＝62.二、填空题8.已知△ABC 的顶点为A (1,1,1)，B (0，－1,3)，C (3,2,3)，则△ABC 的面积是________. 答案 92解析 |AB |＝1＋4＋4＝3，|AC |＝4＋1＋4＝3， |BC |＝9＋9＋0＝3 2. 因为|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，所以△ABC 为直角三角形. 所以S △ABC ＝12×3×3＝92.9.对于任意实数x ，y ，z 则(x ＋1)2＋(y －2)2＋(z －1)2＋x 2＋y 2＋z 2的最小值为______. 答案6解析 设P (x ，y ，z )，M (－1,2,1)， 则(x ＋1)2＋(y －2)2＋(z －1)2＋x 2＋y 2＋z 2 ＝|PM |＋|PO |.由于x ，y ，z 是任意实数，即点P 是空间任意一点，则|PM |＋|PO |≥|OM |＝1＋4＋1＝6，故所求的最小值为 6.10.已知点A (1－t,1－t ，t )，B (2，t ，t )，则|AB |的最小值为________. 答案355解析 由空间中两点的距离公式，得|AB |＝(2－1＋t )2＋(t －1＋t )2＋(t －t )2＝5t 2－2t ＋2＝5⎝⎛⎭⎫t －152＋95.当t ＝15时，|AB |取最小值，最小值为355. 11.点B 是点A (2，－3,5)关于xOy 平面的对称点，则|AB |＝________. 答案 10解析 ∵点B 的坐标为B (2，－3，－5)， ∴|AB |＝(2－2)2＋(－3＋3)2＋(5＋5)2＝10. 三、解答题12.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝2，AB ＝4，DE ⊥AC ，垂足为E ，求B 1E 的长.解 如图，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.则D (0,0,0)，B 1(2,4,2)，A (2,0,0)，C (0,4,0)， 设点E 的坐标为(x ，y,0)，在坐标平面xOy 内，直线AC 的方程为x 2＋y 4＝1， 即2x ＋y －4＝0，又DE ⊥AC ，直线DE 的方程为x －2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －4＝0，x －2y ＝0得⎩⎨⎧ x ＝85，y ＝45，∴E (85，45，0). ∴|B 1E |＝ (85－2)2＋(45－4)2＋(0－2)2＝6105， 即B 1E 的长为6105. 13.如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在面对角线A 1B 上，点Q 在面对角线B 1C 上.(1)当点P 是面对角线A 1B 的中点，点Q 在面对角线B 1C 上运动时，求|PQ |的最小值；(2)当点Q 是面对角线B 1C 的中点，点P 在面对角线A 1B 上运动时，求|PQ |的最小值；(3)当点P 在面对角线A 1B 上运动，点Q 在面对角线B 1C 上运动时，求|PQ |的最小值. 解 以顶点D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .因为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，所以可得点A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，B (1,1,0)，C (0,1,0).(1)因为点P 是面对角线A 1B 的中点，所以由射影的概念，得P ⎝⎛⎭⎫1，12，12. 又因为点Q 在面对角线B 1C 上运动，所以可设点Q (b,1，b )，b ∈[0,1].由空间两点间的距离公式，得|PQ |＝(1－b )2＋⎝⎛⎭⎫12－12＋⎝⎛⎭⎫12－b 2 ＝ 2b 2－3b ＋32＝ 2⎝⎛⎭⎫b －342＋38. 所以当b ＝34时，|PQ |取得最小值64. 此时Q ⎝⎛⎭⎫34，1，34. (2)因为点Q 是面对角线B 1C 的中点，所以由射影的概念，得Q ⎝⎛⎭⎫12，1，12. 又因为点P 在面对角线A 1B 上运动，所以可设点P (1，a,1－a )，a ∈[0,1].由空间两点间的距离公式，得|PQ |＝ ⎝⎛⎭⎫1－122＋(a －1)2＋⎝⎛⎭⎫1－a －122 ＝⎝⎛⎭⎫122＋(a －1)2＋⎝⎛⎭⎫12－a 2 ＝ 2a 2－3a ＋32＝ 2⎝⎛⎭⎫a －342＋38. 所以当a ＝34时，|PQ |取得最小值64， 此时P ⎝⎛⎭⎫1，34，14. (3)因为点P 在面对角线A 1B 上运动，点Q 在面对角线B 1C 上运动， 所以可设点P (1，a,1－a )，Q (b,1，b )，a ，b ∈[0,1].由空间两点间的距离公式，得|PQ |＝(1－b )2＋(a －1)2＋(1－a －b )2＝2a 2＋2b 2－4a －4b ＋2ab ＋3＝ 2⎝⎛⎭⎫a ＋b 2－12＋32⎝⎛⎭⎫b －232＋13. 所以当b ＝23时，代入a ＋b 2－1＝0，得a ＝23， 即当a ＝b ＝23时，|PQ |取得最小值33， 此时P ⎝⎛⎭⎫1，23，13，Q ⎝⎛⎭⎫23，1，23.。