2014年高考数学全国卷1(理科)
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2014年普通高等学校招生全国统一考试(新课标I 卷)
数 学(理科)
一.选择题:共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x |2
230x x --≥},B={x |-2≤x <2=,则A B ⋂=
A .[-2,-1]
B .[-1,2)
C .[-1,1]
D .[1,2) 2.32
(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --
3.设函数()f x ,()g x 的定义域都为R ,且()f x 时奇函数,()g x 是偶函数,则下列结论正确的是
A .()f x ()g x 是偶函数
B .|()f x |()g x 是奇函数
C .()f x |()g x |是奇函数
D .|()f x ()g x |是奇函数
4.已知F 是双曲线C :2
2
3(0)x my m m -=>的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为
A .3
B .3
C .3m
D .3m
5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率
A .18
B .38
C .58
D .78
6.如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边
为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ,则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为
7.执行下图的程序框图,若输入的,,a b k 分别为1,2,3,则输出的M =
A .
203 B .165 C .72 D .158
8.设(0,
)2π
α∈,(0,)2
π
β∈,且1sin tan cos βαβ+=
,则 A .32
π
αβ-=
B .22
π
αβ-=
C .32
π
αβ+=
D .22
π
αβ+=
9.不等式组1
24
x y x y +≥⎧⎨
-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题:
1p :(,),22x y D x y ∀∈+≥-, 2p :(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P :(,),23x y D x y ∀∈+≤, 4p :(,),21x y D x y ∃∈+≤-.
其中真命题是
A .2p ,3p
B .1p ,4p
C .1p ,2p
D .1p ,3p 10.已知抛物线C :2
8y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个
焦点,若4FP FQ =u u u r u u u r
,则||QF =
A .72
B .5
2
C .3
D .2 11.已知函数()f x =3
2
31ax x -+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且0x >0,则a 的取值范围为 A .(2,+∞) B .(-∞,-2) C .(1,+∞) D .(-∞,-1) 12.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为
A .62
B .42
C .6
D .4
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。
二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。
13.8
()()x y x y -+的展开式中2
2
x y 的系数为 .(用数字填写答案) 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ,B ,C 三个城市时,
甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B 城市; 乙说:我没去过C 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 .
15.已知A ,B ,C 是圆O 上的三点,若1()2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,则AB u u u r 与AC u u u
r 的夹角为 .
16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边,a =2,且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-,
则ABC ∆面积的最大值为 .
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ,1a =1,0n a ≠,11n n n a a S λ+=-,其中λ为常数.
(I )证明:2n n a a λ+-=;
(Ⅱ)是否存在λ,使得{n a }为等差数列?并说明理由.
18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由
测量结果得如下频率分布直方图:
(I )求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2
s (同一组数据用该区间的中点值作代表);
(Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2
(,)N μδ,其中μ近似为样本平均数x ,2δ近似为样本方差2
s .
(i )利用该正态分布,求(187.8212.2)P Z <<;
(ii )某用户从该企业购买了100件这种产品,学科网记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i )的结果,求EX .
附:150≈12.2.若Z ~2
(,)N μδ,则
()P Z μδμδ-<<+=0.6826,