8对称法
故事链接：1928年，英国物理学家狄拉克在解自由电子相对性波动方程时，由于
开平方根而得出电子的能量有正负两个解，按照通常的观念，负能解通常被舍去，但是狄拉克为了保持数学上的对称美，将这个似乎没有意义的量描述的是带正电荷的电子，也就是电子的反粒子。正电子预言不久后就被美国的另一位物理学家安德森发现。这种科学的对称思维，使他后来提出了完全与众不同的反物质理论。狄拉克也因此于1933年获得诺贝尔物理学奖。
其实对称是自然界广泛存在的一种现象，它显示出了物质世界的和谐美。具有对
称性的对象其对称部分的特征完全相同，一旦确定了一部分的特征，便可推出对称部分的特征，这种解决问题的方法称为对称法。按照利用对称的种类可分为位置分布的对称、运动轨迹的对称和物理过程的对称。下面分别举例说明。
（1） 位置分布的对称
电场、磁场以及某些研究对象的位置分布都具有对称性，在对称的位置应具有相同的物理特征，巧妙利用位置分布的对称性可以方便的解决问题。
[例题1](2006年全国2理综)ab 是长为l 的均匀带电细杆，P 1、P 2是位于ab 所在直线上的两点，位置如图所示，ab 上电荷产生的静电场在P 1处的场强大小为E 1，在P 2处的场强大小为E 2，则以下说法正确的是（ ） A ．两处的电场方向相同，E 1＞E 2 B ．两处的电场方向相反，E 1＞E 2 C ．两处的电场方向相同，E 1＜E 2 D ．两处的电场方向相反，E 1＜E 2
解析：由对称性可知，P 1左端
4l 的电荷和P 1右端4
l
的电荷在P 1 处产生的合场强为0，所以P 1处场强1E 是由杆右端2
l
的电荷产生。
P 2处场强2E 是由杆右端2l 的电荷和杆左端2
l
的电荷在P 2处产生合场强，又因为P 1、P 2两
点又关于杆右端2l 对称，所以杆右端2
l
的电荷在P 2处产生的场强大小也为1E ，假设杆左端
2
l
的电荷在P 2处产生场强大小为E '，由叠加原理可知P 2处场强E E E '+=12，而P 1处场强大小为1E ，所以12E E >。P 1、P 2两点位于电荷的两侧，所以场强方向相反。正确答案为D 。
[例题2]如图所示，三根等长的细绝缘棒，连接成等边三角形
ABC ，P 点为三角形的内心，Q 点与三角形共面，且与P 点相对棒AC 对称。三棒都带有电荷，电荷的分布与假设三棒
皆为导体棒时的电荷
分布完全相同，此时，测得P 、Q 两点电势分别为P U 、Q U 现将绝缘棒BC 取走，假设取不影响AB 、AC 棒上原有电荷的分布，求这时P 、Q 两点的电势'P U 、'
Q U 。
解析：根据静电场中某点的电势等于各个带电体在该点产生电势的代数和的特点，可以由带电体的电荷分布的对称性求解。
在没有取走BC 捧时，根据对称性，各棒在P 点产生电势必相等，用1U 表示各棒在P 点产生的电势，则有：13U U P =①
因为P 、Q 两点相对AC 棒对称，所以AC 棒在Q 点产生的电势也为1U 。由对称性可知AB 捧、BC 捧在Q 点产生的电势也相等，用2U 表示，AB 棒、BC 棒和AC 棒在Q 点产生的电势 212U U U Q += ②
①②联立解得6
2,321P Q P
U U U U U -==
将BC 取走后，则P 点电势P P U U U 3
2
21=='
Q 点电势2
621Q
P Q U U U U U +=+='
[例题3]如图2所示，用12根电
阻均为r 的电阻丝组成一个正方休形网络，计算ag 两端间的总电
阻。
解析：为了计算ag 两端间的总电阻，可设想从a 端流入网络一个电流I 。如图3所示，电流I 从a 端流入后，从a 端
向ab 、ad ，ae
三方向流入，根据对称性，ab 、ad ，ae 中的电流强度都相同，均为
3
I 。流入b 点
的电流向bc 、bf 两方向的电流强度流入，又根据对称性，bc 、bf 均为2
3
I
即
6
I
，又根据对称性可知，由c 流向g 的电流又为
3
I
，根据欧姆定律知：
Ir r I r I r I U U U U cg bc ab ag 6
5363=++=
++= 所以ag 两端点间的总电阻为r I U R ag ag 6
5
==
[例题4]如左图，两竖直放置的平行金属板A 、B 之间距离为d ，两板间电压为U ，在两极板间放一个半径为R 的金属球壳，球心到两板的距离相等，C 点为球壳上的一点，位置在垂直于两板的球直径的靠A 板的一端，问A 板与点C 间的电压大小为多少? 解析：金属球壳放入电场中达到静电平衡后，球为等势体，两极板之间的电场由原来的匀强电场变成如右图所示电场，这时C 与A 板间的电势差不能简单应用公式AC U =AC Ed 来计算。
应用对称特点，两板间电场线形状和金属球关于金属球中心O 点对称，所以A 板与金属球的电势差AO U 和金属球与B 板电势差OB U 相等，即AO U =OB U ，又A ，B 两板电势差保持不变为U ，即AO U +OB U =U ，由以上两式解得AO U =OB U =U ／2，所以A 、C 两点间的电势差为AO U =AC U =U ／2。
[例题5]如图所示，在同一竖直平面内固定着两根水平绝缘细杆AB 、CD ，长均为L ，两杆间竖直距离为h ，BD 两端以光滑绝缘的半圆形细杆相连，半圆形细杆与AB 、CD 在同一竖直面内，且AB 、CD 恰为半圆形弧在B 、D 两处的切线，O 为AD 、BC 连线的交点。在O 点固定一电量为Q 的正点电荷。质量为m 的小球P 带正电荷，电量为q ，穿在细杆上，从A 以一定初速度出发，沿杆滑动，最后可到达C 点。已知小球与两永平杆之间的动摩擦因
数为μ，小球所受库仑力始终小于重力求：
①P 在水平细杆上滑动时所受摩擦力的极大值和极小值。 ②P 从A 点出发时初速度的最小值。
解析：①因μ相同，压力最大和最小处对应摩擦力的最大值和最小值，依对称性可知，P 在O 点的正下方时所受摩擦力最大，
)42max kQqh mg N f +==（下μμ
