2 二 证明题
2. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为⎰=
v
dv x t x t p ,
,,),()(ρ
ρρ
ρ利用电荷守恒定律0=∂∂+⋅∇t J ρρ证明的变化率为⎰=v
dv t x J dt p
d ,,),(ρρρ
解：
⎰=v
dv x t x t p ,,,),()(ρ
ρρρ (T 就是方向符号)
,x ρ与时间无关，取的)(t p ρ
一个分量为
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅+⋅⋅-=⋅⋅∇+⋅∇-=⋅∇-====v
i s
i i v
i i v i i v i i v i i i i v
i i dv J s d J x dv
J x dv J x dv J x dv t x x t p dt t dp dv x t x t p ,
,
,,,
,,,,,,,,,,
,
,)()()(),()()(),()(ρρρρρρρ&&ρρρρ（p 上的乱码为p 上一个点，rou 也是，dv 后都有一小撇）
考虑到积分区域的表面比电荷所在区域大得多时，表面上的电流为0。s d J x s
i i ρ
ρ⋅⋅⎰)(,=0
所以 ⎰⋅=v
i i dv J dt t dp ,)
(ρ
故得 ⎰=v
dv t x J dt p
d ,,),(ρρρ
3.证明：
（1） 两种介质的分界面上不带自由电荷时，电力线的曲折满足
12
1
2
tan tan εεθθ=
，其
中1ε和2ε分别为两种介质的介电常数，1θ和2θ分别为界面两侧电力线与法线的夹
角.
（2） 当两种导电介质内流有稳恒电流时，分界面上电力线曲折满足
12
1
2
tan tan σσθθ=
，其中2,1,σσ分别为两种介质的电导率。
解：（1）考虑到界面上无自由电荷，故知：
12
122
222
2111112
221112
2112112221121tan tan cos sin cos sin sin sin 0
)(cos cos εεθθθεθθεθεεθθθθ=======-⨯==即得故
即且即E E E E E D E D E E E E E E n D D D D t t n n ρρ
ρ
（2）一直导电介质内流有稳恒电流故
221121cos cos 0θθJ J J J J n n ===⋅∇即可知ρ
又知稳恒电流的电场与静电场之边界条件相同，故
12
12
2
211122
22111211121tan tan sin cos sin cos sin sin σσθθθθσθθσσσθθ======即故得
且即E J E J E E E E t t ρρρ
ρ
10.设A u v 和ϕ是满足洛伦兹规范的失势和标势。引入一矢量函数(,)Z x t u v v
（即赫芝
势），使Z ϕ=-∇u v
g ，证明21Z A c t
∂=∂u v
u v ；
（字母上边的均为方向符号，其中g 为称号）
证明：在洛伦兹规范 2
10A c t
ϕ
∂∇+=∂u v g （1） 下A u v
和ϕ遵从达朗贝尔方程：
220221A A J c t μ∂∇-=-∂u v u v u v ，22
0221/c t ϕϕρε∂∇-=-∂ （2）
将Z ϕ=-∇u v
g （3）
代入（1）式得2
1(Z
A c t
∂∇-∂u v ）=0 （4） 因为（1）式对任意点任意时刻都成立，故方程（4）对任意点任意时刻也成立，
因此括号内两个矢量最多只相差一个无散场，令其为0，便有21Z
A c t ∂=∂u v
u v （5）
三 计算题
1 有一内外半径分别为r 1和r 2的空心介质球，介质的介电常数为ε，使介质内均匀带静止电荷f ρ，求
（1） 空间各点的电场
（2） 极化体电荷和极化面电荷分布 解：（1）空间各点的电场由于自由电荷均匀分布在介质球内，电场具有球对称性分布，利用高斯定理可解得
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨<<<->=)
(0)(3)()(31213
0313
23012r r r r r r r r r r r
E f f ερερ （3） 极化体电荷和极化面电荷分布：
在（)21r r r <<范围内存在极化体电荷p ρ
P p ρ⋅-∇=ρ E E P r e ρ
ρρ00)1(εεεχ-== ε
ρf E =⋅∇ρ ε
ρεεεερf
r p E )()1(00--=⋅∇--=∴ρ )(21r r r <<
或f p ρε
ερ)1(0
-
-= 在r=r 2 球面上的极化面电荷p σ (前边是r=r2)
2012)1()(2
E n P P n r p
ρρ
ρρρεεσ-⋅-=-⋅-=
)
()1(3)()
(3)()1(3)(20
2
2
3
13
23
2
3
13
20
3
231322r r r r r r r r r r
r n r r r r E f
f
r p f =-
-=
----=∴-=⋅-=ε
ερερεεσερρ
ρρρ
在r=r 1的球面上的极化面电荷p σ (前边是r=r1)
00
)(1
2,2,02,33,2,
=∴===-⋅-==p r r e p E E P P P P n σεχσρρρρ
ρρρ
2.内外半径分别为r 1和r 2的无穷长中空导体圆柱，沿向流有稳恒自由电流J f ，导体的磁导率
为。求磁感应强度和磁化电流。 解：沿中空倒替圆柱轴向流动的均匀自由电流J f 所产生的磁感应强度具有轴对称性，因而可
应用安培环路定律求B ρ三个不同区域的B ρ
可分别算出
