我们说这个证明不仅是一个创造性的，更主要它避免了传统证法中的“循环论证”.
因扇形面积ＯAT ＝12
x 的求得，一般是n 等分∠ＡＯT 成n 个等腰△A i OA i-1(i=1.2,…,n,A=A 0,T=A n )，则 ∑△A i OA i-1=∑12Sin （x/n ）=12
n Sin （x/n ） 此时，扇形面积ＯA T=lim n →∞∑△A i OA i-1=∑12Sin （x/n ）=12
x lim n →∞[Sin （x/n ）/（x/n ）] 显然当lim n →∞[Sin （x/n ）/（x/n ）]=1时，扇形面积ＯAT ＝12
x ，但令t= x / n ，则该极限为要证明的重要极限Ｉ，即出现循环论证。
Ⅱ极限lim
n→∞
（1+1/n）n = e
设A n=（1+1/n）n，利用算术和几何不等式关系，得：
A n=（1+1/n）（1+1/n）……（1+1/n）･1≦[（n（1+1/n）+1）/（n+1）] n+1
即数列{A n}单增。
另外，设Ｂn＝n/（n+1），利用算术和几何不等式关系，得：
Ｂn＝1- 1/（n+1）>1- 1/n=[（2･(1/2)+（n-2））/n]≥[（1/2）2･1n-2]=（1/4）1/n
则4≥[（n+1）/ n]= （1+1/n）n
即数列{A n}有上界。
于是，极限Ⅱ存在，并记为数e。
（3）在函数连续中，给出一致连续函数的充要条件。
结论：函数f(x)在区间Ｉ上一致收敛的充要条件是对区间Ｉ上任意两个数到{x n}
与{y n}，当lim
n→∞（x n-y n）=0时，则lim
n→∞
（f(x n)- f(y n)）=0。
(4)在微积分中，给出牛顿——菜布尼兹积分公式的推广形式。
结论：设在[a，b]上f(x)可积，F(X)连续且在（a，b）内除有限个点外均有F′(X)= f(x)，则
a
b
⎰f(x)dx = F(a)- F(b)
(5)在微分方程中，给出二阶线性微分方程不变量解法。
结论：对于方程y〞+p（x）y′+q（x）y=f（x），若存在函数ϕ（x）满足I=p′（x）+2 p（x）- 4 q（x）=ϕ′（x）+2ϕ 2（x），则有方程z〞+ϕ（x）z′+ = f（x）e1/2∫（ϕ- p）dx，其中y=z（x）e1/2∫（p-ϕ）dx。
此结果将二阶线性方程的常、变系及齐次、非齐次方程统一起来，而且扩大了f(x)的形式。因此，它自然被《EI》收录。
2.2教材建设.1999-2001年我们在承担陕西省教育厅《高等数学课程体系改革研究与实践》教学项目中，通过调查研究于2001年8月，编写出试用教材《高等数学》
