习题 1.1
1.对一组整数进行四则运算，所得结果是什么数
解 （1）整数相加得到整数；（2）整数相减得到整数；（3）整数相乘得到整数；（4）整数相除得到的是有理数。所以对一组整数进行四则运算得到的是有理数。
2．写出4个数码1, 2, 3, 4的所有4阶排列.
分析 4阶排列是指由1, 2, 3, 4构成的有序的数组, 共有4！个, 每个数字必须出现且只能出现一次, 具体做法可以是先确定排在第一位的数, 比如为1, 然后排第二位的数分别为2, 3, 4, 接着排第三位、第四位的数.
解 1234 1243 1324 1342 1423 1432
2134 2143 2314 2341 2413 2431
3124 3142 3214 3241 3412 3421
4123 4132 4213 4231 4312 4321
3．分别计算下列四个4阶排列的逆序数, 然后指出奇排列是（ A ）
（A ）4312； （B ）4132； （C ）1342； （D ）2314
分析 计算排列逆序数的方法有两种:
方法一 12111()()n i i i i i ττ=⋯后面比小的数的个数
＋222()i i τ后面比小的数的个数
＋⋯⋯
＋111()n n n i i τ−−−后面比小的数的个数
方法二 1前面比1大的数的个数＋2前面比2大的数的个数＋⋯⋯＋(1)n −前面比1n −大的数的个数.
逆序数是奇数的称为奇排列，逆序数是偶数的成为偶排列.
解 按方法一计算：(4312)325τ=+= 奇排列
(4132)314τ=+= 偶排列
(1342)112τ=+= 偶排列
(2314)112τ=+= 偶排列 故选A.
4．计算以下各个排列的逆序数, 并指出它们的奇偶性:
（1）314265；(2)314265789；（3）542391786；
（4）987654321；（5）246813579；（6）(1)21n n −⋯.
解 按习题3分析中的方法一计算：
（1）(314265)2114τ=++= 偶排列
（2）(314265789)2114τ=++= 偶排列
（3）(542391786)431141115τ=++++++= 奇排列
（4）(987654321)8765432136τ=+++++++= 偶排列
（5）(246813579)123410τ=+++= 偶排列
（6）1((1)21)(1)(2)21(1)2n n n n n n τ−=−+−+++=
−⋯⋯, 这表明该排列的逆序数与n 有关, 故要对n 进行讨论:
当4,41n k k =+时1(1)2
n n −为偶数，此时排列(1)21n n −⋯.为偶排列; 当42,43n k k =++时1(1)2
n n −为奇数，此时排列(1)21n n −⋯.为奇排列.
5．在由1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9组成的下述9阶排列中, 选择i j 与使得:
（1）2147958i j 为偶排列； （2）1254896i j 为奇排列；
（3）4125769i j 偶排列； （3）3142786i j 奇排列.
均要求说明理由.
分析 排列1254896i j 中的两个未知数i j 与据排列的定义只能取3或7. 因而只有两种情况：1 132574896与2 172534896，然而我们只需计算上述的一个排列就可得知结果，因为1 与2 是3和7作一次对换得到的，而作一次对换必改变排列的奇偶性，也就是说若1 为偶排列, 则2 必为奇排列. 其余题解法也类似.
解 （1）取3,6i j ==有(214739568)11226τ=+++=为偶排列, 符合题目要求.
（2）取3,7i j ==有(132574896)112116τ=++++=为偶排列, 故取7,3i j ==时172534896为奇排列, 符合题目要求.
（3）取3,8i j ==有(412357698)3115τ=++=为偶排列，符合题目要求.
（4）取5,9i j ==有(531429786)42131112τ=+++++=为偶排列. 故取9,5i j ==时931425786为奇排列, 符合题目要求.
6.写出全体形如52253∗∗∗∗∗及的5阶排列.总结一下，有k 个位置数码给定的()n n k >阶排列有多少个？
分析 形如52∗∗∗的5阶排列中5和2的位置已经确定，3个∗位置只能取数字1，3，4中的某一个.
解 形如52∗∗∗的5阶排列中第一个∗可取1，3，4中的任何一个，故有3种取法，第二个∗可取剩下数字当中的任一个，有两种取法，最后一个∗只能取余下的那一个数，据乘法原理共有3213!××=种取法，即形如52∗∗∗的阶排列有（5－2）！个. 同理形如253∗∗的阶排列共有（5－3）！个. 因而，有k 个位置数码给定的()n n k >阶排列有()!n k −个.
7.自学附录一：连加号
.∑∏与连乘号
